NGUYEN VAN THOAT
THUAT TOAN GIAI MOT LOP QUY HOẠCH PHI TUYEN KHONG LOI Va
BAI TOAN BU TUYEN TINH
ws Kk =—
Trang 2VIEN KHOA HOU VIET NAW VIEN POA HOG
————— ——— NGUYEN VAN THỐI
“HUAP TOAN GIẢI MOT LOP QUI HOACH PHI JEN KHONG LOI
Lost Ya Bal ““OAN BU ‘TUYKN TINH Wã hiệu ck yên ngành : 1.01.09 ( Tốm tất luận ár Phố tiến sÌ T-4n - Ly)
Người hướng đẫn : ư.8 HOANG TUY
Trang 3Luận ấn được hoản thanh tại Viện
“ốn học Viện Khoa học Việt nam
Người nhận xết 1 ‡ Người nhận xét 2
Cc quan nhận xết
Trang 41, Mở đân : rong khoảng mửơi lãm năm trở lại đây cĩ một lớp
bài bốn quy hoạch phi tuyến khơng lơi được nhiều người
nghiên cứu, đĩ lä lớp bài tốn bỉm cực tiêu của một hàm lưa { bay tổng quát hơn, tựa 1om) và liên bụcbrên một tập 181
đĩng, gội bắt Là bai toan quy hoạch lỏm Đây là một lớp bài
toan quan trọng, xấết ca về mặt ly thuyết cúng như ứng dụng VÊ mặt ly thuyêb , bai toan quy hoạch 1om là nhịp câu nối quy hoạch phi tuyến vơi quy boạch tổ hợp và cac bai toan khac nhw# baitoan Đủ v.y Yẽ mặt ưng dụng, rất nhiều vấn
đề trong kinh tế, kỹ thuật vả ngay ca trong quoc phịng cĩ
thể phat biểä đưởi đạng uột bài tốn quy hoạch lõm,
Mở đầu cho các cơng trinh nghiên cứu về bai tốn quy
hoạch lõm lá một bai báo cua Hoang Tyy cơng bế trên bạp chí DẠN cua Viện hẳn lâm khoa học Liên xơ năm 196% [13] 0”
đố Hồng Tụy đa xết một trường hợp riêng nhưng rat co ban cua bài tốn quy hoạch lom ~ trưởng hợp miện bảng buộc là
tập lơi giơi nội *) , từ đĩ đền nay bài tốn nay đa được nhiÊu người ở nhi?u nưức khac nhau nghiên cứu Nhưng thuật
toan vơi hiện qua ngày cảng băng đa được xây đựng dựa trên cơ sở phat triên phương pháp cắt cua Hồng "yy hoặc theo những phương phap khac như phường phap cua Horsb: +} „ phương phạp của Falk và Hoffman [2] v.v Những thuật
toan ma đưới hình thức này hay hình thức khác, phải thực
hiện việc duyệt các đỉnh của đa điện chấp nhận thi đi nhiên
cố tỉnh chát hưu hạn ( vì số đỉnh là hữu hạn), Và nghiệm thu được 1ä nghiệm chính xae Oịn lại, trong hữu hất eỐe
phương pháp tÌm nghiệm xấp xÌ thì vấn đỡ hội tụ của thuật
tốn hoặc chưa được xét đến, hoặc chí được xét đưới đạng
thé
Trong luận án nảy, mục tiêu cua chung tới nhằm giai quyét nhưng vân đê chỉnh sau đây :
a Trinh bay mgt cach cĩ hệ thống và thống nhất những văn để eơ sơ về quy hoạch lon, Đĩ lả những tỉnh chất cơ
ban, một số ứng đụng quan trọng và những phương phạp giai
*) Trường hợp tổng quát cũng đã được Hoang Ty , Trần
Trang 5tiév bắu hiện cĩ
+) Xây đựng một lớp thuật tcan hội ty cho bai toan quy
hoạch Lom voi niền rang bhộc là aộš tập đa điệp 181 giới nội ( đa điện),
