13 chuyên đề luyện thi đại học môn toán

Tổng hợp một số chuyên đê trong các đề thi đại học hay gặp

Trang 2

Lời nói đầu

Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bản hơn trước rất nhiều , không còntính đánh đố cũng như bắt học sinh phải nhớ nhiều những mẹo rất lặt vặt Một số tài liệu giảngdạy rất hay ngày trước như "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ đề thi tuyển sinh" chỉ cònlại một ít giá trị thực tiễn của nó Chắt lọc những tài liệu này, bám sát những đề thi tuyển sinhnhững năm gần đây (Từ năm 2002-2010) cộng với những kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạyluyện thi của mình (có tham khảo một số bài giảng ở những trang web dạy học) tôi biên soạntài liệu này mục đích chính để mình giảng dạy một cách bài bản

Tôi nghĩ rằng tài liệu này sẽ có ích đối với những người dạy toán, cũng như những bạn ngấpnghé cổng trường Đại học

Tài liệu này gồm 13 chuyên đề (vẫn còn thiếu)

1 Phương trình đại số

2 Phương trình lượng giác

3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối

13 Hình học không gian cổ điển

Vì số lượng các chuyên đề lớn nên không thể tránh khỏi những lỗi đánh máy, lỗi tính toán sai, Mong các bạn lượng thứ, mọi góp ý xin gửi về:

Chúc các bạn thành công trong kỳ thi đại học sắp tới!

Nam Định, ngày 18 tháng 12 năm 2010

Tác giả

Đỗ Minh Tuân

Trang 3

T h.

M in

uâ n

Mục lục

1.1 Lý thuyết về đa thức 9

1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 9

1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ 10

1.2 Phương trình bậc nhất 10

1.2.1 Phương pháp giải 10

1.2.2 Các ví dụ 10

1.3 Phương trình bậc hai 11

1.3.1 Phương pháp giải 11

1.4 Phương trình bậc 3 15

1.4.1 Tính chất của đa thức 15

1.4.2 Đa thức bậc 3 15

1.4.3 Các ví dụ 16

1.5 Phương trình bậc 4 17

1.5.1 Dạng tổng quát 17

1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4 18

1.5.3 Các ví dụ 19

1.6 Dấu của đa thức 21

1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2 21

1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát 24

1.6.3 Giải hệ bất phương trình 27

1.7 Bài tập 27

2 Phương trình lượng giác 33 2.1 Các kiến thức cơ bản 33

2.1.1 Công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác 33

2.1.2 Các công thức của các góc liên hệ với α 33

2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác 34

2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác 34

2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu 34

2.1.6 Công thức cộng lượng giác 35

2.1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng 35

2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc 35

2.1.9 Công thức tính sin 2x, cos 2x, tan 2x, cot 2x theo t = tan x 36

2.1.10 Bài tập 36

2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản 37

Trang 4

T h.

M in

uâ n

2.2.1 Phương trình sin x = m 37

2.2.2 Phương trình cos x = m 37

2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m 37

2.2.4 Các ví dụ 38

2.2.5 Bài tập 39

2.3 Các phương trình lượng giác khác 40

2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c 40

2.3.2 Phương trình đẳng cấp chứa sin và cos 41

2.3.3 Đại số hóa phương trình lượng giác 42

2.3.4 Phương trình đối xứng sin, cos 43

2.3.5 Phân tích thành nhân tử 44

2.3.6 Sử dụng bất đẳng thức 45

2.3.7 Loại nghiệm không thích hợp 45

2.3.8 Bài tập 46

3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối 51 3.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 51

3.1.1 Kiến thức cần nhớ 51

3.1.2 Các dạng bài tập 51

3.1.3 Các ví dụ 52

3.2 Phương trình chứa căn thức 53

3.2.1 Các dạng bài tập 53

3.2.2 Các ví dụ 54

3.3 Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 55

3.3.1 Dạng cơ bản 55

3.3.2 Các ví dụ 55

3.4 Bất phương trình chứa căn thức 55

3.4.1 Dạng cơ bản 55

3.4.2 Các ví dụ 56

3.5 Bài tập 57

4 Hệ phương trình đại số 61 4.1 Hệ phương trình bậc nhất 61

4.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 61

4.1.2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 62

4.1.3 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn 62

4.2 Hệ phương trình bậc nhất - bậc hai: 63

4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: 64

4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 2 64

4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 65

4.4 Hệ đối xứng 67

4.4.1 Hệ đối xứng loại I: 67

4.4.2 Hệ đối xứng loại II: 68

4.5 Hệ phương trình tổng quát 71

4.6 Bài tập 73

Trang 5

T h.

M in

uâ n

5.1 Khái quát chung 79

5.2 Kiến thức cơ bản 79

5.2.1 Quy tắc cộng - nhân 79

5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hoán vị 80

5.2.3 Công thức nhị thức Newton 80

5.3 Các ví dụ 81

5.4 Bài tập 84

6 Hình phẳng tọa độ 87 6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng 87

6.1.1 Kiến thức cơ bản 87

6.1.2 Dạng bài 88

6.2 Đường tròn 93

6.2.2 Các dạng bài 96

6.3 Ba đường Conic 103

6.3.1 Kiến thức chung về 3 đường Conic 103

6.3.2 Elip 103

6.3.3 Hyperbol 109

6.3.4 Parabol 114

6.4 Bài tập 116

7 Giới hạn 128 7.1 Giới hạn dãy số 128

7.1.1 Các tính chất cơ bản của giới hạn 128

7.1.2 Các ví dụ 129

7.2 Giới hạn hàm số 130

7.2.1 Giới hạn cơ bản 130

7.2.2 Phương pháp tính giới hạn 131

7.2.3 Các ví dụ 131

7.3 Bài tập 134

8 Bất đẳng thức 137 8.1 Các bất đẳng thức cơ bản 137

8.2 Bất đẳng thức Cauchy 140

8.2.1 Tìm min tổng, max của tích 140

8.2.2 Bất đẳng thức đối xứng 142

8.2.3 Cực trị có điều kiện 146

8.3 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 149

8.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 151

8.5 Bài tập 152

9 Hàm số và đồ thị 155 9.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 155

9.1.2 Các bước khảo sát hàm số 158

9.1.3 Hàm đa thức 158

9.1.4 Hàm phân thức 160

Trang 6

T h.

M in

uâ n

9.2 Cực trị và tiệm cận của hàm số 161

9.2.1 Quy tắc tìm cực đại và cực tiểu của hàm số 161

9.2.2 Cực trị hàm số 162

9.2.3 Các bài toán tiệm cận 165

9.2.4 Củng cố kiến thức 168

9.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 170

9.3.2 Các bài toán đơn thuần 171

9.3.3 Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chứa tham số 173

9.3.4 Phương pháp miền giá trị của hàm số 175

9.3.5 Phương pháp chiều biến thiên 177

9.4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị 180

9.4.2 Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M 181

9.4.3 Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M 181

9.4.4 Lớp các bài toán về sự tiếp xúc rất đa dạng 182

9.5 Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước 184

9.5.2 Tìm điểm không thuộc mọi đường cong trong họ y = f(x, m) 186

9.6 Sự tương giao 188

9.6.2 Sự tương giao của hàm đa thức với trục Ox 189

9.6.3 Sự tương giao của hàm phân thức 191

9.7 Sự tiếp xúc của 2 đường cong 194

9.7.2 Các ví dụ 195

9.7.3 Củng cố 198

9.8 Biện luận số nghiệm bằng đồ thị 199

9.8.2 Các ví dụ 199

9.9 Bài tập 202

10 Hình không gian tọa độ 210 10.1 Hệ tọa độ, véc tơ, điểm 210

10.1.1 Hệ tọa độ Đề Các 210

10.2 Phép toán trên véc tơ 210

10.3 Điểm 211

10.3.1 Tích có hướng của 2 véc tơ và ý nghĩa 211

10.3.2 Bài tập 212

10.4 Phương trình mặt phẳng 213

10.4.1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng 213

10.4.2 Phương pháp xác định mặt phẳng 213

10.4.3 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng 214

10.4.4 Bài tập 214

10.5 Phương trình đường thẳng 214

Trang 7

T h.

M in

uâ n

10.5.1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 215

10.5.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng 216

10.5.3 Một số dạng toán về đường thẳng và mặt phẳng 216

10.5.4 Bài tập 218

10.6 Góc 220

10.6.2 Các ví dụ 220

10.6.3 Bài tập 221

10.7 Khoảng cách 221

10.7.1 Các công thức khoảng cách 221

10.7.2 Các ví dụ 222

10.7.3 Bài tập 223

10.8 Mặt cầu và đường tròn 224

10.8.1 Mặt cầu 224

10.8.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu 224

10.8.3 Đường tròn 225

10.8.4 Bài tập 226

10.9 Tọa độ hóa hình học không gian 227

10.9.1 Hình chóp 227

11 Tích phân 229 11.1 Vi phân 229

11.1.1 Định nghĩa 229

11.1.2 Các tính chất 229

11.1.3 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp thường gặp 229

11.2 Nguyên hàm và tích phân bất định 230

11.2.1 Định nghĩa 230

11.2.2 Các tính chất 230

11.2.3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp 231

11.3 Các phương pháp tính tích phân 232

11.3.1 Phép đổi biến số 232

11.3.2 Tích phân từng phần 234

11.3.3 Tích phân hàm phân thức 235

11.4 Tích phân xác định 237

11.5 Ứng dụng của tích phân 238

11.5.1 Tính diện tích 239

11.5.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay 239

11.6 Bài tập 240

12 Số phức 263 12.1 Kiến thức cơ bản 263

12.1.1 Các kiến thức chung 263

12.1.2 Các phép toán trên số phức 263

12.2 Các dạng bài tập 264

12.2.1 Thực hiện các phép toán 264

12.2.2 Khai căn bậc 2 264

12.2.3 Giải phương trình đại số và các vấn đề liên quan 266

12.2.4 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng 267

Trang 8

T h.

M in

uâ n

12.2.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp 267

12.3 Bài tập 267

13 Hình học không gian 269 13.1 Mở đầu về hình học không gian 269

13.1.1 Đối tượng của hình học không gian 269

13.1.2 Quan hệ 269

13.1.3 Hình biểu diễn trong hình học không gian 269

13.1.4 Một số hình thông dụng 270

13.1.5 Các tiên đề hình học không gian 272

13.1.6 Các tiên đề 272

13.1.7 Định lý về giao tuyến 272

13.2 Vị trí tương đối 272

13.2.1 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt phẳng 272

13.2.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 272

13.2.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng 272

13.2.4 Các phương pháp xác định mặt phẳng 273

13.3 Các dạng toán 273

13.3.1 Sử dụng tiên đề, vị trí tương đối 273

13.3.2 Tìm giao tuyến giữa 2 mặt phẳng (Cách 1) 276

13.3.3 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cắt cả 2 đường thẳng 283 13.3.4 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 285

13.3.5 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng quy 288

13.3.6 Thiết diện 292

13.3.7 Bài tập 300

Trang 9

1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử

+) Nếu P (x) là một đa thức bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2 thì P (x) = a.(x − x1).(x2) (a là hệ số bậccao nhất của P (x))

+) Tổng quát: Nếu P (x) là một đa thức bậc n có đủ n nghiệm x1, x2,· · · , xn thì

P (x) = a(x− x1)(x− x2)· · · (x − xn)+) Một đa thức P (x) bất kỳ bao giờ cũng phân tích thành tích những đa thức bậc nhất và đathức bậc 2 (vô nghiệm)

Ví dụ 1.1.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Trang 10

= (x− 1)(3x + 1)(2x − 3)

1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ

Cách làm: Nhập hàm, sử dụng tính năng CALC của máy 570ES

√273

x = 3−√2⇒ y = 43− 31

√273

1.2 Phương trình bậc nhất

1.2.1 Phương pháp giải

☞ Dạng của phương trình: ax + b = 0

☞ Cách giải:

➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R

➤ Với a = 0, b 6= 0: Phương trình vô nghiệm

➤ Với a 6= 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = −b

a

1.2.2 Các ví dụ

Ví dụ 1.2.1: Giải và biện luận phương trình: (m2− 1)x + m − 1 = 0

Giải: - Nếu m2− 1 = 0 ⇔ m = ±1

+) Với m = 1 phương trình trở thành: 0x + 0 = 0 Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R

+) Với m = −1 phương trình trở thành: 0x − 2 = 0 Phương trình vô nghiệm

Trang 11

1.3 Phương trình bậc hai Chương 1 Phương trình đại số

Giải: Gọi (x0, y0) là điểm cố định của (dm)

➢ Nếu a 6= 0: ∆ = b2− 4ac hoặc ∆0 = b02− ac

+) Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm

+) Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =−2ab =−b

0

a+) Nếu ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

☞ Phân tích một tam thức bậc 2 thành nhân tử

Giả sử f(x) = ax2+ bx + c có 2 nghiệm x1, x2 thì f(x) = a(x − x1)(x− x2)

Ví dụ: f(x) = 2x2− 5x + 2 có 2 nghiệm x1 = 2, x2 = 1

2nên f(x) = 2(x − 2)(x − 1

Trang 12

X2− S.X + P = 0

☞ Dấu của nghiệm:

➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt dương ⇔

➢ Pt có 2 nghiệm trái dấu: P < 0

➢ Pt có nghiệm dương tương đương với phương trình có 2 nghiệm dương hoặc có 2nghiệm trái dấu ⇔ max(x1, x2) > 0

−b −√∆2a Nếu a < 0Hoặc ta có thể xét 2 trường hợp:

- Phương trình có 2 nghiệm dương (không cần phân biệt) hoặc có một nghiệm bằngkhông, một nghiệm dương ⇔

- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0

➢ Phương trình có nghiệm âm ta làm tương tự như trên:

−b +√∆2a Nếu a < 0

Trang 13

Ví dụ 1.3.1: Giải các phương trình sau:

a) x2− 5x + 4 = 0

b) x2− 2x − 3 = 0

Giải: a) a + b + c = 0 ⇒ phương trình có nghiệm x1 = 1, x = c

a = 4b) a − b + c = 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm x1 =−1, x = −c

a = 3

Ví dụ 1.3.2: Giải và biện luận phương trình sau: (m − 1) x2− (2m + 1) x + m − 5 = 0

Giải: +) TH 1: Nếu m − 1 = 0 ⇔ m = 1 thay vào phương trình ta có:

−3x − 4 = 0 ⇔ x = −3

4.+) TH 2: Nếu m − 1 6= 0 ⇔ m 6= 1

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Trang 14

2 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương.

3 Tìm m để phương trình có nghiệm dương

4 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn x1 < 1 < x2

5 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x1 ≤ x2 < 2

Giải: a) ∆ = (m + 1)2− 4(m +9

4) = m

2+ 2m + 1− 4m − 9 = m2− 2m − 8Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m2 − 2m − 8 > 0 ⇔

⇔ 1 (1 − (m + 1) + m + 9/4 < 0) ⇔ 9/4 < 0 (Vô nghiệm)

Trang 15

1.4 Phương trình bậc 3 Chương 1 Phương trình đại số

e) Phương trình có nghiệm thỏa mãn x1 ≤ x2 < 2⇔







∆≥ 0a.f (2) > 0S/2 < 2

❷ Hệ quả: Nếu x0 thỏa mãn P (x0) = 0 thì P (x) x − x0

❸ Lược đồ Hoocne: Giả sử P (x) = anxn+ an−1xn−1+· · · + a1x + a0

➢ Nhẩm nghiệm : Sử dụng máy tính để nhẩm một nghiệm x0 nào đó

➢ Dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức trên thành nhân tử :

Trang 16

Khi đó x, y, z là 3 nghiệm của phương trình : X3− mX2+ nX− p = 0

⇔

x =−1

2x2− 3x + 4 = 0Phương trình vô nghiệm ⇔ x = −1.

b) Dùng máy tính ta nhẩm được nghiệm x = 1

1 0 −4 3

1 1 1 −3 0Phương trình ⇔ (x − 1) (x2+ x− 3) = 0

Ta có f(−2).f(−1) < 0 nên tồn tại x1 ∈ (−2; −1) sao cho f(x1) = 0

f (−1).f(1) < 0 nên tồn tại x2 ∈ (−1; 1) sao cho f(x2) = 0

f (1).f (3) < 0 nên tồn tại x3 ∈ (1; 3) sao cho f(x3) = 0

Do đó ta được f(x1) = f (x2) = f (x3) = 0 và x1 < x2 < x3 nên phương trình f(x) = 0 có 3nghiệm phân biệt

Trang 17

!+ 3 −5

2

!

= 578







x + y + z = 2(x + y + z)2 − 2 (xy + yz + zx) = 6(x3+ y3+ z3− 3xyz) + 3xyz = 8

Từ đó ta có x, y, z là 3 nghiệm của phương trình:

X3− 2X2− X + 2 = 0 ⇔



 X =X = 1−1

X = 2Vậy hệ có 6 nghiệm phân biệt

➢ Tuy nhiên một số trường hợp cách giải trên trở nên vô hiệu hoặc quá phức tạp khôngcần thiết, những trường hợp đó có cách giải riêng biệt

Trang 18

= eaCách giải: Xét x = 0 thay vào phương trình xem có thỏa mãn không?

Với x 6= 0 Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:

bx

!+ c = 0

b

!+ bt + c = 0Giải phương trình bậc 2 ẩn t Sau đó thay vào (∗) để tìm x

❹ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = e sao cho a + b = c + d

Cách giải: Phương trình ⇔ (x2+ (a + b) x + ab) (x2+ (c + d) x + cd) = e

Đặt t = x2+ (a + b) x = x2+ (c + d) x (∗)

Thay vào phương trình ta được:

(t + ab) (t + cd) = eGiải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó thay vào (∗) để tìm x

❺ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = ex2 sao cho ab = cd

Cách giải: giống cách giải phương trình đối xứng

Nếu x = 0: ta được abcd = 0

Nếu x 6= 0: Phương trình ⇔ (x2+ (a + b) x + ab) (x2+ (c + d) x + cd) = ex2

⇔ x +ab

x + a + b

! x + cd

Trang 19

⇔ t = 3

2⇔ x2 = 3

2⇔ x = ±

√62

Tiếp tục ta nhẩm được 1 nghiệm là x = −1

2 Theo lược đồ Hooc - ne ta có:

8 32 56 21

−1

2 8 28 42 0Phương trình ⇔ (x − 2) x + 1

2

!(8x2+ 28x + 42) = 0

Trang 20

a) x4+ 4x3− x2+ 8x + 4 = 0

b) 2x4− 3x3− 3x2+ 3x + 2 = 0

Giải: a) Với x = 0, phương trình trở thành 2 = 0 (vô lý) Vậy x 6= 0

Chia cả 2 vế phương trình cho x2 ta được

⇔ t2+ 4t− 5 = 0 ⇔

t = 1

t =−5+) Với t = 1: x + 2

x= 1⇔ x2− x + 2 = 0 vô nghiệm+) Với t = −5: x + 2

x=−5 ⇔ x2+ 5x + 2 = 0⇔ x = −5 ±

√172b) x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho x2 6= 0 tađược

x= 1⇔ x2− x − 1 = 0 ⇔ x = 1±

√52+) Với t = 1

+) Với t = 2: x2− 2x = 2 ⇔ x2− 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ±√3

Ví dụ 1.5.5: Giải phương trình (x − 2) (x + 3) (x − 1) (x + 6) = 21x2

Trang 21

1.6 Dấu của đa thức Chương 1 Phương trình đại số

Giải: Phương trình ⇔ (x2+ x− 6) (x2+ 5x− 6) = 21x2 Do x = 0 không là nghiệm củaphương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho x2 6= 0 ta được:

x=−8 ⇔ x2+ 8x− 6 = 0 ⇔ x = −4 ±√22+) Với t = 2: x − 6

∆ = b2− 4ac Ta có các trường hợp sau:

+) ∆ < 0: Dấu của đa thức là:

☛ Chú ý: Nếu P (x) là một đa thức bậc 2 ta luôn có:

Trang 23

☞ Chú ý: Trong một bài toán thông thường không ai lại hỏi trực tiếp dấu của một đa thức

mà thường hỏi các câu hỏi về giải bất phương trình Chúng ta cần xét dấu của các đa thứctương ứng từ đó tìm thấy được tập nghiệm của bất phương trình Chẳng hạn:

✍ −2x + 3 > 0 thì tập nghiệm S = −∞;32

!

)

✍ 4x2− 12x + 9 ≥ 0 thì S = R

✍ 4x2− 12x + 9 < 0 thì S = ∅

✍ 4x2− 12x + 9 ≤ 0 thì S =

(32)

Trang 24

a) Tìm m để P (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

+) Nếu 3m − 1 = 0 ⇔ m = 1

3 khi đó:

P (x) =−83x + 2, rõ ràng P (3) =−6 < 0 nên P (x) ≥ 0 không đúng với mọi x ∈ R

+) Nếu 3m − 1 6= 0 Khi đó P (x) là một đa thức bậc 2 do đó:

⇔ 1 ≤ m ≤ 3Kết luận: 1 ≤ m ≤ 3 thỏa mãn điều kiện bài toán

c) f(x) = ln P (x) xác định trên R ⇔ P (x) > 0 ∀x ∈ R

+) Nếu 3m − 1 = 0 ⇔ m = 1

3 khi đó:

P (x) =−8

3x + 2, rõ ràng P (3) =−6 < 0 nên P (x) > 0 không đúng với mọi x ∈ R

+)Nếu 3m − 1 6= 0 Khi đó P (x) là một đa thức bậc 2 do đó:

⇔ 1 < m < 3Kết luận: 1 < m < 3 thỏa mãn điều kiện bài toán

1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát

☞ Đa thức bậc n: P (x) = anxn+ an−1xn−1+· · · + a1x + a0

☞ Phân thức hữu tỷ: f(x) = P (x)

Q(x) Trong đó P (x), Q(x) là các đa thức

Trang 25

Định lý 1 (Định lý cơ bản Đại số) Cho P (x) là một đa thức bất kỳ thì P (x) sẽ phân tích thànhtích các đa thức bậc nhất và đa thức bậc 2 Hơn thế nữa các đa thức bậc đều có ∆ < 0

Ví dụ 1.6.3: Xét dấu của biểu thức sau:

a) f(x) = (x + 1)

2

.(x− 2)3 (2x− 1)(x2+ 2x + 2)7(2x + 1)5(1− 4x) (−x2+ 4x− 5)3

+) 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1

2+) 1 − 4x = 0 ⇔ x = 1

4+) −x2+ 4x− 5 = 0, ∆ < 0, a = −1

Do đó dấu của f(x) là dấu của g(x) với:

Các không điểm x = −1; 2;1

2;−1

2;1

4 Ta có bảng dấu:

Trang 26

∪ [2; +∞)+) (x + 1)

2

.(x− 2)3 (2x− 1)(x2+ 2x + 2)7(2x + 1)5(1− 4x) (−x2 + 4x− 5)3 > 0

!

∪ (2; +∞)+) (x + 1)

2

.(x− 2)3 (2x− 1)(x2+ 2x + 2)7(2x + 1)5(1− 4x) (−x2 + 4x− 5)3 ≤ 0

có tập nghiệm là: S = −1

2;

14

có tập nghiệm là: S = −1

2;

14

Trang 27

☞ Học sinh thường gặp khó khăn khi lấy hợp 2 tập hợp, thường chỉ làm tốt với trường hợplấy giao.

Ví dụ 1.6.4: Tính tập hợp X trong các trường hợp sau:

Trang 28

1.7 Bài tập Chương 1 Phương trình đại số

Bài 1.2: Cho phương trình: (m2− 4)x2+ 2(m + 2)x + 1 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 1.3: Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m:

x3− m (x + 2) + x2+ 4 = 0Bài 1.4: Giải và biện luận phương trình sau theo m:

a) x2− mx + 3m − 8 = 0

b) x2− mx + m2− 3 = 0

c) (m − 2)x2− 2(m + 1)x + m = 0

Bài 1.5: Cho phương trình 2x2+ 7x + 1 = 0 Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình

a) Tính giá trị của các biểu thức:

A = 2 x21+ x22

− 3 x31 + x32

B = x21x32 + x31x22+ 2|x1− x2|b) Tìm phương trình với hệ số nguyên nhận x1+ 2x2, 2x1+ x2 là nghiệm

c) Tìm phương trình với hệ số nguyên nhận x1+ 1

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: F = x1x2+ 2x1+ 2x2

Bài 1.8: Tìm m để phương trình : x2 − (2m + 1)x + m2+ 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn

Trang 29

Bài 1.10: Biện luận theo m só nghiệm của phương trình :

6 Bài 1.12: Giải các phương trình sau:

Trang 30

2 , x = 3±

√13

2 d) x = −1±

√29

2

e) x = 3, x = −2, x = − 7 ±

√732f) x = 1 ±√7

g) x = 2, x = −1

Bài 1.13: Cho bất phương trình: (m + 1)x + m + 2 > 0

a) Giải và biện luận bất phương trình

b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≥ 2

Bài 1.14: Tìm a để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:

x2+ 7x− 8 < 0

a2x + 1 > 3 + (3a− 2) xBài 1.15: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

c) x ∈ [−5; 1]

Bài 1.17: Tìm a để biểu thức p(a + 1) x2− 2 (a − 1) x + 3a − 3 có nghĩa với mọi x

Bài 1.18: Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m:

a) x2− mx + 2m − 3 ≥ 0

b) (3m − 8)x2+ mx + 1 < 0

Trang 31

Bài 1.19: Giải các bất phương trình sau:

∪ 1; 1 +√6h) x ∈ (−√3;√

3)i) x ∈ (−∞; −1) ∪

"

−35; 1

#

∪ (2; +∞)Bài 1.20: Giải các bất phương trình sau:

Trang 32

4 ;

− 1 +√174

Trang 33

cos2α= 1 + tan

2α1

sin2α= 1 + cot

2αtan α cot α = 1

Trang 34

2− α) = cot α cot(π

2− α) = tan α

2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác

I II III IVcos α + − − +sin α + + − −tan α + − + −cot α + − + −

2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π

6 πcos α 1

√32

√22

1

2 0 −12 −

√2

2 −

√3

2 −1

sin α 0 1

2

√22

√3

2 1

√32

√22

3 0 −√1

3 −1 −√3 k

2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu

cos(a± b) = cos a cos b ∓ sin a sin bsin(a± b) = sin a cos b ± cos a sin btan(a± b) = 1tan a± tan b

∓ tan a tan bcot(a± b) = cot a cot b∓ 1

cot b± cot a

Trang 35

2.1 Các kiến thức cơ bản Chương 2 Phương trình lượng giác

2.1.6 Công thức cộng lượng giác

cos a + cos b = 2 cosa + b

2 cos

a− b2cos a− cos b = −2 sina + b

2 sin

a− b2sin a + sin b = 2 sina + b

2 cos

a− b2sin a− sin b = 2 cosa + b

2 sin

a− b2tan a± tan b = sin(a± b)

cos a cos bcot a± cot b = sin(b± a)

sin a sin b

Hệ quả:

tan a + cot a = 2

sin 2atan a− cot a = −2 cot 2asin a + cos a =√

2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc

cos 2x = cos2x− sin2x = 2 cos2x− 1 = 1 − 2 sin2xsin 2x = 2 sin x cos x

tan 2x = 2 tan x

1− tan2xcot 2x = cot

2x− 1

2 cot xcos2x = 1 + cos 2x

2

Trang 36

1− 3 tan2xcot 3x = 3 cot x− cot3x

Bài 2.1: Cho α là góc sao cho sin α = −13, với α thuộc góc phần tư thứ III

a) Tính tan α, cos α, cot α

c) C = cos 20+ cos 40+· · · + cos 1800

Bài 2.3: Tính giá trị biểu thức:

Trang 37

2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản Chương 2 Phương trình lượng giác

2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản

2.2.1 Phương trình sin x = m

☞ Điều kiện có nghiệm: −1 ≤ m ≤ 1

☞ Nghiệm của phương trình là :

x = arcsin m + k2π

x = π− arcsin m + k2π (k∈ Z)Chú ý : các giá trị đặc biệt của m là m = 0, ±1, ±1

2, ±

√2

2 , ±

√32

☞ Điều kiện có nghiệm: −1 ≤ m ≤ 1

☞ Nghiệm của phương trình là :

2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m

☞ Điều kiện có nghiệm ∀m ∈ R

☞ Nghiệm tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ

Trang 38

x =−2π

9 + k

2π3(k∈ Z)

c) tan x + 2

cot x =−3

d) sin 2x − cos x + 2 sin x − 1 = 0

e) sin 2x −√3 cos x− 2 sin x +√3 = 0

Trang 39

3cot 2x = 2

2c) sin 2x = sin(x

2+ 1)Bài 2.6: Giải các phương trình sau:

a) cos 2x = sin 5x

b) sinx

2 =− cos 4x

c) cos(π sin x) = cos(3π sin x)

d) 2 sin x cos x = cos x − 2 sin x + 1

Bài 2.7: Giải các phương trình sau:

Trang 40

2.3 Các phương trình lượng giác khác Chương 2 Phương trình lượng giác

2.3 Các phương trình lượng giác khác

2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c

Ta có a sin x + b cos x = c ⇔ √ a

a2+ b2sin x + √ b

a2+ b2cos x = √ c

a2+ b2.Gọi α là góc sao cho

Khi đó phương trình tương đương với:

cos α sin x + sin α cos x = √ c

a2+ b2 ⇔ sin(x + α) = √ c

a2+ b2

☛ Điều kiện có nghiệm:

c

√

a2+ b2

Định dạng
Số trang	301
Dung lượng	2,97 MB