Kỹ thuật quy về một biến trong bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

MC LC A t I Lý chn ti .Trang 01 II Mc ớch nghiờn cu .Trang 02 III i tng nghiờn cu .Trang 02 B Gii quyt I Thc trng nghiờn cu Trang 03 II.C s lý thuyt Phng phỏp dy hc phỏt hin v gii quyt Trang 03 Mt skin thc c bn s dng ti Trang 04 III Gii phỏp v t chc thc hin Quy v mt bin bng phng phỏp th Trang 07 Quy v mt bin cú sn bi toỏn Trang 09 Quy v mt bin bng phng phỏp t n ph Trang 12 IV Kt qu v kinh nghim rỳt Trang 21 C Kt lun v xut Trang 23 A T VN I Lí DO CHN TI Nh chỳng ta ó bit, nhng nm gn õy ngnh giỏo dc ó cú rt nhiu ch trng nõng cao cht lng dy hc bng nhiu hỡnh thc v bin phỏp nh: i mi phng phỏp dy hc theo hng tớch cc, dy hc ly hc sinh lm trung tõm, i mi kim tra ỏnh giỏ hc sinh Trong cụng cuc i mi cn bn v ton din nn giỏo dc nc nh, i mi phng phỏp dy hc l mt nhng nhim v quan trng hng u Trong quỏ trỡnh cụng tỏc, tri qua nhiu phng phỏp dy hc tớch cc tụi nhn thy phng phỏp dy hc Phỏt hin v gii quyt cú nhiu u im cng nh phự hp vi cụng tỏc ging dy b mụn toỏn trng ph thụng núi chung v dy hc gii bi toỏn núi riờng Tuy nhiờn cú th thnh cụng phng phỏp dy hc Phỏt hin v gii quyt ngoi nng lc chuyờn mụn v nng lc s phm ca mi giỏo viờn cũn ũi hi ngi giỏo viờn phi u t nhiu thi gian v thc s tõm huyt cú mt bi ging thu hỳt c hc trũ, giỳp hc trũ phỏt trin t v mụn toỏn v dn dt hc trũ ti nim say mờ tỡm tũi sỏng to, tụi cng nh bao giỏo viờn yờu ngh v yờu toỏn khỏc thng trn tr vi nhng khú khn ca hc trũ quỏ trỡnh tip cn tng bi toỏn Bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca mt biu thc luụn l bi toỏn cú mt hu ht cỏc k thi hc sinh gii v k thi THPT quc gia Khụng nhng th nú cũn l bi toỏn hay v khú nht cỏc thi Trong chng trỡnh ging dy bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht luụn l ch hp dn i vi ngi dy ln ngi hc Vic ging dy lm hc sinh hc tt ch ny luụn l mt khú Ch ny thng dnh cho hc sinh gii nờn cỏc bi toỏn a thng hay v khú tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht cú nhiu phng phỏp, v khụng cú phng phỏp no l nng gii c mi bi toỏn m ch cú nhng phng phỏp gii c mt nhúm cỏc bi toỏn m thụi.Mt nhng phng phỏp khỏ hiu qu l dựng o hm cho hm nhiu bin, t tng c bn l quy v mt bin kho sỏt Khụng cú mt thut gii chi tit no cho phng phỏp ny m ch thụng qua vớ d hc sinh rốn luyn t mỡnh tỡm cỏch gii quyt nh th no tng bi toỏn c th v t ú tỡm thy s gii riờng cho mỡnh Trang Vỡ nhng lớ trờn tụi vit ti K thut quy v mt bin cỏc bi toỏn tỡm GTLN , GTNN ca mt biu thc giỳp cho hc sinh cú mt cỏch t tt hn gp dng bi toỏn ny II MC CH NGHIấN CU Bn thõn nghiờn cu ti ny nhm mc ớch: - Chia s vi quý Thy, Cụ, cỏc bn ng nghip v cỏc em hc sinh kinh nghim gii quyt bi toỏn tỡm GTNN, GTLN thi tuyn sinh i hc - Bn thõn nhm rốn luyn chuyờn mụn nhm nõng cao nghip v s phm III I TNG V PHM VI NGHIấN CU - Hc sinh 12 THPT ụn thi hc sinh gii v thi THPT quc gia - Giỏo viờn ging dy mụn Toỏn bc THPT - Phm vi nghiờn cu ca ti ny bao gm: + Nhc li cỏch tỡm GTNN, GTLN ca hm s thụng qua mt vi vớ d + H thng mt s dng bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc cha hai bin bng cỏch th mt bin qua bin cũn li + H thng mt s dng bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc cha hai bin bng cỏch t n ph theo tớnh i xng t = x + y , t = x2 + y2 hoc t = xy + H thng mt s dng bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc cha ba bin bng cỏch t n ph hoc th hai bin qua mt bin cũn li + H thng mt s dng bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc cha hai x y bin bng cỏch t n ph theo tớnh ng cp t = B GII QUYT VN I THC TRNG VN NGHIấN CU Trng THPT Hong Húa úng trờn a bn vựng nụng thụn khú khn v kinh t, vic hc v phn u ca cỏc em hc sinh cha thc s c quan tõm t cỏc bc hc di THPT vỡ vy kin thc c s v mụn Toỏn ca cỏc em hu ht trung mc trung bỡnh Khi cha ỏp dng nhng nghiờn cu ti dy hc gii bi tỡm GTLN v GTNN, cỏc em thng th ng vic tip cn bi toỏn v ph thuc nhiu vo nhng kin thc c giỏo viờn cung cp ch cha ý thc tỡm tũi, sỏng to cng nh to c nim vui, s hng phn gii toỏn Trang Kt qu kho sỏt mt s lp: 12A1v 12A4 phn gii bi toỏn v tỡm GTLN v GTNN ca hm s cng nh qua tỡm hiu cỏc giỏo viờn dy b mụn Toỏn, ch cú khong 5%- 10% hc sinh hng thỳ vi bi toỏn ny II C S Lí THUYT Phung phỏp dy hc phỏt hin v gii quyt a Bn cht Dy hc phỏt hin v gii quyt l phng phỏp dy hc ú giỏo viờn to nhng tỡnh cú , iu khin hc sinh phỏt hin , hot ng t giỏc, tớch cc, ch ng, sỏng to gii quyt v thụng qua ú chim lnh tri thc, rốn luyn k nng v t c nhng mc ớch hc khỏc b Quy trỡnh thc hin - Tỡm cỏch gii quyt thng c thc hin theo s : Btu Phõn tớch vnddddddd ddddddddđdd xut v thc hin hng gii quyt dddddđđeeee ethnh gii phỏp Hỡnh Gii phỏp ỳng Kt thỳc c u im - Phng phỏp ny gúp phn tớch cc vo rốn luyn t phờ phỏn, t sỏng to cho hc sinh Trờn c s s dng kin thc v kinh nghim ó cú hc sinh s xem xột, ỏnh giỏ, thy c cn gii quyt - õy l phng phỏp phỏt trin c kh nng tỡm tũi, xem xột di nhiu gúc khỏc - Thụng qua vic gii quyt , hc sinh lnh hi tri thc, k nng v phng phỏp nhn thc Trang d Hn ch - Phng phỏp ny ũi hi ngi giỏo viờn phi u t nhiu thi gian v cụng sc, phi cú nng lc s phm tt mi suy ngh to c nhiu tỡnh gi v hng dn hc sinh tỡm tũi phỏt hin v gii quyt - Vic t chc tit hc hoc mt phn ca tit hc theo phng phỏp phỏt hin v gii quyt ũi hi phi cú nhiu thi gian hn sovi cỏc phng phỏp thụng thng Mt s kin thc c bn s dng ti 2.1 Mt s kin thc c s v o hm Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by li mt s kin thc v o hm v mt s cụng thc v o hm nh lớ Gi s D l mt khong hay hp cỏc khong Nu hai hm s u = u ( x ) v v = v( x ) cú o hm trờn D thỡ ( u + v)  = uÂ+ vÂ; ( u - v)  = uÂ( uv)  = uÂv + uvÂ; vÂ; ( ku )  = kuÂ; ( uv )  = uÂvv- uv , vi v( x ) nh lý o hm ca mt s hm s thng gp ( c )  = ( c l hng s) ( x) Â= ( xn )  = nxn - ( x ẻ ( x1 ) Â= - ( Ă ( un )  = nun- 1u ) ( u1 ) Â= - x2 )  = ( x > 0) ( ( ex )  = ex ( eu )  = euu ( ln x )  = x1 ( x > 0) ( lnu )  = uu ( sin x )  = cosx ( sin u )  = uÂcosu x x ( cosx )  = - u u ( cosu )  = - uÂsin u sin x ( tan x )  = + tan2 x ( x u ) Â= u u2 p ( tan u )  = uÂ( + tan2 u ) + kp ) Trang ( co t x )  = - ( + cot2 x ) ( x ( co t u )  = - uÂ( + co t2 u ) kp ) 2.2 Giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by li mt s kin thc v bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s nh ngha Gi s hm s f xỏc nh trờn hp D è Ă +) Nu tn ti mt im x0 ẻ D cho f ( x ) Ê f ( x0 ) vi mi x ẻ D thỡ s M = f ( x0 ) c gi l giỏ tr ln nht ca hm s f trờn D , kớ hiu l M = max f ( x ) xẻ D +) Nu tn ti mt im x0 ẻ D cho f ( x ) f ( x0 ) vi mi x ẻ D thỡ s m = f ( x0 ) c gi l giỏ tr nh nht ca hm s f trờn D , kớ hiu l m = f ( x ) xẻ D Nhn xột Nh vy, mun chng t rng s M (hoc m ) l giỏ tr ln nht (hoc