2.3.1 Hàm kỳ vọng
Giả sử ϑ(x, ω) là giá trị tối ưu của bài toán (2.8). Khi đó f(x) =E[ϑ(x, ω)] được gọi là hàm kỳ vọng với biến số x.
Xét x ∈ X và giả sử tồn tại hàm ψ(ω) P-khả tích sao cho ϑ(x, ω) ≥ψ(ω),
∀ω ∈ Ω và với mọi x trong lân cận của x.
Do ψ(ω) P-khả tích nên E[|ψ|] < +∞. Vì vậy theo bổ đề Fatou ta có
lim
x→xinfE[ϑ(x, ω)] ≥ Ehlim
x→xinfϑ(x, ω)i.
Từ đó suy ra f(·) là nửa liên tục dưới tại x nếuϑ(·, ω) là nửa liên tục dưới tại x, với ∀ω ∈ Ω. Do đó vấn đề nửa liên tục dưới của f(·) được quy về nghiên cứu nửa liên tục dưới của ϑ(·, ω).
2.3.2 Tính chất của hàm kỳ vọng
Trong phần này chúng tôi sẽ thảo luận về tính khả vi và liên tục của hàm kỳ vọng.
Ta giả thiết rằng:
(A2) Ánh xạ H(·,·, ω),∇yG(·,·, ω) và hàm F(·,·, ω) là liên tục.
(A3) Với x = x, tập S(x, ω) 6= ∅ và các tập S(x, ω) (có thể rỗng) bị chặn đều với mọi x trong lân cận của x.
(A4) Với mỗi x trong lân cận của x có tương ứng một yω(x) ∈ S(x, ω)
sao cho yω(x) dần tới y, y ∈ S(x, ω) khi x→ x.
Bổ đề 2.2. Giả sử rằng giả thiết (A2), (A3) thỏa mãn thì hàm ϑ(·, ω)
nửa liên tục dưới tại x.
Từ bổ đề 2.2, người ta chứng minh được kết quả sau:
Mệnh đề 2.1. Giả sử rằng giả thiết (A2), (A3) thỏa mãn với ∀ω ∈ Ω và tồn tại hàm ψ(ω) P-khả tích sao cho ϑ(x, ω) ≥ ψ(ω),∀ω ∈ Ω, và với mọi x trong lân cận của x thì hàm kỳ vọng f(x) nửa liên tục dưới tại x. Bổ đề 2.3. Giả sử rằng giả thiết (A2), (A3) thỏa mãn và giả thiết (A4)
thỏa mãn với y ∈ arg miny∈S(x,ω)F(x, y, ω) thì hàm minϑ(·, ω) liên tục tại x.
Mệnh đề 2.2. Giả sử rằng giả thiết (A2)-(A4) thỏa mãn với ∀ω ∈ Ω và tồn tại hàm ψ(ω) P-khả tích sao cho ϑ(x, ω) ≤ ψ(ω),∀ω ∈ Ω, và với mọi x trong lân cận của x thì hàm kỳ vọng f(x) liên tục tại x.
Ta nói rằng ánh xạ x 7−→ S(x, ω) làcục bộ trên cấp Ho¨lder tạix đối với y, nếu tồn tại lân cận W và V tương ứng của x và y và hằng số c = c(ω)
sao cho
kyω(x)−yk6 ckx−xkγ, (2.15) với mọi x ∈ W và yω(x) ∈ S(x, ω)∩V.
Đặc biệt, nếu điều đó đúng với γ = 1 thì ta nói S(·, ω) là Lipschitz trên địa phương tại x đối với y.
Ta có thể đưa ra các điều kiện khác nhau để đảm bảo tính duy nhất địa phương của nghiệm y ∈ S(x, ω). Cố định x ∈ X và ω ∈ Ω, ta dùng kí hiệu H(·) = H(x,·, ω) và G(·) =G(x,·, ω), ...
Người ta nói rằng điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson đối với hệ G(y) ∈ Q đúng tại y nếu
Chú ý rằng nếu (2.16) đúng thì tập Λ(y) = Λ(x, y, ω) của nhân tử Lagrange tương ứng bị chặn. Cũng chú ý rằng, nếu hệ được xác định bởi một số hữu hạn các ràng buộc như trong mô hình 1 thì điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson trùng với điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz. Ta nhắc lại nón C(y) = n d ∈ Rm : H(y)Td = 0,∇G(y)d ∈ TQ(G(y)) o ,
được gọi là nón tới hạn. Với véctơ d ∈ Rm và G(y) = (g1(y), . . . , gs(y)), xét tập hợp của nhân tử Lagrange
Λ∗(y, d) = arg max λ∈Λ(y) s X i=1 λidT∇2gi(y)d.
