Sử dụng đạo hàm nhằm giúp học sinh lớp 12 chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

1 M U * Lý chn ti Cỏc bi toỏn v bt ng thc v tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht luụn gõy khú khn cho khụng ớt hc sinh quỏ trỡnh hc Cỏc bi toỏn dng ny cng thng xut hin cỏc kỡ thi hc sinh gii v thi THPT Quc gia Nú thng l cỏc bi toỏn hay v khú nht thi Phn ln cỏc em hc sinh nu gp bi toỏn loi ny thỡ thng b qua v ch cú mt s ớt hc sinh lm c trn nú Trong cỏc kỡ thi hc sinh gii v thi THPT Quc gia nhng nm gn õy thng xut hin bi toỏn v bt ng thc v v giỏ tr ln nht, nh nht Trong s cỏc bi toỏn ú thỡ phn ln ta cú th gii quyt c trn bi toỏn bng cỏch s dng o hm mt cỏch khộo lộo Tuy nhiờn nhỡn nhn cỏc bi toỏn v bt ng thc, hay tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht m s dng c o hm gii l mt iu khụng h n gin chỳt no Vy cú cỏch no nhỡn c mt bi toỏn v bt ng thc, hay v giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht m s dng o hm gii hay khụng? V nu cú thỡ phi gii bi toỏn ú nh th no? ti S dng o hm nhm giỳp hc sinh lp 12 chng minh bt ng thc v tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc i s c vit nhm giỳp cỏc em hc sinh cú thờm k nng bin i, gii cỏc bi toỏn bt ng thc, tỡm giỏ tr ln nht v nh nht bc vo kỡ thi THPT Quc gia nm 2016 t kt qu tt nht * Mc ớch nghiờn cu - Trang b cho hc sinh v mt phng phỏp chng minh bt ng thc v tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc i s mang li hiu qu rừ nột vic gii thi THPT Quc gia - Bi dng cho hc sinh v phng phỏp, k nng gii toỏn Qua ú hc sinh nõng cao kh nng t duy, sỏng to v hỡnh thnh nhiu cỏch gii khỏc * i tng nghiờn cu - Cỏc dng toỏn chng minh bt ng thc v tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht nm chng trỡnh toỏn ph thụng - Phõn loi cỏc dng toỏn thng gp v phng phỏp gii mi dng * Phng phỏp nghiờn cu - Phng phỏp phõn tớch v tng hp lý thuyt - Phng phỏp phõn loi v h thng húa - Phng phỏp phõn tớch v tng kt kinh nghim NI DUNG SNG KIN KINH NGHIM C s lý lun ca sỏng kin kinh nghim 2.1.1 ng dng o hm xột tớnh n iu ca hm s 2.1.1.1 nh ngha: Cho hm s f ( x) xỏc nh trờn khong K Khi ú *) f ( x) gi l ng bin trờn K nu vi mi x1 , x2 K m x1 < x2 ta u cú f ( x1 ) < f ( x2 ) *) f ( x) gi l nghch bin trờn K nu vi mi x1 , x2 K m x1 < x2 ta u cú f ( x1 ) > f ( x2 ) Cỏc hm s ng bin hoc nghch bin trờn mt khong cũn c gi chung l cỏc hm n iu trờn khong ú 2.1.1.2 nh lý ( iu kin hm s n iu trờn mt khong) Cho hm s f ( x) cú o hm trờn khong (a;b) Khi ú *) Nu f ( x) x (a; b) (v du = ch xy ti mt s hu hn im) thỡ f ( x) ng bin trờn (a; b) *) Nu f ( x) x (a; b) (v du = ch xy ti mt s hu hn im) thỡ f ( x) nghch bin trờn (a; b) 2.1.1.3 im ti hn ca hm s im x0 c gi l im ti hn ca hm s f ( x) nu nú thuc xỏc nh ca f ( x) v f '( x0 ) = hoc f '( x0 ) khụng xỏc nh Chỳ ý: Trờn mi khong phõn chia bi hai im ti hn k nhau, o hm ca hm s gi nguyờn mt du 2.1.2 Giỏ tr ln nht, nh nht ca hm s v biu thc 2.1.2.1 Giỏ tr ln nht, nh nht ca hm s nh ngha: Cho hm s f(x) xỏc nh trờn D Khi ú - S M c gi l giỏ tr ln nht