chuyên đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THI THPT QUỐC GIA

NHOÙM TOAÙN 01 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài Biên tập: Nguyễn Phú Khánh x    x  3x  Giải bất phương trình: Lần – THPT ĐÔNG DU  Lời giải Điều kiện:  x 5 Bất phương trình viết lại: x   x    x , bình phương hai vế, rút gọn dạng A  B 14 Đưa bất phương trình x  17 x  14  , giải x  x  14 Kết hợp điều kiện, ta được:  x   x 5 3 Bài 10 1 x 1 Giải bất phương trình: x     Lần – THPT HỒNG LĨNH x x x  Lời giải Điều kiện: 1  x  0; x  Nhận thấy, VP bất phương trình không âm, nên có nghiệm x 1 1  1  x   1  x  x x x x Với x  bất phương trình cho viết lại: Hơn nữa, x  x   x  1  x 1 x 1  x 1   (*) x x x 1 x   0 x x Do bình phương hai vế (*) , ta được: x   x 1 x 1 x 1 2 1  x  2 1  x x x x  x 1  x 1 x 1 1   2     1   x   x x x   Đối chiếu điều kiện,  x   1 thỏa mãn Bài tập tương tự: Giải bất phương trình: x  x    2  x 2  x  x2 x 3  x Lần – THPT SỞ THANH HÓA x  x  10 x  x   x  x  x   x   x 2 2 x  x  4   x  2  Lần – THPT PHÚ RIỀNG Lần – THPT chuyên VĨNH PHÚC  Hướng dẫn: x  2 Bất phương trình cho tương đương:  x 2  x - 1- Email: phukhanh@moet.edu.vn  x2  x 3    x   x  2x  2x  NHOÙM TOAÙN 01 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016     x  x  1  x  x  x   x 2 x  x   1  (2 x  x  5)  x 2  x 2 2  2x  2x  1  x   x  x  x   (Do x  x   0, x   )  x   x 1  2( x 1)  2( x  2) (2) Đặt a  x  2, b  x 1(a  0) , (2) trở thành Do ta có a  b  a  b   a  b  2a  2b     ab0 ( a  b )  2a  2b (a  b )   x   x   13 x   x 1     x  x   ( x  1) x  x 1  Vậy bất phương trình cho có nghiệm x   13  x  12 x  x  8  2 x  x  10 x  x       x 0 x  x  x    Bất phương trình cho tương đương:  x 1  x  x  x   x  x  x   x  2   x  x   x  x    x  x   x  x   (1) Với x  (1) vô nghiệm Với x  , chia hai vế (1) cho x , ta :     4  4   x    1   x      x      x    (2)       x x   x x  Đặt t  x   x   t  , thay vào (2) ta : x x t  1 t  1 2t   t       t 1 t  t   t 12   Với t  x    x  x    x  1  ( vô nghiệm ) x   x  x x  2 Bất phương trình tương đương   x    x  x  4  x  2  x   x  12  x  2  x 1 Nhận xét x  2 không nghiệm bất phương trình Khi x  2 chia hai vế bất phương trình 1 cho x   ta  2  x    12    x   x 2 x x bất phương trình 2  : x 2 t  1 2  t    2t  12  6t    t 2  4  8t  t  12  t 2 t  22   - 2- Email: phukhanh@moet.edu.vn 2 Đặt t  NHOÙM TOAÙN 01 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Với t   Bài 11 x      x  22 x  x   x 2 x Giải bất phương trình:  x  20  x  x   Lần – THPT YÊN LẠC Lời giải Nhận xét: bất phương trình cho viết lại: x 1  x  20  x    x  Điều kiện: x  Bất phương trình tương đương: x   x  x  20     4x  4x    x      1  x  20   x    Với x  4x  4x2  5  4x  x  20    4 x  8   x  20  x  4x  5  x  20   1  Nên nghiệm bất phương trình là: x   Bài tập tương tự: Giải bất phương trình: x  x   3 x  Lần – THPT chuyên NGUYỄN HUỆ 32 x 16 x  x  x 1   Lần – THPT ĐA PHÚC  Hướng dẫn: x  x   3x   x  3x   3x   x   1     x  x     2   3x   x 3x   x x   x 3 x   x   0, x    x  3x    x  x  2  3x   x 3x   x  x  3x   2 x  3x   x 32 x  32 x  16 x  16 x  x    x 1     32 x  x 1  16 x  x 1  7( x 1)   x    32 x  x 1 ( x  1)  16 x  x 1  7( x 1)  2  x  0  x 1   18 0   x 1 32 x ( x  1)  16 x     x     18    x 1   x 1 32 x  32 x  16 x     x 1  - 3- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 01 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016  32 32 x  4    32 Vì x   32 x    32 x  32 x  16 x   27    16 x  16    18 18  x 1     18  32 x  32 x  16 x      x 1  x 1 Bài 12 Giải bất phương trình: x  20 x  x  x  x x  