Một số hệ phương trình trong các đề thi đại học

Giới thiệu một số hệ phương trình trong các đề thi đại học

Trang 1

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932

Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức)

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2012: Giải hệ phương trình sau

2 0

xy x

x x y x y xy y

+ − =





Hướng dẫn giải

Hệ phương trình đã cho tương đương với

( )

xy x

x y x y

+ − =







Với 2x− + = ⇔ =y 1 0 y 2x+ 1 thay vào phương trình 1 của hệ ta được 2 1 5

1 0

2

x + − = ⇔ =x x − ±

Do đó ta có các nghiệm ( ) 1 5 ( ) 1 5

x y = − +  x y = − − − 

Với x2− = ⇔ =y 0 y x2 Thay vào phương trình (1) của hệ phương trình ta được

x + − = ⇔x x− x + + = ⇔ =x x Do đó ta được nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1

Vậy nghiệm của hệ phương trình( )x y; đã cho là 1 5; 5 , 1 5; 5

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012: Giải hệ phương trình sau

2 2

1 2





Ta có:

( ) ( )

2 2

1

2 2









1





Từ (2), suy ra

⇔

Xét hàm số ( ) 3

12

f t = −t t trên 3 3;

2 2

−

f t = t − < , suy ra f t( ) là hàm nghịch biến

Do đó (1) tương đương x− = + ⇔ = −1 y 1 y x 2 3( )

Thay vào (2), ta được

2

1

3

2

x



=



Thay vào phương trình (3), ta được nghiệm của hệ phương trình ( )x y; là 1; 3

2 2

−

  hoặc

;

−

Trang 2

2

2 2

2





2

2 2







Từ phương trình (2) tương đương ( ) ( 2 2 )

2 2

1

2

xy

xy x y

x y

=



 + xy= 1; từ phương trình (1) suy ra y4− 2y2+ = ⇔ = ± 1 0 y 1

Do đó, nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1 hoặc ( ) (x y; = − −1; 1)

+ 2 2

2

x +y = , từ phương trình (1) suy ra

1

2

y x y xy x y x y

y xy x y x y

xy

xy y x

x y

=



=

 Với x= 2y, từ 2 2 ( ) 2 10 10

= −  − 

Vậy hệ phương trình đã cho cho 4 nghiệm ( ) ( ) 2 10 10

1;1 , 1; 1 , ;

2 10 10

;

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2011: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

2

1 2



 + − = −

 trong đó (x y, ∈ℝ)

4

u=x −x u≥ − v= x−y



⇔

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn 1

4

u≥ −

4

u

− +

+ Xét hàm số ( ) 2

f u

u

− +

= + Với

1 4

u≥ − , ta có ( )

2 2

2

u

+

Trang 3

Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng-2011: Giải hệ phương trình sau





Hướng dẫn giải Điều kiện 2x+ ≥y 0 , đặt t= 2x+y t, ≥0

Phương trình (1) trở thành :

( )

2 3 0

3

t

t loai

=



= −



Với t =1, ta có y= − 1 2x Thay vào (2) ta được 2 2 3 0 1

3

x

=



= −

 Với x=1 ta được y= − 1

Với x= − 3 ta được y= 7

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là (1; 1− ) và (−3; 7)

2





Điều kiện x>2;y>0 1( )

Từ hệ phương trình đã cho ta có :

0 2

1

x y

y

  =





= −



=





Đối chiếu nghiệm của hệ phương trình với điều kiện ta thấy nghiệm của hệ là ( ) ( )x y; = 3;1

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2010: Giải hệ phương trình sau

2

log 3 1

4x 2x 3

y





Điều kiện 1

3

y> , phương trình thứ nhất của hệ phương trình cho ta 3 1 2x

y− =

Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với

1

1 2

1 1

2 2

x

y



= −

=

2

= −  





Trang 4

Điều kiện: 3; 5

4x + 1 2x= − 5 2y+ 1 5 2 − y 1

Nhận xét phương trình (1) có dạng f ( )2x = f ( 2 2 − y) , với ( ) ( 2 )

1

f t = t + t

f t = t + > suy ra f là hàm số đồng biến trên R

0

2

x

y

≥





The vào phương trình thứ hai của hệ phương trình , ta được

( )

2

4

2

3 0;

4

2

g 

=

 

1

2 2

x= ⇒ y=

2

1 3 0 5

1 0

x x y

x y

x

+ + − =











trong đó (x y, ∈ℝ)

1 1

1 3

2

x x

x

x y



=





=







 + =





Vậy

Hệ phương trình đã cho có nghiệm ( )x y; là ( )1;1 và 2; 3

2

−

1 7

1 13

xy x y

x y xy y

+ + =





 trong đó (x y, ∈ℝ)

Trang 5

( ) ( )

2

2 2

2

1 5 1

12

3

x

x y



+ = −







 =





+ Hệ phương trình (I) vô nghiệm

3

  và ( ) ( )x y; = 3;1

2 2

3x xy y 81

− +





=

Điều kiện: xy>0 ( )* , hệ phương trình đã cho tương đương với

2 2

2

2 4

4

x y

y y

x xy y

=



= ±

=



Kết với với điều kiện ta thấy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( )2; 2 và (− −2; 2)

5 4

, 5

1 2

4

x y x y xy xy

x y





∈





ℝ

Ta có biến đổi:

2

*

1 2

⇔

Đặt

2

u x y

v xy



=

2

0,

u



Giải ta được nghiệm của hệ phương trình ( )x y; là 3 5 3 25

;

−

3 1;

2

−

2





Trang 6

( )

2

2 2

3

2

2 9

0

4 2

3 3

2

x xy x

x x

xy x

= −





+ Với x=0 không thỏa mãn hệ phương trình

4

x= − ⇒ y=

4

2

,

x y



∈



Điều kiện: x≥ 1,y≥ 0

( )







Từ điều kiện ta có x+ >y 0 nên ( )1 ⇔2y+1 3( )

Thay (3) vào(2) ta được(y+ 1) 2y = 2(y+ ⇔ = 1) y 2 (do y+ > 1 0)⇒ x= 5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 5; 2

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2007: Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm thực

5

15 10

 + + + =







1

2, 2 1

u x

x

v y

y



= +





 = +



3 3

8

+ =



⇔

= −



t − + =t m

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm thỏa

1 2, 2 2

5 8

f t = − +t t với t ≥2 Bảng biến thiên của hàm số f t( )

Trang 7

4 ≤ ≤m Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2006: Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

ln 1 ln 1

,

x y

y x a



∈



− =

Điều kiện: : x, y>-1 Hệ phương trình đã cho đường thẳng với

( )

2

x a x

y x a

+





= +



Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất trong khoảng (− + ∝1; )

Xét hàm số f x( )=e x a+ − +e x ln 1( + −x) ln 1( + +a x) với x>-1

Do f(x) liên tục trong khoảng (− + ∝1; ) và lim1 ( ) ; lim ( )

x x

Nên phương trình f x( )=0 có nghiệm trong khoảng (− + ∝1; )

+

Suy ra f(x) là hàm số đồng biến trong khoảng (− + ∝1; )

Do đó, phương trình f x( )=0 có nghiệm duy nhất trong khoảng (− + ∝1; )

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

3

,

x y xy

x y



∈



Điều kiện: : x≥ − 1,y≥ − 1;xy≥ 0 Đặt t= xy (t≥ 0) Từ phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta suy ra: x+ = +y 3 t

Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được x+ + +y 2 2 xy+ + + =x y 1 16 2( )

xy=t x+ =y t vào phương trình (2) ta được

2

≤ ≤





9

x y xy

+ =





=

 suy ra nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 3;3









1

x y

≥





< ≤



Từ phương trình (2) của hệ suy ra 3 1 log( + 3x)−3log3y= ⇔3 log3x=log3 y⇔ =x y

Trang 8

Thay y=x vào phương trình (1) ta có

2

x

=



Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1 và ( ) ( )x y; = 2; 2

1 3

x y

x x y y m





 =





=

0 0

u v

≥





≥



1 3

uv m

⇔

=



0 **

t − + =t m

0

u v

≥





≥

tương đương phương trình (**) có nghiệm t không âm

1

4 0

m

∆ = − ≥





 ≥



4

2 2

1

25

y x

y

x y









Điều kiện: y > x và y > 0

4

−

25

2 2

3

4

y

So sánh điều kiện ta được y= 4 ⇒x= 3 thỏa mãn điều kiện

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 3; 4

2

2 2 2

2 3

, 2

3

y y x

x y x

x y



∈



+



ℝ trong đó (x y, ∈ℝ)

Trang 9

x y xy x y

x y y

⇔

1

y

xy x

⇔

=



xy x y

xy x

+ + =





Vậy nghiệm của hệ phương trình là x= =y 1

3

,

y x



− = −



∈





ℝ

Điều kiện: xy≠ 0

1

x y

xy xy

=

−   +   = ⇔   = −

Trường hợp 1:

1

2

x y



 = =



=



− −

 = =



( )

3

4 3

1

3 1

2

1

y

x

y x

x x

= −

=

= +

Phương trình (4) của hệ vô nghiệm vì

+ + = −  + +  + > ∀

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là ( )1;1 , 1 5; 1 5

;

1

x

x x

x

y

+



1

4

x

y

 = >



 =



Trang 10

So sánh điều kiện ta thấy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là ( )0;1 và ( )2; 4

3

2

x y x y





( )

x y x y





0

x y

− ≥



 + ≥



1

x y

=



= +



Thay x= yvào phương trình (2), giải ra ta được x= =y 1

x= y=

Kết hợp với điều kiện (3) ta có nghiệm của hệ phương trình ( )x y; là ( )1;1 và 3 1;

2 2

Lời kết:

+ Qua 10 năm thực hiện đề thi chung của bộ giáo dục, chúng tôi đã biên soạn và giới thiệu

đến cộng đồng một hệ thống những chuyên đề luyện thi tuyển sinh đại học của từng năm

+Tài liệu được sưu tập và biên soạn lại bởi thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn kết hợp với trung tâm giáo viên Quốc Tuấn địa chỉ 157 Đặng Văn Ngữ - Thành phố Huế -Điện thoại:

0905671232-0989824932 Là nơi quy tụ những giáo viên giảng dạy và luyện thi đạy học có

uy tín trên địa bàn thành phố Huế Luôn có những chính sách và những phương pháp giảng dạy cũng như tính cập nhật hàng đầu Luôn mở các lớp, các nhóm dạy học chất lượng cao với chi phí rẽ Đặc biệt hưởng lợi được từ hàng ngàn tài liệu trên Xuctu.com và hàng trăm Video Tutorial bài giảng được cấp phát miễn phí cho học viên tại trung tâm cũng như cộng

đồng học sinh

+ Đặc biệt trong năm học 2013-2014, trung tâm mở ra chương trình khuyến học như sau:

đến học

- Được sự giảng dạy trực tiếp của thầy cô giáo đầy kinh nghiệm luyện thi

- Được phép học tăng cường khi chưa hiểu bài

 Đến tham quan và đăng ký học tại địa chỉ trên hoặc tìm hiểu thông qua số điện thoại:

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	262,81 KB