Chuyên đề bất phương trình vô tỉ

Là tài liệu trực tiếp được thầy Nguyễn Chí Thanh giảng dạy, nhằm cung cấp cho các bạn sĩ tử kiến thức về bất phương trình vô tỉ. Một chuyên đề quan trọng không thể thiếu trong chương trình ôn thi Đại học. Tài liệu gồm 39 trang, là một trong các bài giảng trong chuỗi các bài giảng ôn thi Đại học của thầy Thanh, và là một phần trong cuốn sách Phương trìnhBất phương trìnhHệ phương trình. Chúc các bạn ôn tập tốt. Rất mong nhận được góp ý khi các bạn đọc tài liệu này Xin chân thành cảm ơn

Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 1 BÀI 3: BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Để giải bất phương trình chứa căn thức người đều quy về việc giải bất phương trình không chứa căn thức (đặc biệt là quy về bất phương trình bậc hai). Để làm điều đó, người ta thường dùng các phương pháp cơ bản như: Đặt ẩn phụ, nhân liên hợp hoặc biến đổi tương đương để làm mất các căn thức có mặt trong bất phương trình chứa căn thức ban đầu. Cần lƣu ý các dạng cơ bản sau của bất phƣơng trình chứa căn thức:   2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) gx fx f x g x gx f x g x                     ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x f x g x f x g x         (Trong hai bpt ( ) 0gx , ( ) 0fx , bpt nào đơn giản thì ta làm).   2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) gx f x g x f x f x g x             2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) gx f x g x f x f x g x           Một số dạng khác: 2 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x   2 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x   2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) fx f x g x f x g x       2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) fx f x g x f x g x       2 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) gx gx gx gx f x g x f x g x f x g x gx f x g x                                    Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) gx gx gx gx f x g x f x g x f x g x gx f x g x                                    2 22 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) gx gx f x g x f x g x g x f x g x               2 22 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) gx gx f x g x f x g x g x f x g x               2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x f x g x          2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x f x g x          2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x g x f x g x       2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x g x f x g x       0 0 0 2 . ( ) f g f g h h f g h f g                 0 0 0 2 . ( ) f g f g h h f g h f g                 0 0 0 2 . ( ) f g f g h h f g h f g                 0 0 0 2 . ( ) f g f g h h f g h f g                 f g h f h g     f g h f h g     f g h f h g     f g h f h g     BÀI TẬP VẬN DỤNG: DẠNG TOÁN CƠ BẢN Bài 1(ĐHKTrúc-1977): Giải bất phương trình: 4 1 1xx    Bài giải: Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 3 Ta có: 1 4 1 4 4 1 1 4 2 2 1 1 1 xx bpt x x x x x x x                           22 1 4 1 4 1 4 14 1 0 1 1 04 1 1 0 1 1 01 (1 ) 1 3 0 0 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                                                          . Bài 2(Khối.A-TP.HCM-1983): Giải bất phương trình: 1 4 2 1xx   Bài giải: Ta có: 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 0 1 1 2 1 0 1 4 2 1 2 2 1 4 (2 1) 20 1 4 (2 1) 4 2 0 1 4 (2 1) x x x x x x xx xx x xx x xx                                                                   1 1 2 2 ;0 1 1 0 2 2 20 x x x x x x                                 . Bài 3(A-2005): Giải bất phương trình: 5 1 1 2 4x x x     Bài giải: Ta có bpt 2 2 5 1 0 1 0 2 5 1 1 2 4 2 4 0 2 2 6 4 5 1 3 5 2 2 6 4 x xx x x x x x x x x x x x                                  2 2 2 2 2 2 2 10 4 4 2 6 4 10 0 0 10 x x x x x x x x x x x                            . Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 4 Bài 4(ĐHTH.HCM-1991): Giải bất phương trình: 2 2 2 6 12 2 2 15x x x x x x        Bài giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 60 12 0 6 12 2 2 15 2 15 0 ( 6)( 12) 4 21 xx xx x x x x x x xx x x x x x x                                                                 2 2 2 32 ;2 3; ; 3 5; ; 3 4; ; 3 5; 3;7 ; 3 5; 3;7 ; 3 7; 4 21 0 ; 3 7; 41 ( 3) (8 41) 0 4 21 0 7 8 7 174 369 0 x x x x x x x x xx x xx x xx x x x                                                                                                                     ; 3 5; 3 5;7 3 5; 3;7 7 7 x x x x x x                              . N.Xét: Các bạn cũng có thể giải Bài 3 theo tương tự như Bài 4 sau và ngược lại. Bài 5(ĐHQG.TPHCM-1996): Giải bất phương trình: 2 2 2 3 2 4 3 2 5 4x x x x x x        Bài giải: Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 3 2 0 4 3 0 3 2 4 3 2 5 4 5 4 0 2 1 ( 2)( 3) ( 1)(2 11) xx xx x x x x x x xx x x x x x                                Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 5             1 ;1 2; 1 1 ;1 3; 1 ;1 4; 24 97 0 2 ( 2)( 3) 11 2 2 1 ( 2)( 3) ( 1)(2 11) 4 4 2 11 0 2 ( 2)( 3) 2 11 2 11 0 24 97 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                                                                         1 4 1 11 1 4; 4 2 11 2 x x x x x x x                                      . Bài 6(ĐH Dược.HN-2000): Giải bất phương trình: 2 2 2 8 15 2 15 4 18 18x x x x x x        Bài giải: Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 22 8 15 0 2 15 0 8 15 2 15 4 18 18 4 18 18 0 3 ( 25) ( 3) xx xx x x x x x x xx x x x                                                              22 2 2 2 24 ;3 5; ; 5 3; ; 5 3 5; ; 5 3 5; 3 ; 3; 3 ( 25) 3 0 3 6 34 0 2 3 ( 25) ( 3) x x x x x x x x xx x x x                                                                 Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 6           ; 5 3 5; 17 ; 5 3 5; 17 3 3 x x x                       . N.Xét: Ta thấy Bài 5 biến đổi khác một chút so với Bài 3 và Bài 4. Tuy nhiên chúng ta đều thấy chúng có dạng: 0 0 0 2 . ( ) f g f g h h f g h f g                 0 0 0 2 . ( ) f g f g h h f g h f g                 0 0 0 2 . ( ) f g f g h h f g h f g                 0 0 0 2 . ( ) f g f g h h f g h f g                 Bài 7(ĐH An Ninh-TP.HCM-1997): Giải bất phương trình: 3 2 8 7x x x     Đáp số:     4;5 6;7x . Bài 8(ĐH Ngoại Ngữ-HN-1997): Giải bất phương trình: 5 4 3x x x     Đáp số: 12 2 3 3; 3 x       . Bài 9(ĐH Dân lập Hồng Bàng-1998): Giải bất phương trình: 3 1 2 1x x x     Đáp số: 3 1; 2 x      . Bài 10(ĐH Mỹ Thuật-1998): Giải bất phương trình: 7 1 3 18 2 7x x x     Đáp số: 9x  Bài 11(ĐH Dân lập Tôn Đức Thắng-1998): Giải bất phương trình: 3 1 2x x x     Đáp số: 2 21 3 x  Bài 12(ĐH An Ninh-1999): Giải bất phương trình: 5 1 4 1 3x x x    Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 7 Đáp số: 1 4 x  . Bài 13(ĐH Bách Khoa-HN-1999): Giải bất phương trình: 1 3 4xx    Đáp số: 0x  . Bài 14(ĐH Thủy Lợi-2000): Giải bất phương trình: 2 3 5 2x x x     Đáp số:   2;2x . Bài 15: Giải bất phương trình: 2 9 9 6x x x x      Bài giải: Điều kiện:   0;9x  . Ta có: 2 2 2 2 2 2 9 9 6 2 9 9 3 9 2 9 3 0 9 3x x x x x x x x x x x x x x                     2 9 3 5 9 3 5 9 9 0 22 x x x         (thỏa mãn điều kiện) Vậy 9 3 5 9 3 5 ; 22 x      là miền giá trị cần tìm. Bài 16: Giải bất phương trình: 12 3 2 1x x x     Bài giải: Điều kiện: 12 0 3 0 3 2 1 0 x xx x            . Ta có: 2 2 7 0 7 12 3 2 1 7 2 5 3 13 4 9 52 0 13 4 xx x x x x x x x x x x                             Kết hợp với điều kiện ta có:   3;4x  là miền giá trị cần tìm. Bài 17(ĐH Sư phạm-TP.HCM-1994): Giải bất phương trình: 2 2 6 1 2 0x x x     Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 8 Đáp số:   37 ; 3; 2 x          . Bài 18(ĐH Quốc gia-HN-1997): Giải bất phương trình: 2 6 5 8 2x x x     Đáp số:   3;5x . Bài 19(ĐH Dân lập kỹ thuật công nghệ-1999): Giải bất phương trình: 2 3 2xx   . Đáp số: 3 ;3 2 2 2 x       . Bài 20(ĐH Dân lập kỹ thuật công nghệ-2000): Giải bất phương trình: 2 1 8xx   Đáp số: 1 ;5 2 x     . Bài 21(ĐH Mỏ địa chất-2000): Giải bất phương trình: ( 1)(4 ) 2x x x    Đáp số: 7 1; 2 x     . Bài 22(TK-D-2005): Giải bất phương trình: 2 8 6 1 4 1 0x x x     Đáp số: 11 ; 42 x           . Bài 23: Giải bất phương trình: 2 3 2 1 1x x x    Đáp số:   1 1 ;1 3 x       . Bài 24: Giải bất phương trình: 2 3 2 1x x x    Đáp số: 1x  . Bài 25: Giải bất phương trình: 42 2 1 1x x x    Bài giải: Ta có:         2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ; 2 1; 11 0;1 11 x x x x x x x x x x x x xx x xx                                                           Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 9 1 1 1 x xx x             . Bài 26(Học viện quân y-2000): Giải bất phương trình: 4 1 2xx    Bài giải: Điều kiện: 10 1 20 15 4 1 0 x x x x x                Ta có: 2 2 4 1 2 4 1 2 1 2 5 3 0 x x x x x x x xx                      5 13x    Vậy  5 13;1x      là miền giá trị cần tìm. Bài 27(ĐH Sư phạm Quy Nhơn-2000): Giải bất phương trình: 5 4 5 4 4xx    Đáp số:   0;1x Bài 28(ĐH Hàng hải-2000): Giải bất phương trình: 11 42 xx   Bài giải: Ta có: 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 11 4 11 2 42 20 24 11 20 1 42 4 1 0 2 x x x x x x xx x xx x xx x x                                                                                                         1 2 0 1 0 2 x x x              . Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 10 Bài 29: Giải bất phương trình: 11x x x    (*) Bài giải: +) Điều kiện: 11x   +) TH1: Xét với 1 0 1 1x x x       , khi đó:       10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (*) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 4 1 x x x x x x x x x x                     4 00xx    (thỏa mãn điều kiện). +) TH2: Xét với   2 2 2 2 0 1 (*) 1 1 2 2 1x x x x x x                01 2 2 2 2 2 4 2 2 1 2 4 1 0 x x x x x x            luôn đúng. Vậy 01x thỏa mãn bất phương trình đã cho. Bài 30: Giải bất phương trình: 22 4 3 2 3 1 1x x x x x       (*) Bài giải: +) Điều kiện:     2 2 4 3 0 1 ; 1 3; 2 2 3 1 0 xx x xx                      . +) Với 1x  thỏa mãn bất phương trình (*). +) Với 1 2 x  , ta có:          (*) (1 ) 3 1 2 1 1 0 1 3 1 2 1 0x x x x x x x x x                    1 2 3 1 1 2 2 3 1 3 x x x x x x             luôn đúng. +) Với 3x  , ta có:           (*) 1 3 2 1 1 1 0 1 3 2 1 1 0x x x x x x x x x                 22 3 2 1 1 3 3 2 2 2 3 1 2 2 3 1 2 1x x x x x x x x x x                   vô nghiệm với 3x  . Vậy   1 ;1 2 x        thỏa mãn bất phương trình đã cho. DẠNG TOÁN: DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG Bài 1(A-2004): Giải bất phương trình: 2 2( 16) 7 3 33 x x x xx       Bài giải: [...]...   Bài 4: Giải bất phương trình: 1 x  1 x  x Bài giải: Điều kiện: x   1;1 Ta thấy x  1;0  1 không thỏa mãn bất phương trình Xét khi 0  x  1 , ta có: 1  x  1  x  0  1  x  1  x  1  x  1  x  0 Suy ra bất phương trình 1  x  1  x  x  1  x  1  x  x  2  x 2  2 1  x 2  x 4  0 (vô lý) Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm Bài 5: Giải bất phương trình: x  2  4... nghiệm bất phương trình: x  1  x 2  x 1  x 2 trong đoạn 0;1 Bài giải: Ta thấy x  0 và x  1 đều không thỏa mãn bất phương trình Do đó bài toán trở thành tìm nghiệm x   0;1 , với điều kiện đó ta có: x  1  x 2  x 1  x 2  x  ( x  1) 1  x 2  Do x   0;1    VT(*)  x  0 2 VP(*)  ( x  1) 1  x  0  (*) , suy ra (*) vô nghiệm trong đoạn 0;1 Bài 2(TK-A-2008): Giải bất phương trình: ... thỏa mãn bất phương trình đã cho Bài 12: Giải bất phương trình: 3x 2  6 x  4  2  2 x  x 2 Bài giải: (*) +) TXĐ: +) Ta có (*)  3 3x 2  6 x  4  6  6 x  3x 2  3x 2  6 x  4   3 3x 2  6 x  4  10  0 (1) t 0 Đặt t  3x 2  6 x  4, t  0 , khi đó: (1)  t 2  3t  10  0  0  t  2 Suy ra: 3x 2  6 x  4  2  3x 2  6 x  0  2  x  0 Vậy 2  x  0 thỏa mãn bất phương trình đã cho... mãn bất phương trình đã cho Bài 13: Giải bất phương trình: x 1 x 1 2 30 x x Bài giải: +) Điều kiện: x   ; 1   0;   +) Đặt t  x 1 , t  0 , khi đó bất phương trình trở thành: x t 0 t 2  2t  3  0  t  3  x  ;1 0;  x ;10;  x 1 x 1 1  8x  1 3  9 0  x   0;  x x x  8 Vậy x   0;  thỏa mãn bất phương trình đã cho    8 1 DẠNG TOÁN: SỬ DỤNG... 15: Giải bất phương trình: 1  x  1  x  2  x 2 (*) Bài giải: +) Điều kiện: 1  x  1 SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆT Page 16 Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 +) Ta có: (*)  2  2 1  x 2  4  x 2     2 1  x2  1  1 4 1 4 x  1  x 2   2 1  x 2  1  x 0   16 16 1 4 x  0 luôn đúng với 1  x  1 16 Vậy 1  x  1 thỏa mãn bất phương trình đã cho Bài 16: Giải bất phương trình: ... 2 (1  1) (1  x )2  x   2( x 2  x  1)     (2) Từ (1) và (2) bất phương trình xảy ra  1  x  x  2( x 2  x  1) SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆT Page 19 Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 Hơn nữa để (2) xảy ra  1  x  x  x  x  1  0  x  1  5 3 5 x (thỏa 2 2 mãn bất phương trình ban đầu) Vậy bất phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất: x  3 5 2 N.Xét: ta cũng có thể biến... ra với mọi 1  x  3 thì f ( x)  f (3)  20 Vậy 1  x  3 thỏa mãn bất phương trình đã cho N.Xét: Tương tự các bạn hãy tự giải các bất phương trình sau: SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆT Page 30 Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 1) x  2  3 2  x  21  5 2 x  5 2) 7 x  8  36  3 3x  6  2 7 x  2 Bài 2: Giải bất phương trình: 4 4 x 2  4 x  1  x 2  x  1  x 3  6 x 2  15x  14 (*) Bài...  v  2u 2  2v 2   u  v    u  v   0  u  v 2 x 1 2 2 Giả sử: u  v  x  2  2 x  1   x  2   2 x  1  x2  2 x  5  0 (vô nghiệm) Suy ra với x  Vậy x  2 1 thì u  v 2 1 thỏa mãn bất phương trình đã cho 2 Bài 11(ĐHGTVT-98): Giải bất phương trình: 5x 2  10 x  1   x 2  2 x  7 Bài giải:  +) Điều kiện: 5x 2  10 x  1  0  x   ;  (*)  5  2 5   5  2 5 ;   ...  Vậy x  3 5 2 3 5 thỏa mãn bất phương trình đã cho 2 Bài 2(Trung tâm đào tạo và bồi dưỡng cán bộ y tế-TP.HCM-1993): Giải bất phương trình: 5 x  5 2 x  2x  1 4 2x Bài giải: Điều kiện: x  0 Ta có: 5 x  5 2 x  2x  1 1   1    4  2  x    5 x  40 2x 4x   2 x  2 1  1     2 x    5 x  20 2 x 2 x   Đặt t  x  1 2 x (*) , theo bất đẳng thức Cauchy ta có: t ...  5t  24  0  0  t  8  0  x 2  5x  28  8  x 2  5x  36  0  9  x  4 Vậy x   9; 4 là miền giá trị cần tìm x Bài 9: Giải bất phương trình: x  x2  1  35 12 Bài giải: Điều kiện: x   ; 1  1;   +) Ta thấy x  1 thì bất phương trình vô nghiệm +) Với x  1 , ta có: x  Đặt t  x2 x2  1 (*)  t 2  2t  x x2  1  35 x4 x2 1225  2 2  0 2 12 x 1 x  1 144 (*)  0 , ta . trình: 22 66 2 5 4 x x x x xx       Bài giải: Ta thấy:   2;3x  thỏa mãn bất phương trinh. Ta có: 2 22 2 60 6 6 1 60 1 0 2 5 4 (2 5)( 4) (2 5)( 4) xx x x x x x xx x x x x x xx  