Chuyên đề bất phương trình vô tỉ

Là tài liệu trực tiếp được thầy Nguyễn Chí Thanh giảng dạy, nhằm cung cấp cho các bạn sĩ tử kiến thức về bất phương trình vô tỉ. Một chuyên đề quan trọng không thể thiếu trong chương trình ôn thi Đại học. Tài liệu gồm 39 trang, là một trong các bài giảng trong chuỗi các bài giảng ôn thi Đại học của thầy Thanh, và là một phần trong cuốn sách Phương trìnhBất phương trìnhHệ phương trình. Chúc các bạn ôn tập tốt. Rất mong nhận được góp ý khi các bạn đọc tài liệu này Xin chân thành cảm ơn

Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999

S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 1

BÀI 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Để giải bất phương trình chứa căn thức người đều quy về việc giải bất phương trình không chứa căn thức (đặc biệt là quy về bất phương trình bậc hai)

Để làm điều đó, người ta thường dùng các phương pháp cơ bản như: Đặt ẩn phụ, nhân liên hợp hoặc biến đổi tương đương để làm mất các căn thức có mặt trong bất phương trình chứa căn thức ban đầu

Cần lưu ý các dạng cơ bản sau của bất phương trình chứa căn thức:

 2

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )

( ) 0 ( ) ( )

2

( ) 0 ( ) 0

( ) 0 ( ) 0

Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999

S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 2

2 2

2

( ) 0 ( ) 0

( ) 0 ( ) 0

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f g

f g

0 0

f g

f g

;0 1

1

0 2

x x

x

x x

x x

2 2

x x

x x

f g

f g

0 0

f g

f g

3

x

Bài 12(ĐH An Ninh-1999): Giải bất phương trình: 5x  1 4x  1 3 x

Kết hợp với điều kiện ta có: x 3; 4 là miền giá trị cần tìm

Bài 17(ĐH Sư phạm-TP.HCM-1994): Giải bất phương trình: 2

2x  6x    1 x 2 0

1 1

1 1

x x

x x

Vậy x   5 13;1  là miền giá trị cần tìm

Bài 27(ĐH Sư phạm Quy Nhơn-2000):

Giải bất phương trình: 5 4  x  5 4  x  4Đáp số: x 0;1

Bài 28(ĐH Hàng hải-2000): Giải bất phương trình: 1 1

4   x x 2

Bài giải:

Ta có:

2 2

2

1 2 1 1

x

x x

x x

2

0 1

0 2

x

x x

Vậy 0  x 1 thỏa mãn bất phương trình đã cho

Bài 30: Giải bất phương trình: 2 2

  thỏa mãn bất phương trình đã cho

DẠNG TOÁN: DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Bài 1(A-2004): Giải bất phương trình:

( ;0] [3; )

( ; ] [3; ) 1

2 ( ; ] [2; )

1;1 1;1

16 16

x x

x x

2 3

3

2 7

x

x x

Vậy x  ;0 1;2 là miền giá trị cần tìm

Bài 7(ĐH Tài chính kế toán-HN-1997): Giải bất phương trình:

2

51 2

1 1

Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999

S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 14

Ta có:

2 2

2 2

Vậy x   1 2 13; 5  1; 1 2 13   là miền giá trị cần tìm

Bài 8(ĐH Xây dựng-1997): Giải bất phương trình:

x

x x

Vậy x    2; 1  3 là miền giá trị cần tìm

Bài 11(ĐH Huế-1999): Giải bất phương trình:

2

x

x x

Vậy x    3  2;4 là miền giá trị cần tìm

Bài 12(ĐH Mỹ thuật công nghiệp-1999): Giải bất phương trình: 2

1 1

0

x x

x x

4 5

1 4 4

4

x x

x

x x



  thỏa mãn bất phương trình đã cho

Bài 15: Giải bất phương trình: 1 2

Vậy    1 x 1 thỏa mãn bất phương trình đã cho

Bài 16: Giải bất phương trình:  2

1 0

x x

Vậy x  5 thỏa mãn bất phương trình ban đầu

DẠNG TOÁN: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI HỆ QUẢ

Bài 1(ĐH Sư phạm Quy Nhơn-1998): Giải bất phương trình:

2 2

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: 3 5

mãn bất phương trình ban đầu)

Vậy bất phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất: 3 5

thỏa mãn bất phương trình đã cho

Bài 2(Trung tâm đào tạo và bồi dưỡng cán bộ y tế-TP.HCM-1993):

Giải bất phương trình: 5 5 2 1 4

2 2

x x

x

x x

Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999

S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 22

Bài 3(ĐH Thái Nguyên-2000): Giải bất phương trình: 3 3 2 1 7

2 2

x x

x

x x

x x  x  x    x  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x 2 3;2  3 là miền giá trị cần tìm

Vậy x  9; 4 là miền giá trị cần tìm

Bài 9: Giải bất phương trình:

2

35 12 1

x x

x thỏa mãn bất phương trình đã cho

Bài 11(ĐHGTVT-98): Giải bất phương trình: 2 2

x  x      x (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x     ; 3 1;  thỏa mãn bất phương trình đã cho

