4 dạng Toán SỐ PHỨC tiêu biểu trong các đề thi ĐẠI HỌC (Có lời giải)

1 SỐ PHỨC: BỐN DẠNG TOÁN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài viết nho nhỏ này nhằm đem lại cho các em học sinh cách nhìn tường m inh hơn về các dạng toán Số phức trong đề thi tuy ển sinh. T oán về Số phức là loại toán dễ lấy điểm nếu chúng ta nắm được nhữ ng kiến thức cơ bản về số phức và rè n luy ện kỹ năng giải toán của m ình thông qua c ác dạng toán. Dạng 1: Tổng hợp về kỹ năng cộn g, trừ, nhân, ch ia số phức. Dạng toán này chủ yếu kiểm tra khả năng tính toán của thí sinh, kết hợ p với một số kiến thức khác về Môđun của Số phức, Số phức liên hợ p, phần thực và phần ảo c ủa Số phức … VD1: Tìm phần ảo c ủa số phức z, biết :     2 2 1 2z i i   . (ĐH-A-cơ bản-2010) Giải: Ta có        2 2 1 2 1 2 2 1 2 5 2z i i i i i        . Suy ra 52zi . Phần ảo của số phức z là : 2 . VD2: Cho số phức z thỏa m ãn :   3 13 1 i z i    . Tìm m ôđun của số phức z iz . (ĐH-A-nâng ca o-2010) Giải: Ta có       3 2 3 1 3 1 3. 3 3. 3 3 1 3. 3 9 3 3 8 1 1 1 1 i i i i ii z i i i i                        8 1 8 1 44 1 1 2 ii i ii           . Suy ra 44zi   . Nên ta c ó   4 4 4 4 8 8z iz i i i i          . viet-student.com DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày 2 Vậy 22 8 8 8 2z iz    . VD3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3 13 1 i z i        . (ĐH-B-nâ ng cao-2011) Giải: Ta có       23 3 1 3. 3 3. 3 3 1 3 1 3. 3 9 3 3 8 1 2 1 2 2 2 2 i i i i i i z i i i i i                         8 2 2 8 22 2 2 8 i i i          . Vậy số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là 2. VD4: Cho số phức z thỏa m ãn     2 1 2 2 7 8 1 i i z i i       . Tìm m ôđun của số phức w1zi   . (ĐH-D-cơ bản-2012) Giải: Ta có     2 1 2 2 7 8 1 i i z i i               2 1 2 1 2 7 8 11 ii i z i ii            23 2 7 8 2 i i z i         2 4 7i z i    47 2 i z i       4 7 2 5 ii z   15 10 5 i z   32zi   . Nên ta có w1zi   3 2 1 4 3i i i      . Vậy 22 w 3 4 5   . viet-student.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com 3 Dạng 2: Tìm số phức thỏa m ãn một hoặc một vài đ iều k iện nào đó. Những bài toán dạng này thườ ng cho trong điều kiện có chứa z, z , z …Để giải quyết các bài toán dạng này, thông thường chúng ta đặt   ,,z x yi x y   rồi dựa theo điều kiệ n của bài toán ta xác định x, y. Từ đó ta tìm được z và các yêu cầu khác của bài toán. * Lưu ý: Việc giải bài toán dạng này thường quy về việc giải phương trình, hệ phương trình. M à chúng ta thành lập phư ơng trình, hệ phương trình bằng cách á p dụng tính c hất sa u: ' '' ' xx x yi x y i yy          ( hai số phức bằng nhau). VD1: Tìm tất cả các số phức z, biết : 2 2 z z z . (ĐH-A-cơ bản-2011) Giải: Gọi   ,,z x yi x y   . Ta có 2 2 z z z       2 2 22 x yi x y x yi      2 2 2 2 2x y xyi x y x yi       2 2 2 2 2 x y x y x xy y          2 20 (2 1) 0 yx yx       0 0 x y       hoặc 1 2 1 2 x y           hoặc 1 2 1 2 x y            . Vậy 0z  hoặc 11 22 zi   hoặc 11 22 zi   . VD2: Cho số phức z thỏa m ãn   5 2 1 zi i z    . Tính m ôđun của số phức 2 w1zz   . DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày viet-student.com Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com 4 (ĐH-A-nâng ca o-2012) Giải: Gọi   ,,z x yi x y   . Ta có   5 2 1 zi i z      5 2 1 x yi i i x yi           5 1 2x yi i x yi i             5 5 1 2 1 1 2x y i x y x y i                  5 2 1 5 1 1 2 x x y y x y               32 76 xy xy         1 1 x y       . Do đó 1zi . Suy ra   2 2 w 1 1 1 1 2 3z z i i i          . Vậy 22 w 2 3 2 3 13i     . VD3: Tìm số phức z thỏa m ãn: 2z  và 2 z là số thuần ảo. (ĐH-D-cơ bản-2010) Giải: Gọi   ,,z x yi x y   . Ta có 22 z x y và 2 2 2 2z x y xyi . Từ y êu cầu của bài toán ta có: 2 2 2 22 2 2 2 22 21 2 01 0 x y x xy x y y xy                      . Vậy các số phức cần tìm là: 1+ i ; 1 – i ; -1 – i ; - 1 + i . VD4: Tìm số phức z thỏa m ãn:   2 10zi   và . 