Một vài giải pháp tìm hiểu tính chất và mối liên hệ giữa các biểu thức có trong phương trình, bất phương trình vô tỷ định hướng cách giải nâng cao năng lực tự học cho học sinhTHPTQuan hóa

MỤC LỤC STT NỘI DUNG I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm II Thực trạng trước áp dụng sáng kiến III.Các giải pháp để giải vấn đề IV Hiệu sáng kiến kinh nghiệm III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO TRANG 10 10 10 11 I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trường THPT Quan Hoá thành lập năm 1980 Trải qua nhiều đổi thay đội ngũ cán giáo viên nhiều hệ học sinh, trường đạt số thành tích đáng kể, dù khiêm tốn phản ánh cố gắng thầy trò nhà trường Hiện khoảng cách địa lý nên gặp không khó khăn ảnh hưởng đến công tác giảng dạy học tập giáo viên học sinh Đặc biệt nguồn tài liệu tham khảo thư viện ít, khả tự tìm tòi học hỏi học sinh hạn chế Bên cạnh xã hội đặt yêu cầu cấp thiết việc tạo nguồn nhân lực có chất lượng Bộ Giáo dục cấp ngành liên quan đề nhiều mục tiêu chất lượng học sinh thời kỳ Chính vậy, yêu cầu đội ngũ giáo viên tìm phương pháp giúp học sinh tự học, tự tháo gỡ khó khăn Toán học môn học quan trọng, khó giáo viên không tự nghiên cứu để nâng cao trình độ Với học sinh trường THPT Quan Hóa, đa phần em người dân tộc thiểu số, nhà nước hỗ trợ từ học phí chế độ ăn Điều vô hình chung khiến em ỷ lại, không tự vươn lên vượt qua suy nghĩ “cổ hủ”, “lạc hậu”, “tự ti”, để phấn đấu học tập Vậy làm cách để khiến cho em thay đổi thái độ “ngại học”, “ngại phấn đấu”, “chây lười” học tập câu hỏi làm thân đồng nghiệp khác băn khoăn Trong trình ôn tập môn toán, với chủ đề bất đẳng thức, phương trình bất phương trình vô tỷ nội dung mà học sinh ngại học Đây nội dung không dễ dàng giáo viên, người dạy người học thường hay “bỏ qua” cách đáng tiếc, nội dung chiếm tới 10% tổng số điểm thi Trải qua thực tiễn công tác, giảng dạy để giúp học sinh đạt điểm cao mạnh dạn đề xuất nghiên cứu đề tài “Một vài giải pháp tìm hiểu tính chất mối liên hệ biểu thức có phương trình, bất phương trình vô tỷ định hướng cách giải nâng cao lực tự học cho học sinhTHPTQuan Hóa” Mục đích nghiên cứu Đề tài giúp cho học sinh rèn luyện cho kiên trì, tư logic hết bớt “căng thẳng”, “sợ sệt”, “thiếu tự tin” làm toán, đặc biệt gặp toán phương trình bất phương trình vô tỷ Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu sử dụng phép biến đổi tương đương việc khử thức số phép biến đổi thường gặp, từ hướng dẫn học sinh quan sát, tìm hiểu tính chất mối liên hệ biểu thức có phương trình bất phương trình vô tỷ để định hướng cách giải Phương pháp nghiên cứu Phương pháp chủ yếu sử dụng đề tài nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết số dạng phương trình bản, kết hợp với toán cụ thể thường gặp đề thi Từ tạo cho học sinh cách nhìn “thoáng hơn” gặp toán phương trình bất phương trình vô tỷ II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trong phạm vi chương trình phổ thông hành, người ta thường sử dụng phép biến đổi tương đương để khử thức có mặt phương trình bất phương