Tìm a để phương trình cĩ nghiệm.
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
www.mathvn.com
TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002-2010
Bài 1 (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2p ) của phương trình:
x
cos3 sin 3
1 2sin 2
HD: Điều kiện:
12 7 12
p p
p p
ì
¹ - + ï
í
ï ¹ + ỵ
PT Û 5cosx=2 cos2x+3 Û cosx 1
2
x
3 5 3
p p
é
= ê ê
ê = ë
Bài 2 (ĐH 2002B) Giải phương trình: sin 32 x-cos 42 x=sin 52 x-cos 62 x
HD: PT Û cos sin 9 sin 2x x x=0 Û sin 2 sin 9x x=0 Û x k
x k
9 2
p p
é
= ê ê
ê = êë
Bài 3 (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x-4 cos2x+3cosx- =4 0
HD: PT Û 4 cos (cos2x x- =2) 0 Û cosx=0 Û x ;x 3 ;x 5 ;x 7
Bài 4 (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình: x x a
2sin cos 1 sin 2 cos 3
- + (a là tham số)
1 Giải phương trình khi a 1
3
=
2 Tìm a để phương trình cĩ nghiệm
HD: 1) x k
4
p p
2
- £ £ (Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx)
Bài 5 (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình: tanx cosx cos2x sin 1 tan tanx x x
2
HD: x k2= p Chú ý: Điều kiện: x
x
x x
x
1
1 tan tan
2 cos
Bài 6 (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình: ( x) x
x
x
2 4
4
2 sin 2 sin 3 tan 1
cos
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0 PT Û sin 3x 1 x k2 ; x 5 k2
Bài 7 (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: x x x
sin cos 1cot 2 1 5sin 2 2 8sin 2
-
HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0 PT Û cos 22 x 5cos2x 9 0 x k
p p
Bài 8 (ĐH 2002D–db1) Giải phương trình: x
x 2
1 sin 8cos =
HD: Điều kiện: x
x
í >
ỵ
Trang 2PT Û x k2 ; x 3 k2 ;x 5 k2 ;x 7 k2
Bài 9 (ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình:
2 sin +cos +cos4 +2sin 2 - =0 (*)
cĩ ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;
2
p
ë û
HD: 10 m 2
3
Đặt t = sin2x (*) cĩ nghiệm thuộc 0;
2
p
ë û Û f t( ) 3= t2- = +2t m 3 cĩ nghiệm tỴ[0;1]
x 2
cot 1 sin sin 2
HD: Điều kiện: sinx¹0, cosx¹0, tanx¹1
PT Û (cosx-sin )(1 sin cosx - x x+sin ) 02x = Û x k
4
p p
Bài 11 (ĐH 2003B) Giải phương trình: x x x
x
2 cot tan 4sin 2
sin 2
HD: Điều kiện: x
x
ỵ PT Û 2 cos 22 x-cos2x- =1 0 Û x k
3
p p
Bài 12 (ĐH 2003D) Giải phương trình: sin2 x tan2x cos2 x 0
p
HD: Điều kiện: cosx¹0
PT Û (1 sin )(1 cos )(sin- x + x x+cos ) 0x = Û x k
2 4
p p
p p
é = + ê
= - + ê
ë
Bài 13 (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: cos2x+cos 2 tanx( 2x- =1) 2
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0
PT Û (1 cos )(2 cos+ x 2x-5cosx+2) 0= Û x (2k 1) , x k2
3
p
Bài 14 (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: 3 tan tan- x( x+2sinx)+6 cosx=0
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0 PT Û (1 cos2 )(3cosx 2x sin ) 02x x k
3
p p
Bài 15 (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: 3cos4x-8cos6x+2 cos2x+ =3 0