25zz . (ĐH-B-cơ bản-2009) Giải: Gọi   ,,z x yi x y   . Ta có   2 10zi     2 10x yi i       2 1 10x y i         22 2 1 10xy         22 2 1 10xy     (1) viet-student.com DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày 5 Lại có    22 . 25 25 25z z x yi x yi x y        (2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:     22 22 22 22 4 2 5 2 1 10 25 25 x y x y xy xy xy                    2 2 2 2 4 2 20 10 2 25 25 x y y x x y x y               2 2 10 2 10 2 25 yx xx           2 10 2 5 40 75 0 yx xx         10 2 3 5 yx x x             3 4 5 0 x y x y                  . Vậy 34zi hoặc 5z  . Dạng 3: Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa m ãn điều k iện nào đ ó. Đường lối để giải dạng toán này gần giống như cách giải Dạng 2. Chúng ta cũng đặt   ,,z x yi x y   rồi dựa theo điều kiện của bài toán ta xác định biểu thức thể hiệ n quan hệ giữa x và y. Từ đặc điểm của biểu thức quan hệ giữa x và y ta có kết luận về tập hợp điểm cần tìm. VD1: Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa m ãn:   1z i i z   . (ĐH-B-cơ bản-2010) Giải: Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức   ,,z x yi x y   là   ;M x y . Ta có   1z i i z      1x yi i i x yi        x yi i x y y x i           1x y i x y y x i             2 2 2 2 1x y x y y x         2 2 2 2 2 1 0 1 2x y y x y         . Vậy tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình   2 2 12xy   . VD2: Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa m ãn:   3 4 2zi   . (ĐH-D-cơ bản-2009) viet-student.com DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày 6 Giải: Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức   ,,z x yi x y   là   ;M x y . Ta có   3 4 2zi     3 4 2x yi i         3 4 2x y i             2 2 2 2 3 4 2 3 4 4x y x y          . Vậy tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình     22 3 4 4xy    . Dạng 4: Giải phươn g trình với biến số p hức Trong đề thi, chúng ta thường gặp phươ ng trình bậc hai với biến số phức m à cách giải đã được sách giáo khoa hướng dẫn rồi. Sau đây ta xét các ví dụ minh họa trích từ đề thi Đ ại học. VD1: Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình 2 2 10 0zz   . Tính giá trị của biểu thức 22 12 A z z . (ĐH-A-cơ bản-2009) Giải: Xét phương trình 2 2 10 0zz   , ta có: 2 36 36i    . Suy ra nghiệm của phương trình là 1 26 13 2 i zi      ; 2 26 13 2 i zi      . Vậy ta có       22 22 2 2 2 2 12 1 3 1 3 20A z z                       . VD2: Cho số phức z thỏa m ãn 2 2(1 ) 2 0z i z i    . Tìm phần thực và phầ n ảo của 1 z . (CĐ-nâng cao-2011) Giải: Ta c ó:   2 2(1 ) 8 0ii      . Suy ra nghiệm của phương trình là 1zi .    1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 i i z i i i          . Vậy phần thực của 1 z là 1 2 , phần ảo c ủa 1 z là 1 2  . Cách khác: viet-student.com DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày 7 Ta có 2 2(1 ) 2 0z i z i    22 2(1 ) (1 ) 0z i z i        2 (1 ) 0zi    (1 ) 0zi    1zi      1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 i i z i i i          . Vậy phần thực của 1 z là 1 2 , phần ảo c ủa 1 z là 1 2  . Bài viết củ a: Tr ần Tuấn Anh (Giáo viên Toán) ĐT: 0974.48.48.58 Mail: Tr anTuanAn h858@gmail.com viet-student.com DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày . SỐ PHỨC: BỐN DẠNG TOÁN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài viết nho nhỏ này nhằm đem lại cho các em học sinh cách nhìn tường m inh hơn về các dạng toán Số phức trong đề thi tuy ển sinh. T oán về Số phức. ch ia số phức. Dạng toán này chủ yếu kiểm tra khả năng tính toán của thí sinh, kết hợ p với một số kiến thức khác về Môđun của Số phức, Số phức liên hợ p, phần thực và phần ảo c ủa Số phức …. phương trình     22 3 4 4xy    . Dạng 4: Giải phươn g trình với biến số p hức Trong đề thi, chúng ta thường gặp phươ ng trình bậc hai với biến số phức m à cách giải đã được sách giáo