trình vô tỷ, chẳng hạn như: f ( x) = g ( x) ⇔ g ( x) ≥ f ( x) = ( g ( x) ) (1) f ( x ) > g ( x ) ⇔ ( g ( x) < f ( x) ≥ ) ( g ( x) ≥ f ( x) > ( g ( x) ) ) (2) f ( x) ≥ g ( x) ⇔ ( g ( x) < f ( x) ≥ ) ( g ( x) ≥ f ( x) ≥ ( g ( x) ) ) (3) f ( x) < g ( x) ⇔ g ( x) > ≤ f ( x) < ( g ( x) ) (4) f ( x) ≤ g ( x) ⇔ g ( x) ≥ ≤ f ( x) ≤ ( g ( x) ) (5) Ngoài trình giải thường hay sử dụng đẳng thức phép biến đổi sau: (a − b)(a + b) = a − b (6) a − b = (a − b)(a + ab + b ) (7) a + b = (a + b)(a − ab + b ) (8) u + v = + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = (9) au + bv = ab + vu ⇔ (u − b)(v − a) = (10)  u u  −c au + bv = c uv ⇔ a + b = với điều kiện v ≠  v v   (11) Đối với phương trình, bất phương trình có dạng không đơn giản nên quan sát, tìm hiểu mối quan hệ biểu thức có mặt phương trình, bất phương trình để xác định hướng giải phương trình, bất phương trình II Thực trạng trước áp dụng sáng kiến Phương trình bất phương trình vô tỷ gặp đề thi môn toán nội dung “khó xơi” với nhiều học sinh Được học, ôn tập vào phòng thi em lại thấy “cóng”, thấy “như mới”, “chưa từng” biết, Bởi, toán phương trình bất phương trình vô tỷ không giống chẳng thuộc dạng định nào, mỗi vẻ Do em để điểm cách “dễ dàng”, “không nuối tiếc” Đối với học sinh trường THPT Quan Hóa, thẳng thắn mà nói tư em yếu hẳn so với bạn trang lứa huyện miền xuôi Đây lý dẫn đến việc đọc làm phương trình bất phương trình vô tỷ đề thi “xa xỉ” Năm học 2016 – 2017, phân công giảng dạy lớp 12A2 11A1 thông qua việc hỏi tất em câu hỏi: “Các em nhận xét toán phương trình bất phương trình vô tỷ có đề thi”, nhận câu trả lời sau: Số HS hỏi Câu trả lời Bỏ qua biết chắn không làm Không biết đề thi có dạng Có quan tâm không làm Ý kiến khác 12A2 23 (32HS) 11A1 15 (27HS) Tổng: 14 38 54 HS Hoàn toàn không bất ngờ nhận kết thật buồn tiếc cho em Vì, em không đạt điểm tối đa câu hỏi song em đạt 0,25 điểm biết phân tích đề để định hướng cách giải Kết phản ánh thực tế phương trình bất phương trình vô tỷ phần “ngại dạy” “sợ học” giáo viên học sinh Điều dẫn đến tình trạng học sinh thường bỏ qua không làm toán đề thi, điều đáng tiếc Vì để có kết thi tốt đòi hỏi học sinh phải biết “chắt chiu” điểm số Vậy nên lựa chọn cách thức để học sinh tiếp cận cảm thấy “có thể” làm được? Đó thực trạng mà đề tài muốn đề cập tới III.Các giải pháp để giải vấn đề Trong khuôn khổ đề tài áp dụng thực tế giảng dạy, đưa số ví dụ minh họa cụ thể sau: Ví dụ 1: Giải phương trình 3x + + x + = x − Phân tích: Nếu vội vàng dùng phép bình phương để khử thức có mặt phương trình, ta phải xử lý biểu thức cồng kềnh, phức tạp thế, gặp khó khăn lớn (thậm chí vượt qua) trình giải phương trình Nếu trước thực phép biến đổi, chịu khó quan sát, tìm hiểu tính chất biểu thức có mặt phương trình mối liên hệ chúng, nhận quan hệ sau biểu thức: x − = (3x + 2) − ( x + 3) Điều cho thấy phương trình cho thuộc dạng (*) Từ ta có lời giải sau: +) Điều kiện: x ≥ − +) Với điều kiện đó, ta có: 3x + + x + = x − ⇔ x + + x + = ( x + + x + )( 3x + − x + ) ⇔ ( 3x + + x + )( 3x + − x + − 1) = ⇔ 3x + − x + = (do 3x + + x + > ) ⇔ 3x + = + x + ⇔ 3x + = + x + + x + ⇔ x −1 = x + ⇔ x ≥ x − x + = x + ⇔ x = + 17 Dễ thấy giá trị x = + 17 thỏa mãn điều kiện, nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình x + x − = 2( − x ) 2 Phân tích: Phương trình cho phương trình có dạng không đơn giản Vì thế, trước thực phép biến đổi, cần quan sát, tìm hiểu tính chất biểu thức có mặt phương trình Để ý chút, thấy biểu thức vế trái phương trình viết dạng bình phương biểu thức Từ đó, giải phương trình cho theo hướng đây: +) Điều kiện: x ≥ +) Với điều kiện đó, ta có: ⇔ ( x + x − = 2( − x ) 2 ) ( x2 −1 +1 = − x2 ) ⇔ x2 −1 +1 = 2 − x2 ⇔ x − + = 2 − x ⇔ x − = − x ( ) ( x2 −1 +1 = x2 − ) x − = 2x − Đến đây, dựa vào phép biến đổi (1) ta giải hai phương trình x − = − x x − = x − , đối chiếu giái trị x tìm với điều kiện phương trình, ta có nghiệm phương trình cho là: x=− 13 5 13 , x=− , x= , x= 2 2 Ví dụ 3: Giải phương trình x − x = x + Phân tích: Bằng cách sử dụng phép biến đổi (1) khử thức phương trình Tuy nhiên, thu phương trình bậc đầy đủ gặp khó khăn lớn việc giải phương trình cho theo hướng Quan sát tìm hiểu biểu thức có mặt phương trình ta thấy x + = x + x − x + , (theo đẳng thức (8)) Và x − x = 2( x − x + 1) − 2( x + 1) , (bằng cách sử dụng đồng thức) Từ đó, để thuận tiện cho việc tìm hiểu mối quan hệ biểu thức vế phương trình, đặt a = x − x + b = x + Khi đó, viết phương trình cho dạng: 2a − 2b = 3ab Dễ thấy 2a − 2b − 3ab = ⇔ (a − 2b)(2a + b) Điều cho thấy ta biến đổi phương trình cho phương trình tích Ta giải phương trình sau: +) Điều kiện: x ≥ −1 +) Với điều kiện đó, ta có: ( 2x − 4x = x3 + ⇔ x2 − x +1 + x +1 )( ) x2 − x +1 − x +1 = ⇔ x − x + − x + = x − x + + x + > ⇔ x2 − x +1 = x +1 ⇔ x − 5x − = ⇔ x = − 37 x = + 37 2 Cả giá trị thỏa mãn điều kiện phương trình Vì vậy, phương trình cho có nghiệm x = − 37 + 37 x = 2 Ví dụ 4: Giải phương trình x − x + = − x − x + Phân tích: Để ý x + x + = ( x + x − 1) + , ta thấy chuyển vế giải phương trình cho việc giải phương trình có dạng đơn giản nhờ phép đặt ẩn số phụ Ta giải phương trình sau: +) Điều kiện: − ≤ x ≤ +) Với điều kiện ta đặt − x − x + = t , t ≥ (1) Khi từ phương trình cho ta có phương trình t − 3t + = ⇔ t = t = −2 Kết hợp với điều kiện t ≥ ta t = Thay t = vào (1) ta phương trình − x − x + = ⇔ −2 x − x + = ⇔ x = x = − Ta thấy giá trị x tìm thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = − Ví dụ 5: Giải bất phương trình x + + x + ≥ 3x + Phân tích: Có thể dễ dàng nhận thấy mối quan hệ biểu thức có mặt bất phương trình: 3x + = ( x + 3) − ( x + 2) Do đó, bất phương trình cho thuộc lớp bất phương trình có dạng sau: f ( x ) ± g ( x ) < h( x ) f ( x ) ± g ( x ) ≤ h( x ) f ( x ) ± g ( x ) > h( x ) f ( x ) ± g ( x ) ≥ h( x ) Trong h( x) = f ( x) − g ( x) Với bất phương trình thuộc lớp này, biến chúng bất phương trình tích Từ ta có lời giải sau: +) Điều kiện xác định bất phương trình: x ≥ − +) Với điều kiện ta có: x + + x + ≥ 3x + ⇔ 4x + + x + ≥ ( 4x + + x + )( 4x + − x + ) ⇔ ( x + + x + )(1 − x + + x + ) ≥ ⇔ − x + + x + ≥ , x + + x + > ⇔ + x + ≥ 4x + ⇔ + x + + x + ≥ 4x + ⇔ x + ≥ 3x ⇔ −2 ≤ x < ≤ x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ + 19 + 19 Kết hợp với điều kiện bất phương trình, ta tập nghiệm bất phương  + 19     trình cho đoạn − : Ví dụ 6: Giải bất phương trình x + x − 19 ≥ x + x − 15 Phân tích: Trước hết, phải thấy bình phương hai vế dẫn đến bất phương trình bậc cức kì phức tạp Ở ta để ý ( ) x + x − 19 = x + x − 15 − Từ chuyển việc giải bất phương trình cho việc giải bất phương trình có dạng đơn giản nhờ phép đặt ẩn số phụ Ta giải sau: +) Điều kiện bất phương trình: x ≤ −3 x ≥ +) Với điều kiện đó, ta đặt: x + x − 15 = t , t ≥ Bất phương trình cho trở thành: t − 3t − ≥ ⇔ t ≤ −1 t ≥ Kết hợp với điều kiện t ≥ ta t ≥ Do x + x − 15 ≥ ⇔ x + x − 15 ≥ 16 ⇔x≤− + 249 − + 249 x ≥ 4 Tất giá trị x vừa tìm thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm bất phương trình cho x ≤ − + 249 − + 249 x ≥ 4 Trên số ví dụ minh họa cho việc phân tích mối quan hệ biểu thức có phương trình bất phương trình để tìm lời giải Với lực thực tế học sinh nhà trường, mong muốn em không bỏ qua toán hiểu để có điểm không thiết phải giải tới kết cuối IV Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với giới hạn đề tài với việc khả tiếp thu học sinh hạn chế, trình bày ví dụ Vấn đề thái độ em gặp toán phương trình bất phương trình vô tỷ có nhiều chuyển biến Nếu trước em “mặc định” xem phần “ngoài tầm với”, “không thể” kiếm điểm em phần “tự tin” tích cực Nếu trước em chờ thầy cô chữa chép lại cho xong khác, em làm việc say mê: trao đổi sôi nổi, không ánh mắt thờ ơ, niềm vui rõ khuôn mặt em tìm định hướng cách giải Với kết làm được, học sinh trở thành người chủ động tìm tòi , khám phá phát vấn đề đặt học làm cho “Học” thực trình kiến tạo Thời lượng dành cho nội dung phương trình bất phương trình không nhiều, với thời lượng học sinh làm tập gần không hướng dẫn để phân tích, khai thác tập Trước áp dụng đề tài yêu cầu em liệt kê phép biến đổi tương đương dùng để khử dấu thức, nhiều em chưa biết nội dung đâu? Không hình dung phải làm gì? Làm nào? Kết thu sau: Lớp 12A2 (32HS) 11A1 (27HS) Tổng (49 HS) Hoàn thành SL 16 % Không hoàn thành SL % 25 18 43 Kết cho thấy hầu hết em không nhớ nội dung học Nắm bắt điều lên kế hoạch tổ chức phụ đạo, ôn luyện thêm phần cho em cách sử dụng đề tài soạn thành chuyên đề Chuyên đề xếp tiết dạy tự chọn học bồi dưỡng thêm Sau hoàn thành, tiếp tục cho em làm kiểm tra 15 phút với nội dung như: “Hãy phân tích tìm hiểu tính chất mối quan hệ biểu thức có phương trình sau”: 1) x + + 3x + = x + x + 2) x + + x + = + x + 3x + Lần này, hầu hết em hình dung công việc phải thực hiện, em hứng thú với đề kiểm tra này, yêu cầu “mới lạ” không theo kiểu “truyền thống” mà lâu em thường phải thực Kết thu sau: Lớp Làm hết Làm câu Làm sai Không làm 12A2 (32HS) 11A1 (22HS) Tổng 54 HS SL 12 % SL 10 18 % SL 11 16 % SL 13 % Kết cho thấy hầu hết em quan tâm tới phương trình bất phương trình vô tỷ, số lượng học sinh không hoàn thành giảm hẳn so với trước bồi dưỡng dựa vào đề tài, số lượng học