Một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun một số phức trong đề thi trắc nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN MỘT SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM Người thực hiện: Nguyễn Đức Văn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 2017 MỤC LỤC Nội dung I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề Giải pháp thực 3.1 Phương pháp đại số 3.2 Phương pháp hình học Bài tập tương tự Hiệu sáng kiến kinh nghiệm III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Tài liệu tham khảo Trang 2 2 2 3 12 13 14 15 I.MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Số phức đưa vào giảng dạy chương trình lớp 12 nội dung thực gây không khó khăn cho em học sinh nguồn tài liệu tham khảo hạn chế Bên cạnh toán số phức năm gần thiếu đề thi THPT Quốc gia Bài toán “Tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức” toán khó học sinh Các em cần nắm kiến thức số phức: phần thực, phần ảo, môđun số phức, phép toán số phức kết hợp với kiến thức phương trình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, em giải tốt toán trên.Vấn đề thông qua toán học sinh biết khai thác kiến thức toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, toán cực trị hình học, để từ giải toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức hay tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ thoả mãn điều kiện cho trước” Năm học 2016-2017 năm học thực thi trắc nghiệm môn Toán khó khăn lớn em học sinh với thầy cô giáo Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi em phải tìm phương pháp nhanh để giải toán Do việc nắm vững kiên thức phương pháp tự luận để giải toán em phải nắm phương pháp để giải nhanh toán Chính mà chọn đề tài “Một số phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức đề thi trắc nghiệm” để viết sáng kiến kinh nghiệm MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trên sở nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức đề thi trắc nghiệm ” trình ôn luyện cho học sinh mong muốn học sinh nắm vững số phương pháp để giải toán cực trị số phức, từ em có tư linh hoạt để vận dụng vào toán cực trị khác, giúp em đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia nâng cao chất lượng dạy học Toán 3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết II NỘI DUNG 1.CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.Kiến thức số phức: -Một số phức z biểu thức có dạng z = x + yi x, y ∈ R -Mỗi số phức z = x + yi biểu diễn điểm M(x;y) mặt phẳng toạ độ Oxy -Môđun số phức z ký hiệu z , số thực không âm xác định sau: • Nếu z = x + yi z = x + y • Nếu M(x;y) biểu diễn số phức z = x + yi z = OM -Cho số phức z = x + yi Số phức z = x − yi gọi số phức liên hợp với số phức 1.2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức thường gặp • Phương trình đường thẳng: ax + by + c = • Phương trình đường tròn: ( x − a ) + ( y − b ) = R • Phương trình đường Elíp: x2 y2 + = a2 b2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ: Số phức vấn đề hoàn toàn học sinh bậc trung học phổ thông Vì đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có tài liệu số phức để học sinh giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức Sách giáo khoa nhiều hạn chế Chính mà việc giảng dạy học tập giáo viên học sinh gặp khó khăn Bài toán tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức đại số nói chung biểu thức liên quan tới số phức nói riêng toán khó đại đa số học sinh Cứ nói đến giá trị lớn , giá trị nhỏ em lai thấy ngại, thấy khó khăn tìm cách giải toán Vì gặp toán tìm GTLN, GTNN môđun số phức tìm số phức có môđun lớn , nhỏ em thường có xu hướng chọn bừa đáp án GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Trước