Giúp học sinh lớp 9 giải bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT

ĐỀ TÀI: GIÚP HỌC SINH LỚP 9 GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO THPT 1.. Thông qua việc học toán,học sinh có th

MỤC LỤC

Trang

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng 3

2.3 Các giải pháp và biện pháp thực hiện 3

Phần I: Ôn tập và bổ sung một số kiến thức 3

Phần II: Các phương pháp giải bài toán tìm GTLN(Max), GTNN(Min) của một biểu thức 4

Phần III: Phân loại một số dạng toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức 8

Phần IV: Những sai lầm học sinh thường mắc phải 15

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17

3 KẾT LUẬN * Bài học kinh nghiệm 18

3.1 Kết luận 19

3.2.Kiến nghị 19

ĐỀ TÀI:

GIÚP HỌC SINH LỚP 9 GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI

VÀO THPT

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Như chúng ta đã biết: Toán học là môn học cơ bản Thông qua việc học toán,học sinh có thể nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán mà từ

đó vận dụng vào các môn khoa học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên.Toán học là cơ sở cho mọi ngành khoa học khác vì vậy có vai trò quan trọng trongdạy học ở trường phổ thông, đòi hỏi người thầy phải có nghệ thuật sáng tạo, đổimới phương pháp dạy học để đáp ứng nhu cầu học của học sinh

Nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường trung học cơ sở là nhiệm vụxuyên suốt của mỗi giáo viên nói riêng và mỗi nhà trường nói chung, trong đó chấtlượng lớp 9 là cơ sở đánh giá của quá trình giáo dục ở cấp trung học cơ sở

Là một giáo viên dạy toán lâu năm ở trường THCS bản thân luôn trăn trở làmthế nào để nâng cao chất lượng bộ môn Để làm được điều đó mỗi giáo viên cầnđổi mới phương pháp giảng dạy, tích cực kiểm tra, theo dõi sát việc học tập của họcsinh Qua đó, cần phải uốn nắn giải đáp vướng mắc cho các em, điều chỉnh phươngpháp giảng dạy sao cho học sinh dễ học, dễ nhớ, khắc sâu được kiến thức

Trong chương trình toán học ở trường THCS không có bài học về “Tìm giá trịlớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số” Tuy nhiên trong hệ thống các bài tậpđặc biệt là trong các đề thi học sinh giỏi, học sinh thi tuyển sinh vào lớp 10 chúng

ta lại bắt gặp khá nhiều dạng toán này Trong năm học 2015 – 2016 dưới sự phâncông của nhà trường, tôi trực tiếp giảng dạy môn toán 9 và thấy việc tiếp cận cácbài toán dạng này của các em còn rất lúng túng, thậm chí các em còn chưa hiểu rõmình phải làm gì trước câu hỏi đặt ra của đề bài Vì thế tôi đã cố gắng tìm tòi vàphát hiện ra ngay từ các lớp dưới các em đã không được làm quen với các khái

niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Để giúp học sinh có một công cụ để giải quyết các vấn đề tồn tại trên, tôi mạnhdạn đưa ra “Một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa một biểu thức đại số” với mong muốn giúp các em trút bỏ được nỗi băn khoan,

lo lắng khi tiếp cận với hệ thống các bài tập dạng này

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm củng cố cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi môn toánlớp 9 một số kiến thức để giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa một biểu thức đại số Cũng từ đó mà phát triển tư duy lôgic cho học sinh, pháttriển năng lực giải toán cho các em, giúp các em nhận biết và tránh những sai lầmkhi giải toán để bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác hơn, không nhữngvậy mà còn giúp các em tự tin hơn khi học toán

Đề tài cũng nhằm giúp cho giáo viên có thêm một tư liệu, cẩm nang bổ ích

để thực hiện nhiệm vụ dạy học sáng tạo, có hiệu quả

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất(cực trị)

- Một số dạng toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại sốtrong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9

- Phân tích, nhận xét, đánh giá những sai lầm mà học sinh thường mắc phải và rút

ra bài học kinh nghiệm

Trong phạm vi giới hạn tôi chỉ đi sâu vào nghiên cứu một số phương phápchung cơ bản nhất, nhằm cung cấp cho các em kiến thức cơ bản nhất về giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số

1 4 Các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo,tài liệu bồi dưỡng, …

- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trước để rút kinhnghiệm cho lớp học sinh sau

2 NỘI DUNG

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN.

Năm học 2016 - 2017 là năm học mà toàn ngành tổ chức phong trào thi đua

với chủ đề “Đổi mới, sáng tạo trong dạy và học” nhằm tiếp tục triển khai có hiệuquả Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Ban Chấp hành Trung ươngkhóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Đại hội

XI Công đoàn Việt Nam, Nghị Quyết Đại hội XIV CĐGD Việt Nam và Kếhoạch hành động của CĐGD Việt Nam triển khai thực hiện Nghị quyết 29-NQ/TW; động viên cán bộ quản lý, nhà giáo, người lao động trong toàn Ngành thểhiện bằng những việc làm cụ thể, thiết thực để đổi mới, sáng tạo trong công tác,hoạt động dạy và học của nhà giáo và học sinh, sinh viên, tạo bước chuyển biếnmới về nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo - thực hiện nhiệm vụ phát triểnnguồn nhân lực, nhất là nguồn nhân lực chất lượng cao

Trường THCS là cơ sở giáo dục của bậc trung học, là bậc nối tiếp của bậc tiểuhọc trong hệ thống giáo dục quốc dân Trường THCS có vai trò, vị trí lớn lao trongviệc thực hiện mục tiêu, nhiệm vụ giáo dục trong thời đại mới - thời đại côngnghiệp hóa, hiện đại hóa

Trường THCS tạo những cơ sở ban đầu rất quan trọng và bên vững cho trẻ em,

ở đó các em được trang bị các kiến thức cơ bản trong mọi lĩnh vực nói chung vàlĩnh vực khoa học tự nhiên nói riêng trong đó có toán học - toán học giữ vai trò hếtsức quan trọng, nó sẽ là hành trang xuyên suốt cả cuộc đời con người Toán họcđược hình thành và phát triển trong các em ngay từ bậc tiểu học và phát triển sâuhơn, cao hơn bậc trung học, ở trường THCS nó lại là tiền đề để các em hoàn thiệnhơn ở cấp học tiếp theo

Trong trường THCS các em đã được hình thành và ngày càng hoàn thiện cáckhái niệm, tiên đề, định nghĩa, tính chất, mệnh đề toán học Các kiến thức vềtoán học này sẽ tiếp tục theo các em tiến bước lên cấp học, bậc học trên Trongphạm vi đề tài tôi chỉ đề cập “Một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức” nhăm trang bị cho các em những khái niệm cơ

bản về toán cực trị để tạo tiền đề cho các em bước vào trường THPT và bậc họccao hơn.

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG.

a Thực trạng dạy và học ở trường THCS.

Việc truyền thụ những kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mộtbiểu thức cho học sinh là một vấn đề được nhiều giáo viên quan tâm, song vì lý donội dung chương trình nên phần lớn chỉ được đưa vào dạy và học nội dung nàytrong các buổi học ngoại khóa hoặc bồi dưỡng

Mặt khác bài toán cực trị lại là một bài toán khó và đa dạng, học sinh không dễdàng tiếp cận ngay được, mà phải có một thời lượng nhất định và đặc biệt là ngườigiáo viên phải biết truyền đạt nội dung đó như thế nào để trong một thời lượng nhấtđịnh đó học sinh có thể tiếp nhận được

b Thực trạng của học sinh.

Qua kiểm tra cho thấy khả năng giải bài toán tìm cực trị của các em không cao,các em thường nghĩ giải xong một bài toán là xong một công việc mà không nghĩđược rằng bài toán đó có ý nghĩa như thế nào và như thế khi gặp một bài toán cóphương pháp giải tương tự các em lại lúng túng không biết tháo gỡ ra sao.… Bêncạnh đó còn có những giáo viên chưa chú trọng đi sâu vào nội dung một cách lôgíc,

hệ thống, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nên việc tiếp nhận kiến thức củahọc sinh gặp nhiều khó khăn thậm chí học sinh còn rất mơ màng, lúng túng, khôngđưa ra được lời giải hợp lí và tính chính xác của toán học Vì vậy kết quả của họcsinh lớp 9 trong năm học 2015-2016 như sau:

2.3 CÁC GIẢI PHÁP VÀ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN

PHẦN I ÔN TẬP VÀ BỔ SUNG MỘT SỐ KIẾN THỨC.