Ta có kết quả sau đây (xem định lí 3.1, 3.2, 4.3 và 5.1 trong [14]).
Mệnh đề 2.3. Xét điểm y ∈ S(x, ω). Giả sử H(y) là khả vi liên tục, G(y)
có đạo hàm cấp 2 liên tục, điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson (2.16) đúng và nón Q là đa diện thì y là điểm cô lập của S(x, ω) nếu các điều kiện sau đúng với các véctơ d ∈ Rn :
∇H(y)d ∈ conv∪λ∈Λ∗(y,d)[∇2G(y)d]Tλ +NC(y)(d). (2.17) Ngoài ra, nếu điều kiện (2.17) đúng và nếu H(x, y, ω) khả vi liên tục và G(x, y, ω) có đạo hàm cấp 2 liên tục thì S(·, ω) cục bộ trên cấp Ho¨lder γ = 12 tạix đối vớiy. Hơn nữa nếu ánh xạG(x, y, ω) và tậpK(x, ω) không phụ thuộc vào x thì S(·, ω) là Lipschitz trên địa phương tại x đối với y. Ta có thể mở rộng điều kiện (2.17) đến trường hợp mà nón Q không phải là đa diện (xem [14]). Nếu ánh xạ G(y) là affine thì
∇2G(y) = 0. Do đó vế trái của (2.17) trở thành
Với bất kì yω ∈ arg miny∈S(x,ω)F(x, y, ω), ta có ϑ(x, ω) =F(x, yω(x), ω).
Do đó nếu F(·,·, ω) là khả vi liên tục và Lipschitz địa phương liên tục, ta có thể viết
|ϑ(x, ω)−ϑ(x, ω)| = |F(x, yω(x), ω)−F(x, y, ω)| 6 `(ω)kyω(x)−yk,
trong đó x ∈ W và `(ω) là Lipschitz tương ứng không đổi (độc lập với x). Khi đó từ (2.15) với mọi x ∈ W ta có
|ϑ(x, ω)−ϑ(x, ω)| 6 κ(ω)kx−xkγ, (2.18) với κ(ω) = `(ω)c(ω).
Suy ra, với mọi x ∈ W ta có
|f(x)−f(x)| 6 Lkx−xkγ, (2.19) với L = E[κ(ω)].
Bây giờ chúng ta xét đến tính khả vi của f(x). Ta ký hiệu f0(x, p) và ϑ0ω(x, p) tương ứng là đạo hàm theo hướng pcủa f(·) vàϑ(·, ω) tại x. Điều đó nghĩa là f(·) là khả vi theo hướng tại x nếu tồn tại f0(x, p) với mọi p ∈ Rn. Bằng cách sử dụng định lý hội tụ trội Lebesgue ta có thể chỉ ra kết quả sau (xem chương 2, mệnh đề 2, trong [15]).
Bổ đề 2.4. Giả sử rằng ϑ(x,·) là P-khả tích, ϑ(·, ω) là khả vi theo hướng tại x ∈ X, với mọi ω ∈ Ω và tồn tại hàm κ : Ω −→ R+ là P-khả tích sao cho (2.18) đúng với γ = 1, nghĩa là
|ϑ(x, ω)−ϑ(x, ω)| 6 κ(ω)kx−xk, với mọi x trong lân cận của x, với mọi ω ∈ Ω.
Khi đó f(·) là khả vi theo hướng tại x và
Dễ dàng suy ra được f(x) có giá trị hữu hạn với mọi x gần x. Giả sử rằng, với mọi x gần x, tồn tại
yω(x) ∈ arg min y∈S(x,ω)F(x, y, ω) hội tụ đến y khi x → x. Khi đó, vì ϑ(x, ω) =F(x, yω(x), ω), ta thu được ϑ0ω(x, p) =∇yF(x, y, ω)T yω0 (x, p),
với điều kiện là F(x,·, ω) là khả vi liên tục và tồn tại đạo hàm theo hướng yω0 (x, p).