Bài 12: Giải bất phương trình: 2 2

Vậy    2 x 0 thỏa mãn bất phương trình đã cho

Bài 13: Giải bất phương trình: x 1 2 x 1 3 0

   thỏa mãn bất phương trình đã cho

DẠNG TOÁN: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Ta thấy x 0 và x 1 đều không thỏa mãn bất phương trình

Do đó bài toán trở thành tìm nghiệm x 0;1 , với điều kiện đó ta có:

 , suy ra (*) vô nghiệm trong đoạn  0;1

Bài 2(TK-A-2008): Giải bất phương trình: 2

2

4 5

2

2 5

1 5

x x

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 5: Giải bất phương trình: 2

x   x x  x (*)

Vậy 2  x 4 thỏa mãn bất phương trình đã cho

DẠNG TOÁN: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Giải bất phương trình: x  1 2 x  6 20  3 x 13 (*)

Mà f(3)  20, suy ra với mọi    1 x 3 thì f x( )  f(3)  20

Vậy    1 x 3 thỏa mãn bất phương trình đã cho

N.Xét: Tương tự các bạn hãy tự giải các bất phương trình sau:

Vậy  x đều thỏa mãn bất phương trình đã cho

N.Xét:- Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng kiến thức:

DẠNG TOÁN: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP

Bài 1(ĐH Mỏ địa chất-1997): Giải bất phương trình: 2 x  1 x   2 x 2

Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999

S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 32

N.Xét: Ta thấy nếu thực hiện phép nhân liên hợp biểu thức vế trái ta sẽ được biểu

thức vế phải Từ đó bài toán sẽ trở lên đơn giản

N.Xét: Chúng ta thấy bài toán này không thực hiện được theo cách giải Bài 32

Vậy chúng ta sẽ làm như thế nào?

9x  (3 )x và hơn nữa nếu ta thực hiện nhân liên hợp biểu thức dưới mẫu

ta sẽ có:  1 3  x 1 1 3  x  1 3x Đến đây chúng ta đã có hướng giải:

N.Xét: Qua một số bài toán trên ta thấy khi giải đề thi Đại học, ngoài việc nắm

vững kiến thức cơ bản ra, chúng ta cần có một tư duy tốt để phát hiện ra điều đặc

biệt của bài toán (tư duy đó chúng ta sẽ có như thế nào? Câu trả lời: nó sẽ xuất

hiện và trở thành phản xạ tốt khi các bạn rèn luyện qua các bài toán Do đó để học tốt chúng ta cần rèn luyện thật nhiều, cần làm nhiều bài tập, qua đó Thầy tin chắc

chắn rằng các bạn sẽ thấy mình tiến bộ) Hãy hướng tới một ngày mai tươi sáng

hơn, tốt đẹp hơn các bạn nhé

 

N.Xét: Bài toán này tương tự các bài trên (nhưng cần lưu ý chút sứu nghe, các bạn

phát hiện ra điểm khác các bài toán trên ở chỗ nào chưa? Đó chính là vấn đề ở mẫu thức đó các bạn), nên đề nghị các bạn hãy tự giải, sau đó so sánh với bài thầy giải, thầy tin là các bạn sẽ làm tốt Nào, hãy bắt tay vào làm đi thôi bạn

Vậy x  1;8 là miền giá trị cần tìm

Bài 5: Giải bất phương trình:

2

3

x x

Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999

S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 35

2

3 3

4 4

3 3

3

4 4

x x

2 2

N.Xét: Chúng ta vừa thực hiện hai phép nhân liên hợp liên tiếp, sau đó cho ta bất

phương trình (*), đến đây nếu ta tư duy đưa ra các trường hợp để xét dấu và ta

9x  8x 32  16 8 2  x , khi đó mà ta tư duy bình phương tiếp thì chúng ta

sẽ đưa đến một bất phương trình bậc bốn khá phức tạp (ở đó ta không nhẩm được nghiệm) Vậy để giải (*) chúng ta phải làm gì? Các bạn để ý tiếp:

1.Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:

b) A  B  A B

Dấu đẳng thức xảy ra a1 a2   a n

Ta thường sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 hoặc 3 số không âm như sau:

+)Với a b,  0 ta có: a b 2 ab, dấu bằng xảy ra a b

+)Với a b c, ,  0 ta có: a  b c 3 3abc, dấu bằng xảy raa b c

N.Xét: Với bất phương trình này nếu ta nghĩ đến việc bình phương hai vế thì ta sẽ

gặp phải sự khó khăn Một trong những dạng toán khá điển hình là xét trường hợp đặc biệt giá trị của ẩn số so với “0”, sau đó với những giá trị của ẩn số khác “0” ta

Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999

S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 38

sẽ chia hai vế cho ẩn số và thường tiếp theo sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ ta sẽ

đi đến những bài toán quen thuộc

Bài giải:

Điều kiện: x0;2 3    2 3;

+) Ta thấy x 0 là một nghiệm của bất phương trình

+) Xét khi x 0 ta chia hai vế bất phương trình cho x ( x 0), ta được:

2 2

3

t t

x

x x

N.Xét: Với bất phương trình này chúng ta thấy nếu bình phương hai vế thì phải

bình phương hai lần, khi đó là bất phương trình bậc 8 cồng kềnh Vậy chúng ta sẽ làm thế nào?

Bài giải:

Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999

S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 40

Dấu bằng xảy ra

1 2