e Trên cơ sở cua thuật toan hội tụ nởi trên, xây dựng nhưng phương phạp giai cho hai bai toan co mối Liên hệ gần gui với quy hogch lom 14 bai toấn phụ phí cố định với hầm
tục tiêu lõm và bài toan bù tuyen tỉnh
đ Lập chương trình và thư nghiệm nhưng thuật toan đa xây đựng trên may» tÍnh điện tử
` Yới những nội đung trên, luận #n được chia thành 5 chương và mộ phần phụ lục Sau phân mơ đâu, chương 1 trÌnh bảy những tính chất co ban và một sổ ứng dựng của bài tốn quy hoạch lõm, Một sỐ phương phấp giải tiêu biêu đã biệt được giơi thiệu trong chương 2 Chương 5 xây đựng một lợp
thuật toan hội tụ cho trường hợp miên rằng buộc là đa điện
Hai hình thực cai biên của thuật toan này được ap dụng dé giai b bat tốn phụ phá c6 định vơi ham mục tiêu 10m trong chương
4 va bai toan bồ tuyên tinh +: 2ng chương 5 Cuổi cùng , phần php lye gigi thiệu nhưng chương trình mẫu và việc thử nghiệm cac thuật toan noi trên, đồng thei da ra những kết quả tỉnh
tốa da thu được, : ‘ ;
?®ừ chương 5 tro đi , những điền trình bay đều la nhưng kết
qua mới của tác giả luận an ( hoặc kết qua chung cua tac gia
luận an vơi nhưng người khắc) Những kết qua đổ đa được cơng bỏ trong cađ cống trình [3 „ 1Ơ , 1Ì , 12 ]
2 #hưng vấn d@*eo sở v# bài tốn quy hoạch Jom Bai toắp quy hoạch 108 cĩ đạng tơng quất :
Trang 6-3-
trong đĩ # : B9-+R7 là hầm tựa lom , liên tục , Cịn D là
một bập lơi đa điện ( khốc 1B1) cố Ít nhất một đỉnh thuậc RỀ,
Đễ chứng minh những tính chất cơ ban ewa bài tốn QML, mụt SỐ sự kiện cơ ấơ SẼ khúc lưi và hầm tựa 5m trêa tap 184 đađược chọn lọc và trình bảy trong phần đâu cha chương 1 ( cao mệnh đề 1¿1 - 1.5 ) „ Mệnh /ẽ 1.*# khẳng định một trong những - tỉnh chất cơ bản nhất của bài tốn QHU là nghiện tối ưu, nếu
¿ồn tại, sẽ đạt được Ít nhất bại một đỉnh của khắc lồi rang buộc Một điều kiện đủ quan trọng về sự bồn tại nghiệm được
nêu trong mệnh đề 4.5 , Mệnh đồ 1.6 cho phốp đưa mọi bài
tốa QHL về một bài tốn mà khủc lồi zầng buộc nỀm trọn trong nh và cĩ Hột đỉnh tại điểm gốc
Phần con lai cra chương 1 giới thiệu những ứng đụng của bải tốn QHL theo nghĨa : Nhiều bài tốn thuộc các lĩnh vực khác nhau cĩ thể quy về bải tốn QHU, Trong số đồ dang cha ý
cd cde bal toan : Wat 1udi ting quat ( Generalized lattice , Paint problem ), quy hogch nguyên 0-1 hin hyp wi ham mặc tiêu
10m, quy hoạch song tuyến, bầi tốn phụ phí c8 định với hàm myc tiéu los, bai toan bi tuy6n tinh Cac Định lỹ 1.1 — 1.5
nêu ro mối quan hệ tương đương giưa các bằi tốn kể trên với
QEL Biêng đổi với các trưởng hựp bài tốn phụ phí cơ định