Mệnh đề 2.4. Giả sử giả thiết của mệnh đề 2.3 và giả thiết (A4) thỏa mãn và
(i) Ánh xạ G(x, y, ω) không phụ thuộc vào x, (ii) Với ω ∈ Ω và với mọi p ∈ Rn, hệ
∇xH(x, y, ω)p+∇xH(x, y, ω)d ∈ conv∪λ∈Λ∗(y,d)[∇2G(yd)]Tλ +NC(y)(d)
có nghiệm duy nhất d = d(p)
thì yω(·) là khả vi theo hướng tại x và yω0 (x, p) =d(p).
Chú ý rằng với cách đặt p = 0 trong công thức trên ta thu được điều kiện (ii) chính là điều kiện (2.17) của mệnh đề 2.3.
2.4 Giải bài toán SMPEC bằng phương pháp Monte-Carlo2.4.1 Tổng quan về phương pháp Monte-Carlo 2.4.1 Tổng quan về phương pháp Monte-Carlo
Phương pháp Monte-Carlo là phương pháp số giải các bài toán bằng cách mô hình hóa các đại lượng ngẫu nhiên. Về mặt nội dung, phương pháp này liên quan đến tư tưởng xây dựng một quá trình ngẫu nhiên giả tạo có tất cả những đặc tính cần thiết của hệ thống cần nghiên cứu. Phương pháp
Monte-Carlo có thể áp dụng được ở mọi nơi, miễn là ở đó bài toán cho phép mô tả bằng toàn thể hay một phần của lý thuyết xác suất, dù rằng bài toán đó có thể đã có nội dung tiền định chặt chẽ.
Chuyện kể rằng tại thành phố Monte (Monaco), thành phố nổi tiếng với những sòng bạc thỏa mãn máu mê của nhiều hạng người khác nhau. Sự may rủi, đỏ đen liên tiếp được thể nghiệm bằng các "phép thử" tung đồng tiền trên chiếu bạc. Nếu nói xác suất bắt nguồn từ chuyện người say rượu, thì phương pháp Monte-Carlo lại bắt nguồn từ những sòng bạc của thành phố có tên Monte.
Các bộ phận cấu thành của phương pháp là: Xây dựng các mô hình xác suất của các quá trình thực tiễn cần nghiên cứu, mô hình hóa các đại lượng ngẫu nhiên với luật phân phối cho trước, giải bài toán của lý thuyết ước lượng thống kê.
Giá trị thực tiễn của phương pháp Monte-Carlo là nó thay những phép thử bởi các kết quả tính toán dựa trên các đại lượng ngẫu nhiên. Bởi vậy, có thể xác định được các đặc trưng cần thiết của quá trình cần nghiên cứu mà không cần dùng các phương trình mô tả sự thay đổi của quá trình đã cho.
Bởi vậy, phương pháp Monte-Carlo còn được gọi là phương pháp thử thống kê. Bài toán cơ bản của phương pháp là xác định xác suất của các sự kiện bất kỳ và các giá trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên qua kết quả của các phép thử lặp đi lặp lại nhiều lần.
Cơ sở của lược đồ chung về phương pháp Monte-Carlo là định lý giới hạn trung tâm. Theo định lý đó thì có thể coi mọi đại lượng m chưa biết như là kỳ vọng toán học của một đại lượng ngẫu nhiên ξ nào đó, tức là Eξ = m với phương sai Dξ = σ2.
Từ định lý giới hạn trung tâm ta có hệ thức P 1 N N X j=1 ξj −m < √3σ N ≈ 0,997,
trong đó ξj,(j = 1,2, . . . , N) là các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên ξ nhận được ở mỗi một trong N phép thử. Hệ thức đó xác định số chưa biết m và đồng thời đánh giá được sai số. Từ hệ thức đó suy ra rằng khi tăng số phép thử thì độ chính xác của nghiệm tăng lên.
Như vậy, thực chất của phương pháp Monte-Carlo là chương trình để tiến hành phép thử ngẫu nhiên và thực hiện một cách ngẫu nhiên. Tuy nhiên, trong thực tế thường dùng một cơ chế tiêu chuẩn để sản sinh ra các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối đều trên một miền nào đó (chẳng hạn trên [0, 1]). Do đó, ta cũng thấy được vì sao phương pháp Monte-Carlo phát triển cùng thời với máy tính điện tử.
