Thuật toán Gomory giải bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính và ứng dụng trong pháo binh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2TÔ THỊ HƯƠNG LAN THUẬT TOÁN GOMORY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÁO BINH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017... TRƯỜNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TÔ THỊ HƯƠNG LAN

THUẬT TOÁN GOMORY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH

VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÁO BINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TÔ THỊ HƯƠNG LAN

THUẬT TOÁN GOMORY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH

VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÁO BINH

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắcnhất tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, thầy đã định hướng chọn đề tài và tậntình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận vănnày.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng sau đại học, các thầy

cô giáo khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các thầy giáo giảng dạychuyên ngành Toán ứng dụng đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tạitrường

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các đồng nghiệp ở Bộ mônToán Tin Khoa Khoa học cơ bản Trường sĩ quan Pháo binh, nơi tôi đang côngtác; gia đình và bạn bè đã luôn tạo điều kiện giúp đỡ và động viên tôi trongsuốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Tô Thị Hương Lan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn NăngTâm, luận văn chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài: “Thuật toán Gomorygiải bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính và ứng dụng trong Pháobinh ” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngkết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Tô Thị Hương Lan

LỜI CẢM ƠN 1

1.1 Một số vấn đề cơ bản về bài toán tối ưu tuyến tính 7

1.1.1 Bài toán tối ưu [3] 7

1.1.2 Bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính 9

1.1.3 Điều kiện tối ưu tổng quát 11

1.2 Phương pháp đơn hình [5] 12

1.2.1 Thuật toán đơn hình dạng bảng 12

1.2.2 Thuật toán đơn hình dạng tọa độ 14

1.2.3 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 17

Chương 2 THUẬT TOÁN GOMORY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH 23 2.1 Cơ sở lí thuyết về thuật toán lát cắt 23

2.1.1 Cơ sở lý thuyết 23

2.1.2 Khái niệm lát cắt 27

2.1.3 Tư tưởng phương pháp cắt 30

2.2.1 Thuật toán Gomory thứ nhất 31

2.2.2 Thuật toán Gomory thứ hai 35

2.2.3 Thuật toán Gomory thứ ba 40

2.3 Định lí về sự tồn tại nghiệm của bài toán 47

2.3.1 Điều kiện để sử dụng thuật toán Gomory 47

2.3.2 Tính hữu hạn của thuật toán Gomory 48

2.3.3 Cơ sở xây dựng lát cắt đúng nguyên 51

Chương 3 ỨNG DỤNG TRONG PHÁO BINH 52 3.1 Khái niệm chỉ tiêu hiệu quả bắn (CTHQB) 52

3.1.1 Khái niệm 52

3.1.2 Khái niệm mục tiêu (M) 53

3.2 Bài toán 56

3.2.1 Bài toán thực tế: 56

3.2.2 Thiết lập mô hình toán 57

3.3 Phương pháp giải bài toán đặt ra 57

3.3.1 Sử dụng thuật toán 57

3.3.2 Văn bản chương trình [7] 63

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán tối ưu tuyến tính là một bài toán quan trọng của lý thuyết tối ưu.Đây là mô hình toán học của nhiều bài toán phổ biến trong thực tế, có hìnhthức toán học đơn giản và dễ giải Mặt khác, về lý thuyết, ta có thể xấp xỉvới độ chính xác cao các bài toán tối ưu phi tuyến bởi dãy các bài toán tối ưutuyến tính

Trong lí thuyết tối ưu ta gặp một lớp bài toán mà đối tượng của nó khôngthể chia cắt nhỏ tùy ý, trong lớp bài toán này tất cả (hoặc một bộ phận) cácbiến chỉ nhận các giá trị nguyên, đó là bài toán qui hoạch nguyên Bài toánquy hoạch nguyên có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong quân sự, chẳnghạn bài toán dự tính số đạn trúng mục tiêu; số vọng gác ít nhất để có thể đảmbảo an ninh một khu vực; bài toán tìm số chiến sĩ ít nhất để phân công côngviệc, hay bài toán chiếc ba lô, Vì vậy, vấn đề đặt ra là cần nghiên cứu một lớpcác bài toán quy hoạch nguyên với phương pháp giải phù hợp để giải quyết cácbài toán thực tế và bài toán chuyên ngành Đối với bài toán qui hoạch nguyêntuyến tính, các thuật toán giải bài toán qui hoạch tuyến tính tổng quát cơ bảnhầu hết không thể sử dụng được nữa do yêu cầu về tính nguyên của các biến

số Năm 1958, Gomory (nhà toán học người Mĩ) đã công bố thuật toán cắt nổitiếng để giải bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính, mở đầu cho sự ra đời vàphát triển của lí thuyết bài toán qui hoạch nguyên

Lí thuyết tối ưu cũng được ứng dụng nhiều trong trong chuyên ngành chỉhuy của Pháo binh, có nhiều bài toán tối ưu được đưa về bài toán qui hoạch

nguyên tuyến tính, chẳng hạn: bài toán dự tính số đạn trúng mục tiêu; bài toánvận tải trong quân sự; bài toán đuổi bắt mục tiêu; thuật toán Gomory tỏ ra

là một công cụ hữu hiệu trong việc xử lí các bài toán này Vì vậy, tôi chọn đềtài nghiên cứu: “Thuật toán Gomory giải bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính

và ứng dụng trong Pháo binh”

2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng thuật toán Gomory giải bài toán qui hoạch nguyên để tìm ra phương

án tối ưu cho bài toán

Nghiên cứu lớp bài toán tối ưu diệt mục tiêu pháo binh có yếu tố ngẫunhiên

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán quy hoạch tuyến tính, bàitoán quy hoạch nguyên; Lí thuyết tối ưu; phương pháp cắt; Cơ sở lý thuyếtcủa thuật toán Gomory để giải bài toán quy hoạch nguyên

Nêu bài toán ứng dụng, từ đó mô hình hoá dạng toán học

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: thuật toán Gomory để giải bài toán quy hoạch nguyên

và ứng dụng trong pháo binh

Phạm vi nghiên cứu: Cơ sở lý thuyết của thuật toán lát cắt Gomory để giảibài toán quy hoạch nguyên

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu các tài liệu liên quan đến bài toán qui hoạch nguyên, bài toán tối

ưu tuyến tính, thuật toán Gomory

Phương pháp nghiên cứu lí thuyết, chủ yếu là các phương pháp suy luậntoán học.

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số vấn đề cơ bản về bài toán tối ưu tuyến tính

1.1.1 Bài toán tối ưu [3]

Trong thực tế và lý thuyết, nhiều bài toán được mô tả dưới dạng:

trong đó f : Rn → R là một hàm cho trước, C ⊂ Rn là một tập con cho trước,

Rn là không gian Euclid n-chiều

Ta còn viết bài toán (P ) như sau: max{f (x) : x ∈ C}

Định nghĩa 1.1 Bài toán (P ) được gọi một bài toán tối ưu hay một bài toánquy hoạch toán học Hàm f gọi là hàm mục tiêu, C là tập ràng buộc (hay miềnchấp nhận được của (P )) Các phần tử của C được gọi là các vectơ chấp nhậnđược của (P ) hoặc các phương án

Nếu C = Rn thì ta nói (P ) là một bài toán không có ràng buộc, ngược lại,(P ) là bài toán có ràng buộc

Định nghĩa 1.2 Điểm x∗ ∈ C mà f (x∗) ≥ f (x) với mọi x ∈ C được gọi lànghiệm, hoặc nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm tối ưu toàn cục, hoặc cực đại toàncục của bài toán (P ), ta còn gọi nghiệm tối ưu là phương án tối ưu