sinh làm tăng lên nhiều Ngoài hầu hết em có thiện cảm không “sợ” phương trình bất phương trình vô tỷ, có em đề nghị cho thực thêm với ví dụ khác So sánh với mức độ học sinh nơi công tác trường THPT Quan Hóa theo bước đột phá, tín hiệu mừng Hy vọng đề tài góp phần để việc dạy học phương trình bất phương trình vô tỷ đạt hiệu III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Sau nhiều năm giảng dạy thực tế kiểm nghiệm nhận thấy nâng cao hứng thú học tập cho học sinh (qua nhiều đường) việc làm cần thiết từ góp phần phát triển lực tự học, tự khám phá, sáng tạo cho học sinh xu dạy học đại Các toán chuyên đề thể rõ mục đích đạt kết (phù hợp với đổi dạy học).Tiếp cận phương trình bất phương trình vô tỷ đề thi theo hướng tự phân tích, đánh giá định hướng cách giải đem lại thích thú cho người nghiên cứu Hi vọng đề tài góp phần đem phương trình bất phương trình vô tỷ “xích lại” với người học, từ tạo hứng thú việc học nội dung này, tránh thức trạng “bỏ qua” đề thi Chắc chắn đề tài áp dụng thành công với học sinh trường THPT Quan Hóa, nghiên cứu phát triển áp dụng với tất đối tượng học sinh Bởi, năm qua số lượng học sinh có lực học trung bình - yếu, môn toán Trường Quan Hóa chiếm tỉ lệ cao; khả tiếp thu hạn chế, hầu hết em bị bản; ý thức tự học, trao đổi yếu, thiếu tự tin chưa tìm phương pháp học tập có hiệu Trong trình thức nghiên cứu đề tài nhiều thiếu xót, mong nhận ý kiến đóng góp để thân tác giả đề tài ngày hoàn thiện Đề tài hoàn thành nỗ lực thân giúp đỡ tạo điều kiện Ban giám hiệu nhà trường đồng đồng nghiệp Xin gửi tới đồng chí lời cảm ơn sâu sắc nhất, mong trình công tác nhận lãnh đạo giúp đỡ BGH đồng chí cán giáo viên nhà trường Kiến nghị * Với Sở GD&ĐT: * Với nhà trường: Luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên , khuyến khích giáo viên nghiên cứu để tìm giải pháp nâng cao chất lượng dạy học Tổ Chuyên môn nói chung, viên nói riêng phải thường xuyên suy nghĩ, tìm tòi, học hỏi để nâng cao chât lượng dạy học môn Toán trường THPT có chất lương đầu vào thấp XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Hà Thị Nga 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính cộng - Các giảng luyện thi môn toán; Hướng dẫn ôn tập kì thi Trung học phổ thông Quốc gia năm học 2014 – 2015, nhà xuất Giáo dục Việt Nam; Sách Giáo khoa toán 10; Sách Giáo viên Toán 10; Tài liệu bồi dưỡng giáo viên (môn Toán học), Bộ giáo dục đào tạo, Nxb Giáo dục 11 ... giúp học sinh đạt điểm cao mạnh dạn đề xuất nghiên cứu đề tài Một vài giải pháp tìm hiểu tính chất mối liên hệ biểu thức có phương trình, bất phương trình vô tỷ định hướng cách giải nâng cao lực. .. với phương trình, bất phương trình có dạng không đơn giản nên quan sát, tìm hiểu mối quan hệ biểu thức có mặt phương trình, bất phương trình để xác định hướng giải phương trình, bất phương trình. .. tính chất mối liên hệ biểu thức có phương trình bất phương trình vô tỷ để định hướng cách giải Phương pháp nghiên cứu Phương pháp chủ yếu sử dụng đề tài nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết số dạng phương