Nhược điểm quan trọng của phương pháp Monte-Carlo là để nhận được các đặc trưng của quá trình nghiên cứu với độ chính xác cho trước thì cần quá nhiều phép thử. Chẳng hạn, với độ chính xác ε > 0 cho trước, để nhận được giá trị trung bình x của đại lượng ngẫu nhiên ξ, thì cần phải tiến hành số phép thử là N = 4Dξε2 , trong đó Dξ là phương sai. Như vậy Dξ = 0,01 và ε = 0,001 thì N = 400.000 phép thử. Mỗi phép thử, độ phức tạp tính toán của thuật toán phụ thuộc độ dài dữ liệu, tức là phụ thuộc số biến n của bài toán. Vì vậy, phương pháp Monte-Carlo dùng để gải bài toán quy hoạch thường chỉ áp dụng được với các bài toán có số ẩn không lớn lắm (số ẩn n ≤30).
2.4.2 Thuật toán Monte-Carlo tổng quát giải bài toán SMPECBước 0. Xuất phát từ phương án x(0) ∈ M, ký hiệu α0 = f(x(0)), lúc này Bước 0. Xuất phát từ phương án x(0) ∈ M, ký hiệu α0 = f(x(0)), lúc này gọi x(0) là phương án kỷ lục.
Bước k (k = 1,2, . . .).
k.1. Giả sử ta đang biết phương án kỷ lục là x(k) và αk = f(x(k)). Với tập G, độ đo mesG được xác định, chọn ngẫu nhiên điểm ξ(k) có phân phối đều trên G.
+ Nếu ξ(k) ∈/ M thì loại bỏ ξ(k), trở lại bước k.
+ Nếu ξ(k) ∈ M thì số phương án tăng lên 1. Gán x(k+1) := ξ(k). k.3. Tính giá trị hàm mục tiêu f(x(k+1)) và kiểm tra
+ Nếu f(x(k+1)) ≥αk thì xk+1 "không tốt hơn" xk, trở lại bước k.1. + Nếu f(xk+1) < αk thì xk+1 "tốt hơn" xk. Gán k := k+ 1, trở lại bước
k.1.
Để chứng minh sự hội tụ của phương pháp Monte-Carlo giải bài toán quy hoạch như đã nêu trên, ta ký hiệu x(k) là dãy các phương án tìm được trong quá trình thực hiện thuật toán. Như vậy, ở bước thứ k ta có
x(k+1) :=
ξ(k), nếu f(ξ(k)) ≤f(x(k))
x(k), nếu f(ξ(k)) > f(x(k)), (*) trong đó ξ(k) là véctơ ngẫu nhiên ở bước lặp thứ k nhận được từ thuật toán Monte-Carlo.
Ta cũng ký hiệu mesM là "diện tích" của M (theo nghĩa độ đo trongRn). Khi đó với tập khả tích A ⊆ M, ta có công thức tính xác suất để mỗi ξ ∈ M thuộc A (coi ξ được phân đều trên M) là
P(ξ ∈ A) = mesA
mesM·
Định nghĩa 2.1. Ta nói bài toán qui hoạch đã cho có giá trị cực tiểu không cô lập nếu nó có ít nhất một nghiệm x∗ sao cho
mes{x ∈ M : f(x) < f(x∗) +ε}> 0, với mọi ε > 0 đủ bé.
Định lý 2.2. Bài toán quy hoạch đã nêu với giá trị cực tiểu không cô lập và dãy {x(k)} được thiết lập từ thuật toán Monte-Carlo, khi đó ta có
P n lim k→∞f(x(k)) =f(x∗) o = 1.
Chứng minh. Với mọi ε > 0 đủ bé, ta gọi Ak(ε) là biến cố ngẫu nhiên xảy ra đối với x(k) thỏa mãn f(x) < f(x∗) +ε, kí hiệu
Theo (*) ta có f(xk+1) = min n f(ξ(1)), f(ξ(2)),· · · , f(ξ(k)) o . (**)
Nếu gọi biến cố đối lập của Ak(ε) là Ak(ε) thì
Ak(ε) = nf(x(k)) > f(x∗) + εo, với mọik > 1. Từ (**) suy ra Ak(ε) = k \ i=1 n f(x(i)) > f(x∗) +εo. Vì P ( ∞ \ N=1 ∞ [ k=N Ak(ε) ) 6 P ( ∞ [ k=N Ak(ε) ) 6 ∞ X k=N P(Ak(ε)), ta suy ra P ( ∞ \ N=1 ∞ [ k=N Ak(ε) ) 6 ∞ X k=N P k \ i=1 {f(x(i) ! > f(x∗) +ε}).
