Phân loại và một số phương pháp giải bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian

1 M u Lớ chn ti Trong quỏ trỡnh ging dy mụn toỏn trng ph thụng, tụi nhn thy hc sinh lp 11 rt e ngi hc phn hỡnh hc khụng gian vỡ cỏc em ngh rng nú tru tng, thiu tớnh thc t Do vy m cú rt nhiu hc sinh hc yu phn hc ny Trờn thc t, hỡnh hc khụng gian gi mt vai trũ, v trớ ht sc quan trng vỡ nú khụng ch cung cp cho hc sinh kin thc, k nng gii toỏn hỡnh hc khụng gian m cũn rốn luyn cho hc sinh c tớnh, phm cht ca ngi lao ng mi: cn thn, chớnh xỏc, bi dng úc thm m, t sỏng to cho hc sinh.Thờm vo ú hỡnh hc khụng gian cũn l mt phn rt quan trng ni dung thi THPTQG ca B giỏo dc, nu hc sinh khụng nm k bi thỡ cỏc em s gp nhiu lỳng tỳng, khú khn lm bi v phn ny thi Qua quỏ trỡnh cụng tỏc, ging dy nhiu nm tụi cng ỳc kt c mt s kinh nghim nhm giỳp cỏc em tip thu kin thc c tt hn, t ú m cht lng ging dy cng nh hc ca hc sinh ngy c nõng lờn Do õy l phn ni dung kin thc mi nờn nhiu hc sinh cũn cha quen vi tớnh t tru tng ca nú, nờn tụi nghiờn cu ni dung ny nhm tỡm nhng phng phỏp truyn t phự hp vi hc sinh, bờn cnh ú cng nhm thỏo g nhng vng mc, khú khn m hc sinh thng gp phi vi mong mun nõng dn cht lng ging dy núi chung v mụn hỡnh hc khụng gian núi riờng T lý trờn tụi ó khai thỏc, h thng húa cỏc kin thc, tng hp cỏc phng phỏp thnh mt chuyờn : Phõn loi v phng phỏp gii mt s bi toỏn v quan h vuụng gúc khụng gian Mc ớch nghiờn cu Qua chuyờn ny tụi mong mun s cung cp cho hc sinh lp 11 thờm mt s k nng c bn, phng phỏp chng minh ca mt s dng bi toỏn liờn quan n quan h vuụng gúc khụng gian Hc sinh thụng hiu v trỡnh by bi toỏn ỳng trỡnh t, ỳng logic, khụng mc sai lm gii toỏn i tng nghiờn cu: i tng nghiờn cu ti l hc sinh 11 qua cỏc nm ging dy t trc n v hin Phng phỏp nghiờn cu: Nghiờn cu c s lý lun cú liờn quan n ti, nghiờn cu cu trỳc ni dung chng trỡnh SGK Hỡnh hc 11, sỏch bi tp, sỏch tham kho, Nghiờn cu kh nng tip thu ca hc sinh cú cỏch trỡnh by tht d hiu, phự hp vi tng i tng hc sinh NI DUNG CA SNG KIN KINH NGHIM 2.1 C s lý lun ca sỏng kin kinh nghim: Khi gii mt bi toỏn v chng minh quan h vuụng gúc khụng gian ngoi yờu cu c k bi, phõn tớch gi thit, v hỡnh ỳng ta cũn phi chỳ ý n nhiu yu t khỏc nh: Cú cn xỏc nh thờm cỏc yu t khỏc trờn hỡnh v hay khụng? Hỡnh v th hin ht cỏc yờu cu ca bi hay cha? gii quyt ny ta phi bt u t õu ? Ni dung kin thc no liờn quan n c t ra, trỡnh by nú nh th no cho chớnh xỏc v lụgic cú c nh th mi giỳp chỳng ta gii quyt c nhiu bi toỏn m khụng gp phi khú khn Ngoi chỳng ta cũn nm vng h thng lý thuyt, phng phỏp chng minh cho tng dng toỏn nh: chng minh hai ng thng vuụng gúc, ng thng vuụng gúc vi mt phng, hai mt phng vuụng gúc 2.2 Thc trng trc ỏp dng