phương trình lượng giác trong các đề thi đại học

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC MỞ ĐẦU 1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Có thể nói không có đề thi tuyển sing ĐH và CĐ nào lại không có bài về lượng giác, trong đó phương trình lượng giác là loại toán thường có mặt nhiều hơn cả. Bài viết này đề cập đến cách giải những bài toán về phương trình lượng giác trong kì thi tuyển sinh vào các trường ĐH và CĐ. Thông thường có các phương pháp giải như sau: 2.MỤC ĐÍCH. Giúp cho các em học sinh có thêm công cụ và kinh nghiệm trong giải toán lượng giác, từ đó rút ra những phương pháp giải phương trình lượng giác. 3.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU. - Đối tượng: Học sinh THPT và sinh viên các trượng ĐHSP toán và cử nhân toán. - Phạm vi: Các dạng phương trình lượng giác. 4.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. Đưa ra các phương pháp và ví dụ mẫu, có bài tập đề nghị. 5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. -Các phương trình lượng giác. -Tổng hợp tài liệu NỘI DUNG Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Phương trình (1) tương đương với: 1 cos2 1 cos6 1 cos 4 1 cos8 2 2 2 2 x x x x− − + + + = + ⇔ cos2x + cos4x + cos6x + cos8x = 0 ⇔ 2cos5xcosx + 2cos5xcos3x = 0 ⇔ 2cos5x(cos3x + cosx) = 0 ⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0 3 Ví dụ 1. Giải phương tình: sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x (1) 5 10 5 2 cos5 0 cos2 0 2 , ( , , ) 2 4 2 cos 0 2 2 π kπ π x x kπ x π π lπ x x kπ x k l n x π π x kπ x nπ   = + = +   =       ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈     =      = + = +     ¢ Ta có (2) ⇔ cos 6 x(2cos 2 x -1) = sin 6 x(1- 2sin 2 x) ⇔ cos2x(sin 6 x – cos 6 x) = 0 ⇔ cos2x(sin 2 x – cos 2 x)(1+ sin 2 x.cos 2 x) = 0 ⇔ cos2x = 0 2 ,( ) 2 4 2 π π kπ x kπ x k= + ⇔ = + ∈¢ Ta có: 3 3 3 2 2 2 (3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0 2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2 (1 cos 2 )(cos2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos2 cos4 ) 2 2(cos2 cos 2 cos4 ) 2 2 cos2 (1 cos 4 ) 2 2 cos2 .cos 2 4 2 cos2 2 8 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π x x ⇔ − + − = ⇔ + = ⇔ + + + − − = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ,( )kπ k+ ∈¢ Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: Ta có (4) 4 4 4 2 1 cos2 1 cos 2 17 1 17 (cos 2 6cos 2 1) 2 2 32 8 32 x x x x − +     ⇔ + = ⇔ + + =  ÷  ÷     4 Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 3 4 8 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x+ − − = (3) Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 6 x + sin 6 x = 2 ( cos 8 x + sin 8 x) (2) Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: 8 8 17 sin cos 32 x x+ = (4) Đặt cos 2 2x = t, với t∈[0; 1], ta có 2 2 1 17 13 2 6 1 6 0 13 4 4 2 t t t t t t  =  + + = ⇔ + − = ⇔   = −   Vì t∈[0; 1], nên 2 1 1 cos 4 1 1 cos 2 2 2 2 2 x t x + = ⇔ = ⇔ = ⇔cos4x = 0 ⇔ 4 ,( ) 2 8 4 π π π x kπ x k k= + ⇔ = + ∈¢ Ta có (5) ⇔ 2(1- cos 2 x)sinx + 2 – 2 cos 2 x + cosx – 1 = 0 ⇔ (1-cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) - 1] = 0 ⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos 1 2 ,( ) 2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) x x kπ k x x x x = ⇔ = ∈  ⇔  + + + =  ¢ Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t ≤ , khi đó phương trình (*) trở thành: 2t + t 2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t = 0 0 sin -cos ,( ) 2( 4 ¹i) t π x x x nπ n t lo =  ⇔ ⇔ = ⇔ = − + ∈  = −  ¢ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 4 π x nπ= − + ; 2 , ( , ) x kπ n k= ∈¢ Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Điều kiện: x ≥ 0 Do | sin | 0,x ≥ nên |sin | 0 1 x π π≥ = , mà |cosx| ≤ 1. Do đó 2 2 2 0 | sin | 0 ,( ) (6) 0 | cos | 1 ,( ) k n x kπ k π n x x kπ k x x nπ x nπ x x nπ n +   = =   = =  = = ∈   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      = = = = = ∈        ¢ ¢ (Vì k, n ∈¢ ). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. Đặt 2 2 x f(x) = cosx + . Dễ thấy f(x) = f(-x), x ∀ ∈ ¡ , do đó f(x0 là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0 5 Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin 3 x – cos2x + cosx = 0 (5) Ví dụ 6. Giải phương trình: |sin | cos x π x= (6) Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 2 1 cos 2 x x− = Ta có: f’(x) = sinx + x, f”(x) = -cosx + 1, ∀ x ≥ 0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x ≥ 0 ⇒ f(x) đồng biến với x ≥ 0 . Mặt khác ta thấy f(0) = 0, do đó x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Đặt f(x) = sin n x + cos n x, ta có : f’(x) = ncosx.sin n-1 x – nsinx.cos n-1 x = nsinx.cosx(sin n-2 x – cos n-2 x) Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (0; ) 2 π , ta có mìn(x) = f( 4 π ) = 2 2 2 n− Vậy x = 4 π là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Sau đây mời các bạn giải một số đề thi tuyển sinh đại học bằng cách sử dụng các phương pháp trình bày ở trên. Giải các phương trình: 1) cos 3 x + cos 2 x +2sinx – 2 = 0( Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2 2 x k x n π π π = = + 2) tgx.sin 2 x - 2sin 2 x = 3(cos2x + sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) ĐS: ; 2 4 3 x k x n π π π π = − + = ± + 3) 2sin3x -(1/sinx) = 2cos3x + (1/cosx) (ĐH Thương Mại) ĐS: 7 ; ; . 4 4 12 12 x k x n x m π π π π π π = ± + = − + = + 4) |sinx - cosx| + |sinx + cosx| = 2 ( ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: 2 x k π = . 5) 4(sin3x - cos2x) = 5(sinx -1) ( ĐH Luật Hà Nội) ĐS: 2 ; 2 ; 2 ; 2 x k x n x l π π α π π α π = + = + = − + với 1 sin 4 α = − . 6) sinx - 4sin 3 x + cosx =0 ( ĐH Y Hà Nội) ĐS: 4 x k π π = + . 7) sin(3 ) sin 2 .sin( ) 4 4 x x x π π − = + ; (Học Viện BCVT) ĐS: 4 2 x k π π = + 8) sin 3 x.cos3x + cos 3 x.sin3x = sin 3 4x ĐS: 12 x k π = . 6 Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng (0; ) 2 π thoả mãn phương trình: 2 2 sin cos 2 n n n x x − + = KẾT LUẬN Vậy, qua các phương pháp và bài tập mẫu trên, ta thấy cần thiết của việc giới thiệu cho các em học sinh các dạng toán điển hình và phương pháp giải các dạng toán đó. Trong bài viết này tôi đã trình bày các phương trình lượng giác thi vào các trương ĐH và phương pháp giải các bài toán tương ứng. Trên đây chỉ là một số các bài tập mẫu của cá nhân tôi, hy vọng các đồng nghiệp quan tâm và trao đổi. 7 . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC MỞ ĐẦU 1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Có thể nói không có đề thi tuyển sing ĐH và CĐ nào lại không có bài về lượng giác, trong đó phương trình lượng giác. toán. - Phạm vi: Các dạng phương trình lượng giác. 4.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. Đưa ra các phương pháp và ví dụ mẫu, có bài tập đề nghị. 5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. -Các phương trình lượng giác. -Tổng hợp. là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Sau đây mời các bạn giải một số đề thi tuyển sinh đại học bằng cách sử dụng các phương pháp trình bày ở trên. Giải các phương trình: 1) cos 3 x + cos 2 x