Đây là một yêu cầu hết sức quan trọng trong lời giải toán cực trị, bởi việc nắmbắt các kiến thức này giúp học sinh đánh giá, nhận xét một bài toán từ đó tìm tòi lờigiải một cách hợp lý nhất Cụ thể là: người thầy phải cho học sinh hệ thống lại một

số hằng đẳng thức

1 a2  0 với mọi a  R: Tổng quát a2k  0 với mọi a  R(k z+) Dấu đẳng thứcsảy ra khi và chỉ khi a = 0

2 - a2

 0 với mọi a  R: Tổng quát - a2k

 0 với mọi a  R(k z+) Dấu đẳngthức sảy ra khi và chỉ khi a = 0

6  a aa Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0

7 a b ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  0

8 a2 + b2  2ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

9 a  b; ab  0  a1b1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Với n số thực không âm a1, a2, an ta có: 1 2 n n

1 2 n

a a a

a ,a a n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

11 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Cho hai bộ số thực (a1, a2 , an); (b1, b2, bn) ta có :

(a1b1 + a2b2+ + anbn)2  (a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2) Đẳng thức xảy

PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN(MAX),

GTNN(MIN) CỦA MỘT BIỂU THỨC.

* Định nghĩa 1: Cho một biểu thức f(x;y;…) xác định trên miền D ta nói M là

giá trị lớn nhất(GTLN) của f(x;y;…) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện:

- Với mọi x; y; … thuộc D thì f(x;y;…)  M với M là hằng số

- Tồn tại x0; y0; … thuộc D sao cho f(x;y;…) = M

* Định nghĩa 2: Cho một biểu thức f(x;y;…) xác định trên miền D Ta nói m là

giá trị nhỏ nhất(GTNN) của f(x;y;…) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện:

- Với mọi x; y; … thuộc D thì f(x;y;…)  m với m là hằng số

- Tồn tại x0; y0; … thuộc D sao cho f(x;y;…) = m

Như vậy khi tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, giáo viên phải lưu ý chohọc sinh giải quyết hai điều kiện, nếu thiếu một trong hai điều kiện trên thì sẽ chưakết luận gì về cực trị của một biểu thức

Để học sinh tiếp cận một cách dễ dàng, giáo vên nên cho học sinh nắm bắt vấn

đề từ dễ đến khó, từ những phương pháp đơn giản nhất với những bài toán đưa racũng đơn giản nhất nhằm thu hút sự chú ý của học sinh và đặc biệt là tạo hứng thúhọc tập cho học sinh Chính vì lẽ đó, tôi đã đưa ra một số phươg pháp sau

1 Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

a Phương pháp đưa về lũy thừa bậc chẵn.

Cho biểu thức y = f(x) ta phải biến đổi y = f(x) như sau:

* y = f(x) = M -   k

x

) ( (k z+) và M là một hằng số Khi đó ta có: y  M

GTLN của y bằng M khi và chỉ khi g(x) = 0 Giải phương trình g(x) = 0 ta tìm đượcgiá trị của x0

* y = f(x) = m +   k

x

) ( (kz+) và m là một hằng số Khi đó ta có: y  m

GNLN của y bằng m khi và chỉ khi g(x) = 0 Giải phương trình g(x) = 0 ta tìm đượcgiá trị của x0

Sau khi học sinh đã nắm được vấn đề cần giải quyết, giáo viên đưa ra ví dụminh họa cho việc làm

2 2017

2017 2017

2

x

x x

2016 2017

b Phương pháp đưa về dạng m  

) (

2 ) (

x

k x

VD: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = 3 42

1

x x



 =

1

1 4 4 4 4

2

2 2

=    

1

1 4 4 1

4

2

2 2

= 4 -   4

1

1 2



 =

1

1 4

4

2

2 2

x

=    

1

1 2

2

2 2

Vậy GTNN của A bằng – 1 khi x = 2

(Chú ý: Có thể giải theo phương pháp miền giá trị) Với phương pháp này, tùy vào từng bài cụ thể giáo viên cho học sinh nhận xét

và tìm cách thêm bớt, hoặc tách các hạng tử một cách thích hợp, nhằm xuất hiệndạng tổng quát Chẳng hạn với ví dụ trên, do x2 + 1 > 0

Nên để tìm GTLN ta tìm cách biến đổi A = m  

) (

2 ) (

x

k x

2 ) (

x

k x

g

f

 (g(x) > 0)

c.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacôpxki.