sỏng kin kinh nghim Tụi yờu cu hc sinh thc hin mt s bi tp: Bi toỏn: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 3a, SA vuụng gúc vi (ABCD) l gúc hp bi cnh bờn SC vi (ABCD) vi tan = 2 Chng minh: BD SC ; ( SAD) ( SCD) Chng minh tam giỏc SBC vuụng */S liu c th trc thc hin ti Kt qu ca lp 11C12 ( s s 48) Lm ỳng Lm sai Cõu 20 18 Cõu 18 22 S h/s khụng cú li li gii 10 Nh vy vi mt bi toỏn khỏ quen thuc thỡ kt qu t c l rt thp; sau nờu lờn li gii v phõn tớch thỡ hu ht cỏc em hc sinh u hiu bi v t hng thỳ 2.3 Cỏc gii phỏp ó s dng gii quyt 2.3.1 Bi toỏn 1:Chng minh hai ng thng vuụng gúc Cỏch : Dựng cỏc quan h vuụng gúc ó bit mt phng Cỏch : Dựng nh ngha: a b gúc (a;b) = 90o Cỏch 3: Dựng nh lý 1: a a (P ) a b b (P ) b P Cỏch 4: Dựng nh lý 2: b a c b // c , a b a c Cỏch 5: Dựng nh lý 3: a b a song song (P ) ab b (P ) P Cỏch : S dng nh lớ ba ng vuụng gúc Cỏch 7: Dựng h qu: Nu mt ng thng vuụng gúc vi hai cnh ca mt tam giỏc thỡ vuụng gúc vi cnh cũn li ca tam giỏc A AB BC AC B C *) Cỏc vớ d mu: Phng phỏp: Ta thng s dng nh lý hoc l cỏc cỏch chng minh vuụng gúc cú hỡnh hc phng Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v B, SA ( ABCD ) , AD=2a, AB=BC=a Chng minh rng: tam giỏc SCD vuụng Gii: Ta cú: SA ( ABCD ) SA CD (1) CD ( ABCD ) + Gi I l trung im ca AD T giỏc ABCI l hỡnh vuụng Do ú, ãACI = 450 (*) Mt khỏc, CID l tam giỏc vuụng ã cõn ti I nờn: BCI = 450 (*) T (*) v (**) suy ra: ãACD = 900 hay AC CD (2) T (1) v (2) suy ra: CD ( SAC ) CD SC hay SCD vuụng ti C Vớ d 2: Cho hỡnh chúp u S.ABCD ỏy ABCD l hỡnh vuụng, E l im i xng ca D qua trung im SA Gi M, N ln lt l trung im ca AE v BC CMR: MN BD Gii: Gi I, P ln lt l trung im ca AB v SA, O l giao im ca AC v BD Ta cú: IN / / AC BD IN (1) AC BD Mt khỏc, IM / / BE IM / / PO(*) BE / / PO M PO BD (**) (vỡ: BPD l tam giỏc cõn ti P v O l trung im ca BD) T (*) v (**) ta cú: BD IM (2) T (1) v (2) ta cú: BD ( IMN ) BD MN Cỏc im cn chỳ ý gii vớ d 2: + Chn mp(IMN) vi I l trung im ca AB ( vỡ BD AC nờn chn mp cha MN v vuụng gúc vi BD l mp(IMN)) + S dng cỏc gi thit trung im chng minh song song + S dng nh lý: a / /b b c a c Vớ d 3: Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy ABCD l hỡnh vuụng, tam giỏc SAD u, ( SAD) ( ABCD) Gi M, N, P ln lt l trung im ca SB, BC v CD Chng minh rng: AM BP Gii: Gi I l giao dim ca AN v BP, H l trung im ca AD, K l giao im ca AN v BH Xột hai tam giỏc vuụng ABN v BCP cú: AB=BC, BN=CP Suy ra, ABN = BCP ã ã ã ã ã m BAN BAN = CBP , ãANB = BPC + ãANB = 900 CBP + ãANB = 900 hay AN BP (1) SH AD Vỡ SAD u nờn: ( SAD) ( ABCD ) SH BP (*) BP ( ABCD) Mt khỏc, t giỏc ABNH l hỡnh ch nht nờn K l trung im ca HB hay MK / / SH (**) T (*) v (**) suy ra: BP MH (2) T (1), (2) suy ra: BP ( AMN ) BP AM 2.3.2 Bi toỏn 2: Chng minh ng thng vuụng gúc vi mt phng Cỏch : Dựng nh lý: ng thng vuụng gúc vi mt phng nú vuụng gúc vi hai ng thng ct nm mt phng a b c P b , c ct , b,c (P ) , a b, a c a (P ) Cỏch : Dựng h qu: Cho hai ng thng // nu ng thng ny vuụng gúc vi mt phng thỡ ng thng cng vuụng gúc vi mt phng b a a // b , b (P ) a (P ) P Cỏch : Dựng h qu: Cho hai mt phng vuụng gúc theo giao tuyn b, nu ng thng a nm mt phng ny vuụng gúc vi giao tuyn b thỡ ng thng a cng vuụng gúc vi mt phng Q a b (P ) (Q) = b a (P ) a (Q),a b P Cỏch : Dựng h qu: Nu hai mt phng ct cựng vuụng gúc vi mt phng th ba thỡ giao tuyn ca hai mt phng ny cng vuụng gúc vi mt phng th ba ú () P () ( ) ( ) = (P ) ( ) (P ),( ) (P ) *) Cỏc vớ d mu: Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏcvvuụng ti C, SA ( ABC ) a) Chng minh rng: BC ( SAC ) b) Gi E l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SC Chng minh rng: AE ( SBC ) c) Gi mp(P) i qua AE v vuụng gúc vi (SAB), ct SB ti D Chng minh rng: SB ( P) d) ng thng DE ct BC ti F Chng minh rng: AF ( SAB ) Gii: a) Ta cú: BC AC ( gt ) (1) Mt khỏc, vỡ SA ( ABC ) SA BC (2) BC ( ABC ) T (1) v (2) suy ra: BC ( SAB) b) Ta cú: AE SC (3) (gt) Theo a) BC ( SAB ) AE BC (4) T (3) v (4) suy ra: AE ( SBC ) c) Ta thy: ( P ) ( ADE ) Theo b) AE ( SBC ) BC AE (5) Trong mp(ADE) k EH AD, H AD ( ADE ) ( SAB) Vỡ ( ADE ) ( SAB) = AD EH ( SAB) SB EH (6) EH AD T (5) v (6) suy ra: SB ( ADE ) hay SB ( P) d) T SA ( ABC ) AF SA (7) AF ( ABC ) Theo c) SB ( ADE ) AF SB (8) T (7) v (8) suy ra: AF ( SAB ) Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy ABCD l hỡnh vuụng, tam giỏc SAB l tam giỏc u, ( SAB ) ( ABCD) Gi I, F ln lt l trung im ca AB v AD Chng minh rng: FC ( SID) Gii: Ta cú: SI AB ( SAB ) ( ABCD) SI ( ABCD) SI ( SAB ) SI CF (1) Mt khỏc, xột hai tam giỏc vuụng ADI v DFC cú: AI=DF, AD=DC Do ú, AID = DFC Ià1 = F ảD = C ả ả F1 + D2 = 90 2 ú ta cú: ả = 900 Ià1 + D ã FHD = 900 t Hay CF ID (2) T (1) v (2) suy ra: FC ( SID ) 2.3.3 Bi toỏn 3: Chng minh mt phng vuụng gúc vi mt phng Cỏch : Chng minh gúc gia chỳng l mt vuụng ( ) ( ) = , Ox ( ),Ox , Oy ( ),Oy x O Khi ú: ã gúc (( );( )) = gúc (Ox;Oy) = xOy = : 90o y ( ) ( ) = 90o Cỏch : Dựng h qu:Cho hai mt phng vuụng gúc vi nu cú mt ng thng nm mt phng ny vuụng gúc vi mt phng a a ( ) ( ) ( ) a ( ) *)Cỏc vớ d mu: Phng phỏp: S dng cỏch Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy ABCD l hỡnh thoi , SA=SC Chng minh rng: ( SBD) ( ABCD) Gii:+ Ta cú: AC BD (1) (gi thit) + Mt khỏc, SO AC (2) (SAC l tam giỏc cõn ti A v O l trung im ca AC nờn SO l ng cao ca tam giỏc) + T (1) v (2) suy ra: AC ( SBD) m AC ( ABCD ) nờn ( SBD) ( ABCD) Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB=a, AD = a , SA ( ABCD ) Gi M l trung im ca AD, I l giao im ca AC v BM Chng minh rng: ( SAC ) ( SMB ) Gii: + Ta cú: SA ( ABCD ) SA BM (1) + Xột tam giỏc vuụng ABM cú: AB tan ãAMB = = Xột tam giỏc AM CD ã = = vuụng ACD cú: tan CAD Ta AD cú: ã cot ãAIM = cot(1800 ( ãAMB + CAD )) = ã = cot( ãAMB + CAD )=0 ãAIM = 900 Hay BM AC (2) + T (1) v (2) suy ra: BM ( SAC ) m BM ( SAC ) nờn ( SAC ) ( SMB) *) Bi tp: 10 Bi 1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a Gi I l trung im ca BC, D l im i xng vi A qua I, SD ( ABC ), SD = a Chng minh rng: a) ( SBC ) ( SAD) b) ( SAB) ( SAC ) Bi 2: Cho hỡnh chúp SABCD, cú ỏy l hỡnh vuụng tõm O SA (ABCD) Gi H, I, K ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB, SC, SD a) CMR: BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC) b) CMR: AH, AK cựng vuụng gúc vi SC T ú suy ng thng AH, AI, AK cựng nm mt mt phng c) CMR: HK (SAC) T ú suy HK AI Bi 3: Cho t din SABC cú tam giỏc ABC vuụng ti B; SA (ABC) a) Chng minh: BC (SAB) b) Gi AH l ng cao ca SAB Chng minh: AH SC Bi 4: Cho hỡnh chúp SABCD, cú ỏy ABCD l hỡnh thoi tõm O Bit: SA = SC, SB = SD a) Chng minh: SO (ABCD) b) Gi I, J ln lt l trung im ca cỏc cnh BA, BC CMR: IJ (SBD) Bi 5: Cho t din ABCD cú ABC v DBC l tam giỏc u Gi I l trung im ca BC a) Chng minh: BC (AID) b) V ng cao AH ca AID Chng minh: AH (BCD) 11 Bi 6: Cho t din OABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc vi Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca im O trờn mp(ABC) Chng minh rng: a) BC (OAH) b) H l trc tõm ca tam giỏc ABC c) OH = OA + OB + OC d) Cỏc gúc ca tam giỏc ABC u nhn Bi 7: Cho hỡnh chúp SABCD, cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a Mt bờn SAB l tam giỏc u; SAD l tam giỏc vuụng cõn nh S Gi I, J ln lt l trung im ca AB v CD a) Tớnh cỏc cnh ca SIJ v chng minh rng SI (SCD), SJ (SAB) b) Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca S trờn IJ CMR: SH AC c) Gi M l mt im thuc ng thng CD cho: BM SA Tớnh AM theo a Bi 8: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, mt bờn SAB l tam giỏc u v SC = a Gi H v K ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v AD a) CMR: SH (ABCD) b) Chng minh: AC SK v CK SD Bi 9: Cho hỡnh chúp SABCD, cú ỏy l hỡnh ch nht cú AB = a, BC = a , mt bờn SBC vuụng ti B, mt bờn SCD vuụng ti D cú SD = a a) Chng minh: SA (ABCD) v tớnh SA b) ng thng qua A v vuụng gúc vi AC, ct cỏc ng thng CB, CD ln lt ti I, J Gi H l hỡnh chiu ca A trờn SC Hóy xỏc nh cỏc giao im K, L ca SB, SD vi mp(HIJ) CMR: AK (SBC), AL (SCD) c) Tớnh din tớch t giỏc AKHL 12 Bi 10: Gi I l im bt kỡ ng trũn (O;R) CD l dõy cung ca (O) qua I Trờn ng thng vuụng gúc vi mt phng cha ng trũn (O) ti I ta ly im S vi OS = R Gi E l im i tõm ca D trờn ng trũn (O) Chng minh rng: a) Tam giỏc SDE vuụng ti S b) SD CE c) Tam giỏc SCD vuụng Bi 11: Cho MAB vuụng ti M mt phng (P) Trờn ng thng vuụng gúc vi (P) ti A ta ly im C, D hai bờn im A Gi C l hỡnh chiu ca C trờn MD, H l giao im ca AM v CC a) Chng minh: CC (MBD) b) Gi K l hỡnh chiu ca H trờn AB CMR: K l trc tõm ca BCD Bi 12: Cho tam giỏc u ABC, cnh a Gi D l im i xng vi A qua BC Trờn ng thng vuụng gúc vi mp(ABC) ti D ly im S cho SD = a Chng minh hai mt phng (SAB) v (SAC) vuụng gúc vi Bi 13: Cho hỡnh t din ABCD cú hai mt (ABC) v (ABD) cựng vuụng gúc vi ỏy (DBC) V cỏc ng cao BE, DF ca BCD, ng cao DK ca ACD a) Chng minh: AB (BCD) b) Chng minh mt phng (ABE) v (DFK) cựng vuụng gúc vi mp(ADC) c) Gi O v H ln lt l trc tõm ca tam giỏc BCD v ADC CMR: OH (ADC) Bi 14: Cho hỡnh chúp SABCD, ỏy ABCD l hỡnh vuụng, SA (ABCD) a) Chng minh (SAC) (SBD) b) Gi BE, DF l hai ng cao ca SBD CMR: (ACF) (SBC), (AEF) (SAC) 13 Bi 15: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA (ABCD) Gi M, N l im ln lt trờn cnh BC, DC cho BM = a , DN = 3a Chng minh mt phng (SAM) v (SMN) vuụng gúc vi Bi 16: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A V BB v CC cựng vuụng gúc vi mp(ABC) a) Chng minh (ABB ) (ACC ) b) Gi AH, AK l cỏc ng cao ca ABC v AB C Chng minh mt phng (BCC B ) v (AB C ) cựng vuụng gúc vi mt phng (AHK) Bi 17: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AB = c, AC = b Gi (P) l mt phng qua BC v vuụng gúc vi mp(ABC); S l im di ng trờn (P) cho SABC l hỡnh chúp cú mt bờn SAB, SAC hp vi ỏy ABC hai gúc cú s o ln lt l v Gi H, I, J ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca S trờn BC, AB, AC a) Chng minh rng: SH2 = HI.HJ b) Tỡm giỏ tr ln nht ca SH v ú hóy tỡm giỏ tr ca Bi 18: Cho hỡnh t din ABCD cú AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tỡm h thc liờn h gia a, b, x, y : a) Mt phng (ABC) (BCD) b) Mt phng (ABC) (ACD) Bi 19: Cho hỡnh chúp SABCD, ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA (ABCD) ; M v N l hai im nm trờn cỏc cnh BC, CD t BM = x, DN = y a) Chng minh rng iu kin cn v hai mt phng (SAM) v (SMN) vuụng gúc vi l MN (SAM) T ú suy h thc liờn h gia x v y b) Chng minh rng iu kin cn v gúc gia hai mt phng (SAM) v (SAN) cú s o bng 300 l a(x + y) + xy = a2 14 Bi 20: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi tõm I cnh a v cú gúc A bng 600, cnh SC = a v SC (ABCD) a) Chng minh (SBD) (SAC) b) Trong tam giỏc SCA k IK SA ti K Tớnh di IK ã c) Chng minh BKD = 900 v t ú suy (SAB) (SAD) 2.4 Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim i vi hot ng giỏo dc, vi bn thõn, ng nghip v nh trng L dng toỏn hay- cỏc em t rt say mờ, hng thỳ hc ú cú th coi l mt thnh cụng ca ngi giỏo viờn Kt thỳc ti ny tụi ó t chc cho cỏc em hc sinh lp 11C12 lm mt kim tra 45 phỳt vi ni dung l cỏc bi toỏn v quan h vuụng gúc thuc dng cú ti ng thi ly lp 11C lm lp i chng cng vi kim tra ú Kt qu rt kh quan, c th nh sau: Lp 11C12 ( Thc nghim) Lp 11C4 ( i chng) Gii 15% 13% Khỏ 50% 40% Trung bỡnh 30% 37% Yu 5% 10% Rõ ràng có khác biệt hai đối tợng học sinh Nh chắn phơng pháp mà nêu đề tài giúp em phõn loi c bi v nm khỏ vng phng phỏp lm v trỡnh by bi giỳp cỏc em t tin hn hc cng nh i thi KT LUN, KIN NGH Qua ti ny, mt ln na chỳng ta cú th khng nh v tm quan trng ca hỡnh hc khụng gian i vi Toỏn hc núi chung v Toỏn hc ph thụng núi riờng Tri 15 qua thc tin ging dy, ni dung cỏc bi ging liờn quan n ti v cú s tham gia gúp ý ca ng nghip, dng ti vo ging dy ó thu c mt s kt qu nht nh sau : 1) Hc sinh trung bỡnh tr lờn nm vng c mt s phng phỏp v bit dng vo gii cỏc bi c bn, bi dng sỏch giỏo khoa 2) Mt s thi hc sinh gii, hc sinh lp chn cú th s dng phng phỏp trỡnh by ti gii bi toỏn 3) L mt phng phỏp tham kho cho hc sinh v cỏc thy cụ giỏo 4) Qua ni dung ti, ng nghip cú th xõy dng thờm cỏc bi toỏn v quan h vuụng gúc khụng gian Xõy dng phng phỏp ging dy theo quan im i mi l vic m ton xó hi v ngnh ang quan tõm Tuy nhiờn khụng cú phng phỏp no nng theo ngha cú th gii c mi bi toỏn Vn t l quỏ trỡnh ging dy chỳng ta luụn luụn c gng tỡm tũi suy ngh, ci tin phng phỏp ging dy cho thớch hp khụng ngng nõng cao cht lng ging dy Vỡ thi gian cú hn, vi phm vi mt sỏng kin kinh nghim nờn ti m tụi nghiờn cu cú th cũn hn ch rt mong c c gi gúp ý kin ti c hon thin hn Thanh Hoỏ, ngy 09 thỏng 05 nm 2016 XC NHN CA LNH O NH TRNG Ngi vit sỏng kin kinh nghim: Tụi xin cam oan õy l sang kin kinh nghim tụi t lm V Th Hoa TI LIU THAM KHO Chuyờn Hỡnh hc khụng gian v ng dng- Lờ Bỏ Trn Phng 16 Trn Vn Thng, Phm ỡnh, Lờ Vn , Cao Quang c , Phõn loi v phng phỏp gii toỏn hỡnh hc khụng gian Nh xut bn i hc quc gian Thnh ph H Chớ Minh diendantoanhoc.net 4.vnmath.com.vn Nguyn Anh Trng, Ti liu tng ụn hỡnh hc khụng gian Nh xut bn i hc quc gia h ni 17 ... ti, ng nghip cú th xõy dng thờm cỏc bi toỏn v quan h vuụng gúc khụng gian Xõy dng phng phỏp ging dy theo quan im i mi l vic m ton xó hi v ngnh ang quan tõm Tuy nhiờn khụng cú phng phỏp no nng... KHO Chuyờn Hỡnh hc khụng gian v ng dng- Lờ Bỏ Trn Phng 16 Trn Vn Thng, Phm ỡnh, Lờ Vn , Cao Quang c , Phõn loi v phng phỏp gii toỏn hỡnh hc khụng gian Nh xut bn i hc quc gian Thnh ph H Chớ Minh... hc sinh lp 11 thờm mt s k nng c bn, phng phỏp chng minh ca mt s dng bi toỏn liờn quan n quan h vuụng gúc khụng gian Hc sinh thụng hiu v trỡnh by bi toỏn ỳng trỡnh t, ỳng logic, khụng mc sai lm