skkn hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán cực trị đại số dạng phân thức

A - ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trường phổ thơng Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân Ở trường THCS, dạy học Tốn, với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khỏi niệm, định lí; việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng Đối với học sinh THCS, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Trong chương trình Tốn THCS tốn cực trị đại số nói chung, toán cực trị biểu thức dạng phân thức nói riêng đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Để giải toán, người ta phải cách giải tối ưu nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS Do đó, địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống Vì để giúp em khắc phục khó khăn đó, tơi chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp giải toán cực trị đại số dạng phân thức ” B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I - CƠ SỞ Lí LUẬN Các toán cực trị đại số dạng phân thức đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Chúng ta phải tìm cách giải tối ưu nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải toán loại Đây dạng toán đại số sử dụng chương trình tốn THCS Tuy nhiên sách giáo khoa lại khơng hướng dẫn phương pháp giải tốn cách cụ thể, học sinh thường lúng túng gặp dạng tốn Do đó, việc giải toán cực trị đại số dạng phân thức THCS địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ cách logic có hệ thống Trong đa số học sinh THCS, học sinh lớp độ tuổi phát triển mạnh tâm sinh lý, lại phân tán nhiều môn học, nên việc huy động kiến thức, kết hợp kiến thức cũ mới, suy nghĩ cách logic, sáng tạo có hệ thống khó khăn Nên đa số em khơng có hứng thú với loại tốn này, em cảm thấy khó khăn gặp tốn cực trị đại số dạng phân thức vận dụng để giải dạng toán khác II - THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Tại trường THCS Yên Lâm phân cơng dạy tốn 9A, B tiết cảm thấy băn khoăn trước cách học học sinh, tơi dùng nhiều hình thức kiểm tra nhận thấy tượng, học sinh trả lời rõ ràng, mạch lạc mang tính chất học vẹt, chấp hành nguyên Trng trình dạy tơi đưa số ví dụ đa số học sinh làm Trong trình dạy bồi dưỡng học sinh lớp 9, thân tơi tìm hiểu nhiều tài liệu nhận thấy dạng tốn tương đối khó, nhiên phần nhiều tài liệu đưa tập giải mà đề cập đến lý thuyết học sinh gặp nhiều khó khăn dạng toán Qua nhiều biện pháp điều tra việc giải toán cực trị đại số dạng phân thức hai lớp 9A 9B, kết cụ thể thu sau: Giỏi Lớp 9A,B Khá TB Yếu- Tổng số 77 SL % SL % SL % SL % 03 3,9 11 14,3 39 50,6 24 31,2 III - CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN A kiến thức cần sử dụng giải toán cực trị đại số I Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số Cho biểu thức f(x, y …) xác định miền D a M gọi giá trị lớn f(x, y…) miền (D) hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn f(x, y…) <  M (x, y … )  (D) f(x0, y0 … )  (D) cho f(x0, y0 … ) = M Ký hiệu M = Max f(x, y … ) = fMax với (x, y)  (D) b m gọi giá trị nhỏ f(x, y …) miền (D) hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn f(x, y…)  m với  (x, y … )  (D) f(x0, y0 … )  (D) cho f(x0, y0 … ) = m Ký hiệu m = Min f(x, y … ) = fMin với (x, y)  (D) II Các kiến thức thường dùng x2  0, tổng quát | f(x)|2k   x, k  z Từ => | f(x)|2k + m  m M - | f(x)|2k  M a) |x|  b) | x + y |  | x| + | y | dấu “=” xảy x, y dấu c) | x + y |  | x| - | y | dấu “=” xảy x, y dấu 3 Sử dụng bất đẳng thức a Bất đẳng thức Cô si dạng sau: + (a + b)2  4ab; dấu “=” xảy a = b + a b +  (a, b > 0); dấu “=” xảy a = b b a + a + b  ab (a  0; b  0); dấu “=” xảy a= b Các hệ bất đẳng thức Côsi + a > 0; b  0; a + b = k (không đổi) tích a.b lớn a=b + a  0; b  0; a.b = k (khơng đổi) tổng a + b nhỏ a = b + Bất đẳng thức Cô si tổng quát a1 + a2 + … + an  n n a1 a n với a1  0; i = 1.n Dấu “=” xảy a1=a2 = … = an b Bất đẳng thức Bunhiacopxki (ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2) dấu “=” xảy b a = y (a, b, x, y  0) x Nếu x = xem a = y = xem b = Tổng quát: Cho số a1, a2, … an b1, b2, … bn => (a1b1 + a2b2 + …+ anbn)2 (a12 + a22 + … + an2) (b12 + b22 + … + bn2) a1 a2 an Dấu “=” xảy b = b = … = b n c Các bất đẳng thức khác B Một số phương pháp giải toán cực trị Phương pháp 1: Phương pháp giải toán cực trị đại số dùng phép biến đổi đồng đưa biểu thức đại số cho dạng xét cực trị định nghĩa Để tìm Max f(x, y …) miền (D) ta phải chứng minh a f (x, y … )  M b Chỉ  (x0, y0 …)  D cho f (x0; y0 …) = M Để tìm Min f(x) miền (D) ta phải chứng minh: a f(x)  m b Chỉ  (x0, y0 …)  (D) cho f (x0; y0 …) = m Phương pháp 2: Giải toán cực trị đại số phương pháp đặt ẩn phụ Trong nhiều tốn việc đặt ẩn phụ đưa biểu thức phức tạp dạng xét dạng đơn giản từ dễ dàng xét cực trị Phương pháp 3: Giải toán cực trị cách sử dụng bất đẳng thức Côsi Bunhiacopxki bất đẳng thức quen thuộc khác Phương pháp 4: Giải toán cực trị phương pháp miền giá trị Giả sử phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x  D, có nghĩa phương trình f(x) = y0 phải có nghiệm Sau giải điều kiện để phương trình có nghiệm (x biến, y tham số) thường đưa đến bất đẳng thức sau: m  y0  M Từ => Min f(x) = m với  x  D Max f(x) = M với x  D Phương pháp 5: Giải toán cực trị phương pháp đồ thị Căn vào việc khảo sát đồ thị hàm số bậc 2y = ax + bx + c ta tìm cực trị tập xác định [   ] Vì hàm số bậc hàm số có dạng bậc sau đặt ẩn số phụ, dùng phương pháp tìm cực trị có hiệu dùng đồ thị Phương pháp 6: Phương pháp xét biểu thức phụ Để tìm cực trị biểu thức có người ta xét cực trị biểu thức khác so sánh với biểu thức phụ dễ tìm cực trị lớn Ví dụ: Để tìm cực trị biểu thức A với A > xét biểu thức A Các biểu thức phụ thường xét là: -A, A2, |A| A + k (k số) C Một số dạng tốn tìm cực trị dạng phân thức Dạng 1: Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức A = x  x  17 Giải Ta có: x2 – 6x + 17 = (x - 3)2 +  nên tử mẫu A số dương A lớn nhỏ A x2 – 6x + 17 nhỏ (x - 3)2 + nhỏ Mà (x - 3)2  => (x - 3)2 +  => Min (x2 - 6x + 17) = x = Vậy MaxA = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B =  9x  6x  Giải Ta có: B = - x  x  ; để đưa toán dạng đơn giản ví dụ 1 Trước hết tìm cực trị B’ = x  x  = (3x  1)  Ta có: (3x - 1)2 +  1 Vì hai vế bất đẳng thức dương => (3x  1)   hay B’  4 Dấu “ = ” xảy 3x – = x = 1 Từ => - (3x  1)   - hay B  - 1 x = Vậy giá trị nhỏ B = - Chú ý: lập luận điều kiện để nghịch đảo hai vế bất đẳng thức nhân hai vế bất đẳng thức với số âm Qua hai ví dụ học sinh bước đầu có kỹ hình thành kỹ k tìm cực trị biểu thức dạng M = ax  by  c (k, a, b, c số, a  0) Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớn (nhỏ có) biểu thức sau: a M = x  x  (Min M = - x = 2)  b N = x  x  (Min N = - 20 x = ) 3 c E = x  x  (Max E = x = ) 1 d D = x  x  (Min D = - x = 1) Dạng 2: Phân thức có mẫu bình phương nhị thức Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2  x  D= x  2x  Nhận xét: + Tử tam thức bậc hai + Mẫu bình phương nhị thức Cách biến đổi: + Tách D thành tổng biểu thức không âm với số (phương pháp 1) + Tách D thành tổng phân thức có dạng: D = k1 1 mÉu + k2 + k3 (Với k1, k2, k3 số) mÉu mÉu mÉu Để từ đưa dạng tam thức bậc hai (Phương pháp 2) Giải 1 ( x  x  1)  ( x  1)  = - x  + ( x  1) 2 ( x  1) Cách 1: Ta có D = 3 1   y  Đặt y = x  => D = – y + y =   + 4 2  Vậy Min D = 1 y = x  = x = 2 4x  4x  (3x  x  3)  x  x  x2  2x  Cách 2: D = = = ( x  1) 4( x  1) 4( x  1) 3( x  1)  ( x  1) ( x  1) 3 = = + 2  4( x  1) 4( x  1) 4 Vậy Min D = x = Cách 3: Gọi d giái trị biểu thức D Biểu thức D nhận giá trị d phương trình ẩn x sau có nghiệm x2  x  D= x  2x  d (x2 + 2x + 1) = x2 + x + (d - 1)x2 + (2d - 1)x + d – = (d  1) Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm  0 Tức là: (2d - 1)2 – (d - 1) (d - 1) 0 4d2 – 4d + – (d - 1)2  4d –  d  Vậy Min D = x = Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 3x  x  B= x  2x  (Max B = x = 0) x2  x  Bài 2: Tìm giá trị nhỏ C = ( Min C= x=1) x  2x  x Bài 3: Tìm giá trị lớn D = ( x  1) Bài 4: Tìm giá trị nhỏ E = (Max D = x2  2x  x2 x=1) 4 (Min E = x=4 ) x4  Bài 5: (nâng cao): Cho biểu thức F = x  2x  a Tìm giá trị nhỏ F b Tìm giá trị lớn F Hướng dẫn: x4  x4  a Tìm Min F: Ta có: F = = x  2x  ( x 1) 2 ( x  x  1)  2( x  1)  = = + 2 x 1 ( x 1) ( x  1) 1 1 1 Đặt y = x 1 => F = 2y2 – 2y + = 2(y2 – y + ) + = 2(y - )2 +  2 2 Vậy Min F = 1 1 y = x 1 = x2 + = x = 1 2 Chú ý: giải theo cách khác tách F thành tổng biểu thức không âm cộng với số F = k + f(x) (với f(x)  0) b Tìm Max F ( x  x  1)  2x 2x 1 Cách 1: F = =1- x  2x  ( x  1) Vậy Max F = x = 2x  => Max F = x = Cách 2: Xét =1+ x 1 F Dạng 3: Các phân thức dạng khác Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: x2  A= x  x 1 Giải x2  2( x  x  1)  ( x  x  1)  x  1 2 Cách : Ta có: A = = =2- x  x 1 x2  x  x  x 1 Vậy Max A = x = Mặt khác: A = 3( x  1) 2( x  x  1)  ( x  x  1) = 3( x  x  1) 3( x  x  1) 2  x  1  = + 3 3( x  x  1) Vậy Min A = dấu “=” xảy x = - x = - Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị Vì x2 +  => A.