và bãi tốn bì tuyến tính ta cĩ các định ly 4.1 wa 5.1
Ba thuật btoap tiêu biểu hiện cĩ cho bãi tốn QHL với miền răng buộc giới nội được giơi thiệu trong chương 2, Đố la thuật bốn cơ sở của Hoằng Ty, thuật tốn đơc lương con
liên tiếp của Falk - Hoffman và thuật tốn kẽt hợp phương
Trang 7= &
thuật toấa này được trình bảy theo một cach nhÌn thống nhữt vổi đây đủ các chà tiết lý luận cần thiết và các định lý hội %ụ Những ý kiến thảo luận về các thuật bốn đa được nêu rõ để qua đỗ cĩ thê thấy được mối liên hộ giữa chúng với lớp
thuật tốn xây dựng trong các chương sau
7 Một lếp thuật tốn hội tụ giải bài tốn QHL : Vấn đỡ
nãy chiếm tồn bộ nơi đung chương 7 Lớp thuật tốn se được xây đựng trên cơ sở của nguyên lý cắt Hồng Ty, xết hợp với KỸ thuật nhánh cận Bài tốn QHL xĩt ở đây được giá thiết thoa man những điều kiện sau :
(i) Tap { x: f(x) 2a } giới nội với mọi số thực a (ii) Đa điện D cĩ đạng biểu điễn
D -{*z er” : ax < b], trong đố A là một
nzn ~ ma trận và b £ Rữ
(1i1) Điểm gốc O€BỀ là một đỉnh khong thénihda của D
CAn lưu ý răng cac giả thiết (1) và (111) khơng lâm giản tính tơng quất của bài tốn (Mục 5.5) Giả thiết " đa điện" là cần thiết trong phạm vi nghiên cứu của luận án, tuy nhiên đối với bài bốn bù tuyến tỉnh xết trong chương 5 , gia
thiết này cũng se được giam nhẹ,
Mư tà tổng quất thuật tốn : |
-kuất phất tử hình nơn lơi đa điện MỸ, đỉnh ở 5° = 0 va
cổ e cạnh đi qua n đỉnh kề ø1, ,a” (điều nẫy cĩ thể được theo giả thiếp (11i)) Ước lượng một cân đưới fl (M°) cho
# trên tập Daw’ Đặt &= min { tix) 1 xe {s°, -.8}}
Trang 8~ 5 -
ở bướu lặp kjk = 0,1 , - Gỗ bộ ba % sx, Wn
CM: tre tot obett a a at được , © = argh , 9, : tập
nốn lði đa điện mỗi nốn đều cĩ n cạnh và đỉnh ở O) và tương
ứng mỗi M 6 OR, đã cĩ, (SQ là cân dưới cho f trên tập
DAM,
Loại bỏ những M € 3fqvới M @) 2% , cho MR, 1a tap
nĩn cơn lại Nếu Roz đồng : xẾ lả nghiệm tối ưu với bị tối ưu , y+ Trai lai, chọn nĩn a™ BB sae cho
”„ (MỸ) = min {Man : Me Zữ,Ì chia MỀ thành một øố hữu hạn
non Li da điện, n cạnh, đình & 0
cĩ sa Tụ
ghị a eee ys ako sao cho MỸ = x kb
Bei voi mdi wD „ vớg lượng một cặn đưới MO MED) cho
fx) trên DAME , qua đố thu được một điểm xf:h e na gÈ2h mo sảnh x voi các điêm xh*È và cho xEfỦ là điệm vất
nhất trong số đĩ, với Ầqwv:= f(x°“Ì) , Xác định SÍố,,;iả tập cĩ được tờ ỞŨ dp thuy MỸ bởi MỸ? , , M UY, gạu đố a đa cổ chuyển qua bước lặp k+l
“huặt tốn trên gồm hai thủ +huèt tục cơ bản là chia non (tại mỗi bước lặp k chia một :húnm MỸ thành nhưng nốn con) và ước lượng cặn ( với mỗi nĩn M tính một cận đưới (8) cho ftrén Dram) Cĩ nhiêu phương phap Khác nhau thực hiện hai