Do {ξ(k)} là dãy độc lập, cùng phân phối nên P k \ i=1 ! n f(x(i)) > f(x∗) +εo = = k Y i=1 P n f(x(i)) > f(x∗) + εo = = hP{f(ξ) > f(x∗) +ε}ik = = (1−pε)k, trong đó ξ = lim k→∞ξ(k) và pε = P{f(ξ) < f(x∗) +ε}. Từ đó suy ra P ( ∞ \ N=1 ∞ [ k=N Ak(ε) ) 6 ∞ X k=N (1−pε)k. (***) Đặt A(ε) ={x ∈ M : f(x) < f(x∗) +ε}.
Từ giả thiết về tính không cô lập của giá trị cực tiểu f(x∗) ta có mesA(ε) > 0, với mọiε > 0.
Do vậy thì pε = P{f(ξ) < f(x∗) +ε} = P{ξ ∈ A(ε)} = mesA(ε) mesM > 0. Từ (***) ta có được 0 6 P ( ∞ \ N=1 ∞ [ k=N Ak(ε) ) 6 ∞ X k=N (1−pε)k = (1−pε)N pε , với mọiN > 1. Cho N → ∞, ta thu được
P ( ∞ \ N=1 ∞ [ k=N Ak(ε) ) = 0. Hay là P ( ∞ [ N=1 ∞ \ k=N Ak(ε) ) = 1.
Điều đó có nghĩa là với xác suất bằng 1 và với ε > 0 đủ bé, tồn tại N = N(ε), để xảy ra biến cố T∞k=N(ε)Ak(ε) sao cho với mọi k > N(ε), ta có f(x(k+1))−f(x∗) = f(x(k+1))−f(x∗) < ε. Vậy P lim k→∞f(x(k)) =f(x∗) = 1.
KẾT LUẬN
Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:
1. Đã hệ thống được một số khái niệm cơ sở về tập lồi và nói lồi, về hàm lồi, về ánh xạ đa trị, về bất đẳng thức biến phân và bài toán quy hoạch, một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất, về bài toán quy hoạch ngẫu nhiên.
2. Nêu được khái niệm bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên và các thể hiện của nó.
3. Phát biểu và chứng minh một số bổ đề, mệnh đề và định lý quan trọng của bài toán đang xét.
4. Trình bày được thuật toán giải bài toán đã nêu.
Một số vấn đề đang còn mở ra, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu đó là: - Nghiên cứu một lớp bài toán có nội dung thực tế, với dữ liệu có tham
gia của yếu tố ngẫu nhiên, áp dụng các kết quả đã có của lý thuyết quy hoạch ngẫu nhiên để giải nó.
- Tập trung nghiên cứu một lớp hẹp các bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân bằng và đề xuất ứng dụng của nó vào thực tiễn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đào Hữu Hồ,Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007. [2] Nguyễn Văn Huấn, Một số phương pháp ngẫu nhiên giải bài toán quy
hoạch nguyên, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh, 2005. [3] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải, Giải tích lồi, NXB khoa học và kỹ
thuật, Hà nội, 2000.
[4] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008.
[5] Trần Xuân Sinh, Các phương pháp ngẫu nhiên giải bài toán quy hoạch, bài giảng dùng cho học viên Sau Đại học chuyên ngành XSTK Toán học, Đại học Vinh, 2004.
[6] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, Lý thuyết Xác suất, NXB Giáo dục Hà Nội, 2000.
[7] Hoàng Tụy, Lý thuyết tối ưu, Viện Toán học, Hà nội, 2003.
[8] Nguyễn Đông Yên,Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa hoc tự nhiên và Công nghệ, 2007.
[9] G. Castaing, and M. Valadier, 1977, Convex Analysis and Measurable Multifunctions, Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin, Germany, vol. 580.
[10] F. Faccchinei, and J. S. Pang, 2003, Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer, New York, NY.
[11] M. Patriksson and A. Evgrafov, 2004, On the Existence of Solutions to Stochastic Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Journal of Optimization Theory and Application, Vol. 121, pp. 65-76. [12] M. Patriksson and L. Wynter, 1999,Stochastic Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Operations Research Letters, Vol. 25, pp. 159-167.
[13] A. Shapiro, January 2006, Stochastic Programming with Equilibrium Constraints, Journal of Optimization Theory and Application, Vol. 128, No. 1, pp. 223-243.
[14] A. Shapiro, 2005, Sensitivity Analysis of Parametrized Variational Inequalities, Mathematics of Operations Research, Vol. 30, pp. 76-91. [15] A. Shapiro, and A. Ruszczyn´ski, Editors, 2003, Stochastic Programming, Handbooks in Operations Research and Management Science, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland, Vol. 10.