Tuyển chọn các bài toán max min trong các đề thi thử 2015 có lời giải

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang hoctoancapba.com xin giới thiệu Tuyển chọn các bài MAX – MIN (CÂU 10 ĐIỂM) trong 21 ĐỀ THI THỬ TÂY NINH 2015 Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn chuyên đề MAX – MIN trong kỳ thi THPT QG sắp tới. ĐỀ 1. THPT Quang Trung – Tây Ninh Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xyz = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:      P x y z 2 2 2 3 3 3 log 1 log 1 log 1 Trong mp(Oxy), gọi a x b y c z 3 3 3 (log ;1), (log ;1), (log ;1)   và n a b c n (1;3)     Ta có: a b c a b c x y z 2 2 2 2 2 3 3 3 log 1 log 1 log 1 1 3             0,5 P 10 , dấu = xảy ra khi ba vecto a b c,, cùng hướng và kết hợp điều kiện đề bài ta được x=y=z= 3 3 Vậy MinP= 10 khi x=y=z= 3 3 0,5 ĐỀ 2. THPT Trần Phú – Tây Ninh Cho ba số thực a, b, c thỏa:       0;1 , 0;2 , 0;3a b c   . Tìm giá trị lớn nhất của     2 2 2 22 8 1 2 3 8 12 3 27 8 ab ac bc bb P a b c b c b a c a b c                Ta có:       0;1 , 0;2 , 0;3a b c         10 2 3 2 22 20 a b c b c ab ac a b c ab bc ac a c ab bc b a c                                2 2 2 2 1 2 3 1 2 ab ac bc ab ac bc a b c ab ac bc            0.25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang Mặt khác   b c a b c   ( vì   0;1a )       8 8 8 8 8 2 8 b b b b c b a c a b c b a c ab bc ac                  Với mọi số thực x, y, z, ta có             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 3 x y y z y x x y z xy yz xz x y z x y z                         2 2 2 2 2 2 2 12 3 27 3 2 3 2 3 2 3 2a b c a b c a b c a b c ab bc ac                  => 2 2 2 28 12 3 27 8 bb ab bc ac a b c      0.25 Suy ra     22 8 1 2 2 8 2 8 22 8 1 2 2 8 ab bc ac bb P ab bc ac ab bc ac ab bc ac ab bc ac P ab bc ac ab bc ac                         Đặt t   2 0;13ab bc ac t     Xét hàm số     28 , 0;13 18 t f t t tt             22 28 ' , ' 0 6 18 f t f t t tt       0.25           16 47 16 0 1; 6 ; 13 0;13 7 21 7 f f f f t t       Do đó: 16 7 P  . Khi 2 1; 2; 3 a b c   thì 16 7 P  . Vậy giá trị lớn nhất của P là 16 7 0.25 ĐỀ 3. THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh Cho x là số thực thuộc đoạn 5 [ 1, ] 4  . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 5 4 1 5 4 2 1 6 xx P xx         hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang Đặt 5 4 , 1a x b x    thì 22 4 9,ab với ,0ab Do đó đặt [0, ] 2    với a=3sin ,2b=3cos  . Khi đó: 3 3sin cos 2sin cos 2 2 6 3sin 3cos 6 2sin 2cos 4 ab P ab                  0,25 Xét hàm số 2sin cos () 2sin 2cos 4 xx fx xx    với [0, ] 2 x   Ta có / 2 6 4sin 8cos ( ) 0, [0, ] (2sin 2cos 4) 2 xx f x x xx        0,25 Suy ra hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên [0, ] 2  Do đó: [0, ] [0, ] 22 11 min ( ) (0) ;max ( ) ( ) 6 2 3 xx f x f f x f         0,25 Vậy 15 min 64 P khi x   1 1 3 Max P khi x   0,25 ĐỀ 4. THPT Lê Hồng Phong – Tây Ninh Cho 3 số thực dương ,,abc thoả mãn 1abc  . Chứng minh rằng: 1 2 2 2 a b c b a c b a c       . Giải Ta có 1 22 a a a a ba b a a ba    , do 12aa . Tương tự: 1 2 bb b bc cb    ; 1 2 cc c ac ac    . Cộng các vế của các BĐT trên ta có: hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a ba b cb c ac b a c b a c               = 1 abc b cb bc bca babc b cb b bc bac        = 1 1 1 1 1 b cb bc b b cb b bc          (điều phải chứng minh). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 ĐỀ 5. THPT Nguyễn Trung Trực – Tây Ninh Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức     3 2 3 1 1 1 abc P ab bc ca a b c        Áp dụng Bất đẳng thức     2 3 , , ,x y z xy yz zx x y z       ta có:     2 3 9abc 0ab bc ca abc a b c       3ab bc ca abc    Ta có:       3 3 1 1 1 1 , , , 0.a b c abc a b c       Thật vậy:         1 1 1 1a b c a b c ab bc ca abc                3 2 33 3 1 3 3 abc 1abc abc abc     0,25 Khi đó     3 3 2 1 1 31 abc PQ abc abc      Đặt 6 abc t . Vì , , 0abc nên 3 01 3 abc abc        0,25 Xét hàm số     2 2 3 2 , t 0;1 1 31 t Q t t                  5 22 32 2 1 1 ' 0, t 0;1 11 t t t Qt tt        0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang Do hàm số đồng biến trên   0;1 nên       5 1 2 6 Q Q t Q   Từ (1) và (2) suy ra 5 6 P  Vậy 5 max 6 P  , đạt được khi và chỉ khi: 1abc   . 0,25 ĐỀ 6. THPT Lý Thường Kiệt – Tây Ninh Cho 3 số thực ,,x y z khác 0 thỏa mãn: x5yz   và . . 1x y z  .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P x y z    .   1 1 1 1 1 5 yz P x x x y z x yz x          Ta có:     22 4 4 5 0 3 2 2 4 3 2 2y z yz x x x x x               0,25 Xét hàm số:       2 11 5 5 2xf x x x f ' x x x         Với: 0 3 2 2 4 3 2 2x x x          1 0 1 2 1 2 2 f ' x x x x         0,25 Lập bảng biến thiên đúng Tính được:         1 2 3 2 2 1 4 2 1 2 3 2 2 1 4 2 ff ff           0,25 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 4 2 đạt tại: 1 2, 3 2 2 1 2,y 3 2 2x y z hay x z          hoặc 3 2 2, 1 2 3 2 2, 1 2x y z hay x z y          hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0,25 ĐỀ 7. THPT Tân Châu – Tây Ninh ĐỀ 8. THPT Lê Duẫn – Tây Ninh Cho x, ,y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 3 23 P x xy xyz x y z      Ta có 33 11 2 .8 2 .8 .32 48 x xy xyz x x y x y z          2 8 2 8 32 32 4 8 24 24 3 x y x y z x x y z x y z            0.25 Đặt   2 32 ;0 23 t x y z t P f t tt         0.25     32 31 ; 0 1f t f t t tt        0.25 Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được min 3 2 P  tại t=1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 16 21 1 4 28 21 2 32 1 21 x x y z x y y xz z                     0.25 ĐỀ 9. THPT Hoàng Văn Thụ - Tây Ninh Cho a, b, c không âm và 2 2 2 3abc   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5a 5 5 4P ab bc ca b c       Cho a, b, c không âm và 2 2 2 3abc   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5a 5 5 4P ab bc ca b c       1 điểm hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang Ta có     2 2 2 2 33a b c a b c        2 39abc     33abc     0,25đ Đặt t a b c   với 3;3t    Mà     2 2 2 2 2 3 22 a b c a b c t ab bc ca           0,25đ Nên   2 15 5 22 P t t t     ' 5 0, 3;3P t t t        0,25đ BBT t 3 3 P’(t) + P(t) 22 4 5 3 Vậy ax 22 m P  với 31t a b c     0,25đ ĐỀ 10. THPT Trảng Bàng – Tây Ninh Cho các số thực a, b, c thỏa mn cba  và 5 222  cba . Chứng minh rằng: 4))()()((  cabcabaccbba Ta có: 4))()()((  cabcabaccbba 4))()()((  cabcabcacbbaP Do cba  nên 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang Nếu ab+bc+ca<0 thì 40P (đúng) Nếu ab+bc+ca 0 thì đặt ab+bc+ca = x 0 p dụng BĐT Côsi : 4 )( ))(( 2 ca cbba   )1( 4 )( ))()(( 3 ca cacbba   p dụng BĐT Bunhiacopski:   222 )()()(2 cacbba  và 222222 )(2)(2)(2)(4 cacbbacabcabcba  )2( 3 52 5 0)(3)5(4 )(2)()(4 2 22222 x cavax cax cacacabcabcba      Từ (1) và (2) ta có: 3 3 )5( 9 32 . 4 )( xxx ca P    0,25 Xt hàm số   5;0;)5()( 3  xxxxf       5 2 0)(';) 2 5 5(5)(' x x xfxxxf Ta có: 0)5(;36)2(;0)0(  fff     5;0;36)5()(36)( 3 5;0  xxxxfxfMax 0,25 436. 9 32  PP Dấu "=" xảy ra                                  0 1 2 5 2 1 2 5 2 2 222222 c b a cba ac ab cabcab cba ca cbba x 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang ĐỀ 11. THPT chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 yz xy zx P x yz y zx z xy       Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 2 11 22 yz xx x y z x yz x yz       (1) 0.25 Tương tự ta có 2 11 22 zx y y x y z y zx y zx       (2) 2 11 22 xy zz x y z z xy z xy       (3) 0.25 Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được 2 2 1PP   0.25 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z. Vậy Max P = 1 khi x = y = z. 0.25 ĐỀ 12. THPT Nguyễn Đình Chiểu – Tây Ninh Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4 Chứng minh rằng: a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 2 1 1 1 1         Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: 2 a ab c ab c ab c ab c ab abc a a a a a bc 1+b c b c 22 2 (1 ) (1) 2 4 4 4 2 1              Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang   2 bc d b bc d bc d bc d bc bcd b b b b b cd 1+c d c d 22 2 1 (2) 2 4 4 4 2 1                2 cd a c cd a cd a cd a cd cda c c c c c da 1+d a d a 22 2 1 (3) 2 4 4 4 2 1                2 da b d da b da b da b da dab d d d d d ab 1+a b a b 22 2 1 (4) 2 4 4 4 2 1              Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab b c c d d a a b 2 2 2 2 4 44 1 1 1 1                 0,25 Mặt khác:     a c b d ab bc cd da a c b d 2 4 2               . Dấu "=" xảy ra  a+c = b+d          a b c d abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a 22 22                                a b c d abc bcd cda dab a b c d a b c d 44               a b c d abc bcd cda dab 2 4 2             . Dấu "=" xảy ra  a = b = c = d = 1. Vậy ta có: a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 44 4 44 1 1 1 1           0,25 [...]... - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn P t 2 (3t  2) t2 4  t2 t2  t 1 4 t3  t2  Xét hàm số f (t )  t t2 t 2  4t ; f '(t )  ; f’(t) = 0  t = 0 v t = 4 t2 (t  2) 2 2 4 f’(t) - + 0 + + 0,25 + f(t) 8 x  y  4 x  2   xy  4 y  2 min Do đó min P = (2; ) f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi  ĐỀ 15 THPT Huỳnh Thúc Kháng – Tây Ninh Cho các số... hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn  3  3 f '(t )  0, t   0;  , do đó f (t ) đồng biến trên  0;   4  4 3 4 Do đó GTLN của hàm số đạt tại t  , suy ra max P  ab  bc  2c 2 Đẳng thức xảy ra khi   2a  c 27 5  8a  3b  4c , chẳng hạn chọn được (a,b,c)=(3,8,6) ĐỀ 16 THPT Trần Quốc Đại – Tây Ninh Cho a, b, c là các số dương và... hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tương tự, ta có : y2 z2   yz z y y, z > 0 0,25 2 2 z x  zx x z x, z > 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được: P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1 Vì vậy, minP = 2 3 0,25 0,25 ĐỀ 19 THPT Lộc Hưng –...  y   x  y  3 3 Theo bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có: 3 3 1 7 7 7 7 1  1  x          3 1  x   (1) x  2  2 2 2 x  Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0,25 0,25 ĐỀ 17 THPT Nguyễn Chí Thanh – Tây Ninh 3 0,25 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn 3 0,25  1 7 7 7 7 1 1  y      ...hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn  a 2 1 b c  b 2 1 c d  c 2 1 d a  d 1  a2 b  2  đpcm 0,25 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1 ĐỀ 13 THPT Nguyễn Trãi – Tây Ninh Cho a,b là hai số thực dương thỏa 2a  b  5 4 2 a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F   2 a Ta có : F   1 4b 1 2 1 2 1   8a  ... 3   0, t  4 Nên f(t) đồng biến trên t2 t2 71  4;    P  f (t )  f (4)  4 + Ta có f '(t )  2t  Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0.25 điểm hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn 0.5 điểm 71 khi x = y = 2 4 Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng ĐỀ 20 THPT Châu Thành – Tây Ninh Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2 x  3 y  7 Tìm... 0, t   0;5 0,25 Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng  0;5 Suy ra min f (t )  f (5)  10  48 3 2 V x  2 y 1 Vậy min P  10  48 3 2, khi  ĐỀ 21 THPT Trần Đại Nghĩa – Tây Ninh Xét các số thực khơng âm x, y, z thoả mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+yz+zx+ Ta có: xy + yz + zx = 4 x yz 1 2  x  y  z    x 2  y 2  z 2   2  x ... yz 1 2  x  y  z    x 2  y 2  z 2   2  x  y  z = 2 3 2 Do đó P=  x  y  z 2 2 3  4 x yz Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0.25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Vì 0  xy + yz + zx  x 2  y 2  z 2  3  x  y  z Nên 0  2 3 2 0.25 3  0   x  y  z  3  6 2  3   x  y  z  9 2 Suy ra 3  x  y  z...  a  8a  1   1  4b a  2    MinF  5 đạt khi  4b  b  1 5   2a  b   4 4   a, b  0  0.25 ĐỀ 14 THPT Nguyễn Huệ - Tây Ninh x Cho x,y  R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P  3  y3    x2  y2  ( x  1)( y  1) Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có xy  t2 t 3  t 2  xy (3t  2) P Do 3t - 2 > 0 và  xy   nên ta có 4 xy  t  1 Biên soạn lại: Thầy Vinh... 0,25 1 7  1  x  x  2  1 7  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1  y    x  y  2 y 2  x y    x y 4 0,25 3 Vậy min S  343 4 ĐỀ 18 THPT Bình Thạnh – Tây Ninh Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  Ta có : P  x 2 (y  z) y 2 (z  x) z 2 (x  y)   yz zx xy x 2 x 2 y2 y2 z2 z2      y z z x x y (*) Nhận thấy : x2 + y2 . hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang hoctoancapba.com xin giới thi u Tuyển chọn các bài MAX – MIN (CÂU. – MIN (CÂU 10 ĐIỂM) trong 21 ĐỀ THI THỬ TÂY NINH 2015 Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn chuyên đề MAX – MIN trong kỳ thi THPT QG sắp tới. ĐỀ 1. THPT Quang Trung. hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0,25 ĐỀ 7. THPT Tân Châu – Tây Ninh ĐỀ 8. THPT Lê Duẫn