thu tục as 6 đây, để đam báo tính hội tụ cua thuat tốn, các
thủ bục đổ căn co những tÍnh chất sau :
Trang 9- 6 «=
_.-
ÁÀ x4 „ | ex*: 6 >o } với Một điền xỶ nặc đố
7 &
tính nhất quấn : Một phương phấp ước lượng cận được gọi là
nhất quần nều với mỗi đây nĩn vơ hạa lồng nhau beo đân thành một tỉa Jx) ,tacd K - M i) 30 khi q7ve©
YVổi các khải niệm trên, ta cổ tính chấb hội ty sam đây (
Định lỹ 5,1)
Nếu quá trình chia nĩn là vét kiệt và phương pháp ước lượng
cận lä nhất quấn thÏ : hoặc thuật tốn kết thúc tại 1 bước
lặp k với nghiệm tối ưu chính xác xF, hoặc s8 tạo ra một đãy + vơ hạn {x} mà mỗi điểm tụ đều lầ một nghiện tối ưu Hơn
nữa, mỗi điểm xÈ '1ã một nghiện xấp xÌ với sai số khơng quá
y- Me voi My = Mm OK) ;
Dựa trên cơ sở định lý hội tụ, vấn đồ phàt/Ẩuyất 1a xy
đựng một quả trình chia nĩn vết kiệt và một phương phấp ước €
lượng cận nhất quấn: Cách chia nĩn chúng tơi đề nghị là tại
mỗi bước lặp k chia nĩn MỀ thành 2 nĩn con sao cho nếu
quá trình kéo dải vơ bận thÌ sẽ tạo ra aft day nda mà giao i của mỗi nĩn với đơn hình T° = [s gi snkg 22 | teo |
dẫn thành một điểm và ảo đổ đây nĩn se teo dân thành một 91a,
trong luận ấn, quả trnh chia nĩn này được chứng mình 1ã cĩ tĨnh vết kiệt, Cịn về phương phấp ước lượng cận thÌ cơ sở cua
nổ là nguyên lý cắt Hoằng Tụy, Giả sử M lả nổh cần xét
Trên cạnh thử ‡ của nỗ ( ¡ z 1, ¿ n) lẩy một điềm
sao cho f() «= ( trị tết nhất đa đạt được đổn bước K) Cho H Là siêu phẳng qua yÌ, , zˆ, Nếu H để hắn tap
MAD về nột phía yới điềm O = s° thi di nhiên 35 MaDc [ E°z › aoe rx] va do đồ
r(x) 2 ain { £(s°) , fly"), eee, ety") } = % với
mọi x € M/AD „ Như vậy cĩ thể đặt a (MD = A Trai
lại, cho H“lã siêu phẳng song song với H , đi qua điểm
2€MAD cỗ khoảng cách lửa nhất tới H va z1 1À giao của
cạnh thử ¡ của M với R* (¡ = 1, ,a) Như vậy MA D€[s9,z°`, z°J
và áo đồ cĩ thể đặt
Trang 10a
( Mant 14 nén sinh ra M)
Điễm z nỗi ở trên se là một đại điện để chọn nghiện chấp nhận tốt nhất đếZ bước tiếp theo
Tzong luận án,.phương pháp ước lượng cận này được chứng
minh là nhất quan
Như vậy với cách chia nĩn về ước lượng cận đã trÌnh bầy th theo định lý 5.1, ta cổ được một lớp thuật tốn hội tụ Mỗi thuật tổán của lớp đố súng sẽ cho một nghiệm bối ưu xấp xỉ của bài tốn QHL Một nghiệm xấp xỈ = được gọi là
€ ~ bối.ưu với sai số £ >O cho trước,nếu f(x) > f(XZ) =É
với mọi x €D
Nếu trong thuật tốn da mơ tả tại mỗi bước lặp : điều kiện để loại bỏ uột nĩn M € Ms, 1a iM) > H =
(thay vi „ (M) > X{ ) thi ta sẽ được một thuật tốn hưu hạp