Việc sử dụng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải bàitoán tìm GTLN, GTNN là rất tiện lợi Song muốn đạt được điều này đòi hỏi giáoviên phải cho học sinh nắm chắc phần chứng minh bất đửng thức và khai thác trênđiều kiện bài toán, nhất là phải biết nhìn nhận, đánh giá nội dung đề bài một cáchlinh hoạt và khéo léo

VD 1: Tìm GTLN của biểu thức A = x 2  x (với 0 x 2)

VD 2: Tìm GTLN của biểu thức B = 3x(3 – 2x) (với 0 x 1)

Ngoài phương pháp sử dụng hằng đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối trên, các

em có thể sử dụng phương pháp xét khoảng giá trị của biến Chẳng hạn như đối với

Kết hợp ba trường hợp trên ta có: Min C = 8  x 7

2 Phương pháp sử dụng miền giá trị(tập giá trị của biểu thức)

Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D Gọi m là một giá trị của f(x) ứng vớimột giá trị nào đó của x, như vậy sẽ tồn tại giá trị của x thuộc miền D sao cho f(x) =

m hay phương trình f(x) = m có nghiệm

Từ điều kiện có nghiệm của phương trình f(x) = m Ta sẽ tìm GTNN, GTLN

Ta cũng xem f(x) là một hàm số thì việc tìm GTNN, GTLN của f(x) nghĩa là tìmcận trên cận dưới của tập giá trị của hàm số đó

VD 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức B = 2 23 1

1

x x x

2

b x

2

b x a

Trên đây là hai phương pháp cơ bản để tìm cực trị của một biểu thức đại số màcác em được biết trước khi chúng em dùng đạo hàm

PHẦN III PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA

MỘT SỐ BIỂU THỨC THƯỜNG GẶP.

Trước khi cho học sinh giải được các bài toán cực trị không mẫu mực thì nên

cho học sinh tiếp cận với một số bài toán thường gặp sau

1 Dạng 1:Tìm GTLN, GTNN của một tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx+ c

Phương pháp chung để giải loại toán này là : Biến đổi về dạng lũy thừa bậcchẵn: m  f x 2k

VD 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = - 5x2 - 4x + 1

2 Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bậc cao

Đối với dạng bài tập này có thể hướng dẫn học sinh đổi biến để đưa về dạngtam thức bậc hai, hoặc biến đổi trực tiếp về lũy thừa bậc chẵn

x x

x x



2 2

1 1 2

x x

Với ví dụ trên ta thấy việc biến đổi biểu thức về dạng biểu thức thích hợp đòi

hỏi phải biết đánh giá, nhận xét một cách khéo léo mới làm xuất hiện dạng tổngquát m  f x 2k

  hoặc m  

 

2k

x x

f g

 

 

 để đánh giá và kết luận Song nếu sử dụng

phương pháp miền giá trị thì bài toán lại được giải quyết theo một quy tắc nhất định

mà việc giải quyết vấn đề chỉ là xét điều kiện có nghiệm của phương trình Chẳnghạn với bài toán VD 4 ta có thể làm như sau:

Vì D có nghĩa với mọi x nên gọi m là một giá trị của biểu thức ứng với một giátrị nào đó của x Như vậy tồn tại một giá trị của x sao cho



 = m có nghiệm)

 mx2  2x 2m 1 0 *   

+ TH 1: m= 0 phương trình (*) trở thành - 2x = 0  x = 1

5 Dạng 5 Biểu thức chứa nhiều biến.

VD 1: Tìm giá trị của m và p sao cho: A = m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28 đạtgiá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Vậy Min A=2 khi m=-3; p=1

VD 2: Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất

P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5

Ta thấy: (x + 2y)2  0 với x, y

(3y-2z)2  0 với y,z (x-z)2  0 với x, z

x2  0 với x

Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y)2, (3y-2z)2; (x-z)2,

x2 đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồngthời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm

x 2y 0

x 0 3y 2z 0