(x2 – x + 1) = x2 + x2 (A - 1) – Ax + (A - 1) = (1) + Nếu A = x = + Nếu A 1  = A2 – (A - 1)2 = - 3A2 + 8A – Điều kiện để (1) có nghĩa   (1) A  Vậy Max A = x = Min A = x = - Bài tập áp dụng: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn phân thức sau x4  a, A = ( x  1) Hướng dẫn: Vì A >  x nên A lớn nhỏ A A nhỏ lớn A 10   x  2x  2x x2  = = =1+ x4  x 1 A x4  Ta có: 2x2  dấu “=” xảy x = 2x  => 1 + = x + > => x 1 A A Min ( ) = x = => Max A = x = Mặt khác: (x2 - 1)2  x4 – 2x2 +  2x2  + x4 Dấu “=” xảy x4 + = x =  Vì x4 + > => Max ( 2x  => 1 + = x 1 A 1 ) = x =  => Min A = x =  A 27  12 x b, B = x  Hướng dẫn: 27  12 x ( x  12 x  36)  ( x  9) ( x  6)  ( x  9) ( x  6) Ta có: B= x  = = = - 1 x2  x2  x 9 Min B = - x = 27  12 x (4 x  36)  ( x 12 x  9) (2 x  3) 4 Mặt khác: B = x  = =4- x2  x 9 Vậy Max A = - x = - 8x  c, C = x  Hướng dẫn: 8x  x  8x   x  4( x  1) Ta có: C = x  = = - 1 4x  4x  Min C = - x = - 16 x   16 x  x  4(4 x  1)  (4 x  1) (4 x  1) 4 Mặt khác: C = = =44x  4x  4x  11 Max C = x = 2x  d, D = x  Hướng dẫn: 2x  Ta có: D = x  = ( x  2)  ( x  x  1) ( x  1) 1 = x2  x2  Max D = x = 2x  2(2 x  1) 4x  Mặt khác: D = x  = 2( x  2) = 2( x  2) = = ( x  2)  ( x  x  4) 2( x  2) ( x  2) 1 + 2( x  2) 2 Vậy D = - x = - 2 Chú ý: - Các tập 2, 3, dùng phương pháp miền giá trị ta dùng phương pháp tách để đưa bất đẳng thức, từ rèn cho em có khả quan sát, dự tốn, kỹ biến đổi biểu thức để từ em làm tập có yêu cầu tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) phân thức có tử mẫu đa thức bậc cao Song cách tách linh hoạt, phải biết thêm bớt cách hợp lý, có phải nhân tử mẫu phân thức với số Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ của: B= x  27 x  3x  x  x  Ở ta không vội tách biểu thức khó khăn, mà phân tích tử mẫu thành nhân tử chia đa thức tử cho mẫu biểu thức rút gọn dạng đơn giản 3 3   B = x + 3x + =  x    2 4  B = 3 x = Như từ cho học sinh nhận thấy gặp phân thức phải xem xét phân thức tối giản chưa, chưa tối giản nên biến đổi rút gọn 12 Bài tập áp dụng: x  512 Tìm giá trị nhỏ C = x 8 Hướng dẫn: Chia đa thức đưa dạng C = x4 – 8x2 + 64 = (x2 - 4)2 + 48  48 => Min C = 48 x =  y Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức A =  ( x  y ) với x, y N Với ta dùng phương pháp chia khoảng tìm cực trị khoảng sau so sánh cực trị toàn tập xác định biểu thức để có kết luận Giải a TXĐ:  x, y  N; x + y  Xét x + y  - Nếu y = A = y - Nếu  y  A =  ( x  y )  - Nếu y = x = A = y b Xét x + y  A =  ( x  y )  So sánh giá trị A ta thấy Max A = x = 0; y = x y Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớn A = x  y +  ( x  y ) với x, y  N Hướng dẫn: a Với x + y < 8, xét trường hợp - Nếu y = A = x y - Nếu  y  x  y < 1;  ( x  y )  => A < - Nếu y = x = 0; A = y x b x + y > ta có  ( x  y )  0; x  y  => A  So sánh giá trị ta có: Max A = x = 0; y = 13 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ phân thức: A =  x + với < x < x Nhận xét: tử thức bậc nhất, mẫu thức tam thức bậc hai, ta giải: Cách 1: Viết A = số k + biểu thức không âm Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị Nếu tiếp tục nhận xét thấy với < x <  x số dương x nên nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi cho xuất bất đẳng thức, có vế phải số Muốn phải viết lại biểu thức cách thích hợp Cách 3: A = 2x   1 x 1    + = +  x =   1 +  + 1 x +3 x x x  1  x  Vì x  (0, 1) nên – x > 0; x > nên 2x 1 x > 0;  x > x Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số khơng âm ta có: A 2  x 2x +3=2 2+3 x 1 x Dấu “=” xảy 2x 1 x =  x x = x x Vậy Min A = 2 + x = x  Bài tập áp dụng: Bài Tìm Min B = Hướng dẫn: Viết B = x + x  với x > 3 x 2 + x  + từ áp dụng cho bất đẳng thức Côsi 3 Bài Tìm Max E = x 1 + x y2 y Hướng dẫn: Điều kiện x  1; y  Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng: ab � ab Ta viết: x  = ( x  1)   ( x  1) x = 2 14 2( y  2) y = => E =  x + x Vậy Max E =  ( y  2) 2 y y  = y 2 1 2 2 + = + = 2 2 4  x  1  x 2 2    y  2  y 4 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z t A= y  z  t + z  t  x + t  x  y + x  y  z + y  z t z t  x t  x  y x  y  z + y + + x z t Trong đó: z, y, z, t số thay đổi dương Giải Ta có: 3x 3A= y  z  t + + 3y 3z 3t z t  x y  z t tx y x yz + z t  x + 3y + t  x  y + + x yz 3x 3z 3t  x y  x z  x z  z z  t y   z t                           y x   z x   t t   y z  y t  t z  3A  + = 40 Vậy A = 40 x = y = z = t Bài tập áp dụng: Tìm Min f(x, y, z) miền D = {(x, y, z); x > 0; y > 0; z > 0} x y z F(x, y, z) = y  z + x  z + y  x + xz yz yx + y + x z Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ f(x) = x2 + 1  x   + - x x  Giải TXĐ:  x  Đặt t = x + 1 điều kiện t  => x2 + = t2 – x x Khi f(x) trở thành: g(t) = t2 – 2t + 15 Đồ thị hàm g(t) phác họa sau: g 11 Từ đồ thị ta được: Min f(x) = Min g(t) (x  0) ( t  2) = Min {g(2), g(-2)} = Min {3; 11} = Vậy Min g(t) = t = => Min f(x) = t = x + = x = x -2 Vậy f(x) = x = t Như xét hàm số bậc hai miền [   ] mà khơng phải tồn trục số thiết phải dùng phương pháp đồ thị Bài tập áp dụng: 1  x  1  x   +   + Bài 1: Tìm giá trị lớn nhỏ của:Y =   x   x  Giải TXĐ:  x > 0; đặt u = x + x f điều kiện u  11 Khi y(x) trở thành f(u) = u2 + 3u + f(x) Bài toán trở thành việc xét cực trị hàm f(u) miền [2; +  ] Đồ thị hàm số f(u) [2; +  ] có dạng sau: Nhìn đồ thị f(u) ta có: fmax: Khơng có 3 u FMin = f(2) = 11 u = hay x + x = => x = Vậy Max y khơng có; Min y =11 x = 16 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của: f M= x4 y4 + y4 x4  x2 y2   -3  x  y f(x) -  Giải 2 u x y với u  2 + y x2 -3 Khi M trở thành f(u) = u2 – 2u – -4 Đặt u = Xét đồ thị hàm số f(u) [2;  ] ta có: Trục đối xứng u0 = - b =1 2a Nhìn vào đồ thị ta thấy: FMax khơng có x2 x2 y2 fMin = f(2) = - + = tức = => y = – x trừ x = y = y y x Chú ý: Khi tìm cực trị phương pháp đồ thị cần nắm vững tính chất đồ thị hàm số bậc hai, vị trí tương đối trục đối xứng u = định [2;  ] cụ thể sau: f b với tập xác 2a f(x) u0 <  <  fMin = f(  ) fMax = f(  )  u0 u  f   u0   f(x) fMin = f(u0) fMax = Max {f(  ) F(  )}  u0  u 17 f f(x)  <  < u0 FMin = f(  )  fMax = f(  )  u00 u b a + y =1 x Ví dụ 7: Tìm Min A = x + y, x > 0, y > 0, a > 0, b > thoả mãn Nhận xét: “A  số k đó”, x > 0, y > điều gợi ý cho ta việc sử dụng bất đẳng thức Côsi Bunhiacopxki để làm trội tổng khử biến số Nhưng dùng bất đẳng thức Cơsi ta có x + y 2 xy vế phải cịn biến số Vì dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Giải �a a b A = (x + y) = 1.