ca hm s f(x) trờn D nu tha hai iu M f ( x)x D kin sau: x D | f ( x ) = M f ( x) = f ( x0 ) Kớ hiu: M = max D - S m c gi l giỏ tr nh nht ca hm s f(x) trờn D nu tha hai iu m f ( x)x D kin sau: x D | f ( x ) = m f ( x) = f ( x0 ) Kớ hiu: m = D Cỏc bc tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca hm s trờn mt khong: - Tớnh o hm - Lp Bng bin thiờn - Da vo Bng bin thiờn suy giỏ tr ln nht, nh nht Cỏc bc tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca hm s trờn mt on [a;b]: - Tớnh o hm - Tỡm cỏc im ti hn xi v tớnh cỏc giỏ tr f (a), f (b), f ( xi ) f ( x ) = max { f (a ); f (b); f ( xi )} ; f ( x) = { f ( a); f (b); f ( xi )} - Kt lun max [a ;b ] [a ;b ] 2.1.2.2 Giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc Cho biu thc n bin P = f ( x1; x2 ; ; xn ) xỏc nh trờn D = D1 ì D2 ì ì Dn , tc l xi Di , i = 1, n Khi ú - S M c gi l giỏ tr ln nht ca P trờn D nu tha hai iu kin sau: M P, xi Di , i = 1, n 0 0 xi Di , i = 1, n cho P = f ( x1 ; x2 ; ; xn ) = M f ( x1 ; x2 ; ; xn ) = f ( x10 ; x20 ; ; xn0 ) Kớ hiu: Pmax = M = max D - S m c gi l giỏ tr nh nht ca P trờn D nu tha hai iu kin sau: m P, xi Di , i = 1, n 0 0 xi Di , i = 1, n cho P = f ( x1 ; x2 ; ; xn ) = m f ( x1 ; x2 ; ; xn ) = f ( x10 ; x20 ; ; xn0 ) Kớ hiu: Pmin = m = D 2.1.3 Mt s Bt ng thc ỏp dng ti 2.1.3.1 Bt ng thc Cauchy - Trng hp s: Vi mi x, y khụng õm, ta u cú: x + y xy Du bng xy v ch x = y - Trng hp s: Vi mi x, y, z khụng õm, ta u cú: x + y + z 3 xyz Bt ng thc Cauchy c dng nhiu cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, nh nht cng nh cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc Ta cú th khai thỏc, s dng cỏc dng thc khỏc ca bt ng thc ny, chng hn trng hp ba s dng, ta cú cỏc dng khỏc nh: 1 x + y + z xyz; + + x y z 3 3 3 x+ y+z ; ữ xyz; xyz x + y + z Du bng xy v ch x = y = z 2.1.3.2 Bt ng thc Bunhia-copxki Vi s thc bt kỡ: a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ta luụn cú a1b1 + a1b1 + a1b1 a1b1 + a1b1 + a1b1 (a + a22 + a32 ) ( b12 + b22 + b32 ) Du bng xy v ch a1 : a2 : a3 = b1 : b2 : b3 2.1.3.3 Cỏc bt ng thc suy t bỡnh phng mt biu thc *) ( x y )2 x + y xy Du bng xy x = y *) ( x y )2 + ( y z )2 + ( z x) x + y + z xy + yz + zx Du bng xy v ch x = y = z *) ( x y )2 + ( y z )2 + ( z x) ( x + y + z ) 3( xy + yz + zx) 2.1.4 Cỏc bc lp Bng bin thiờn ca hm s - Tỡm xỏc nh; - Tớnh o hm; - Tỡm cỏc im ti hn, cỏc gii hn; - Lp Bng bin thiờn 2.1.5 S dng phng phỏp hm s tỡm giỏ tr ln nht, nh nht v chng minh bt ng thc: - ỏnh giỏ, bin i biu thc, bt ng thc a v xột mt hm s - Tỡm khong ỏnh giỏ ca hm s - Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s trờn khong va tỡm c - Gii quyt bi toỏn ban u 2.2 Thc trng trc ỏp dng sỏng kin kinh nghim T thc t ging dy hc sinh trờn lp, qua mt s nm dy ụn thi i hc, THPT Quc gia ca trng THPT Hu Lc 4, tụi nhn thy a s hc sinh u coi bi v giỏ tr ln nht, nh nht v chng minh bt ng thc l bi khú, ch dng cỏc bt ng thc suy ngh nờn dn ti khụng cú hng gii Cú thc trng ú theo tụi l mt s nguyờn nhõn sau: - Do phõn phi ca chng trỡnh ca phn ny c lớ thuyt v bi ụn cú gii hn v nm c lp 10, lp 12 nờn dy trờn lp cỏc giỏo viờn khụng th i sõu vo phõn tớch mt cỏch chi tit, khai thỏc nhiu phng phỏp, c bit l phng phỏp o hm Trong ú cỏc thi TSH, THPT Quc gia, HSG cỏc nm gn õy luụn cú dng toỏn ny vi mc yờu cu khú - Cỏc ti liu tham kho hin v phng phỏp o hm tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht v chng minh bt ng thc cha cú ti liu trỡnh by mt cỏch cú h thng, chun mc Vỡ vy a s hc sinh s khụng th t phõn tớch, tng hp hỡnh thnh phng phỏp o hm gii cỏc bi toỏn ny 2.3 Cỏc sỏng kin kinh nghim hoc cỏc gii phỏp ó s dng gii quyt 2.3.1 Gii phỏp 1: Kho sỏt trc tip hm s theo mt bin Phng phỏp gii: Bc 1: Xỏc nh c n v giỏ tr ca n Bc 2: La chn hm s cho phự hp Bc 3: Tớnh o hm v kho sỏt hm s trờn giỏ tr ca n Bc 4: Suy kt qu bi toỏn Chỳ ý: K thut ny thng ỏp dng cho bi toỏn cú bin s Vớ d Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s: y = x + x + + x x + trờn Ă Gii: Xột hm s f ( x) = x + x + + x x + trờn Ă Ta cú: f ( x ) = 2x +1 x + x +1 + 2x x2 x + f ( x ) = ( x + 1) x x + = ( x ) x + x + ( x + 1) (x x + 1) = ( x ) (x + x + 1) x = Th li x = tha f ( x ) = Bng bin thiờn: x f ( x) + f ( x) + 0 + + f ( x) = x = T bng bin thiờn suy y = xĂ Nhn xột: S dng o hm i vi bi ny l khụng khú Tuy nhiờn hc sinh li khỏ lung tỳng vic gii phng trỡnh f ( x ) = Vớ d Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc: P = x x + x + 12 x + x Phõn tớch: Biu thc P xỏc nh x Cỏch 1: o hm trc tip ri suy kt lun ca bi toỏn Cỏch 2: Vn dựng o hm, nhng ta nhõn lng liờn hp sau ú mi o hm Cỏch d lm hn cỏch C hai cỏch lm trờn o hm cn phi t m chớnh xỏc, ụi khụng cn thn thỡ s rt d b nhm ln, núi chung l tng i phc Vy cú cỏch no n gin hn m trỏnh c s nhm ln khụng? Chỳng ta xem xột cỏch lm sau õy: Gii x x + x + 12 trờn on [ 0; 4] x + x t g ( x ) = x x + x + 12 > 0, x [ 0; 4] v h ( x ) = x + x > 0, x [ 0; 4] Xột hm s: f ( x ) = Ta cú: > 0, x ( 0; ) x + 12 1 < 0, x ( 0; ) h ( x ) = x x Do ú ta thy g ( x ) > v tng trờn on [ 0; 4] ; h ( x ) > v gim trờn on [ 0; 4] g ( x) nờn h ( x ) tng trờn on [ 0; 4] T ú suy f ( x ) = h x tng trờn on [ 0; 4] ( ) g ( x) = x + 12 = f ( ) f ( x ) f ( ) = 12, x [ 0; 4] 5+2 Vy: Min P = 12 x = ; Max P = 12 x = 5+2 Nhn xột: õy l cỏch gii khỏ c ỏo nhng khụng phi hc sinh no cng nhỡn c Cỏch gii ny cha c cp nhiu nờn hc sinh s thy rt l v khú cú th lm theo cỏch ny x2 Vớ d Chng minh rng: e + cos x + x , x x2 Gii Xột hm s f ( x) = e + cos x x + , x x Ă xĂ f '( x) = e x sin x + x f ''( x) = e x cos x + > , x Ă f '( x) l hm s ng bin v f '( x) = cú ti a mt nghim Kim tra thy x = l nghim nht ca f '( x) = Bng bin thiờn: x2 f ( x) 0, x Ă e + cos x + x , x xĂ x Vớ d Cho s thc dng x Chng minh rng: e x > + x + Gii: x2 x2 ex x > 2 x Xột hm s: f ( x ) = e x x trờn khong ( 0; + ) Ta cú: e x > + x + Ta cú: f ( x ) = e x x 1, f ( x ) = e x > 0, x ( 0; + ) Suy f ( x ) ng bin trờn khong ( 0; + ) f ( x ) > f ( ) = 0, x ( 0; + ) f ( x ) ng bin trờn khong ( 0; + ) , ú f ( x ) > f ( ) = 0, x ( 0; + ) Vy bt ng thc c chng minh Nhn xột: Thụng thng hc sinh ch o hm n cp ú gii bi toỏn ny s rt lỳng tỳng V vỡ th m hc sinh lm tng rng bi toỏn trờn l rt khú Tuy nhiờn nu hc sinh m tinh ý, bit o hm tip n cp thỡ bi toỏn trờn li c gii mt cỏch rt nh nhng m khụng cn phi ao to, bỳa ln gỡ c Vớ d Cho x, y,z [ 0;2] Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : A= 2(x + y + z) - (xy + yz + zx) Gii Ta cú nhn xột sau: +) C nh y,z thỡ A ch ph thuc vo mt bin x +) Biu thc A cú th vit li nh sau : A= f(x)= (2 - y - z)x + 2(y + z) - yz +) Hm s y = f(x) l hm hng hoc hm s bc nht theo bin x v x [ 0;2] f(0)= - yz 4, y,z [ 0;2] f(2)= ( y + z ) - yz = - ( - y ) ( - z ) 4, y,z [ 0;2] f(x)= max { f(0); f(2)} Suy Max [ 0;2] Ta nhn thy x=0, y=0, z=2 thỡ A=4 Vy giỏ tr ln nht ca A bng Nhn xột: Nh vy k thut kho sỏt trc tip theo mt bin cú th ỏp dng cho mt hm nhiu bin bng cỏch c nh cỏc bin cũn li 2.3.2 Gii phỏp 2: Dựng phng phỏp th a v hm s bin Phng phỏp gii Bc 1: Bin i gi thit tỡm cỏch th mt n theo n cũn li Bc 2: T iu kin ca bi toỏn tỡm giỏ tr ca n Bc 3: La chn hm s cho phự hp Bc 4: Kho sỏt hm s theo bin, sau ú suy kt qu bi toỏn Chỳ ý: K thut ny thng ỏp dng cho bi toỏn cú bin s v gi thit cho bng mt ng thc Vớ d Cho x, y l hai s dng thay i tha iu kin 4( x + y ) = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc S = + x 4y Phõn tớch: D dng nhn thy t gi thit ta cú th rỳt mt n theo n cũn li, ú biu thc S ch ph thuc vo n v ta cú th kho sỏt hm sú theo n ny Gii Ta cú : 4( x + y ) = y = t f ( x ) = f '( x) = ( 4x 20 15 x S= x(5 x) vi < x < 20 15 x vi < x < x(5 x) 4 25 40 x + 15 x x (5 x) ) ; f '( x) = x = 1; x = Bng bin thiờn: Da vo BBT minS = t c x = 1, y = Nhn xột õy l mt bi toỏn gii bng phng phỏp hm s rt hay vỡ ta cú th a v hm s mt bin bng phng phỏp th Vớ d thi tuyn sinh i hc D nm 2009 Cho x, y v x + y = Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc : S = 4x + 3y 4y + 3x + 25xy ( )( ) Gii T x + y = y = - x Suy : S = 16x - 32x +18x - 2x +12 Xột hm s: f(x)= 16x - 32x +18x - 2x + 12 vi x [ 0;1] f'(x)= 64x - 96x + 36x - x = 2+ f'(x)= x = 2- x = T ú suy c : 2- 2+ x = x = 191 4 MinS = hoc 16 y = 2+ y= - 4 25 x = y = MaxS = 2 Nhn xột: Qua vớ d trờn ta thy c s dng phng phỏp hm s s cho ta mt li gii ngn gn hn rt nhiu so vi phng phỏp truyn thng y Vớ d Cho cỏc s thc x, y tha nh nht ca biu thc P = xy + x + y + 17 x + x = y + 12 Tỡm giỏ tr ln nht v Gii Theo gi thit, ta cú y = x + x 12 x [ 4;3] Khi ú, P = x3 + 3x x , x = x =1 suy P '( x) = 3x + x 9.P '( x) = x = 3; y = Pmax = 20 T ú suy x = 3; y = P = 12 x = 1; y = 10 4 Vớ d Chng minh rng vi x + y = thỡ x + y Gii T x + y = y = x nờn x + y = x + ( x ) Xột hm s: f ( x ) = x + ( x ) f ' ( x ) = x3 ( x ) ; f ' ( x ) = x = Bng bin thiờn: T ú suy ra: f ( x ) x Ă Du = xy x = y = 2.3.3 Gii phỏp 3: Dựng phng phỏp t n ph a v hm s bin Phng phỏp gii: Bc 1: Bin i bi toỏn tỡm cỏch t n ph Bc 2: T iu kin ca bi toỏn tỡm giỏ tr ca n ph Bc 3: La chn hm s cho phự hp Bc 4: Kho sỏt hm s theo bin mi, sau ú suy kt qu bi toỏn Chỳ ý: Gii phỏp ny thng ỏp dng cho nhng bi toỏn cú nhiu n, õy l phng phỏp chớnh gii cỏc bi toỏn tỡm GTLN, GTNN thi THPTQG hin Vớ d 10 Cho x, y l nhng s thc khụng õm tha x xy + y = 2 Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: A = x ( y + 1) xy + ( x ) y Phõn tớch: Ta cú th bin i A = x + y xy + x y xy = + xy ( x y ) ( A 3) = x y ( xy ) nờn giỳp ta liờn tng n n mi t = xy Gii: T gi thit ta cú: = x xy + y xy Do ú: xy Mt khỏc: A = x + y xy + x y xy = + xy ( x y ) ( A 3) = x y ( xy ) t t = xy, t [ 0;3] Khi ú ( A 3) = t ( t ) t = t = 2 Xột hm s: f ( t ) = t ( t ) , t [ 0;3] Ta cú: f ( t ) = 3t + 6t , f ( t ) = Bng bin thiờn: 10 x 0 f ( x) + - f ( x) 0 f ( t ) = f ( 2) = T bng bin thiờn max t[ 0;3] Do ú max A = x = v y = Nhn xột: Nh vy nu bng bin i i s m cú th a v cựng mt bin mi thỡ ta la chn hm s vi bin mi ú Vn quan trng tip theo l tỡm iu kin chớnh xỏc ca bin Ta th dng k thut trờn vi vớ d sau: Vớ d 11 Cho x, y l hai s thc tha món: x + y = 3 Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc: P = ( x + y ) 3xy Phõn tớch: Tng t vớ d 10 ta cú bin i P = ( x + y ) ( xy ) 3xy nờn dn ti la chn mt hai n mi l t = xy hoc t = x + y Cn c gi thit bi toỏn ta cú th biu din xy = ( x + y)2 nờn ta la chn n l t = x + y Gii: T: ( x + y ) = x + xy + y ( x + y) 2 2( x + y 2 ( x + y) = + xy xy = ) ( x + y) 2 2 x + y Ta cú: P = ( x + y ) ( xy ) 3xy t t = x + y t t2 t2 P = t = t t + 6t + Khi ú ữ 2 Xột hm s: f ( t ) = t t + 6t + 3, t [ 2; 2] 2 Ta cú: f ( t ) = 3t 3t + 6, t ( 2; ) ; f ( t ) = t = hoc t = (loi) 13 Cú: f ( ) = 7; f ( 1) = ; f ( ) = 1+ 1+ 3 13 x; y ) = ; f ( t ) = f ( 1) = ( ữ Vy: max P = tmax ữ, ; ữ ữ [ 2;2] 2 P = f ( t ) = f ( ) = ( x; y ) = ( 1; 1) t[ 2;2] Nhn xột: Trờn õy l k thut bin i a biu thc v theo mt bin ụi nhiu bi chỳng ta cũn phi dựng cỏc bt ng thc a v mt biu thc trung gian, sau ú mi bin i a v mt bin: 11 a b Vớ d 12 Cho a, b > v a + b Chng minh rng: a + b + + Phõn tớch: Da vo gi thit bi toỏn ta liờn tng n vic coi t = a + b l mt 1 theo t, vỡ khụng bin i a b 1 trc tip c nờn ta phi dựng BT + a v biu thc trung a b a+b 1 gian: a + b + + a + b + T ú ta cú li gii: a b a +b n mi Khi ú ta phi tỡm cỏch bin i a + b + + Gii: a b a b p dng bt ng thc Cauchy ta cú: ( a + b ) ( + ) + 1 a b t t = a + b, t ( 0;1] Khi ú: a + b + + a + b + a +b a +b (1) t Xột hm s f ( t ) = t + , t ( 0;1] t2 < 0, t ( 0;1] suy hm s f ( t ) nghch bin trờn ( 0;1] Do ú t2 f ( t ) f ( 1) = 5, t ( 0;1] hay a + b + (2) a+b 1 T (1) v (2) suy a + b + + (pcm) Du = xy a = b = a b Ta cú: f ( t ) = Nhn xột: lm c bi ny hc sinh cn nm chc mt s bt ng thc, ri chỳng vo bin i v biu thc trung gian v tỡm iu kin ca n Thng l nhng hc sinh khỏ gii mi lm c Bi ny cng cú th ỏp dng bt ng thc Cauchy gii Vớ d 13 Cho x, y l hai s thc dng tha x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A = ( + x ) + ữ+ ( + y ) + ữ y x Phõn tớch: Tng t vớ d 12 ta cú th la chn mt hai n mi l t = xy t = x+ y hoc Dựng bt ng thc Cauchy bin i x y 1 A = + + ữ+ ( x + y ) + + ữ + xy + ữ ữ t ú ta chn n t = xy xy y x x y Gii: Ta cú: = x + y xy xy Do ú: < xy Mt khỏc: x y 1 A = + + ữ+ ( x + y ) + + ữ + xy + ữ xy ữ y x x y 12 t t = xy , < t t Xột hm s: f ( t ) = t + trờn 0; Ta cú: f ( t ) = < 0, t 0; t t 1 Do ú f ( t ) nghch bin trờn 0; f ( t ) f ữ = + , t 0; hay 2 1 2+ Vỡ vy A + xy Vy: A = + x = y = xy + Nhn xột: Bi toỏn ny s dng o hm khỏ hay Nhng ng i n vic s dng o hm s khụng d i vi nhng em hc sinh cha nm chc bt ng thc Nu bit tỏch, ghộp hp lý v dng mt s bt ng thc a v biu thc theo mt n Bõy gi ta s dng k thut ny gii mt s thi tuyn sinh nhng nm gn õy: Vớ d 14 thi tuyn sinh i hc D nm 2014 Cho x, y [1;2] v x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : x + 2y y + 2x P= + + x + 3y + y + 3x + 4(x + y - 1) Gii Do x [1;2] nờn (x - 1)(x - 2) 0, ngha l x + 3x Tng t, y + 3y x + 2y y + 2x x+ y + + = + Suy P 3x + 3y + 3y + 3x + 4(x + y - 1) x + y +1 4(x + y - 1) t + t t = x + y , suy t Xột hm f(t)= , vi t t +1 4(t - 1) 1 Suy f '(t) = t = Ta cú f'(t)= (t + 1)2 4(t - 1)2 11 53 7 M f(2)= ; f(3)= ; f(4)= nờn f(t) f(3) = Do ú P 12 60 8 7 Khi x = 1;y = thỡ P = Vy giỏ tr nh nht ca P l 8 Vớ d 15 thi tuyn sinh i hc A nm 2014 Cho x, y,z l cỏc s thc khụng õm tha iu kin x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : x2 y+ z 1+ yz P= + x + yz + x +1 x + y + z +1 13 Gii Ta cú (x - y - z)2 = x + y + z - 2xy - 2xz + 2yz = 2(1 - xy - xz + yz) , nờn x + yz + x +1= x(x + y + z +1) - (1 - xy - xz + yz) x(x + y + z + 1) x2 x Suy x + yz + x +1 x + y + z +1 (x + y + z)2 = x + y + z + 2x(y + z)+ 2yz = + 2yz + 2x(y + z) Mt khỏc, + 2yz + [x +(y + z)2 ] = 4(1+ yz) x + y + z (x + y + z)2 Do ú P x + y + z +1 36 t t = x + y + z , suy t v t = (x + y + z)2 = x + y + z + 2xy + 2yz + 2zx +(x + y )+(y + z )+(z + x )= t t2 Do ú t Xột f(t)= - , vi t t +1 36 t (t - 2)(t + 4t + 9) f'(t)= = Ta cú , nờn f '(t) = t = (t +1)2 18 18(t +1)2 5 31 Ta cú f(0) = 0;f(2) = ;f( 6) = Nờn f(t) t 9 30 5 Do ú P Khi x = y = v z = thỡ P = 9 Do ú giỏ tr ln nht ca P l Vớ d 16 thi THPT Quc gia nm 2015 Cho cỏc s thc a, b, c thuc on [1;3] v tha iu kin a + b + c = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : a 2b + b 2c + c a + 12abc + 72 P= abc ab + bc + ca Gii t t = ab + bc + ca Ta cú 36 = (a + b + c) = [( a b) + (b c) + (c a ) ] + 3t 3t Suy t 12 ( a 1)( b 1)( c 1) , nờn abc ab + bc + ca = t 5; Mt khỏc, V (3 a)(3 b)(3 c) , nờn 3t = 3(ab + bc + ca) abc + 27 t + 22 Suy t 11 Vy 11 t 12 Khi ú 14 a 2b + b 2c + c a + 2abc (a + b + c ) + 72 P= abc ab + bc + ca 2 (ab + bc + ca ) + 72 abc t + 72 t t + 5t + 144 = = ab + bc + ca t 2t t + 5t + 144 Xột hm s f (t ) = , vi 11 t 12 2t 160 160 t 144 Suy P Ta cú f '(t ) = Do ú f (t ) f (11) = 11 11 2t 160 Ta cú a = 1; b = 2; c = tha iu kin bi toỏn v ú P = 11 160 Vy giỏ tr ln nht ca P bng 11 Vớ d 17 thi th trng THPT Hu Lc nm 2016 Cho cỏc s thc x, y, z tha x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: F = 3x +7y + 5y + 5z + 7z + 3x Gii p dng Bunhiacopxki v gi thit, ta cú: F2 3[6x2 + 12(y + z)] 18[x2 + 2 ( y + z ) = 18[x2 + 2 ( - x ) ] [ Xột hm s: f(x) = x2 + 2 ( - x ) , vi x 3; Ta cú: f(x) = 2x - ] 4x ( - x2 ) [ ] f(x) = vi x 3; x = 0, x = Khi ú: f (0) = , f(1) = f(- 1) = 5, f( ) = f( ) = f ( x ) = F2 18.5 = 90 F 10 [ max 3; ] 3x +7y = 5y + 5z = 7z + 3x y = z Du = xy 2 x = y = z = x + y + z = x = Vy maxF = 10 x = y = z = 15 2.3.4 Gii phỏp 4: Bi t luyn Bi Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s: y = x + x + x + x Bi Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = ( x3 + 3x x x ) Bi (HSG-NGH AN) Cho cỏc s thc x, y tha món: < x y < 3 Chng minh rng: ( x x ) sin y ( y y ) sin x Bi (HSG-VP-2010) Chng minh rng vi x R ta cú: 1 1 + cos x + cos x + cos 3x + cos x > Bi Cho hai s dng x , y tha : x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu 4x + y 2x y + thc: P = xy Bi Cho cỏc s thc x, y thay i tha iu kin x + x = y + 12 v y Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc: A = xy + x + y + 17 Bi Cho cỏc s thc dng a, b tha iu kin: a + b = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = 1 + + 6a + 9a + 6b + 9b Bi thi tuyn sinh i hc B 2011 Cho a,b l cỏc s thc dng 2 tho a + b + ab = ( a + b ) ( ab + ) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu th: ( ) a b3 a b P = + ữ- + ữ a b a b Bi thi tuyn sinh i hc B nm 2010 Cho cỏc s thc khụng õm a, b, c tha món: a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: M = ( a 2b + b 2c + c a ) + ( ab + bc + ca ) + a + b + c Bi 10 thi tuyn sinh i hc B nm 2009 Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc : A= x + y + x y - x + y +1 ( ) ( ) vi x, y l cỏc s tho iu kin ( x + y ) + 4xy Bi 11 thi tuyn sinh i hc A, A1 nm 2013 Cho a,b,c tha a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 32a 32b a + b2 S= + (b + 3c)3 (a + 3c)3 c Bi 12 thi tuyn sinh i hc D nm 2012 16 Cho x, y tha (x - 4)2 +(y - 4)2 + 2xy 32 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: S = x + y + 3(xy - 1)(x + y - 2) Bi 13 thi tuyn sinh i hc A 2012 Cho cỏc s thc x, y, z tha iu kin x +y + z = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x y + y z + z x x + y + z Bi 14 thi tuyn sinh i hc D nm 2013 Cho x, y > v xy y - Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: x+ y x - 2y S= x - xy + 3y 6(x + y) Bi 15 thi th trng THPT Chuyờn i hc Vinh nm 2016 Tỡm s thc m ln nht cho tn ti cỏc s thc khụng õm x, y,z tha món: x + y + z = v x3 + y + z + 8(xy + yz + zx )= m Bi 16 thi th trng THPT Qung Xng Thanh Húa nm 2016 Gi s x, y,z l cỏc s thc dng tha x > y v xy +(x + y)z + z = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 1 P= + + 4(x y)2 (x + z)2 (y + z)2 17 2.4 Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim i vi hot ng giỏo dc, vi bn thõn, ng nghip v nh trng Trong nm hc 2015 2016, tụi c nh trng phõn cụng dy mụn toỏn ti lp 12A7 ng trc thc trng hc sinh rt ngi i mt vi nhng bi toỏn v bt ng thc v tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht, tụi ó mnh dn a vo chng trỡnh bi dng nhúm gm 20 hc sinh khỏ, gii s dng phng phỏp hm s gii lp cỏc bi toỏn trờn V thc t sau c hc mt cỏch cú h thng v y cỏc k thut s o hm thỡ hc sinh ó t tin hn ng trc nhng bi toỏn v bt ng thc v tỡm giỏ tr ln nht, nh nht Qua ú hc sinh cũn rốn luyn c cỏch trỡnh by bi gii mt cỏch khoa hc, cht ch, y ; c bit cũn rốn luyn cho hc sinh v t logic, t sỏng to, t hm, cng c c nhng kin thc c bn v hm s õy cng l ti liu s giỳp ớch cho bn thõn quỏ trỡnh dy hc nhng nm tip theo; ng thi l ti liu tham kho b ớch cho ng nghip, c bit l nhng ng nghip tr, cha cú nhiu kinh nghim ging dy ỏnh giỏ hiu qu ca ti, tụi ó thc hin hai bi kim tra trc v sau ỏp dng, c th nh sau: (Trc thc hin chuyờn ) Cho cỏc s thc dng a, b, c tha 1 a + b + c Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = ( a + b + c ) + + + ữ a b c (Sau thc hin chuyờn ) Cho x, y số thực thoả mãn : x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : ( ) P = x3 + y3 3xy Kt qu c th: Ln S s kim tra 20 20 So sỏnh S hc sinh gii c S hc sinh SL % 35 18 90 Tng 55% khụng gii c SL % 13 65 10 Gim 55% 18 KT LUN, KIN NGH 3.1 Kt lun Kin thc c trỡnh by ti ó c ging dy cho cỏc em hc sinh khỏ, gii ụn thi THPT QG Kt qu thu c rt kh quan, cỏc em hc mt cỏch say mờ, hng thỳ Vi chuyờn ny ngi thy phi bit dng sỏng to phng phỏp, luụn luụn khụng ngng tỡm tũi, tham kho cỏc ti liu, tham kho ng nghip, xõu chui chỳng li v cho hc sinh cỏc bi nh hng cỏc em hc tp, tỡm hiu Tuy vy, nhiu nguyờn nhõn khỏc nhau, ch quan v khỏch quan nờn ti khụng trỏnh nhng thiu sút, hn ch nht nh Rt mong nhn c s gúp ý ca quý thy cụ giỏo v cỏc em hc sinh ti ngy hon thin hn, cú ng dng rng rói quỏ trỡnh ging dy v bi dng hc sinh 3.2 Kin ngh - T chuyờn mụn cn t chc nhng din n trao i v chuyờn mụn ph bin sỏng kin kinh nghim, ng thi nghiờn cu phỏt trin sỏng kin theo mt s hng nh: Khai thỏc thờm cỏc k nng ỏnh giỏ khỏc; K nng kho sỏt theo tng bin; ng dng chng minh bt ng thc - Nh trng cn tng cng hn na nhng trang thit b h tr cho ging dy, t chc thng xuyờn nhng hi tho v phng phỏp ging dy, kinh nghim nghiờn cu khoa hc XC NHN CA TH TRNG N V Thanh Húa, ngy 21 thỏng nm 2016 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Nguyn S Tam 19 TI LIU THAM KHO [1] Tp Toỏn hc v tui tr [2] Cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc Trn Tun Anh [3] Hng dn ụn thi THPT QG nm hc 2014 2015, 2015 2016 [4] Tuyn chn theo chuyờn chun b cho k thi tt nghip THPT v thi vo H C (T sỏch Toỏn hc v tui tr - Tp 1) [5] thi tuyn sinh i Hc v Cao ng cỏc nm; thi hc sinh gii [6] Ti liu trờn mng [7] Sỏch giỏo khoa i s 10, Gii tớch 12 (Nõng cao) [8] Sỏch Bi i s 10, Bi Gii tớch 12 (Nõng cao) 20 ... hin chuyờn ) Cho x, y số thực thoả mãn : x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : ( ) P = x3 + y3 3xy Kt qu c th: Ln S s kim tra 20 20 So sỏnh S hc sinh gii c S hc sinh SL % 35 18 90 Tng... 0; 4] ( ) g ( x) = x + 12 = f ( ) f ( x ) f ( ) = 12, x [ 0; 4] 5+2 Vy: Min P = 12 x = ; Max P = 12 x = 5+2 Nhn xột: õy l cỏch gii khỏ c ỏo nhng khụng phi hc sinh no cng nhỡn c Cỏch gii... Bi 11 thi tuyn sinh i hc A, A1 nm 2013 Cho a,b,c tha a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 32a 32b a + b2 S= + (b + 3c)3 (a + 3c)3 c Bi 12 thi tuyn sinh i hc D nm 2 012 16 Cho x, y tha