giỏ tr nh nht) ca hm s f trờn hp D cn ch rừ : +) f ( x ) Ê M (hoc f ( x ) m ) vi mi x ẻ D ; +) Tn ti ớt nht mt im x0 ẻ D cho f ( x0 ) = M (hoc f ( x0 ) = m ) Nhn xột Ngi ta ó chng minh c rnghm s liờn tc trờn mt on thỡ t c giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht trờn on ú Trong nhiu trng hp, cú th tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s trờn mt on m khụng cn lp bng bin thiờn ca nú ự Quy tc tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm f trờn on ộ ởa;bỷ nh sau : Tỡm cỏc im x1, x2, , xn thuc khong ( a;b) m ti ú f cú o hm bng hoc khụng cú o hm Tớnh f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( a ) v f ( b) So sỏnh cỏc giỏ tr tỡm c.S ln nht cỏc giỏ tr ú l giỏ tr ự ln nht ca f trờn on ộ ởa;bỷ, s nh nht cỏc giỏ tr ú l giỏ tr nh nht ự ca f trờn on ộ ởa;bỷ 2.3 Mt s thớ d tỡm GTNN, GTLN ca hm s Trang Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by mt s vớ d tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s Thớ d ( thi tuyn sinh i hc B 2003) Tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca hm s f ( x ) = x + - x2 ự Li gii Tp xỏc nh D = ộ ở- 2;2ỷ, f Â( x ) = 1- x - x2 , f Â( x ) = x = Bng bin thiờn f ( x ) = f ( - 2) = - v max f ( x ) = f ( 2) = 2 T bng bin thiờn ta cú xmin ự ự ẻ ộ xẻ ộ ở- 2;2ỷ ở- 2;2ỷ Thớ d ( thi tuyn sinh i hc B 2004) Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s y = ln2 x 1;e3 ự trờn on ộ ỷ x 2ln x .x - ln2 x ln x ( - ln x ) Li gii Ta cú yÂ= x = x2 x2 T ú cú bng bin thiờn : y = y ( e2 ) = e4 x = e2 Vy max ộ1;e ự ỳ ỷ y = y ( 1) = x = v ộ1;e ự ỳ ỷ III GII PHP V T CHC THC HIN Trang Nh vy chỳng ta thy rng vic tỡm GTNN, GTLN ca hm s khỏ n gin Vic chuyn bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc khụng ớt hn hai bin sang bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca hm s cha mt bin s giỳp chỳng ta gi c bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc Quy v mt bin bng phng phỏp th Trong phn ny tụi trỡnh by mt s dng bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca biu thc cha hai bin bng cỏch th mt bin qua bin cũn li T ú xột hm s v tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s Thớ d Cho x, y > tha x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x 1- x + y 1- y Phõn tớch v tỡm tũi li gii Do gi thit l mi liờn h bc nht i vi x v y nờn cú th rỳt n x theo y (hoc y theo x) th vo P Li gii T gi thit x, y > , x + y = ta cú y = 1- x,0 < x < Khi ú ta cú P = Xột hm s f ( x ) = x 1- x x 1- x + + 1- x x 2- x x +1 1- x f  x = , ( ) 2( - x ) - x 2x x x Bng bin thiờn ổ1ử ữ f ( x) = f ỗ ữ= t c ỗ T bng bin thiờn suy P = xmin ữ ỗ ẻ ( 0;1) ố2ứ x =y = Trang Thớ d Cho x, y ẻ Ă tha y Ê 0, x2 + x = y + 12 Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc P = xy + x + 2y + 17 Phõn tớch v tỡm tũi li gii Biu thc P cú cha bin x v y ,mun quy v mt bin ta phi quy v bin x bng cỏch th y theo biu thc cha x t gi thit vo P kho sỏt Li gii T gi thit y Ê 0, x2 + x = y + 12 ta cú y = x2 + x - 12 v x2 + x - 12 Ê hay - Ê x Ê Khi ú P = x3 + 3x2 - 9x - ự Xột hm s f ( x ) = x + 3x - 9x - 7, x ẻ ộ ở- 4;3ỷ ộx = f ' x = x + x = ị ( ) ( ) Ta cú ờx = - Ta cú bng bin thiờn f ( x ) = f ( 1) = - 12, max f ( x ) = f( - 3) = ( 3) = 20 T bng bin thiờn ta cú xmin ự ự ẻ ộ xẻ ộ ở- 4;3ỷ ở- 4;3ỷ Do ú P = - 12 t c x = 1, y = - 10 v max P = 20 t c x = - 3,y = - hoc x = 3, u = Nhn xột Qua cỏc thớ d ny cho ta mt k thut gim bin tỡm GTNN, GTLN ca biu thc hai bin bng cỏch th mt bin qua bin cũn li v s dng cỏc gi thit ỏnh giỏ bin cũn li T ú tỡm GTNN, GTLN ca hm s cha mt bin b chn Bi Bi tng t Cho x, y ẻ ộ- 3;2ự tha x3 + y3 = Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ỷ ln nht ca biu thc P = x2 + y2 Trang Bi Cho x, y tha x + y = Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc P = Bi Cho x, y > tha x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x2 + y2 + Bi x y + y +1 x +1 Cho 1 + 2 x y x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x3 + y3 + 3( x2 - y2 ) + 3( x + y ) Bi Cho a,b, x, y ẻ Ă tha < a,b Ê , a + b Ê v Ê x Ê Ê y Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = Bi Cho x, y ẻ Ă 2x2 + y2 + 2x + y xy ( a2 + b2 ) tha x3 Ê y Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x2 + y2 - 8x + 16 Bi Cho x, y ẻ ( 0;1) tha x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = xx + yy Quy v mt bin cú sn bi toỏn Thớ d 3.Cho x, y, z l cỏc s thc dng tha món: 2x + 4y + 7z = 2xyz Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x + y + z Phõn tớch v tỡm tũi li gii Biu thc P cú cha bin lm gim s bin thỡ t gi thit ta rỳt bin z theo x v y sau ú thay vo P ri sau ú s dng ỏnh giỏ ch cũn bin x Li gii 2x + y T gi thit ta cú: z = , x,y,z>0 nờn 2xy-7>0 xy Khi ú: P = x + y + 2x + 4y 11 2x + 4y = x+ + y ữ+ = 2xy 2x 2x 2xy x ữ Trang 10 Xột hm s f ( x) = x3 + x + x + ( 1+ x) 10 x trờn ( 0; + ) Ta cú f ( x) = + x = x = ( ) 91 Lp bng bin thiờn ta thy P f ( x) f ữ = 108 Vy GTNN ca biu thc l P = 91 x= ;y = z =5 108 Thớ d 5.( thi HSG Thanh Húa 2016) Cho s thc dng x, y, z thay i, tha x + y + = z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : P= x3 y3 z3 14 + + + x + yz y + xz z + xy ( z + 1) + xy + x + y Phõn tớch v tỡm tũi li gii Biu thc P cú cha bin v vai trũ ca hai bin x v y l nh Do ú ta quy biu thc P v bin z bng cỏch s dng s dng bt ng thc Cauchy Li gii x + y + 2) ( z + 1) Ta cú x, y , z > nờn ( + x ) ( + y ) ( = 4 2 du = xy x = y Li cú + xy + x + y = ( + x ) ( + y ) v 2xy x + y du = xy x = y Khi ú ta cú P = P (x (x P (x + y2 ) +y + y2 1+ z x4 y4 z3 + + + x + xyz y + xyz x + y + + xy ( z + 1) ) + xyz )+ + z3 + ( + x ) ( + y ) ( z + 1) z3 + ( + x ) ( + y ) ( z + 1) 14 ( 1+ x) ( 1+ y ) 14 ( 1+ x) ( 1+ y) 14 ( 1+ x) (1+ y) ( x + y) + z3 14 + ( + z ) ( + x ) ( + y ) ( z + 1) ( + x ) ( + y ) 2 x + y) z 1) ( ( 4z3 28 z + 28 z z z + 57 + + = + = 2 ( + z ) ( z + 1) ( z + 1) 2 ( + z ) ( z + 1) ( z + 1) Xột hm f ( z ) = z z z + 57 ( z + 1) , z >1 Trang 12 ( 3z ) ( 3z + 14 z + 23) , z > f '( z ) = z = Ta cú f ' ( z ) = 3 ( z + 1) 53 f ( z ) = f ữ= Lp bng bin thiờn ca hm s f ( z ) ta nhn c zmin ( 1; + ) Vy GTNN ca P bng 53 t c x = y = , z = 3 Quy v mt binbng phng phỏp t n ph Dng 1: Tỡm GTLN,GTNN ca biu thc cha bin cú tớnh cht i xng Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by mt s dng bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca biu thc cha hai bin m gi thit hoc biu thc ú th hin tớnh i xng T ú bng phộp t n ph ta chuyn v bi toỏn tỡm G ca hm s Thớ d Cho x, y ẻ Ă tha x + y - v x2 + y2 + xy = x + y + Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc P = xy x +y +1 Phõn tớch v tỡm tũi li gii Biu thc P cú cha bin v vai trũ ca hai bin x v y l nh Do ú ta quy biu thc P v mt bin bng cỏch t n ph t = x + y hoc t = xy , nhiờn gi thit bi toỏn nu t t = xy thỡ th vo biu thc P phc hn rt nhiu Li gii t t = x + y T gi thit: x2 + y2 + xy = x + y + ta cú ( x + y ) - xy = ( x + y ) + hay xy = t2 - t - p dng bt ng thc ( x + y ) 4xy suy 3t2 - 4t - Ê hay - Ê t Ê t2 - t - t2 - t - f Â( t ) = t + 2t  Khi ú P = Xột hm s f ( t ) = , , f ( t) = t +1 t +1 ( t + 1) t = t = - (loi) Bng bin thiờn Trang 13 f ( t ) = f ( 0) = - T bng bin thiờn ta cú P = tẻmin ộ- 2;2ự t c ỳ ỷ ( x;y ) = ( - 1;1) hoc ( x;y ) f ( t ) = f( = ( 1;- 1) v max P = max ộ ự t ẻ ờ- ;2ỳ ỷ ) = ( 2) = hoc x = y = t c x = y = - Thớ d ( thi tuyn sinh i hc B 2009) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = 3( x4 + y4 + x2y2 ) - 2( x2 + y2 ) + vi x, y l cỏc s tha ( x + y ) + 4xy Phõn tớch v tỡm tũi li gii Biu thc A cú cha bin v vai trũ ca hai bin x v y l nh Do ú ta quy biu thc A v mt bin bng cỏch t n ph t = x + y hoc t = xy , nhiờn gi thit bi toỏn nu t t = xy hoc t = x + y thỡ th vo biu thc P xut hin bc phc hn rt nhiu Do ú ta chn cỏch t t = x2 + y2 Li gii Da vo bt ng thc hin nhiờn : ( x + y ) 4xy nờn ( x + y) ị ( x + y) + 4xy ị ( x + y) 3 + ( x + y) ( x + y) + 4xy 2 ựộ( x + y ) + ( x + y ) + 2ự + ( x + y) - ị ộ ỳ (1) ở( x + y ) - 1ỷờ ỷ ộ 1ự Do ( x + y ) + ( x + y ) + = ờ( x + y ) + ỳ + > v t (1) suy : x + y 2ỳ ỷ Vy nu cp ( x;y ) tha yờu cu bi thỡ x + y (2) Ta bin i A nh sau: A = 3( x4 + y4 + x2y2 ) - 2( x2 + y2 ) + = 3 x + y2 ) + ( x4 + y4 ) - 2( x2 + y2 ) + 1(3) ( 2 Do x + y A ( x2 + y2 ) 2 nờn t (3) suy : 2 3 x + y2 ) + ( x2 + y2 ) - 2( x2 + y2 ) + = ( x2 + y2 ) - 2( x2 + y2 ) + ( 4 Vỡ x + y 2 ( x + y ) nờn t (2) ta cú : x2 + y2 Trang 14 t f ( t ) = t2 - 2t + vi t = x2 + y2 ổ1ử Ta cú : f Â( t ) = t - > 0, " t 2 ữ f ( t) = f ỗ ữ= ỗ Suy : ữ 16 (4) ỗ t ố ứ T (4) suy A Vy A = 9 Mt khỏc d thy x = y = thỡ A = 16 16 x = y = 16 Thớ d ( thi tuyn sinh i hc B 2011) Cho a v b l cỏc s thc dng tha 2( a2 + b2 ) + ab = ( a + b) ( ab + 2) ổ a3 b3 ổ a2 b2 ữ ữ - 9ỗ + 2ữ ỗ Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 4ỗỗỗ + ữ ữ ữ ỗ ữ ốb a ứ a ữ ốb ứ Phõn tớch v tỡm tũi li gii Nhn thy c gi thit v yờu cu bi toỏn u cha biu thc i xng a v b nờn cỏch t cng hng v phng phỏp chung ú.Tuy nhiờn nu t t = xy hoc t = x + y thỡ th vo biu thc P xut hin bc a b tớnh toỏn phc Do ú ta chn cỏch t t = + b bi toỏn li tr nờn a d dng hn rt nhiu Li gii Vi a,b dng, ta cú: 2( a2 + b2 ) + ab = ( a + b) ( ab + 2) ổ ổ1 1ữ a bử 2( a2 + b2 ) + ab = a2b + ab2 + 2( a + b) 2ỗ + ữ + = ( a + b) + 2ỗ + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗb a ứ ỗ ố ốa bứ ổ1 1ử ổ1 1ử + ữ ữ 2( a + b) ỗ ữ= M ( a + b) + 2ỗỗỗ + ữ ỗ ỗa bữ ốa bữ ứ ố ứ ổ a bử ổ a b a ổ a b 2ỗ + + 2ữ ữ ỗ ữ, ỗb a ố ứ b + 2ỗ + + 2ữ ữ ữ suy ra: 2ỗỗỗ + ữ ỗ ữ ữị b + a ỗ ốb a ứ ốb a ứ a b b a t t = + ,t , suy : P = 4( t - 3t ) - 9( t2 - 2) = 4t - 9t2 - 12t + 18 Xột hm s f ( t ) = 4t - 9t2 - 12t + 18 , vi t ổ5ử 23 ữ f ( t) = f ỗ ữ= ỗ Ta cú f Â( t ) = 6( 2t2 - 3t - 2) > 0, suy : ộmin 5;+Ơ ữ ỗ ố ứ ) ở2 Trang 15 ỡù a b ùù + = ù 23 Vy, MinP = t v ch : ớù b a 2ổ1 1ử ùù a + b = 2ỗ + ữ ữ ỗ ữ ỗ ùùợ ốa bứ ( a;b) ( a;b) = ( 2;1) hoc = ( 1;2) Nhn xột Qua cỏc thớ d trờn, cho ta mt k thut gim bin ca bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca biu thc hai bin cú tớnh i xng: Do tớnh i xng nờn ta luụn cú th bin i a v mt cỏc dng t t = x + y , t = x2 + y2 , t= a b + hoc t = xy , t ú a v tỡm GTNN, GTLN ca hm s n t b a Dng 2: Tỡm GTLN,GTNN ca biu thc cha bin cú tớnh cht i xng Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by mt s dng bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc cha ba bin bng cỏch t n ph hoc th hai bin qua mt bin cũn li T ú, chuyn c bi toỏn v bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s Thớ d ( thi tuyn sinh i hc B-2010) Cho cỏc s thc khụng õm a,b,c thon a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc M = 3( a2b2 + b2c2 + c2a2 ) + 3( ab + bc + ca ) + a2 + b2 + c2 Phõn tớch v tỡm tũi li gii Nhn thy c gi thit v yờu cu bi toỏn u cha biu thc i xng a ,b v c vy cỏch gii bi ny cú tng t nh i vi dng bin i xng hay khụng tr li cho cỏch t ny ta phi i bin i biu thc M bng cỏch s dng bt ng thc ỳng hin nhiờn v gi thit Li gii Ta cú: M ( ab + bc + ca ) + 3( ab + bc + ca ) + - 2( ab + bc + ca ) t t = ab + bc + ca , ta cú : Ê t Ê ( a + b + c) ộ 1ử = 0; ữ ữ Xột hm s f ( t ) = t2 + 3t + - 2t trờn , ta cú : f Â( t ) = 2t + ữ ứ Trang 16 - 2t f ÂÂ( t ) = - ( 1- 2t ) ộ ự Ê , du bng ch xy ti t = 0, suy f Â( t ) nghch bin ổử 1ữ 11 0; ỳ ta cú : f Â( t ) f Âỗ ữ ỗ Xột trờn on ữ= - > , suy f ( t ) ng bin ỗ ỳ ố3ứ 3ỷ ộ ự 0; ỳ Do ú : f ( t ) f ( 0) = 2, " t ẻ ờ ỳ 3ỷ ộ 1ự 0; ỳ Vỡ th : M f ( t ) 2, " t ẻ ờ 3ỳ ỷ Vy M ỡù ab = bc = ca ùù = ùớ ab + bc + ca = ùù ùùợ a + b + c = ( a;b;c ) l mt cỏc b s : ( 1;0;0) ,( 0;1;0) ,( 0;0;1) Thớ d 10 Cho x2 + y2 + z2 = Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc P = x + y + z + xy + yz + zx Phõn tớch v tỡm tũi li gii Bi toỏn ny gi thit v yờu cu bi toỏn u cha biu thc i xng i vi x, y v z vy cỏch gii bi ny tng t nh i vi dng Ta quy v mt bin bng cỏch t t = x + y + z Li gii t t = x + y + z p dng bt ng thc Cauchy Schwarz ta cú ( x + y + z ) Ê 3( x2 + y2 + z2 ) suy - Ê t Ê Khi ú P = ( x + y + z) + ộ ờ( x + y + z ) 2ở Xột hm s f ( t ) = ( x2 + y2 + z2 ) ựỳỷ= 2( t2 + 2t - 1) ( t + 2t - 1) , f Â( t ) = 2t + 2, f Â( t ) = t = - Ta cú bng bin thiờn Trang 17 T bng bin thiờn ta cú M in P = M in f ( t ) = f ( - 1) = - tẻ ộ 3; 3ự ỳ ỷ t c t = - hay ( x;y;z ) = ( - 1;0;0) v cỏc hoỏn v ca nú; MaxP = ( x;y;z ) Max f ( t ) = f tẻ ộ ờở =( 3; 3ự ỳ ỷ ;1;1 3 ( ) = 1+ t c t= hay ) Thớ d11.Cho a, b, c l cỏc s thc dng v a + b + c = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = abc +3 + ab + bc + ca ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) Phõn tớch v tỡm tũi li gii S dng bt ng thc c bn a biu thc P v hm cha abc Sau ú t abc = t Li gii p dng Bt ng thc: ( x + y + z ) 3( xy + yz + zx) , x, y, z ta cú: (ab + bc + ca) 3abc( a + b + c) = 9abc > ab + bc + ca abc Ta cú: (1 + a)(1 + b)(1 + c) (1 + abc )3 , a, b, c > Tht vy: ( + a ) ( + b ) ( + c ) = + (a + b + c) + (ab + bc + ca) + abc + 3 abc + 3 (abc) + abc = (1 + abc )3 Khi ú: P abc = Q (1) 3(1 + abc ) + abc + t a+b+c abc = t ; vỡ a, b, c > nờn < abc ữ =1 2t ( t 1) ( t 1) t2 0, t ( 0;1] + , t ( 0;1] Q(t ) = Xột hm s Q = 2 3(1 + t ) + t + t + t ( ) ( ) Do ú hm s ng bin trờn ( 0;1] Q = Q ( t ) Q ( 1) = Vy maxP = 1 (2) T (1) v (2): P 6 , t c v v chi : a = b = c = Trang 18 Bi tng t Bi 1/ Cho x, y > tha x + y + = 3xy Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = 3x 3y 1 + - 2- y ( x + 1) x ( y + 1) x y Bi 2/ Cho x,y khụng ng thi bng v tha x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x2 y2 + + x2 + y2 y2 + x2 + Bi 3/ Cho x2 + y2 = Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc P = x 1+ y + y 1+ x Bi 4/ Cho x2 + y2 = Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc P = x 1+ y + y 1+ x Bi 5/ Cho x, y thay i tha ( x + y ) xy = x2 + y2 - xy Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = 1 + 3 x y Bi 6/ Cho x,y ẻ Ă tha x2 + xy + y2 Ê Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = x2 - xy + y2 Dng 3: Tỡm GTLN,GTNN ca biu thc cha cỏc bin cú tớnh cht ng cp Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by mt s dng bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc cha hai bin m gi thit hoc biu thc ú th hin tớnh ng cp T ú xột hm s v tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s Thớ d 12 ( thi tuyn sinh i hc A 2011) ự Cho x, y, z l ba s thc thuc on ộ ở1;4ỷ v x y, x z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x y z + + 2x + 3y y + z z + x Phõn tớch v tỡm tũi li gii Biu thc P cú dng ng cp nhng cú cha bin ú quy v mt n ta s dng bt ng thc ph ỏnh giỏ P sau ú t nr ph quy v mt bin Li gii Trang 19 Ta bin i P c: P = 1 + + 3y z x 2+ 1+ 1+ x y z Trc ht ta chng minh : ab Tht vy, ( * ) 1 + (*), vi a v b dng v + a + b + ab ( a + b + 2) ( + ( a + b) ab + ab a + b + 2ab ( ) ab 2( + a ) ( + b) )( ab - a- b ) , luụn ỳng vi a,b dng v ab Du bng xy ra, v ch : a = b hoc ab = ự p dng (*), vi x v y thuc on ộ ở1;4ỷv x y , ta cú: P = 1 1 + + + 3y z x 3y x 2+ 1+ 1+ 2+ 1+ x y z x y Du bng xy ra, v ch : t t2 x ự Khi ú: P + = t,t ẻ ộ ;2 ỷ y 2t2 + + t Xột hm s : f ( t ) = Ta cú: f Â( t ) = t2 ự + ,t ẻ ộ ở1;2ỷ, 2t2 + + t ự - 2ộ ởt ( 4t - 3) + 3t ( 2t - 1) + 9ỳ ỷ< , 2 ( 2t2 + 3) ( + t ) ị f ( t ) f ( 2) = z x x = hoc = (1) y z y 34 33 Du bng xy ra, v ch x = x = 4, y = (2) y Suy P 34 33 T (1) v (2) suy du bng xy ra, v ch : x = 4, y = v z = Vy, giỏ tr nh nht ca P bng 34 , x = 4,y = 1, z = 33 Trang 20 t =2 Thớ d 13.Cho a,b,c l ba s thc khụng ng thi bng tha (a + b + c) = 2( a + b + c ) a + b3 + c3 Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca : P = (a + b + c)(ab + bc + ca ) Phõn tớch v tỡm tũi li gii Biu thc P cú dng ng cp nhng cú cha bin ú quy v mt n ta s dng bt ng thc ph ỏnh giỏ P sau ú t n ph quy v mt bin Li gii Ta cú (a + b + c) = a + b + c + 2(ab + bc + ca) 2(a + b + c ) = a + b + c + 2(ab + bc + ca ) ab + bc + ca = ( a + b + c ) = (a + b + c ) 2 3 4(a + b3 + c ) a b c = Khi ú P = ữ + ữ + ữ (a + b + c) a+b+c a+b+c a+b+c t x = 4a 4b 4c ;y= ;z = t phộp t ta cú : a+b+c a+b+c a+b+c x+ y+z = y + z = x y + z = x (*) xy + yz + xz = yz = x( y + z ) yz = x x + 16 P = x3 + y + z = x + ( y + z )3 yx ( y + z ) = 3x 12 x + 12 x + 16 P= 3 3 x x + x +1 16 4 2 T (*) tn ti y v z v ch : (4 x) 4(4 x + x ) x 0; Nh Vy bỏi toỏn tr thnh tỡm GTLN v GTNN x 0; 3 x= 3 Ta cú: P ' = x x + = ; 16 x = 2 Ta cú: P(0) = 1; P( ) = 11 ; P(2) = 1; P( ) = Trang 21 P= 3 3 x x + x + trờn 16 4 * MaxP = 11 2 ti x = ; y = z = ; x = ; y = z = 3 3 * MinP = ti x = 0; y = z = 2; hoac x = 2; y = x = Bi tng t 1/ Cho x, y > tha xy Ê y - Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x2 y3 + y2 x3 2/ Cho x, y Chng minh rng 3x3 + 7y3 9xy2 3/ Cho x, y Chng minh rng x4 + y4 x3y + xy3 ổx2 y2 ổx yử ữ - 8ỗ + ữ ữvi x, y 4/ Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 3ỗỗỗ + ữ ữ ữ ỗ ữ ỗ ốy x ứ x ứ ốy IV KT QU V KINH NGHIM RT RA