thực trạng đưa hai phương pháp để giải quyêt toán phương pháp đại số phương pháp hình học 3.1.Phương pháp đại số: Để tìm giá trị lớn nhất( GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) z thỏa mãn điều kiện cho trước K ta thực hiện: Cách 1: - Gọi z = x + yi , từ điều kiện cho trước K rút mối liên hệ y theo x - Thay y theo x vào biểu thức z = x + y - Sử dụng kiến thức tìm GTLN; GNNN hàm số: khảo sát hàm số, đánh giá bất đẳng thức… Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác : • z1 + z ≤ z1 + z ; dấu xảy z1 = kz với k ≥ • z1 − z ≤ z1 + z ; dấu xảy z1 = kz với k ≤ • z1 + z ≥ z1 − z ; dấu xảy z1 = kz với k ≤ • z1 − z ≥ z1 − z ; dấu xảy z1 = kz với k ≥ VD 1: Cho số phức z thỏa mãn: z − = z − i Tìm môđun nhỏ số phức: w = 2z + − i A B 2 C 2 D Đề thi thử trường Hà Huy Tập – Hà Tĩnh năm 2017 2 2 Giải: Gọi z = x + yi đó: z − = z − i ⇔ ( x − 1) + y = x + ( y − 1) ⇔ x = y ⇒ w = x + + (2 y − 1)i ⇒ w = (2 x + 2) + ( y − 1) = x + x + Xét hàm số: f ( x) = x + x + có f ' ( x) = 16 x + ; f ' ( x) = ⇔ x = − Hàm số f(x) đạt GTNN x = − 1 ⇒ w = z = − − i Đáp án C 4 VD2: Xét số phức z thỏa mãn: z − − 4i = z − 2i , tìm GTNN z ? A B 2 C 10 D Đề thi thử chuyên Biên Hòa – Hà Nam năm 2017 Giải: Gọi z = x + yi đó: z − − 4i = z − 2i ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = x + ( y − 2) ⇔ y = − x ⇒ z = x + y = x + (4 − x) = x − x + 16 = 2( x − 2) + ≥ 2 ⇒ z = 2 z = + 2i Đáp án B VD3: Trong số phức z thỏa mãn: z − + 4i = z , biết số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) có môđun nhỏ Khi đó, giá trị P = a − b là: A P = B P = C P=− D P = − Đề trang luyenthithukhoa.vn Giải: Gọi z = x + yi đó: z − + 4i = z ⇔ ( x − 3) + (4 − y ) = x + y ⇔ y = 25 − x ⇔ y = 25 − x 25 75 625 x − x+ 16 16 64 25 75 625 25 75 ⇒ f ' ( x) = x− Xét hàm số f ( x) = x − x + ; f ' ( x) = ⇔ x = 16 16 64 16 ⇒ z = x2 + y2 = 25 x = ⇒ z = z = + 2i 2 ⇒ a = ; b = ⇒ P = Đáp án A VD4: Trong số phức z thỏa mãn: z + z = z − i , tìm số phức z có phần thực ⇒ f ( x) = −1 không âm cho z đạt GTLN? A z = + i 2 B z = i C z = + i D z = + i 8 Đề thi thử trường Yên Lạc– Vĩnh Phúc năm 2017 Giải: Gọi z = a + bi (a ≥ 0) ⇒ z = a − bi , đó: z + z = z − i ⇔ 9a + b = a + (b − 1) ⇔ 2b = − 8a ⇔ b = − 4a −1 Ta có z = z lớn z nhỏ 1 z = a + b = a + ( − 4a ) = 16a − 3a + = (4a − ) + ≥ 64  a = 32   a=    7 ⇒z= ⇒ z ≥ ⇒ z = b = − 4a ⇒  8  b =  a ≥   64 + i 8 Đáp án D VD5: Cho số phức z thỏa mãn: z − − 3i = Tìm GTLN z ? A + 13 B 13 C + 13 D 13 − Đề thi thử Sở GD Long An năm 2017 Giải: Ta có : = z − (2 + 3i ) ≥ z − + 3i = z − 13 ⇒ −1 ≤ z − 13 ≤ ⇔ 13 − ≤ z ≤ + 13 ⇒ max z = + 13 z = k ( + 3i ) với k ≥ ⇒ + 13 = k 13 ⇒ k = + 13 13 Đáp án A VD6: Cho số phức z thỏa mãn: z − − 3i = Tìm GTNN z + + i ? A 13 − B C D + 13 Đề thi thử THPT Kim Liên Hà Nội năm 2017 Giải: Ta có : z + + i = z + − i = ( z − − 3i) + (3 + 2i ) ≥ z − − 3i − 13 = 13 − ⇒ z + + i = 13 − Đáp án A VD7: Cho số phức z thỏa mãn z − − 2i = Gọi M; m GTLN, GTNN z + + i Tính giá tri biểu thức S = M + m ? A S = 34 B S = 82 C S = 68 Đề thi thử Sở GD Hưng Yên năm 2017 Giải: Ta có : D S = 36 = z − (1 + 2i ) = ( z + + i ) − (3 + 3i ) ≥ z + + i − + 3i = z + + i − ⇒ −4 ≤ z + + i − ≤ ⇔ − ≤ z + + i ≤ + ⇒ M = + ; m = − ⇒ S = ( + ) + (3 − 4) = 68 Đáp án C VD8 : Cho số phức z thỏa mãn z − (2 + 4i ) = Gọi z1 ; z số phức có môđun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z1 ; z bằng: A i B C − D Đề thi thử Sở GD &ĐT Hà Tĩnh năm 2017 Giải: Ta có : = z − (2 + 4i ) ≥ z − ⇒ − ≤ z ≤ +  z = k (2 + 4i ) 1+ • max z = +  ⇒ + = k ⇒ k = k ≥ ⇒ z1 = 1+ 5 (2 + 4i )  z = k ( + 4i ) −1 • z = −  ⇒ − = k ⇒ k = k ≥ ⇒ z2 = −1 (2 + 4i ) 1+ + −1 ) = Đáp án D VD9: Cho số phức z thỏa mãn: z + = z Ký hiệu M = max z ; m = z Tìm môđun số phức w = M + mi ? A w = B w = C w = D w = Tổng phần ảo z1 ; z là: 4( Đề trang luyenthithukhoa.vn năm 2017 Giải: Ta có: 2 z = z2 + ⇒ z ≥ z − ⇔ z − z − ≤ ⇔ −1 ≤ z ≤ 1+ ⇒ M = + 5; m = − ⇒ w = M + m = (1 + ) + ( − 1) = Đáp án A 3.2 Phương pháp hình học: *) Để tìm giá trị lớn nhất( GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) z thỏa mãn điều kiện cho trước K ta thực hiện: - Tìm tập hợp (G) điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện K - Tìm điểm M ∈(G ) cho khoảng cách OM có giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất).Tìm OM *) Một số kết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: • Nếu z − (a + bi ) = r tập hợp điểm đường tròn tâm I( a;b), bán kính r • Nếu z − (a1 + b1i ) = z − (a + b2 i ) tập hợp điểm đường trung trực đoạn AB với A(a1 ; b1 ); B(a ; b2 ) • Nếu z − (a1 + b1i ) + z − (a + b2 i) = 2a 2a = AB với A(a1 ; b1 ); B(a ; b2 ) tập hợp điểm đoạn thẳng AB • Nếu z − (a1 + b1i ) + z − (a + b2 i) = 2a 2a > AB với A(a1 ; b1 ); B(a ; b2 ) tập hợp điểm elip (E) nhận A,B làm tiêu điểm độ dài trục lớn 2a VD10: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Môđun lớn số phức z : B 15(14 − ) A 14 + 5 C 14 − D 15(14 + ) Đề thi thử Sở GD&ĐT Đà Nẵng năm 2017 Giải: Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn có tâm I(1;-2) bán kính r =3 Ta có z = OM với O gốc tọa độ ⇒ max z = OI + IM = IO + r = + = 14 + Đáp án A VD11: Xét số phức z thỏa mãn: z + i = 13 Tìm giá trị nhỏ T = z − − 5i ? A T = 13 B T = 13 C T = 13 D T = 13 Đề khảo sát Bộ dành cho 50 trường Giải: Gọi w = z − − 5i ⇒ z = w + + 5i ⇒ z + i = w + + 6i Theo ta có w − (−9 − 6i) = 13 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I (−9;−6) , bán kính r = 13 ⇒ T = w = OI − r = 13 − 13 = 13 Đáp án A VD12: Nếu số phức z thỏa mãn: (1 + i ) z + − 7i = z có giá trị lớn bằng: A B C D Đề thi thử trường chuyên KHTN lần năm2017 Giải: Ta có: (1 + i ) z + − 7i = ⇔ (1 + i )( z + − 7i ) = 1+ i ⇔ + i z − (3 + 4i ) = ⇔ z − (3 + 4i ) = ⇔ z − (3 + 4i ) = => Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (3;4) , bán kính r =1 ⇒ max z = OI + r = + + = Đáp án D VD13: Nếu số phức z thỏa mãn: − − 3i + = z có giá trị lớn − 2i bằng: A B C D Giải: Ta có: − − 3i + = ⇔ − iz + = ⇔ − i z + =1 − 2i −i ⇔ z + i = ⇔ z − ( −i ) = Đề trang luyenthithukhoa.vn năm 2017 => Tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(0;-1), bán kính r =1 ⇒ max z = OI + r = + = Đáp án B VD14: Trong tất số phức thỏa mãn z − + 2i = , gọi z = a + bi (a, b ∈ R) số phức có z + 4i đạt giá trị nhỏ Tính P = a(b + 2) ? A P = − B P = − − C P = + 2 D P = − Đề thi học kỳ II trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Nội năm 2017 Giải: Gọi w = z + 4i = x + yi ⇒ z = w − 4i ⇒ w − 4i − + 2i = ⇔ w − (2 + 2i ) = ⇔ ( x − 2) + ( y − 2) = ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn w = z + 4i đường tròn tâm I (2;2) bán kính r = ⇒ w = OM = OI − r = 2 − Đường thẳng OI có phương trình y = x Tọa độ điểm M nghiệm hệ :  2 −1 x= y=  y = x ⇔  2  2 +1 ( x − 2) + ( y − 2) = x = y =  ⇒a= 2 −1 ⇒P= ;b = 2 −1 −4= − 2 −1 2 −1 − 2 −1 ( + 2) = − Đáp án D 2 VD15: Trong số phức z thỏa mãn z − − 4i = z − 2i , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất? A z = − 2i B z = + i C z = + 2i D z = − i Đề thi thử trường chuyên Biên Hòa – Hà Nam Giải: Gọi A( 2;4); B(0;2); Tập hợp điểm biểu diễn z đường trung trực AB có phương trình x+y-4=0 (d) z đạt GTNN hay OM đạt GTNN M hình chiếu H O (d) ⇒ H (2;2) ⇒ z = + 2i Đáp án C VD16: Cho số phức z thỏa mãn: z + + z − = 10 Giá trị nhỏ z là: A B C D Đề thi thử trường THPT Trần Phú – Hà Nội năm 2017 Giải: Gọi F1(-3;0); F2(3;0) => F1F2=6=2c