(x + y) =    (x + y)  � � x x  y x � Vậy Min A =  a  b   x  a    y  b  b � y �= y � �  a  b  ab ab Chú ý: phải biết chọn hai dãy a1, b1 phù hợp để sử dụng điều kiện khử biến số vế phải Bài tập áp dụng: Tìm giá trị nhỏ hàm số y3 x3 z3 t3 f(x, y, z, t) = + + + y  z t x z t y  xt y  z  x Xét miền D = {(x, y, z, t) với x, y, z, t  0; xy + yz + zt + tz = 1} Gợi ý: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki lần x yz y zx z xy Tìm giá trị nhỏ hàm số: f(x, y, z) = + + y z x z y x Xét miền D = {(x, y, z) với x, y, z > 0, xyz = 1} Gợi ý: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki 18 IV - HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Sau áp dụng “Hướng dẫn học sinh lớp giải toán cực trị đại số dạng phân thức ” hai lớp 9A, B Trường THCS Yên Lâm Kết thu thể bảng sau: Giỏi Lớp Khá TB Yếu- Tổng số 9A,B 77 SL % SL % SL % SL % 08 10,4 26 33,8 43 55,8 0 C - KẾT LUẬN Sau thực giảng dạy phần “Hướng dẫn học sinh lớp giải toán cực trị đại số dạng phân thức ” theo nội dung đề tài kết mà thu kết khả quan: Giúp học sinh giải toán cực trị đại số dạng phân thức, có phương pháp hơn, có hiệu vận dụng vào giải tập có liên quan, kích thích đam mê học tốn nói chung say mê giải toán cực trị đại số dạng phân thức nói riêng Đề tài áp dụng cho việc dạy tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi, em ham thích mơn Tốn có khiếu học tốn sử dụng tài liệu để tự học, tự nghiên cứu Phát huy tính tự giác rèn luyện khả tư tích cực độc lập, sáng tạo học sinh thơng qua hoạt động giải toán học Bên cạnh tơi cịn đưa ví dụ toán yêu cầu kiến thức kĩ tính tốn, khả tư cấp học này, qua làm cho em say mê hứng thú học tập mơn Tốn 19 D - TÀI LIỆU THAM KHẢO Sgk toán Nâng cao chuyên đề đại số Sưu tầm đề thi mạng Tuyển tập đề thi môn toán THCS Nâng cao phát triển toán Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tổng hợp tốn bất đẳng thức Tạp chí toán học tuổi trẻ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Yên Định, ngày 06 tháng 03 năm 2014 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Hoàng Thuân 20 ... giảng dạy phần ? ?Hướng dẫn học sinh lớp giải toán cực trị đại số dạng phân thức ” theo nội dung đề tài kết mà thu kết khả quan: Giúp học sinh giải toán cực trị đại số dạng phân thức, có phương... ÁP DỤNG Sau áp dụng ? ?Hướng dẫn học sinh lớp giải toán cực trị đại số dạng phân thức ” hai lớp 9A, B Trường THCS Yên Lâm Kết thu thể bảng sau: Giỏi Lớp Khá TB Yếu- Tổng số 9A,B 77 SL % SL % SL... việc giải toán cực trị đại số dạng phân thức hai lớp 9A 9B, kết cụ thể thu sau: Giỏi Lớp 9A,B Khá TB Yếu- Tổng số 77 SL % SL % SL % SL % 03 3 ,9 11 14,3 39 50,6 24 31,2 III - CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI