Hướng dẫn học sinh lớp 7 tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Một trong nhữngmôn học mang lại hiệu quả dạy học cao đó là toán học.. Thôngthường, các em học sinh chỉ mới có khả năng giải quyết trực tiếp bài toán màchưa có khả năng

MỤC LỤC

Trang

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 42.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 52.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 62.3.1 Tìm hiểu nội dung kiến thức liên quan 62.3.2 Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ

và sáng tạo trong cách giải khi sử dụng kiến thức đã học 62.3.2.1 Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức là đa thức 72.3.2.2 Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng phân số 102.3.2.3 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

12

2.3.2.4 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

thức chứa căn bậc hai

15

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành trung ương Đảng khóa XI đã ban hành

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 về "đổi mới căn bản toàn diện giáo

dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế" Mục tiêu cơ

bản của giáo dục nói chung, của nhà trường nói riêng là đào tạo và xây dựng thếhệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện có đầy đủ phẩmchất đạo đức, năng lực, trí tuệ đáp ứng yêu cầu thực tế hiện nay Để thực hiệnđược mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy họchiện đại kết hợp với những phương pháp dạy học truyền thống để bồi dưỡng chohọc sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thànhnề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiêntiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, tăng cường và dành thời giantự học và tự nghiên cứu cho học sinh Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũngphải tìm ra phương pháp mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tínhtích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của mỗi học sinh trong các môn học Thôngqua các môn học, học sinh được phát triển toàn diện về năng lực trí tuệ, tư duylôgic, phẩm chất đạo đức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, có óc phán đoán, phân tíchtổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hình thành nhân cách Một trong nhữngmôn học mang lại hiệu quả dạy học cao đó là toán học

Quá trình dạy học ở trường THCS , việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển

tư duy cho học sinh là những nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên Vì lí dothời lượng chương trình và phải đáp ứng một cách đại trà về kiến thức cho họcsinh nên chương trình sách giáo khoa mới chỉ đáp ứng một phần kiến thức.Chính điều này đã hạn chế sự phát triển tư duy của những em học sinh khágiỏi.Vì vậy, trong quá trình dạy học, người giáo viên phải quan tâm đến hai vấnđề là đáp ứng kiến thức đại trà và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi Thôngthường, các em học sinh chỉ mới có khả năng giải quyết trực tiếp bài toán màchưa có khả năng nhìn nhận bài toán đó từ những góc độ khác nhau, mới giảiquyết vấn đề một cách rời rạc mà chưa có khả năng xâu chuỗi chúng lại vớinhau thành một mảng kiến thức lớn Chính vì thế, việc rèn luyện và phát triển tưduy khái quát hóa, tương tự hóa là hết sức cần thiết đối với học sinh.Việc làmnày giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhậnvà phát hiện vấn đề nhanh, giải quyết vấn đề có tính logic và hệ thống cao

Trong chương trinh toán lớp 7, dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa một biểu thức là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiềuvào giải các bài tập Dạng toán này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinhtrong quá trình luyện tập, hình thành các kĩ năng, kĩ xảo về sau này ở các lớphọc cao hơn như: Chứng minh các biểu thức luôn âm, luôn dương, chứng minhphương trình vô nghiệm,

Bản thân tôi là giáo viên dạy môn toán, qua nhiều năm dạy tôi thấy họcsinh sau khi học vẫn còn lúng túng khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểuthức, nhất là với đối tượng học sinh lớp 7, khi mà các em mới làm quen với biểuthức đại số cũng như những công cụ về kiến thức giúp các em xử lí loại toán nàycòn hạn chế.

Để giúp học sinh tự học, tự định hướng được một số cách giải khi gặp cácbài toán phải dùng đến tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cua biểu thức, tôi đã chọnviết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 7 tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Bản thân tôi luôn cố gắng đúc rút, xâu chuỗi các kiến thức thu nhận đượcthành một chủ đề với mong muốn có thể giải quyết được một lớp các bài toánđiển hình về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một biểu thức trong khuôn khổkiến thức lớp 7 Cụ thể là nhằm mục đích nâng cao chất lượng và hiệu quả củaviệc dạy học phần kiến thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểuthức, trao đổi với giáo viên cùng bộ môn về phương pháp giải và những ứngdụng của định lí, giúp học sinh có thể lĩnh hội một cách sâu sắc, triệt để nhất,hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát triển tư duy cho học sinh và giúp các em cóthêm kiến thức trang bị cho những lớp học cao hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Trong đề tài này, tôi đưa ra một số nội dung kiến thức toán học mà họcsinh lớp 7 có thể vận dụng vào việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểuthức Bên cạnh đó hệ thống lại các dạng bài tập có liên quan, gồm:

- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng đa thức

- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng phân số

- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trịtuyệt đối

- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu cănbậc hai

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp tiếp cận vấn đề: Thông qua việc giảng dạy thực tế, tiếpxúc, trao đổi với nhiều học sinh, từ đó tôi đưa ra được lượng kiến thức để họcsinh dễ tiếp cận nhất

- Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trước khi đi vào cách giải cụ thể, tôithường đưa ra những phân tích về loại bài tập đó Từ đó có thể khái quát haytổng hợp lại phương pháp giải

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi sử dụng nhiều nguồn tài liệu củacác tác giả có uy tín cũng như sử dụng đề thi vào trung học phổ thông ở nhữngnăm học trước

- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tôi thường xuyên khảo sát mức độtiếp thu kiến thức của học sinh thông qua các bài tập nhanh Kết quả thu nhậnđược giúp tôi điều chỉnh lượng kiến thức cũng như phương pháp truyền đạt tớicác em sao cho hiệu quả cao nhất.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy trừutượng.Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không, có bền vững haykhông còn phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo của chủ thể

Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm ngườilớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức.Ở lứa tuổi họcsinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt độnghọc tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau Tuy nhiên nhượcđiểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình, chưa nắmđược các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới.Vì vậy cần có sựhướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô

Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy: Trong môn toán sựthống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thựchiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy học toántrong hoạt động và bằng hoạt động Dạy học theo phương pháp mới phải làmcho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều hơn trongquá trình chiếm lĩnh tri thức toán học

Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tưduy Quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy bộ óc của họcsinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, kháiquát hoá Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm Phải cung cấp chohọc sinh có thể tự tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoánđượccác kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài toán,hướng chứng minhmột định lý…

Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy họctoán cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, thông quanhiều năm học, thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoácũng như ngoại khoá

Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tínhlogic đồng thời môn toán còn là bộ môn công cụ hỗ trợ cho các môn học khác.Với phân môn đại số là bộ môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng tínhtoán, suy luận logic, phát triển tư duy sáng tạo Nâng cao được năng lực tư duy,tính độc lập, tính sáng tạo, linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tập càng có ýnghĩa quan trọng Việc bồi dưỡng học sinh không đơn thuần chỉ cung cấp cho

các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiềubài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo Đối vớiphân môn đại số càng phải biết rèn luyện năng lực tư duy trừu tượng và phánđoán logic.

Trong thực tiễn dạy học, các bài tập tính toán, suy diễn, chứng minhthường chiếm số lượng rất lớn.Hơn nữa, do đặc thù bộ môn, những bài tập dạngnày lại tập trung nhiều trong phân môn đại số

Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại sốluôn có một vị trí xứng đáng trong chương trình dạy và học toán ở trường trunghọc cơ sở.Các bài toán này rất phong phú đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiều kiếnthức, vận dụng một cách hợp lí, nhiều khi khá độc đáo.Vì vậy, các bài toán tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số thường xuyên xuất hiệntrong sách giáo khoa, sách nâng cao của các khối lớp

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Bản thân sau nhiều năm giảng dạy môn toán có rút ra nhận xét là khi gặpcác vấn đề toán có cùng bản chất nhưng phát biểu ở dạng khác thì học sinhthường tỏ ra lúng túng và bếtắc

Chủ đề tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số, tôi thấy đã

có nhiều tác giả đề cập, nhưng đa phần là nêu ra cả một hệ thống kiến thức củachương trình toán trung học cơ sở.Có không nhiều tài liệu chỉ đi sâu vào mộtkhối lớp, nhất là khối lớp dưới như lớp 7

Làm thế nào để học sinh hiểu rõ bản chất của loại toán trên, vận dụng kiếnthức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này như thế nào? Giảiquyết vấn đề này không phải dễ dàng

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức là phần kiến thứctương đối khó và rộng đối với các em, đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyếtcác bài tập ở mức độ tư duy cao hơn.Việc vận dụng ngay những lý thuyết đãđược học trong sách giáo khoa vào giải bài tập đôi khi còn khó khăn nên sự sángtạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng, nâng cao nằm ngoài khảnăng của học sinh là điều không tránh khỏi Tôi đơn cử ví dụ:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= x  x 1

Khi chưa thực hiện chuyên đề này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quảnhư sau: Lúc đầu khoảng 50% số học sinh trong lớp không xác định được dùngkiến thức gì để giải, khoảng 45% số học sinh sử dụng tính chất của giá trị tuyệtđối của một số và giải như sau:

Rõ ràng đây là một lời giải hoàn toàn sai, sai cả về kết quả của bài toán,

cả về việc các em chưa biết chỉ ra khi nào giá trị biểu thức đạt được dấu "="

Sau đó tôi nghiên cứu hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì khoảng85% số học sinh trong lớp đã xác định được hướng giải quyết bài toán và cókhoảng 65% các em làm được Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụng vàogiải một số bài tập yêu cầu cao hơn

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Tìm hiểu nội dung kiến thức liên quan:

- Một biểu thức có thể đạt giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min),hoặc đạt cả giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, hoặc không có giá trị lớn nhất, nhỏnhất

Chẳng hạn, xét biểu thức B=2x2 Biểu thức này có giá trị bằng 0 khi x=0,

có giá trị dương khi x0 Biểu thức này không có giá trị lớn nhất

Thật vậy, giả sử B có giá trị lớn nhất là k tại giá trị x1.Suy ra B cũng bằng

k tại giá trị x2 là số đối của x1.Giả sử x1>0, ta chọn giá trị x3>x1>0 Khi đó2x32>2x12 mà 2x12=k nên 2x32>k, trái với giả sử k là giá trị lớn nhất

*) Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức A, ta làm như sau:

+) Chứng tỏ rằng Ak (với k là hằng số)

+) Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu "="

+) Kết luận giá trị nhỏ nhất (thường viết Min A) với dấu "=" xảy ra

*) Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức A, ta làm như sau:

+) Chứng tỏ rằng Ak (với k là hằng số)

+) Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu "="

+) Kết luận giá trị lớn nhất (thường viết Max A) với dấu "=" xảy ra

Nếu chỉ chứng minh được yêu cầu thứ nhất thì chưa đủ để kết luận vềGTLN, GTNN của biểu thức đó

2.3.2 Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải khi sử dụng kiến thức đã học.

Để hình thành kĩ năng tìm GTLN, GTNN của biểu thức, trước hết ta cầncủng cố và bổ sung kiến thức cho học sinh, như:

+ Giá trị tuyệt đối của một số, gồm:

   , dấu "=" khi A=0

+ Lũy thừa bậc chẵn của một biểu thức:

A2n 0, với mọi A và nN.Dấu "=" khi A=0

-A2n

0, với mọi A và nN Dấu "=" khi A=0

+ Căn bậc hai của một số không âm: A 0 (A0)

+ Phân số: Nếu AB>0 (hoặc 0<AB) thì 1AB1 (hoặc 1AB1)

2.3.2.1 Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức là đa thức.

Phân tích: Ở dạng toán này, thường thì ta làm xuất hiện lũy thừa bậc chẵncủa biểu thức và đánh giá Sau đây là một số dạng bài tập điển hình:

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=2(x-1)2-1

Giải: Ta có: (x-1)2  0, với mọi x  2(x-1)2 0  A=2(x-1)2-1-1

Dấu "=" xảy ra khi x-1=0 x=1

Vậy Min A=-1 khi x=1

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

y 

Vậy Max A=2019 khi y 32

Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Nhận xét: Ở dạng bài tập này, học sinh thường mắc sai lầm là đánh giá

(x 2 +3) 4 0 và vội vàng kết luận giá trị nhỏ nhất là 0, hoặc là chỉ ra không xảy

ra trường hợp dấu "=" (do x 2 +3=0 vô lí).

Giải: Ta có: x2 0, với mọi x  x2+33  D=(x2+3)4 34=81

Dấu "=" khi x=0

Vậy Min D=81 khi x=0

Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

E=(2x-3y)2-(6y-4x)2-(y+1)4

Nhận xét: Khi gặp loại bài tập này, nhiều học sinh sẽ lúng túng vì việc đánh giá dẫn đến các biểu thức được đánh giá ngược chiều nhau, chẳng hạn như:

(2x-3y) 2

0 -(6y-4x) 20

-(y+1) 40

Với cách đánh giá này thì chưa thể kết luận được về giá trị lớn nhất của E.

Giải: Ta có: E=(2x-3y)2-[-2(2x-3y)]2-(y+1)4

E=(2x-3y)2-4(2x-3y)2-(y+1)4

E=-3(2x-3y)2-(y+1)4

Vì -3(2x-3y)20, với mọi x, y

-(y+1)20, với mọi y

nên E=-3(2x-3y)2-(y+1)40

Vậy Min F=2 khi x=1

Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

G=x2+2x+2

Nhận xét: Trong bài tập này, nếu đánh giá hạng tử 2x0 khi x0, 2x0 khi

x0, còn x 20 với mọi x Do đó cũng chưa kết luận được về GTNN của G Ta cần biến đổi tương tự bài tập 6.

Vậy Min G=1 khi x=-1

Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy Min H=-22 khi x=1

Bài tập tham khảo:

Bài tập 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a I=9(2x+1)2-71

b J=6(4x-5)2+(2-y)4+7(3-2z)2

c K=(6x2+ 5)2+2014

d L=x4+3x2+2

e M=12(x+3y)2-(3x+9y)2-3+(y+1)100

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a N=15-(y-5)2

b O=-2(4-2x)4-(5y-25)6+2019

c P=-10-(x-5)2+(y+3)2-(3z+7)2-(12+4y)4

d Q=20-5x2-15x

2.3.2.2 Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng phân số

Phân tích: Để làm được dạng toán này, cần nắm rõ cách tìm GTLN,GTNN của biểu thức dạng đa thức (đã trình bày ở mục 2.3.2.1) Ngoài ra còn cónhững dạng bài tập tìm GTLN, GTNN kèm theo điều kiện Sau đây là một sốdạng bài tập:

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 3(2x 1)  2

Dấu "=" khi y=-2

Vậy Min B=-2019 khi y=-2

Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy Max C=4 khi x=0

Bài tập 4: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị lớn nhất:

So sánh (1) và (2) ta thấy GTLN của D bằng 1 khi x=6

Vậy Max D=1 khi x=6