x Lần – THPT LÝ THƯỜNG KIỆT  Lời giải Điều kiện: x  Bất phương trình tương đương: x  x  20 x   x  x      x  20 x   x  x   0, (*)  t         Với x  (*)  x   20    x  với t  x  ; t  2 , từ    x  x x 3t  4t  15   x   tìm t  , suy tập nghiệm bất phương trình S  [0;1]  [4; )  Bài tập tương tự: Giải bất phương trình: x  x   x 1  x  Lần – THPT SỞ BÀ RỊA VŨNG TÀU 2 x   x   x  2 x  x  16 Lần – THPT NAM DUYÊN HÀ x2  x 2  x2  1 x 3 x 3 Lần – THPT THẠCH THÀNH  Hướng dẫn: x  1 x  x   x   x   2 x  1   x  1  x   2 x 1 (*) Nhận thấy x  1 nghiệm bất phương trình 2 x 1 Với x  1 , đó: (*)  Đặt t  x 1 x 1 x 1 x 1  1  , ta thu bất phương trình: 2 x 1 x 1 t   2t   t  10   x   x   1  x  18  10   Vậy, bất phương trình có tập nghiệm: S  1; 18   x 1  - 4- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 01 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x  1 2x   x 1    2 x   x   20 , đặt t  x   x  1, t  Khi đó, ta có: t  t  20  , bất phương trình có t  thỏa điều kiện Với t  x   x    2 x  x   3 x  21 3 x  21   2 x  x   x      x 3 3  x  3 x  21    x 146 x  429   Đối chiếu với điều kiện x  1 suy tập nghiệm bất phương trình là: S  3;  x  3 x2  x 2   x 1   x 3 x 3 x2  x 2  x 3 x   x 1   x2  x 2  x 3 x 3  x 1 x  x    x  3 x  3 x2  x 2  x 3 x 3  x 1          x  x 6   x  1   1   x    1  x    x2  x 2      x  3 x  3      x 3  x     Bài 13 Giải bất phương trình:  x  x   x 1   x  2 x   x  x  Lần – THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH PHƯỚC  Lời giải Điều kiện: x  Dùng máy tính, phân tích  x  x  6 x 1 1   x  2 x   2  x 10 x  12  x  x  6 x  2  x  2 x  3  x 1  x   x  6 x  2 x 1   x 10 x  12  x  5x  6   x  x  6 x 1  x 1   x 2    x  x  6    2   x 1   x 1       x 1   0   x  x  6    x 1   x       Đối chiếu điều kiện, ta x  1;2   3;     Bài tập tương tự: - 5- Email: phukhanh@moet.edu.vn   NHOÙM TOAÙN 01 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Giải bất phương trình: (4 x  x  7) x   x  x  10 Lần – THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – ĐÀ NẴNG 5 x  x  10  x   2 x   x   x  13 x  x  32 Lần – THPT LỘC NINH  Hướng dẫn: x  (4 x  x  7) x   x  x 14  x   x   2   x    (4 x  x  7)  x   2   x   2 x       x   2  (4 x  x  7)   x   2     x  x    x   2  x 2 2   (4 x  x  7) 2  x  x   x  x 2 2   x  2   4 x  x   (2), 2   x  1; x     2 4 x  x  3   x   (3), 3  16 x  x  23 x  x     x  14 x  14 x  x 1     48    48  ;    ;  Khi đó, (3) có tập nghiệm là: T3  ;1       Kết hợp với (2) điều kiện ban đầu, bất phương trình cho có tập nghiệm:   48  T  2 ;1   ;    x  2 (5 x  x  10)   x    (2 x  6)  (5 x  x  10)     x    3(5 x  x  10)  2(2 x  6)  x  13 x  x  32 x    (2 x  6)   x    x  x  5x  10   x  x  10  2x    x     x  5  (*)  x   x 2 2  Vì x  2  x     Vì x  2   x 2 2 x 7 3  3   5x  x  10 x 7 3 Từ (1) (2)    x    2x   2x   x  (1) x 2 2  x  x  10  x   x 7 3 5 x  x  10 x  5x  10  x2 x 2   x   x  (2) x 7  5x  x  10  2x  x 7 3 x 2 2 Kết hợp điều kiện x  2  2  x   x   Do (*)  x    x  - 6- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 01 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Bài 14 x 3 Giải bất phương trình: x 1  x   Lời giải Điều kiện: 1  x  9; x  Bất phương trình tương đương:  9x x Lần 1– THPT CAO LÃNH   x  3x   x x   x   x x   x 1    0  ( x  3)  9( x  1)   x x   x   x x   x 1 x     x 1 x   x 1   x  x x   x 1    0 0     x  x    1  x x   x 1   x 0  0 x x  x   x 1    x     x     x  x     x  x  Kết hợp điều kiện ta nghiệm bất phương trình  x   Bài tập tương tự: Giải bất phương trình: x 3 x 1  9 x x Lần – THPT YÊN THẾ  Hướng dẫn: Bất phương trình tương đương: x    x 1 x   x 1   x    x x 1  x    Bài 15 Giải bất phương trình: x   x 1   x 0 x x 1    x    1  x  x   x   x 1     x  x     x   x 8 0  0 x 8 x x ( x  1)  x  5x  x  0 0 Lần – THPT ĐỒNG GIA  Lời giải Điều kiện: x  Bất phương trình tương đương: x x  x  ( x  x  12 x  8)  ( x  x  4)  - 7- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 01 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016  ( x )  x  x  ( x  2)  ( x  2)  ( x  2) (*) Xét hàm số f (t )  t  t  t , t   có f '(t )  3t  t   0, t   3 Do hàm số f (t ) đồng biến  Hơn (*) có dạng f  x   f  x  2  x  x  (**) Với  x  nghiệm (**) Với x  , bình phương hai vế (**) ta x  x     x  Kết hợp nghiệm ta < x  nghiệm (**) Vậy nghiệm (**)  x  , nghiệm bất phương trình cho  Bài tập tương tự: Giải bất phương trình: x ( x  1) ( x  1) 2 ( x  1)(2 x  3) x 1  Lần – THPT NGHỀ NINH HÒA x  x  x 1 Lần – THPT PHƯỚC BÌNH 2x 1   Hướng dẫn:   x   ;  \ 1   x ( x  1) ( x  1) 2  ( x  1)(2 x  3)  x ( x 1)  x ( x  1) ( x  1)   x   ( x   1)(2 x  3) 1   x ( x 1)  ( x   1)(2 x  3) *   x   (2 x  3)  x  2x  x  (2 x  3) x   x  3  x ( x  2)  (2 x  3) x   x    x  Vậy điều kiện phương trình : x  * viết lại  x 1  1 ( x 1)   x   1 x   * * với x   x 1  Xét hàm số f (t )  (t  1) t , t   f '(t )  3t  2t , t  Suy f (t ) số đồng biến 1; * * có dạng f ( x 1)  f ( x  3)  x 1  x   x  x  x      x 2 Ta có :   x   x  x   x  1, x  13 x 1  Nếu x  x  2x 1 2x 1   x 1   x2  x 6 2x 1  1  x  2 x   2 x 1   * x     x  13 (1) (*)  2 x  1  x    x  1 x   x  Do hàm f (t )  t  t hàm đồng biến  , mà (*) có dạng: f   x 1  f  x 1        DK(1)  0;  x   x   x  x  x   x  ;    vô nghiệm     - 8- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 01 Nếu CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x     1  x  13 (2) (*)  2 x  1  x    x  1 x   x  (2*) Do hàm f (t )  t  t hàm đồng biến  , mà (2*) có dạng: f   x 1  f  x 1     x  13  x   x   1  x     2 2 x  1   x  1 1   1   DK(2) ;   ;13 Suy ra: x  1;0      x  1;0         1   ;13 Vậy, tập nghiệm bất phương trình S  1;0      Bài 16 Giải bất phương trình:  x x   x  x  1(1  x  x  2) Lần – THPT ANH SƠN  Lời giải Bất phương trình cho tương đương ( x x   x  x  x  x  2)  (1  x  x  1)   ( x  1)(2 x  x  2) x x   x  x 1 x  x  2  ( x  1)(  ( x  1).A  (1) với A   x (1  x ) 1 x  x 1 2x  x  x x 1  x  x 1 x  x  2 2 2x  x  x x 1  x  x 1 x  x  2 2   0 x 1 x  x 1 )0 x 1 x  x 1  x  x   x   Nếu x    x  x  x  x   x x   x  x   x   x  x 1 x  x   x x 1   A  Nếu x  , áp dụng bất đẳng thức AM-GM : 2   x  x  x  x   x  x   x  x   x  x   2   x  x 1 2  x x   x  2   x  x 1 x  x   x x 1  2x  x  x x  A  1  1 2 1 x  x 1  x  x 1 Tóm lại , với x   ta có A>0 Do (1) tương đương x    x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho (1; ) Chú ý : Cách Phương pháp hàm số Đặt u  x  x   u  x  x  vào bất phương trình cho ta có - 9- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 01 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 u  x  x  x x   u (1  u  1)  u  u  u u   x  x  x x  (*) Xét f (t )  t  t  t t  ) f '(t )  (t  t  1)2  t   t nên hàm nghịch biến R Do (*) có dạng f (u )  f ( x )  u  x  x   Bài tập tương tự: Giải bất phương trình: x 1  3x   Lần – THPT ĐA PHÚC x  1  Hướng dẫn: Đặt t  x  , bất phương trình trở thành: t 3  3t   Điều kiện: t  0, bất phương trình (*) tương đương ( t  1)( t 1 t 3  (*) 3t  )2 Theo Cô-si ta có: t t 3 t 3  t t  1  t t        t  t   t  t    1       t   t   t 3t  1 3t   2t 1 2t       3t   3t  1  t 1 1 t        t  3t   t  3t  1  VT  2, t   x    x  (; ]  [ 2; )  T  (; ]  [ 2; ) - 10- Email: phukhanh@moet.edu.vn