Tập các nghiệm tối ưu của (P ) kí hiệu là Sol(P ), tập các nghiệm tối ưu địaphương kí hiệu là loc(P )

Hình 1.1

Cực tiểu địa phương: M2, M4 Cực tiểu toàn cục: M2

Cực đại địa phương: M3 Cực đại toàn cục: M3

Hai bài toán tối ưu gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng trùngnhau

Định nghĩa 1.3 Giá trị tối ưu ν(P ) của (P ) được xác định bởi

ν(P ) = sup{f (x) : x ∈ C}

Nếu C = ∅ thì qui ước ν(P ) = +∞

Dễ thấy, Sol(P ) ⊂ loc(P ), và Sol(P ) = {x ∈ C : f (x) = ν(P )}

Lưu ý: Thay cho bài toán (P ) ở trên, ta có thể gặp bài toán tìm giá trịnhỏ nhất sau:

vậy bất kỳ bài toán tìm giá trị nhỏ nhất nào dạng (P1) đều có thể đưa về bàitoán tìm giá trị lớn nhất dạng (P )

Hiển nhiên rằng, nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P ) (hay (P1)) đều

là nghiệm tối ưu địa phương của (P ) (hay (P1)), điều ngược lại không phải lúcnào cũng đúng Tuy nhiên, nếu C là một tập lồi và f là một hàm lồi trên Cthì mọi nghiệm tối ưu địa phương của (P ) đều là nghiệm tối ưu toàn cục của(P ) Khẳng định sau đây chứng minh điều đó

Định lý 1.1 Cho C ⊂ Rn là tập lồi, f : C → R là một hàm lồi Khi đó, nếu

x∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán (P ): max{f (x) : x ∈ C}, thì nó cũng làmột nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán đó

Chứng minh Giả sử x∗ là nghiệm tối ưu địa phương của (P ) Khi đó x∗ ∈ C

và tồn tại lân cận mở V trong Rn của x∗ sao cho:

Vì x ∈ C tùy ý, ta suy ra x∗ là nghiệm tối ưu toàn cục của (P )

1.1.2 Bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính

Trong các bài toán quy hoạch tuyến tính, các biến số có thể nhận những giátrị thực không âm Tuy nhiên, trong thực tiễn thường gặp các bài toán mà cácbiến số chỉ có thể nhận một số hữu hạn hay đếm được giá trị, thường là cácgiá trị nguyên Chẳng hạn sẽ là vô nghĩa khi đưa ra câu trả lời: cần sản xuấtnửa cái bàn hay cần sử dụng 3,5 người để hoàn thành công việc, hoặc có 1,3viên đạn bắn trúng mục tiêu Vì thế ta sẽ đề cập đến nội dung và phương

pháp giải các bài toán tối ưu trên lưới các điểm nguyên hay trên các tập rờirạc, gọi tắt là bài toán quy hoạch rời rạc hay bài toán quy hoạch nguyên.Bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính:

Nếu k = n thì bài toán (L, C) với điều kiện (1.1) - (1.4) gọi là bài toán quyhoạch tuyến tính nguyên hoàn toàn Nếu k < n thì bài toán gọi là bài toán quyhoạch nguyên bộ phận Điều kiện (1.4) đôi khi được viết dưới dạng: xj nguyên,

(L, C) là bài toán tối ưu từ vựng với phương án tối ưu mở rộng X =(

Nếu X∗ = (x1, , xn) là phương án (hay phương án tối ưu) và x0 = P

cjxjthì vectơ X = (

Một đa diện L mà tất cả các đỉnh của nó đều là nguyên (mọi thành phần

là nguyên) gọi là đa diện nguyên

1.1.3 Điều kiện tối ưu tổng quát

Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến bài toán tối ưu dạng:

trong đó C ⊂ Rn là một tập đóng

Định lý 1.2 [3, tr 63] Bài toán (1.5) có nghiệm tối ưu khi và chỉ khi tồntại x ∈ C sao cho tập M (f0) = {α ∈ R : α ≤ f (x)} đóng, khác rỗng và bị chặntrên

Chứng minh Giả sử (1.5) có nghiệm tối ưu x∗ ∈ C Khi đó, rõ ràng:

M (f ) = {α ∈ R : α ≤ f (x∗)}

Vậy M (f ) là đóng, khác rỗng, bị chặn trên

Giả sử tập M (f ) đóng, khác rỗng và bị chặn trên Khi đó, tồn tại α0 =sup M (f ) < +∞ và α0 ∈ M (f ) Vì α ∈ M (f ), theo định nghĩa của M (f ), tồntại x∗ ∈ C sao cho α0 ≤ f (x∗) Mặt khác, f0(x) ∈ M (f ) với mọi x ∈ C, suy ra

α0 thuộc f (x∗) Vậy f (x∗) = sup M (f0) < +∞, suy ra f (x∗) ≥ f (x) với mọi

x ∈ C Vậy x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (1.5)

1.2 Phương pháp đơn hình [5]

Đây là một phương pháp đơn giản và hữu hiệu để giải bài toán tối ưu tuyếntính được Dantzig, nhà toán học Mỹ, tìm ra vào năm 1947 Như đã biết, mọibài toán tối ưu tuyến tính đều chuyển được về dạng chính tắc Do đó, trongmục này chỉ xét bài toán dạng chính tắc

1.2.1 Thuật toán đơn hình dạng bảng

Thuật toán đơn hình để giải bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc khibiết một phương án cực biên x0 Xét bài toán tối ưu tuyến tính dạng chính tắckhông suy biến

Bước 1 Kiểm tra dấu hiệu tối ưu của phương án cực biên x0:

Nếu ∆k ≤ 0, ∀k ∈ J(x0) thì x0 là phương án tối ưu Thuật toán dừng

Nếu có k /∈ J(x0), ∆k > 0 thì x0 chưa phải phương án tối ưu Chuyển sangBước 2.

Bước 2 Kiểm tra dấu hiệu bài toán không có nghiệm tối ưu:

Với mỗi k /∈ J(x0) mà ∆k > 0, kiểm tra hệ số triển khai xjk: nếu có ∆k > 0

mà xjk ≤ 0, ∀j ∈ J(x0), thì kết luận bài toán không có nghiệm tối ưu Thuậttoán dừng

Nếu với mọi k /∈ J(x0) mà ∆k > 0 đều có ít nhất một j ∈ J (x0) mà xjk ≥ 0thì chuyển sang Bước 3

Bước 3 Chọn ẩn đưa vào cơ sở mới và xác định ẩn loại ra:

Ẩn xs được chọn đưa vào làm ẩn cơ sở (cột As được chọn đưa vào làm cộtcủa cơ sở mới) theo tiêu chuẩn sau: ∆s = max{k /∈ J(x0), ∆k > 0}

Ẩn xs được chọn đưa ra khỏi cơ sở (cột Ar được chọn đưa ra khỏi cơ sở cũ)theo quy tắc:

xrs

Phần tử xrs được gọi là phần tử trục (phần tử xoay) của phép biến đổi cơ sở.Chuyển sang Bước 4

Bước 4 Lập phương án cực biên mới: Xây dựng phương án cực biên mới, với

cơ sở mới J (x1) = J (x0)\{r} ∪ {s} Tính f (x1), ∆1k và x1k theo cơ sở mới J (x1).Quay về Bước 1

Bảng đơn hình của bài toán chính tắc dạng:

Hệ số Cơ sở Phương án c1 c2 cjk cn λ

J C J x J A 1 A 2 A jk A n

cj1 Aj1 x 0

j1 xj11 xj12 0 xj1n λj1 .

1.2.2 Thuật toán đơn hình dạng tọa độ

Xét bài toán tối ưu tuyến tính dạng chính tắc không suy biến (L, C)

Nhận xét 1.1 Nếu bảng đơn hình xuất phát là l-chuẩn thì chỉ có hai khảnăng có thể xảy ra:

• (L, C) không có phương án

• (L, C) có phương án tối ưu từ vựng

Ví dụ 1.1 Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau:

• Dạng bảng đơn hình

Thêm các biến phụ ta có bài toán trở thành

min(f (x)) = x1+ 2x2 + 0x3 + 0x4+ M x5 (x5 là biến giả)

• Dạng tọa độ của phương pháp đơn hình

Thêm các biến bù, bài toán được viết lại thành

Ta có các bảng đơn hình như sau:

Ý tưởng của thuật toán: Xuất phát từ một cơ sở mà bảng đơn hình tươngứng là l-chuẩn, nếu bảng đơn hình chưa là chấp nhận được thì ta tiến hànhdịch chuyển sang cơ sở mới mà bảng đơn hình ứng với cơ sở mới cũng là l-chuẩncho đến khi gặp bảng đơn hình là chấp nhận được thì dừng Khi đó phương án

cơ sở ứng với bảng đơn hình cuối là phương án tối ưu từ vựng

Thuật toán: Giả sử tồn tại cơ sở Br sao cho bảng đơn hình Tr ứng với Br

là l-chuẩn Áp dụng thuật toán đơn hình dạng tọa độ

Bước 1: Nếu Tr là chấp nhận được thì phương án cơ sở ứng với Br là phương

án tối ưu từ vựng Thuật toán kết thúc Ngược lại, ta chuyển sang bước 2.Bước 2: Nếu tồn tại i ∈ 1, n sao cho xi0 < 0, xij ≥ 0, ∀j ∈ N thì (L, C) không

có phương án (vì xi = xi0 +P

xij(−xj) < 0, j ∈ N ) Vậy (L, C) không cóphương án tối ưu từ vựng Thuật toán kết thúc Ngược lại:

1.2.3.2 Bảng đơn hình xuất phát không là l-chuẩn

Ý tưởng: Bắt đầu từ một bảng đơn hình không là l-chuẩn, ta thêm vào mộtràng buộc giả tạo được bảng đơn hình mới Sau đó chuyển đổi bảng đơn hìnhnày thành l-chuẩn và từ đó áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu từ vựng chocho bảng đơn hình Sử dụng kết quả của bài toán mới để đưa ra kết quả chobài toán ban đầu

Thuật toán: Giả sử ta xây dựng bảng đơn hình Tr ứng với bài toán (1.6) - (1.8)không phải là l-chuẩn, ứng với nó có các tập Br và Nr

Rl = lexmin{Rj | j ∈ N }

Thực hiện một bước biến đổi bảng đơn hình, ta nhận được bảng T0 là

l-chuẩn (Rj ≥ 0, j ∈ N0) và ứng với nó ta có các tập B0 và N0

B0 = B ∪ {s}, N0 = N ∪ {n + 1}\{s}

Khi đó, ta nhận được bảng đơn hình mới là l-chuẩn

Định lý 1.3 Khi sử dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu từ vựng thì các bảngđơn hình đều là l-chuẩn

Chứng minh Với cách chọn dòng và cột xoay như trong thuật toán đơn hìnhđối ngẫu thì nếu bảng đơn hình trước là l-chuẩn thì bảng đơn hình sau cũng

là l-chuẩn

Thật vậy, thực hiện phép biến đổi cơ bản của bảng đơn hình : đưa xk rakhỏi tập các biến cơ sở, đưa xk vào Ta xây dựng bảng tọa độ mới theo côngthức:

Mặt khác, bảng đơn hình xuất phát là l-chuẩn Vậy khi sử dụng thuật toánđơn hình đối ngẫu từ vựng thì các bảng đơn hình đều là l-chuẩn

Nhận xét 1.2 Nếu bảng đơn hình xuất phát là l-chuẩn thì chỉ có hai khảnăng có thể xảy ra:

• (L, C) không có phương án.

• (L, C) có phương án tối ưu từ vựng

Nếu bảng đơn hình xuất phát không là l-chuẩn thì có các khả năng có thểxảy ra khi tiến hành thuật toán:

• (L, C) không có phương án

• (L, C) có phương án nhưng không có phương án tối ưu

• (L, C) có tập các phương án tối ưu không bị chặn

• (L, C) có phương án tối ưu từ vựng

Ví dụ 1.2 Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình đối ngẫu

max x0 = 3x1 − x2+ 2x3

2x1+ 4x2 − x3 ≤ 103x1+ x2+ x3 ≥ 4

x1− x2+ x3+ x6 = 2

− x1+ x2− x3 + x7 = −2

xj ≥ 0, j = 1, 7

Ta có các bảng đơn hình sau khi thêm ràng buộc phụ Vì bảng đơn hình không

là l-chuẩn, nên đưa vào biến mới x8 = 100 − x1− x2− x3, ghi vào cuối Bảng 1

Chương 2 THUẬT TOÁN GOMORY GIẢI BÀI TOÁN QUY

HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH

2.1 Cơ sở lí thuyết về thuật toán lát cắt

1 R ≡ V (LN) là một đa diện nguyên (các đỉnh đều là nguyên)

2

3 Tập R∗ các phương án tựa của đa diện R chứa trong RN:

Chứng minh 1 Chứng minh R là một đa diện nguyên:

Vì L là một đa diện lồi nên LN là tập hữu hạn ⇒ R ≡ V (LN) là tổ hợp lồituyến tính của một tập hữu hạn Vì vậy, R là một đâ diện, đồng thời

(tức là R là đa diện nguyên)

Hệ quả 2.1 Giả sử X(R, C) là phương án tối ưu của bài toán (R, C) Khi

đó X(R, C) cũng là phương án tối ưu của bài toán (LN, C) Vì vậy để giải bàitoán quy hoạch tuyến tính nguyên (LN, C) ta giải bài toán (R, C)

Người ta đã chứng minh: R = V (LN) là đa diện nguyên duy nhất mà tậpcác điểm nguyên của nó trùng với LN

Định lý 2.2 Giả sử L là một đa diện lồi, U là một đa diện lồi nguyên và

Bài toán (L N , C) Bài toán (L, C) Bài toán R ≡ V (L N , C)

max(x1+ x + 2) max(x1 + x + 2) max(x1+ x + 2)

2x1+ 11x2 ≤ 38 2x1+ 11x2 ≤ 38 x2 ≤ 3

x 1 + x 2 ≤ 7 x 1 + x 2 ≤ 7 x 1 + x 2 ≤ 5 4x1− 5x2 ≤ 5 4x1− 5x2 ≤ 5 x1− x2 ≤ 1

xj ≥ 0, xj nguyên xj ≥ 0 xj ≥ 0

2 điểm (2, 3), (3, 2) đoạn [133,83, (409,239)] đoạn [(2, 3), (3, 2)]

Hình 2.2

Từ Hệ quả 2.1 chỉ ra khả năng xấp xỉ đúng bài toán (LN, C) bằng bài toánquy hoạch tuyến tính (R, C), xác định R = V (LN) Do đó xuất hiện vấn đề:cho một đa diện lồi L, tìm bao lồi V (LN) các điểm nguyên của nó?

Khi xây dựng V (LN) ta đã không sử dụng thông tin về hàm mục tiêu CXcủa bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên Vậy nên tìm một bài toán quyhoạch tuyến tính (R, C) theo bài toán (LN, C) sao cho thỏa mãn 3 điều kiện:

1 các giá trị tối ưu trùng nhau

2.1.2 Khái niệm lát cắt

Giả sử bài toán (LN, C) là bài toán quy hoạch nguyên nào đó và phương ántựa tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng X(L, C) không thoảmãn điều kiện nguyên, tức là X(L, C) /∈ LN Khi đó bất đẳng thức:

X

j

gọi là lát cắt đúng nếu thỏa mãn 2 điều kiện:

Điều kiện cắt: X(L, C) không thỏa mãn (2.14), tức là aX(L, C) > β

Điều kiện đúng: Nếu X là phương án của (LN, C) thì X thỏa mãn (2.14), tức

Mệnh đề 2.2 Giả sử tập các điểm nguyên của tập đa diện là tập C = {x ∈

Z+n : Ax ≤ b} với A = {aij} ∈ Rm×n, u ∈ Rm Khi đó ta có ràng buộc

n

X

j=1

(aj − [aj]) xj ≥ β − [β]

x2 ≤



263



⇒ x1+ x2 ≤ 8

Hình 2.4

2.1.3 Tư tưởng phương pháp cắt

Việc giải (LN, C) là một quá trình gồm nhiều bước:

1 Ở bước thứ r giải bài toán quy hoạch tuyến tính phụ

3 Nếu X(Lr, C) không thỏa mãn điều kiện nguyên thì X(Lr, C) không phải

là phương án của bài toán (Lr+1, C) tức là X(Lr, C) /∈ Lr+1

Chuyển từ bước r sang bước r + 1, tức là chuyển từ bài toán (Lr, C) sang(Lr+1, C) khi X(Lr, C) không nguyên được thực hiện nhờ một lát cắt đúng

arx ≤ βr Việc bổ sung lát cắt này vào ràng buộc của bài toán (Lr, C) sẽchuyển đa diện lồi Lr thành Lr+1

Như vậy, phương pháp cắt có hai việc: xấp xỉ tuyến tính nhiều bước đối vớibài toán (LN, C), chuyển từ bước này sang bước khác nhờ một lát cắt đúng.Trên cơ sở của tư tưởng đó, Gomory đã xây dựng một số thuật toán sau

2.2 Thuật toán Gomory

Thuật toán Gomory sẽ giải quyết ba vấn đề:

• Xây dựng lát cắt đúng

• Đảm bảo tính hữu hạn của quá trình giải

• Số lượng lát cắt đúng không được tăng mãi

2.2.1 Thuật toán Gomory thứ nhất

Xét bài toán qui hoạch tuyến tính nguyên hoàn toàn

x0i0 = x0i + X

j∈J (x 0 )

xijxj ≤ [βj], i = 1, , n (2.15)

Ta có aj = [aj] + {aj}, khi đó (2.15) được viết lại dưới dạng:

xk = −{x0i0} + X

j∈J (x 0 )

{xij}xj ≥ 0 (2.17)Theo Mệnh đề 2.3 thì (2.17) xác định một lát cắt đúng

Nhận xét 2.1 Khi thêm vào các ràng buộc(2.17), miền phương án của bàitoán quy hoạch tuyến tính nguyên (LN, C) vẫn giữ nguyên vì (2.17) là hệ quảcủa các điều kiện ràng buộc của bài toán (LN, C)

Bước 1: Nếu xl có các tọa độ nguyên Dừng thuật toán

Bước 2: Nếu xl có ít nhất một tọa độ không nguyên cần chọn ra một biến

cơ sở có giá trị không nguyên để xây dựng ràng buộc bổ sung (lát cắt thứ k)

(Lk) : {x0i0} − X

j∈J (x 0 )

{xij}xj ≤ 0

Bước 3: Giải bài toán thu được bằng phương pháp đơn hình để tìm raphương án tối ưu Đặt k = k + 1 và chuyển về Bước 1.

? Bước kết thúc: Dừng và cho kết quả

Ví dụ 2.3 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

xj ≥ 0, j = 1, 2

xj nguyênGiải Thêm biến phụ, bài toán trở thành

xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4

xj nguyênLập bảng đơn hình: