Chuyên đề bất phương trình

Giáo viên: Nguyễn Thị Cẩm Nhung chuyên đề bất phương trình. I.Lý do chọn chuyên đề: Trong chương trình phổ thông, sách giáo khoa lớp 10, Bất phương trình là dạng toán tương đối khó đòi hỏi người giải phải sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học vào việc giải bài tập dạng này.Để giúp học sinh nắm rõ hơn về phương pháp để giải bất phương trình.thì hôm nay tôi quyết định chọn chuyên đề: “Phương pháp giải bất phương trình”. II.Nội dung: a. Dạng 1: Bất phương trình bậc nhất. *Giải và biện luận dạng 0:ax b + < 0ax b + < b x a ⇔ < − . + Nếu a>0 thì b x a < − .Tập nghiệm S= ( ; ). b a −∞ − + Nếu a<0 thì b x a > − . Tập nghiệm S= ( ; ). b a − +∞ +Nếu a=0 thì , 0x b < − do đó: Khi 0b ≥ thì bất phương trình vô nghiệm:S= φ . Khi 0b < thì bất phương trình thỏa với mọi x: S=R. *Giải và biện luận dạng 0x b + ≥ a : 0x b + ≥ ⇔ a x b ≥ − a . +Nếu a>0 thì b x a ≥ − . Tập nghiệm S= ; ). b a − +∞[ +Nếu a<0 thì b x a ≤ − . Tập nghiệm S= ( ; . b a −∞ − ] +Nếu a=0 thì 0x b ≥ − . Do đó: Khi 0b ≥ thì bất phương trình thỏa với mọi x : S=R. Khi 0b < thì bất phương trình vô nghiệm: S= φ . Chú ý: + Điều kiện cần để 0x b + > a có nghiệm hoặc vô nghiệm với mọi x là a=0. + Điều kiện để 0x b+ >a có nghiệm là 0.a ≠ hoặc a=0, b>0. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình: a) 2 1 3. 3 x x x + − + > + (1) b) 1 2 3 1 . 2 3 4 2 x x x x+ + + + + ≥ + (2) Giải: a, (1) 4 2 3 3 3 9 5 4 5 x x x x x⇔ + − + > + ⇔ < − ⇔ < − . Vậy: S= 4 ( ; ). 5 −∞ − Trang 1 Giáo viên: Nguyễn Thị Cẩm Nhung chuyên đề bất phương trình. b, 11 (2) 6 6 4 8 3 9 12 6 7 11 . 7 x x x x x x⇔ + + + + + ≥ + ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − . Vậy Tập nghiệm S= 11 ; 7   − +∞ ÷    . Bài tập: Giải các bất phương trình sau: 1) 3 5 2 1 . 2 3 x x x + + − ≤ + 2) (1 2) 3 2 2.x− < − 3) ( ) 2 2 ( 3) 3 2.x x+ ≥ − + 4) 2( 1) 3( 1) 2 5.x x x x− − > − − − 5) 2 5( 1) (7 ) .x x x x− − − < 6) 2 2 2 2 ( 1) ( 3) 15 ( 4) .x x x x− + − + < + − Ví dụ 2: Giải và biện luận các bất phương trình: a) ( ) 1.m x m x− ≤ − b) 2 3 ( 3).x m m x+ ≥ + Giải: a) ( ) 1.m x m x− ≤ − <=> 2 ( 1) 1.m x m− ≤ −  ( 1) ( 1)( 1).m x m m− ≤ − + Nếu: m=1 thì 0 2x ≤ (đđúng). Tập nghiệm: S=R. Nếu: m>1 thì x ≤ m+1. Tập nghiệm: S= ( ] ; 1m−∞ + . Nếu : m<1 thì x ≥ m+1. Tập nghiệm: S= [ ) 1;m + +∞ . b) 2 3 ( 3).x m m x+ ≥ + 2 ( 3) 3 .m x m m⇔ − ≤ − ( 3) ( 3).m x m m⇔ − ≤ − Nếu: m=3 thì bất phương trình 0x ≤ 0: nghiệm với mọi x . Nếu: m>3 thì bất phương trình có nghiệm x ≤ m. Nếu: m<3 thì bất phương trình có nghiệm x ≥ m. Bài tập: Giải và biện luận các bất phương trình: 1) 6 2 3 .mx x m+ > + 2) ( 1) 3 4.x k x x+ + < + 3) ( 1) 3 4 1.a x a x+ + + ≥ + 4) ( ) 2(4 ).m x m x− > − 5) ( 1) 4 5.k x x− + ≥ 6) ( 1) 2b x x− ≤ − . b. Dạng 2: Bất phương trình bậc hai. Bất phương trình bậc hai 2 0ax bx c+ + > (a ≠ 0) được giải như sau: Xét dấu tam thức: 2 ( )f x ax bx c= + + . +Xét 0∆ < : ( )f x luôn cùng dấu với a, x∀ . Trang 2 Giáo viên: Nguyễn Thị Cẩm Nhung chuyên đề bất phương trình. Do đó: Nếu a<0 thì bất phương trình vô nghiệm. Nếu a>0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . +Xét 0 ∆ = : ( )f x luôn cùng dấu với a, x ∀ ≠ 2 b a − . Do đó: Nếu a<0 thì bất phương trình vô nghiệm. Nếu a>0 thì bất phương trình nghiệm đúng x∀ ≠ 2 b a − . +Xét 0∆ > : ( )f x luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x< . Do đó: Nếu a<0 thì bất phương trình có 2 nghiệm 1 2 x x x< < . Nếu a>0 thì bất phương trình có nghiệm 1 x x< hoặc 2 x x> . x - ∞ 1 x 2 x + ∞ f(x) Cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a * Bất phương trình tích: - Đưa bất phương trình đã cho về dạng ( ) 0P x < ; ( )P x ≤ 0; ( )P x >0; ( )P x ≥ 0. trong đó ( )P x là tích một số nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. - Lập bảng xét dấu vế trái rồi chọn miền nghiệm. * Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức. - Đặt điều kiện xác định. -Đưa bất phương trình đã cho về dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 0; 0; 0; 0. ( ) ( ) ( ) ( ) P x P x P x P x Q x Q x Q x Q x < ≤ > ≥ Trong đó : tử thức, mẫu thức là tích một số nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. -Lập bảng xét dấu vế trái rồi chọn miền nghiệm thích hợp với điều kiện. Ví dụ 1: Giải bất phương trình: a. 2 5 4 12 0x x− + + < . b. 2 2 9 14 0 5 4 x x x x − + > − + Giải: a, Tam thức bậc hai: 2 ( ) 5 4 12.f x x x= − + + có nhgiệm 6 5 x = − và 2.x = BXD: x - ∞ 6 5 − 2 + ∞ ( )f x - 0 + 0 - Vậy tập nghiệm: 6 ( ; ) (2; ) 5 S = −∞ − ∪ +∞ . Trang 3 Giáo viên: Nguyễn Thị Cẩm Nhung chuyên đề bất phương trình. b, * Tìm nghiệm: 2 9 14 0.x x− + = 2 7 x x =   =  . (Nghiệm tử) 2 1 4 4 0 4 x x x x =  − + = ⇔  =  (Nghiệm mẫu). x - ∞ 1 2 4 7 + ∞ VT + P - 0 + P - 0 + Vậy tập nghiệm: ( ;1) (2;4) (7; )S = −∞ ∪ ∪ +∞ . Bài tập: Giải các bất phương trình sau: 1) 2 16 40 25 0x x+ + ≥ 2) 2 3 4 4 0x x− + ≥ . 3) 2 6 0x x− − ≤ . 4) 2 (2 1)( 30) 0x x x+ + − ≥ . 5) 4 2 3 0x x− ≤ . 6) 2 2 ( 3)( 6) ( 2)( 5 4)x x x x x x− + − > − + + . 7) 3 2 2 2 0x x x+ − − > . 8) 2 2 2 7 7 1 3 10 x x x x − + + ≤ − − − . 9) 2 2 1 1 . 5 4 7 10x x x x < − + − + 10) 3 2 ( 1)( 1) 0 (1 2 2) 2 2 x x x x − − ≤ + + + + . 11) 2 18 ( 1)( 3) 4 4 x x x x − − ≤ − − . 12) 2 2 6 0 2 5 3 2 5 3 x x x x x x − ≥ − + + + . Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau: 2 2 ( 6 16) ( 1) 5 0m m x m x+ − + + − = có hai nghiệm trái dấu. Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: a.c<0. ⇔ 2 ( 6 16)( 5) 0m m+ − − < . ⇔ 2 6 16 0m m+ − > . ⇔ m<-8 hoặc m>2. Vậy ( ; 8) (2; )m∈ −∞ − ∪ +∞ thì thỏa bài toán. Bài tập: 1). Xác định m để: a) 2 ( 5) 4 2 0m x mx m− − + − = có nghiệm. Trang 4 Giáo viên: Nguyễn Thị Cẩm Nhung chuyên đề bất phương trình. b) 2 ( 1) 2( 1) 2 3 0m x m x m+ + − + − = có nghiệm. c) 2 (2 ) 2 0x m x m− − + − = có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa: 2 2 1 2 2 1 7 x x x x     + >  ÷  ÷     . d) 2 2 6 2 2 9 0x mx m m− + − + ≤ có 2 nghiệm dương phân biệt. e) 2 5 0x x m− + ≤ có nghiệm. 2) Giải và biện luận các bất phương trình: a) 2 1 (3 2) 3a x a x+ > − + . b) 2 2 2 ( 9) 3 4 0x m x m m+ − + + + ≥ . c) 2 ( 2) 2( 1) 0m x m x m− − − + > . d) , 2 ( 1) 2 0mx m x− + + ≥ . Dạng 3: Một số bất phương trình quy về bậc hai: * Bất phương trình chứa ẩn dưới căn thức: Phá căn thức bằng cách: - Đặt điều kiện và bình phương. - Đặt ẩn phụ. -Nhân lượng liên hiệp,… - Dạng cơ bản: 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x  ≥  < <=> >   <  ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 f x f x g x g x ≥  > <=>  <  hoặc 2 ( ) 0 ( ) ( ) g x f x g x ≥   >  . Chú ý: - Biến đổi về bất phương trình tích. - Dùng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số. - Đặt ẩn phụ rồi chuyển phương trình thành hệ phương trình cơ bản. Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 2 6 1.x x x+ − < − (1) Giải: (1) 2 2 2 6 0 1 0 6 ( 1) x x x x x x  + − ≥  ⇔ − >   + − < −  7 2 . 3 x⇔ ≤ < Vậy Tập nghiệm 7 2; 3 S   = ÷    . Bài tập: Giải các bất phương trình sau: Trang 5 Giáo viên: Nguyễn Thị Cẩm Nhung chuyên đề bất phương trình. a) 2 1 2 3.x x− ≤ − b) 2 2 1 1 .x x− > − c) 2 5 14 2 1.x x x− − ≥ − d) 2 6 ( 3)( 2) 34 48x x x x− − ≤ − + . e) 2 2 4 1 3 10 x x x − > − − . f) 2 2 ( 2) 4 4.x x x− + ≤ − g) 2 2 2 2 2 3 4 5x x x x x x+ − + + − ≤ + − . * Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách - Dùng định nghĩa 0 0. A khi A A A khi A ≥  =  − <  - Chia miền xét dấu. - Đặt điều kiện và bình phương, đặt ẩn phụ, đánh giá 2 vế…. - Dạng cơ bản: ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) y f( ) ( ). g x f x g x g x f x g x ha x g x ≤  ≥ <=>  ≥ ≤ − ≥   2 2 ( ) 0 ( ) 0, ( ) ( ). g x g x f x g x ≤   > ≥  ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x g x f x g x ≥  ≤ <=>  − ≤ ≤  .  ( ) ( ) 2 2 ( ) 0g x f x g x ≥    ≤   . Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2 1 2 5.x x x− + − ≤ + (*) Giải: (*)  2 2 5 0 (2 5) 1 2 5. x x x x x + ≥   − + ≤ − + − ≤ +  2 2 5 2 2 5 1 1 2 5. x x x x x x x  ≥ −    ⇔ − − ≤ − + −   − + − ≤ +    . Trang 6 Giáo viên: Nguyễn Thị Cẩm Nhung chuyên đề bất phương trình. 2 2 5 2 3 4 0 3 6 0. x x x x x  ≥ −    ⇔ − + + ≥   − − − ≤    1 4.x⇔ − ≤ ≤ Vậy nghiệm của bất phương trình là [ ] 1;4x∈ − . Bài tập: Giải các bất phương trình sau: a) 2 2 1x x x− ≤ − . b) 3 4 3 2 x x + ≤ − . c) 2 3 1 3 x x − ≥ − . d) 2 4 4 2 1 5x x x+ − + ≥ . e) 2 2 5 4 6 5x x x x− + ≤ + + . f) 2 5 4 12x x x+ > + − . g) 3 8 2x x− ≥ − . III. Kết luận: Trong quá trình soạn chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được góp ý của quý thầy cô trong tổ. Người thực hiện Nguyễn Thị Cẩm Nhung. Trang 7