cho phấp tìm được nghiệm Ê -tối ưu, Tức là với sai số £ cho trước bất kỳ , thuật tốn bao giờ cung đẫn tới một nghiệm
& -t6i ưu sau một số hưu hạn bước lặp
4 Bai tốn phụ phí cổ định với hậm mục tiêu loo
Bài tốn phụ phí cố định với hàu mục tiêu lom được viết
đưới đạng :
„
min { g(x) = x gy(x,) 2 x €D ; (4,1) i
Trong đĩ D lä một ởa điện thuộc Re cồn 8 (tb) (i =1, ,0) 1a những han 16m, liên tục trong khoảng (O0, + X2] và thỏa
8x(0) = 0, g;œ®) = & 20 (4.8) Cac dai lugng di duge goi 14 phy phí cố định
Nêu g, (isi, 4 8) 14 những ham tuyén tinh thoa
(4.2) thi (4.1) được gọi lã bài tốn phy phí cố định ( The fixe? - charge problem)
Bằi tốn (4,L) nãy sinh tử nhiều vấn đồ thực tiễn , chẳng hạn trong cơng bác kế hoạch hĩa, trong giao thơng vận taiv.v Trường hợp hầm mục tiêu tuyến tíah đã được nhiều tac gia
Trang 11-Ư 8 =
được ve phương điện tính tốn là phương pháp " xếp đỉnh "
({ verbex - Ranking procedure } do Murty {8} đề nghị và
về sau được Mc Keown £ 2} hồn thiện, Tuy nhiên; như các
tác giã của nĩ đã nhận xét, phương phấp xếp đỉnh cũng chỉ cĩ
hiệu quả đối với một lớp bãi tộn nhất định,
?rong chương # của luận án, DAL tốn (3,1) được nghiên cửa
audi dang ting quất, Phương pháp giai mới do tác gia luận ấn
đề xuất là xây dựng lếp bài tốn quy hoạch lom min { %{x) : xen}
Trong dỗ ham lom f phy thuộc vào mệt than số © , sao cho với tham số & thich hợp thi nghigm ca bai toan (4.1) se được suy ra tử nghiệm của bài "tốn QHIL ở trên Xây lưng hàm +) = f(Ks.$)- - Với mỗi i = l, „n`,đựa vào hàm giŒ)- ta định nghĩa hầm f,(¢,6) như sau + 3 («6 : iff 4 nfu t < & é soe f,(t,€) = - g;(t) : nếu t > 6 và hầm f(x, 6 ) được xác định bởi „ ï" ty (x, 6) + & is 6) 2È tứ,6
rõ rằng với mỗi €>Ơ ; ham tứ, 6 ) lõm và liên tục trên
toan RO, Ngồi ra, tại mỗi điềm x € Re ta c6 ( bd a8 4.1)
A(x) = g(x) - fly, 6 ) 2 0
Cau hoi đặt ra lồ cố chăng một trị $ để với mọi 6 ma
Trang 124
- 9 -
khẳng định sự bồn bại của một số & như vậy Hơn nữa, điều
kiện để cho một nghiệm % của bài tốn GHL cũng là nghiệm của bài tốn (4.1) là A(#) = 0 Can ngu d(H) $e 9 vei một sai số £€ >yO cho trước nao do thi ¥ là một nghiệm
Ê ~ tối ưu của bài tốn (4.1) ( Định lý +.2)
TỪ các kết qua trên, ba đi đến kết luận rằng, để giải bài tốa (4,1) cần chọn được trị số 8 thÍch bợp để thành lập bài tốn QHL tượng Ứng Kế đố giải bài boản này và
kiểm tra xem nghiên của nĩ cĩ phải lã nghiém cua bai toan(4 1)
hay khơng,
Tuy nhiên, trên thực tế nĩi chung khơng thể chọn ổ ngay
một lúc Đễ khắc phục chĩ khăh , cỗ một cách lễ chọn mật
6` nào ảo rồi giải bài bốn QHL tương ứng, Nếu chưa tìm được nghiện cha bai todn (4.1) thi se thay 6 "bằng số bế hơn, và
cứ như vậy cho đến khi đặt tối Rư rằng cách đổ đồi hỏi
nhiều cơng sửa, `
Trong luận án tac gid cũng đã đề xuất một phương pháp khác thuận biện hởn, trảnh được điều bẤt hợp lý vừa thấy
Cơ sở của phương pháp nảy là thuật tốn trình bẩy trong chương 2 ở đây chỈ phải giải một bài bốn QHL đuy nhất voi ham myc
tiêu f(x, 6 ), rong đồ tham số 6 được điều chỉnh( nhỏ đần)
qua từng bước lặp trong thuật toda chứ khơng phải được chọn cố định tử đầu
5, Bằi tốn bù tuyến tính : Nhiều vấn đề thuộc các lĨnh
vực tcan học khác nhau như Giải bíc! 18i, phương trình tốn
lý, Quy hoạch tốn: bọc, lý thuyŠt trỏ chơi, mơ hÌnh Kinh tế
v.v Co thể phat biểu đười đạng một bài tốn bu tuyến tỉnh ( linear complementarity problea ) sau đây :
Cho một ánh xạ a-phim F ; EBỀ.,RP , Hay tìm điểm x eRf sao cho
~>O,y = FŒ) > 0, uy = x XY, = 0 God)
Trang 13- 10 -
tong Khoảng mười lãm năm tro lai day , pai toan bu tuyén
tỉnh đã được nghị ên cửu khả nhiều, Xết về phương điện thuật
tấu, đang củ ý cỗ cấc cơng brÌnh HE 2,5,5,6 J „ Đỏ lầ những
thuật tốn cĩ hiệu quá cao đổi với tửng đạng đặc biệt của ảnh
zạ F nhưng rất biễc lại khẳng thể sử đụng được trong nhiễu trưởng hợp khảo „
Gach tiếp cận pai toda bv buyén tion của chúng tơi &@ day
đi theo mot đường lỗi hoda toan khác Đồ là cách tiếp cận thơng của mối qasa hệ chat che giữa nỗ với bai tốn quy hoạch Lom đã xế5 trong các phần trên Theo cách đĩ sẽ xây dựng được một phương phap mổi, về nguyên tắc cĩ ;hŠ áp dụng rộng tai cho mọi
trường hợp của bài todn (5-1)
Tcần bệ nội dung vấn đồ nãy được trình bây trong chương 5s
mương ứng với (2,1) , ta xếb bãi tốn
min 4 f(x) +: x€D } với (5.2);
2
f(x) = & ain|r, F(x) } va D ={xeB" ix? O , F(x) 2 o} vì £ : R2->BÌ định nghĩa như trên lả hảm lơm ( tuyến
tỉnh từng khủc) và liên tục trên rR? „ đồng thei D 1a một khúc
18i cĩ đỉnh ( thuộc Re } đo nên (5.2) lä một bài bốn quy hoạch 16a Hơn nửa, ao han f bị chặn đưới boi O trén D, pai tốn này luơn luơn cổ lời giải ( hữu Hạc) bại một ( đỉnh của D
( Mệnh đề 5.1 ) +
Mới quan hệ tương đương giữa nghiệm của các bài toần
(5.1) va (5.2) duge chi ro qua mệnh đề (Định tý 5,1) ‡: Một điểm XD lả nghiệm cua bãi toản(Ä) khi và chỉ khi no 1a Ø~ nghiệm của bài tốn (5.2), tie là f(Ÿ) z O „ Võ đo 18, nu
f(x) >».O với mọi x €D thị bềi toảa(B.1) khơng cổ lởi giải mỳ các kết quả trên, cố thể quy bằi tốn (5.1) về việc tìm
o — nghiệm của bãi tốn (5.2)
Đấu D lá một đa điện hoặc ta chỉ giổi hạn việc tin
Trang 14-u-
bởi DB ={x€D :¡ 0 *xi *e < +00, isi, af thÌ đương nhiên cĩ thể ấp dụng thuật tốn trong chương 5
Trưởng hợp D 1a một “khúc 18i tổng quất, nối chung khơng thể sử dụng thuật toẩn nay Tuy nhiên, nhờ nhưng tỉnh chất đặc biệt cha bai toadn (5.2) „ thuật tốn vẫn phất huy bác dụng của nỗ nếu được cải biên thÍch hợp
Trước hết t: xét bài tốn trên một đa điện Dạ € nếu Dia đa điện thÌ Đ„, = D ) Yề nguyên tắc, cĩ thể ấp đụng nguyén
ven thuật tốn đã xây dựng trong chương 5, nhưng vỉ mục đích
của ta là tÌm một O~ nghiệm cho nén co thé cai tién thugt toan ấy để „nâng cao hiệu qua của nĩ Nhưng chỉ tiết được cải tiên gồm cổ :
1 ~ Phương pháp ước lượng sận.Với mỗi nĩn M cận đưới cho † trên M Ø2 D_ được xác định hoặc bằng O hoặc dương theo
phương thức sau :
giả sử t= vì, , wl là đơn hÌnh mã mỗi đỉnh
VÌ nầm trên cạnh thứ ¡ của M „ Với mỗi - i = 1, , n lẩy
Trang 15- lê ~
Voi sự cải tiến ở trên , ta thu được một thuật todo tim
3 ~ nghigém tréo da dign D, cĩ tỉnh chết hội bụ như sau (Định
1ý 5.7) : NØu đa điện Bo cĩ chứa, một o = nghiệm của pai toan
(542) thi thuat toan hoặc sẽ kết thúc tại mệt ước Lắp x với
x 1a O ~ nghiệm , hoặc sẽ tạo ra một đãy vơ hạn {x Kh thỏa
rok) —> 0 khi ke>ee › Trường hợp ngược lấi, thuật tồn
bao giồ cũng kết thúc sau hưu hạn bước lap
Từ tính chất hội tụ này, đã đẳng suy ra tính hữu hạn của
thuật tốn trong trưởng hợp xác định một £ =nghiệm của bài
todn (5.2) , tức là một điểm x€D, thỏa f(z) «
Bây giờ be xết bầi tốn trên khúc 181 ÐD „
Như đã nêu, nhở bỈnh chất đặc việt của bài tốn (5,2) nên
ngay cả trong trường hợp D La mot khúc 18 khơng giới nội, việc
xác định mộ O ~ nghiệm '{ hoặc Ê ~— nghiệm ) vẫn cĩ thé
thực hiện trên cơ sở của thuật tốn đổi với trưởng hợp đa điện Doe Chi tiết cần cải tiến ở đây lả thủ tục chọn non VỀ, non cần chia ohd,tai mai bước lặp k
xí hiệu % lâ bập hợp nhưng nên M £ % mã Mad
gidt ogi va đc - RN Ri, » Tueng tng mdi noo
we Raat `
Ql) = min {& zs i= lie wn} Cede 0,
được tinh theo (5.5)) l
+ ˆ
Quy bắc chọn ut: Néu % +$@, chọn MỀ 13 phần tử bat ky thuộc % , rải lại chọn MỸ thỏa mãn
gat = mn { CO Ke KR }
Két qua 18 ching ta cung thu được một thuật tốn với tỉnh
chất hội tụ tương tự như ở trưởng hợp đa diện D, : Cho trước
số £ y O va N > O0 ¿ Khi đy, hoặc thuật toan kết thúc
sau Liu hạn bước lặp và cho một € ~ nghiệm củ bài tồn
Trang 16- 1 -
khơng cĩ O ~ nghiém trong qué cau ff x CN
6 “hử nghiêm thuds todn : Thugt téedn gidi quy hogeh
lõm đã được thác chương theo ngơn ngữ FORTRANIV va được thử nghiệm trên hệ thống mấy tỉnh IBM 360/40 , 360/50, Một loạt
vi dy về những đạng khác nhau của bải tốn quy hoạch lưm đã
được tỉnh tốa y trong đĩ cĩ nhiêu ví dụ về bãi tốn phụ phí
cð định với hãm mục tiêu lõm Kết quả tỉnh toắn cho thấy hiệu quả của thuật bốn là khả quan, Ít shất đối với những bài tốn cĩ cỡ khơng quả lớn
Lời kết : Luận an này được hàn thành đưi sự hướng dẫn của giáo sư Hoang Tuy thân dip nàz tắn giả xin phép được bày tĩ lồng cảm ơn sâu sắc đối với Giáo sư
HẦu hết nội dung của luận ẩn đã được trình bảy trong
xé - mi ~ na “ Phương pháp tối ưu " của Viện Tốn học và đã
được cơng bố trong [ 9 - 12 } TẠI LIEBỤ DAN
44 R,W COTTELE and G.B DANW2ZIG ( 1968) Complementary pivot
theory of mathematical programming Linear Algebra and its
Applications 1, 103 - 125 -
2 J FALK and K.R, HOFFMAN ( 1976) 4 successive underesti-
mation method for concave minimization problem Math, OR 1,
251 - 259 - ` -
3 M L FISHER and F.J GOULD ( 1974) 4 simplicial
algorithm for the nonlinear complementarity problem Math progr 6 , 281 ~ 300
+, R HORST ( 1976) 4n algorithm for nonconvex programmi:,”
problen
Math Progr 10, 312 = 3213
5 G.E LEMKE (1965) Bimatrix equilibrium poiats and
mathematical programming Management Science 11, 651 - &-
6 O.L MANGASARIAN ( 197&) Characterization of li:
complementarity problems as linear programs Math Pre
Study 7, 74 ~ 88,
Trang 17
"1 * OD 44 12 13 14 - 14 ~ -
MCKEOWN ( 1975) A vertex ranking procedure for solving
the linear fixed - charge problem O.R, 25, N.G
MURTY (1968) Solving the fixed - charge problem by renking
the extreme points 0.R 16,-N°2
W.V THOẠI ( 1978) Một phương phấp giải bai tốn phụ phí cố gø định với ham myc tiéu 16m Báo cáo hội nghị khoa học
Viện Tốn học lần thứ Pe
N.V THOAT (1975) M@t phuong phép gidi bai todn bu tuyén
tinh thơng qua thuật tốn quy hoạch Yom, Béo cáo hội nghị Khoa học Viện Tốn học *ần thứ 8
N.V THOẠI and H, TUY, (1980) Convergedt.algorithms for
minimizing a.concave function Math O.B 5 , 556-566
TK? và VĩH số 57, 52 - 55 -
HOANG TUY and W.V THỐI (1980) Solving the linear
complsmentarity problem via concave programming Methods
of Operations Research ( Proceedings of the V Symposiu_
on O-R., Koehn, August 25 = 27 , 1980), Sa; R.E Burkard,
T, Hllinger -
HOANG TUY (1964) Qui hoạch 10m với rằng buộc tuyển tỉnh
(ti@ne 'ga) Doklađdy Akademii Nauk, Ser, Math 159, 32-354
HOsNG TUY, TRAN VU THIEU and NGUYEN QUANG THAT (1961)
Conical algorithn for solving a wide class of mathematical programming problems Seminar ™" Convex analysis and
Optimization “ Institute of Mathematics Hanoi (preprint)
In 420 bổ: theo giấy phép số 190/6 GPNT/XB,