Kt qu: Sau ỏp dng nhng kt qu nghiờn cu ti, qua kho sỏt cho thy: Cú trờn 60% cỏc em hc sinh cú hng thỳ vi bi hc v 30% s ú bit cỏch tỡm tũi v xõy dng nhng bi toỏn mi t nhng bi toỏn gc c giỏo viờn gi ý hoc c cỏc em t tỡm tũi Trong cỏc k thi th THPT quc gia trờn ton tnh cú khong 30-40% hc sinh cỏc lp trờn cú th gii quyt bi toỏn tỡm GTLN,GTNN dng khụng quỏ khú cỏc thi ú Kinh nghim rỳt Khi tip cn bi toỏn tỡm GTLN,GTNN ca biu thc, ta cn nghiờn cu k nhng mi quan h gia cỏc gi thit ó cho v biu thc cn tỡm Nu d liu bi toỏn xoay quanh hai hoc ba bin no ú, cõu hi u tiờn ca chỳng ta l: Gia chỳng cú chng mt mi quan h rng buc no ú ? v t nhng gi thuyt nh gia chỳng cú tớnh cht i xng, chỳng cú tớnh cht ng cp, T ú kim chng gi thuyt t bng c bit húa bi toỏn, phng oỏn du bng xóy v d oỏn kt qu GTLN hoc GTNN quy biu thc cn tỡm GTLN,GTNN v mt bin ta cn xem xột v ỏnh giỏ gi thit + Nu gi thit cha hai bin bc nht cú th th mt bin qua bin cũn li Trang 22 + Nu gi thit v biu thc cú cha bin i xng thỡ t n ph theo tớnh i xng t = x + y , t = x2 + y2 hoc t = xy + Nu gi thit v biu thc cha hai bin i xng v mt bin c lp thỡ quy v bin c lp ú x y +Nu biu thc cú tớnh ng cp thỡ t n ph theo tớnh ng cp t = í ngha ca SKKN Vi sỏng kin kinh nghim ny hy vng gúp thờm mt ti liu cho quý Thy, Cụ v cỏc bn ng nghip ; giỳp cỏc em hc sinh cú thờm nhng kinh nghim cho loi toỏn ny, t ú t tin hn thi i hc Kh nng ng dng v trin khai Sỏng kin kinh nghim ny cú th trin khai nh mt chuyờn bi dng hc sinh gii ; cng nh dựng ging dy cho cỏc em hc sinh ụn thi i hc, nhm giỳp cỏc em hc sinh cú th vt qua tr ngi tõm lớ t trc ti cho loi bi toỏn ny Trang 23 C KT LUN V XUT I NHNG KT LUN Qua thc t ging dy chỳng tụi thy rng no dự khú m giỏo viờn quan tõm v truyn th cho hc sinh bng lũng say mờ v nhit tỡnh ca mỡnh thỡ s cun hỳt cỏc em vo ng nghiờn cu Bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc khụng phi l mt mi, nhng thc t õy l khú v khụng hng thỳ i vi nhiu hc sinh Thm cũn nhiu Thy, Cụ cha thc s quan tõm ỳng mc ny II NHNG KIN NGH, XUT Trong dy hc gii bi toỏn, giỏo viờn cn xõy dng bi ging thnh h thng nhng bi cú phng phỏp v quy trỡnh gii toỏn Khuyn khớch hc sinh xõy dng bi toỏn liờn quan n nhng dng bi toỏn bi ging Phỏt trin v nhõn rng nhng ti cú ng dng thc tin cao, ng thi vit thnh nhng b sỏch tham kho cho hc sinh v giỏo viờn XC NHN CA TH TRNG N V Thanh húa ngy 20 thỏng nm 2016 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Ngi vit Lờ Xuõn Ninh Trang 24 S GIO DC V O TO THANH HểA TRNG THPT HONG HểA - - SNG KIN KINH NGHIM TấN TI K THUT QUY V MT BIN TRONG BI TON TèM GI TR LN NHT GI TR NH NHT CA MT BIU THC Ngi thc hin: Lờ Xuõn Ninh Chc v: Hiu trng n v cụng tỏc: Trng THPT Hong Húa Sỏng kin kinh nghim mụn: Toỏn hc Trang 25 THANH HểA NM 2016 Trang 26 ... phỏt hin v gii quyt a Bn cht Dy hc phỏt hin v gii quyt l phng phỏp dy hc ú giỏo viờn to nhng tỡnh cú , iu khin hc sinh phỏt hin , hot ng t giỏc, tớch cc, ch ng, sỏng to gii quyt v thụng qua... k nng v t c nhng mc ớch hc khỏc b Quy trỡnh thc hin - Tỡm cỏch gii quyt thng c thc hin theo s : Btu Phõn tớch vnddddddd ddddddddđdd xut v thc hin hng gii quyt dddddđđeeee ethnh gii phỏp Hỡnh... cho hm nhiu bin, t tng c bn l quy v mt bin kho sỏt Khụng cú mt thut gii chi tit no cho phng phỏp ny m ch thụng qua vớ d hc sinh rốn luyn t mỡnh tỡm cỏch gii quyt nh th no tng bi toỏn c th