HD: PT Û cos2 ( 2 cosx 4x 5cos2x 3) 0 x k , x k
4 2
Bài 16 (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình:
x
2
2 3 cos 2sin
2 4 1
2 cos 1
p
HD: Điều kiện: cosx 1
2
¹ PT Û 3 cosx sinx 0 x (2k 1)
3
Bài 17 (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: x( x )
x
2 cos cos 1 2(1 sin ) sin cos
- = +
x sinỉç +pư÷¹0
Trang 3PT Û (1 sin ) (1 cos ) 0x 2 x x k , x k2
2
Bài 18 (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: x x x
x
2 cos4 cot tan
sin 2
HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0 PT Û 2 cos 22 x cos2x 1 0 x k
3
p p
Bài 19 (ĐH 2004B) Giải phương trình: 5sinx- =2 3(1 sin )tan- x 2x
HD: Điều kiện: cosx¹0 PT Û 2sin2x+3sinx- =2 0 Û x k
2 6
5 2 6
p p
p p
é
= + ê
ê
ê = + ë
Bài 20 (ĐH 2004D) Giải phương trình: (2 cosx-1)(2sinx+cos ) sin 2x = x-sinx
HD: PT Û (2 cosx-1)(sinx+cos ) 0x = Û x k
2 3 4
p p
p p
é = ± + ê
ê
ê = - + ë
Bài 21 (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: 4 sin( 3x+cos3x)=cosx+3sinx
HD:
Bài 22 (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: 1 sin- x+ 1 cos- x = 1
HD:
Bài 23 (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: x
2 2 cos
p
HD:
Bài 24 (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin 4 sin 7x x=cos3 cos6x x
HD:
Bài 25 (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: 2sin cos2x x+sin 2 cosx x=sin 4 cosx x
HD:
Bài 26 (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sinx+sin 2x= 3(cosx+cos2 )x
HD:
Bài 27 (ĐH 2005A) Giải phương trình: cos 3 cos22 x x-cos2x=0
HD: PT Û 2 cos 42 x+cos4x- =3 0 Û x k
2
p
Bài 28 (ĐH 2005B) Giải phương trình: 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos2x=0
HD: PT Û (sinx+cos )(2 cosx x+ =1) 0 Û x k
4
2 2 3
p p
p p
é
= - + ê
ê
ê = ± + ë
Bài 29 (ĐH 2005D) Giải phương trình: cos4x sin4x cos x sin 3x 3 0
HD: PT Û sin 22 x+sin 2x- =2 0 Û x k
4
p p
Bài 30 (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình:
p
Trang 4HD: PT Û cos 2x cos( x)
6
Bài 31 (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: 2 2 cos3 x 3cosx sinx 0
4
p
HD: PT Û cos3x+sin3x+3cos sin2x x+3cos sinx 2x-3cosx-sinx=0
Xét 2 trường hợp:
a) Nếu cosx=0 thì PT Û x
x x 3
cos 0 sin sin 0
ì = í
2
p p
b) Nếu cosx¹0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3x
Khi đĩ: PT Û ìícostanxx¹10
=
4
p p
Vậy: PT cĩ nghiệm: x k
2
p p
4
p p
Bài 32 (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình :sin cos2x x+cos2x(tan2x- +1 2sin) 3x=0
HD: Điều kiện: cosx¹0 PT Û 2sin2x+sinx- =1 0 Û x k
2 6
5 2 6
p p
p p
é
= + ê
ê
ê = + ë
Bài 33 (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : x x x
x
2
2
cos2 1 tan 3tan
p
ç ÷
è ø
HD: Điều kiện: cosx¹0 PT Û tan3x= -1 Û x k
4
p p
Bài 34 (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: x x
x
p
HD: Điều kiện: sinx¹0 PT Û 2sinx=1 Û x k
2 6
5 2 6
p p
p p
é
= + ê
ê
ê = + ë
Bài 35 (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin 2x+cos2x+3sinx-cosx- =2 0
HD: PT Û (2sinx-1)(sinx-cosx- =1) 0 Û x
x
1 sin
2
2 sin
4 2 p
é
= ê ê
ë
Û
2 6
6 2 2 2
p p
p p
p p
p p
ê ê
ê ê
= + ê
ê = + ë
Bài 36 (ĐH 2006A) Giải phương trình: ( x x) x x
x
2 cos sin sin cos 0
2 2sin
HD: Điều kiện: sinx 2
2
¹ PT Û 3sin 22 x+sin 2x- =4 0 Û x k
4
p p
Đối chiếu điều kiện, kết luận PT cĩ nghiệm: x 5 2m
4
Bài 37 (ĐH 2006B) Giải phương trình: cotx sin 1 tan tanxỉ x xư 4
Trang 5HD: Điều kiện: sinx 0, cosx 0, cosx 0
2
cos sin 4 sin +cos = Û sin 2x 1=2 Û
12 5 12
p p
p p
é
= + ê
ê
ê = + ë
Bài 38 (ĐH 2006D) Giải phương trình: cos3x+cos2x-cosx- =1 0
HD: PT Û sin (2 cos2x x+ =1) 0 Û x k
x 2 k2 3
p
p p
é = ê
ê ë
Bài 39 (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: cos3 cosx 3x sin3 sinx 3x 2 3 2
8
+
HD: PT Û cos4x 2
2
16 2
p p
Bài 40 (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: 2sin 2x 4sinx 1 0
6
p
HD: PT Û sinx( 3 cosx+sinx+2)= Û 0 x k
x 7 k2 6
p
p p
é = ê
ê ë
Bài 41 (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: (2sin2x-1 tan 2) 2 x+3 2 cos( 2x- =1) 0
HD: Điều kiện: cos2x¹0 PT Û cos2 tan 2x( 2 x- =3) 0 Û x k
6 2
p p
Bài 42 (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: cos2x+ +(1 2 cos )(sinx x-cos ) 0x =
HD: PT Û (sinx-cos )(cosx x-sinx+ =1) 0 Û
4 2 2 2
p p
p p
p p
é = + ê
ê
ê = + ê
ê = + ë
Bài 43 (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: cos3x+sin3x+2sin2x=1
HD: PT Û (cosx+sin )(1 cos )(sinx - x x+ =1) 0 Û
x k
4 2 2 2
p p p
p p
é
= - + ê
ê = ê
ê = - + êë
Bài 44 (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: 4sin3x+4sin2x+3sin 2x+6 cosx=0
HD: PT Û (sinx+ -1)( 2 cos2x+3cosx+2) 0= Û x k
2 2
2 2 3
p p
p p
é
= - + ê
ê
ê = ± + ë
Bài 45 (ĐH 2007A) Giải phương trình: (1 sin+ 2x)cosx+ +(1 cos2x)sinx= +1 sin 2x
HD: PT Û (sinx+cos )(1 sin )(1 cos ) 0x - x - x = Û
x k
4 2 2 2
p p
p p p
é = - + ê
ê
ê = + ê
ê = ë
Trang 6
Bài 46 (ĐH 2007B) Giải phương trình: 2sin 22 x+sin 7x- =1 sinx
HD: PT Û cos4 2sin3x( x- =1) 0) Û
2
p p
é
= + ê
ê
ê ê
êë
Bài 47 (ĐH 2007D) Giải phương trình: sin x cosx 2 3 cosx 2
HD: PT Û 1 sin+ x+ 3 cosx=2 Û cos x 1
p
2 2 2 6
p p
p p
é
= + ê
ê
ê = - + ë
sin 2 sin 2 cot 2
2sin sin 2
HD: Điều kiện sin 2x¹0 PT Û cos2 2 cosx( 2x+cosx+ =1) 0 Û x k
4 2
p p
Bài 49 (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình:
2
2 cos +2 3 sin cos + =1 3(sin + 3 cos )
HD: PT Û 2 cos2 x 3cos x 0
3
p p
Bài 50 (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: sin 5 cos 2 cos3
HD: PT Û cos3x 2 cos x 2 0
p
è ø
2
3 3 2 2 2
p p
p p
é = + ê
ê
ê = + ê
ê = + ë
Bài 51 (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: x x x x
sin 2 cos2 tan cot cos + sin = -
HD: Điều kiện: sin 2x¹0 PT Û cosx= -cos2x Û x k2
3
p p
Bài 52 (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: 2 2 sin x cosx 1
12
p
HD: PT Û sin 2x cos sin5
12 12 12
Bài 53 (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: (1–tan )(1 sin 2 ) 1 tanx + x = + x
HD: Điều kiện: cosx¹0 PT Û (cosx+sin )(cos2x x- =1) 0 Û x k
x k 4
p p p
é
= - + ê
ê = ë
2
p p
Trang 7
HD: Điều kiện: sinx 0, sin x 3 0
2
p
1
sin cos
4 8 5 8
p p
p p
p p
é
= - + ê
ê
ê = - + ê
ê
êë
Bài 55 (ĐH 2008B) Giải phương trình: sin3x- 3 cos3x=sin cosx 2x- 3 sin2 xcosx
HD: PT cos2 sinx( x+ 3 cosx)= Û x0 k ;x k
Bài 56 (ĐH 2008D) Giải phương trình: 2sin (1 cos2 ) sin 2x + x + x= +1 2 cosx
HD: PT Û (2 cosx+1)(sin 2x- =1) 0 Û x 2 k2 ; x k
Bài 57 (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình:
p
HD: PT Û -2 cosx= 3 cos2x-sin 2x Û cos 2x cos( x)
6
Û x 5 k2 hay x 7 h2
Do x (0; )Ỵ p nên chỉ chọn x 5 ; x 17 ; x 5
Bài 58 (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: 2 2 cos3 x 3cosx sinx 0
4
p
HD: PT Û cos3x+sin3x+3cos sin2x x+3cos sinx 2x-3cosx-sinx=0
Xét 2 trường hợp:
a) Nếu cosx=0 thì PT Û x
x x 3
cos 0 sin sin 0
2
p p
b) Nếu cosx¹0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3x
Khi đĩ: PT Û ìícostanxx¹10
=
4
p p
Vậy: PT cĩ nghiệm: x k
2
p p
4
p p
Bài 59 (ĐH 2008B–db1) Giải phương trình: sin cos2x x+cos2x(tan2x- +1 2sin) 3x=0
HD: Điều kiện: cos 0
2
x¹ Û ¹ +x p kp
PT Û 2sin2x+sinx- =1 0 Û x k2 ;x 5 k2
Bài 60 (ĐH 2008B–db2) Giải phương trình: x x x
x
2
2
cos2 1 tan 3tan
p
ç ÷
HD: Điều kiện: cosx¹0 PT Û tan3x= -1 Û x k
4
p p
Trang 8Bài 61 (ĐH 2008D–db1) Giải phương trình: x x
x
p
HD: Điều kiện: sinx¹0 PT Û (cosx+1)(2sinx- =1) 0 Û x k
2 6
5 2 6
p p
p p
é = + ê
ê
ê = + ë
Bài 62 (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình: sin 2x+cos2x+3sinx-cosx- =2 0
HD: PT Û (2sinx-1)(sinx-cosx- =1) 0 Û x
x
1 sin
2
2 sin
4 2 p
é
= ê ê
ë
Û x k2 ;x 5 k2 ; x k2 ;x k2
Bài 63 (ĐH 2009A) Giải phương trình: x x
(1 2sin )cos 3 (1 2sin )(1 sin )
HD: Điều kiện: sinx 1, sinx 1
2
PT Û cosx- 3 sinx=sin 2x+ 3 cos2x Û cos x cos 2x
Û x k 2
18 3
Bài 64 (ĐH 2009B) Giải phương trình: sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2 cos4( x+sin3x)
HD: PT Û sin 3x+ 3 cos3x=2 cos4x Û cos 3x cos4x
6
p
2 6 2
42 7
p p
é
= - + ê
ê
ê = + ë
Bài 65 (ĐH 2009D) Giải phương trình: 3 cos5x-2sin 3 cos2x x-sinx=0
HD: PT Û 3cos5x 1sin 5x sinx
2 -2 = Û sin 3 5x sinx
p
18 3
6 2
p p
p p
é
= + ê
ê
ê = - + ë
Bài 66 (ĐH 2010A) Giải phương trình:
x x
(1 sin cos2 )sin 1
4 cos
p
+
HD: Điều kiện: cosx¹0; 1 tan+ x¹0
PT Û sinx+cos2x=0 Û x k2 ;x 7 k2
Bài 67 (ĐH 2010B) Giải phương trình: (sin 2x+cos2 )cosx x+2 cos2x-sinx=0
HD: PT Û (sinx+cosx+2)cos2x=0 Û x k
4 2
p p
Bài 68 (ĐH 2010D) Giải phương trình: sin 2x-cos2x+3sinx-cosx- =1 0
HD: PT Û (2sinx-1)(cosx+sinx+2) 0= Û x k2 ; x 5 k2