Trong phần này chúng tôi trình bày một vài tính chất cơ bản của bài toán SMPEC với hàm ϑ(x, ω) cho bởi giá trị tối ưu của bài toán (2.8) Ánh xạ G : Ω ⇒ Rn được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu G(ω) là tập con đóng của Rn với mọi ω ∈ Ω. G được gọi làđo được nếu G−1(A) ∈ F
với mọi tập đóng A ⊂ Rn.
Hàm h : Rn×Ω → R được gọi là nửa liên tục dưới ngẫu nhiên nếu ánh xạ hàm trên đồ thị ω 7−→epih(·, ω) có giá trị đóng và đo được.
Người ta nói rằng ánh xạ G : Rn ×Ω → Rm là ánh xạ Carathéodory nếu G(x, ω) liên tục tại x với mọi ω ∈ Ω và đo được.
Chú ý ánh xạ Carathéodoryg(x, ω)là nửa liên tục dưới ngẫu nhiên. Người ta đã chứng minh được định lý sau đây:
Định lý 2.1. Cho hàm g : Rn ×Ω →R là nửa liên tục dưới ngẫu nhiên. Khi đó hàm φ(ω) = infx∈Rn g(x, ω)đo được vàG(ω) = arg minx∈Rn g(x, ω)
là ánh xạ có giá trị đóng và đo được.
Trong suốt luân văn này ta giả thiết rằng:
(A1)Ánh xạH(x, y, ω), G(x, y, ω)và hàmF(x, y, ω)là ánh xạ Carathéodory nghĩa là liên tục tại (x, y) và đo được.
Xét bất đẳng thức biến phân (2.6), bởi giả thiết(A1) ta có H(x, ζ, ω) xác định ở (2.7) là ánh xạ Carathéodory. Bài toán bất đẳng thức biến phân (2.6) có thể chuyển thành bài toán tối ưu sau:
min
ζ∈Q γ(x, ζ, ω),với điều kiện γ(x, ζ, ω) ≥ 0, ở đây γ(x, ζ, ω) = supζ0
∈Q
n
H(x, ζ, ω)T(ζ0 −ζ)−(1/2)||ζ0 −ζ||2o là hàm khoảng cách chính quy được giới thiệu trong [10], γ(x, ζ, ω) là hàm liên tục tại (x, ζ) và đo được, vì vậy nó là ánh xạ Carathéodory. Do đó ta có ánh xạ (x, ω) → S(x, ω) là ánh xạ có giá trị đóng và đo được.
Hàm ϑx(ω) cũng có thể được viết dưới hình thức sau: ϑx(ω) = inf
(y,λ)∈S(x,ω)
F(x, y, ω),
từ (A1) ta có F(·,·, ω) là nửa liên tục dưới ngẫu nhiên suy ra ϑx(ω) đo được, điều này giải quyết được vấn đề hàm lấy tích phân bên trong kỳ vọng của (2.1). Ta nói rằng ζ(ω) = (y(ω), λ(ω)) là lát cắt đo được trên S(x, ω) nếu với ∀ω ∈ Ω, ζ(ω) ∈ S(x, ω) và ζ(ω) đo được. Bây giờ ta xét hàm sau:
e
f(x) = inf
ζ(·)∈S(x,ω)
EhF(x, y(ω), ω)i,
ở đây ζ(·) ∈ S(x,·) nghĩa là việc tối ưu được thực hiện trên tất cả các lát cắt đo được ζ(ω) của S(x, ω). Với định nghĩa fe(x) = +∞ nếu tập S(x, ω) =∅ ta có kết quả sau
f(x) = fe(x),∀x ∈ X.
Thật vậy, giả sử S(x, ω) 6= ∅ (nếu không thì f(x) = fe(x) = +∞), với bất kỳ lát cắt đo được ζ(ω) ∈ S(x, ω), ω ∈ Ω, ta có F(x, y(·),·) ≥ ϑx(·), do đó fe(x) ≥ f(x). Ngược lại, do Định lý 14.5 Castaing [9] với ∀ε > 0 tồn tại lát cắt đo được ζ(ω) ∈ S(x, ω) sao cho F(x, y(·),·) ≤ ϑx(·) +ε, suy ra
e
f(x) ≥ f(x) + ε. Vậy f(x) =fe(x).
Bổ đề 2.1. Bài toán (2.1) tương đương với bài toán
min
x∈X,ζ(·)∈S(x,·)
EhF(x, y(ω), ω)i, (2.13) ở đây ζ(·) ∈ S(x,·) nghĩa là việc tối ưu được thực hiện trên tất cả các lát cắt đo được ζ(ω) của S(x, ω). Nói cách khác sự tối ưu trong (2.13) được thực hiện trên x ∈ X và ζ(ω) = (y(ω), λ(ω)) thỏa mãn các ràng buộc của bài toán (2.8). Cụ thể là giả sử rằng Ω = {ω1, . . . , ωK} là hữu hạn với xác
suất tương ứng là p1, . . . , pK thì ta có thể viết bài toán (2.1) dưới dạng tương đương sau:
min x∈X,y1,...,yK K X k=1 pkF(x, yk, ωk), (2.14) với điều kiện:
−H(x, yk, ωk) +∇yG(x, yk, ωk)λk = 0, k = 1, . . . , K, λk ∈ Q∗, G(x, yk, ωk) ∈ Q, λTkG(x, yk, ωk) = 0.