Một số phương pháp giải các bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian

PHẦN I MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Để giúp học tốt mơn học khác tốn học đóng vai trò vơ quan trọng nhà trường Bên cạnh có tiềm phát triển lực tư phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt động có hiệu lĩnh vực đời sống sản xuất Qua q trình dạy hình học khơng gian 11 luyện thi TNTHPT Tôi nhận thấy rằng, đa số em học sinh yếu viêc giải tốn tính thể tích, tính khoảng cách hình học không gian Nguyên nhân học sinh chưa nắm vững kiến thức phần quan hệ vng góc khơng gian sgk hình học lớp 11 nên khơng tìm phương pháp giải cho phù hợp tốn Để góp phần nhỏ vào việc hệ thống lại phương pháp giải tốn, tạo thích thú cho em học sinh học phân mơn hình học khơng gian.Tơi xây dựng nghiên cứu hệ thống lại dạng tập phần quan hệ vng góc khơng gian từ phát triển thành đề tài để học sinh dễ tiếp cận việc giải tốn hình thành cho học sinh kỹ vận dụng tri thức mơn tốn để giải tập tốn Vì chọn đề tài “Một số phương pháp giải tốn quan hệ vng góc khơng gian” nhằm giúp học sinh có nhìn tổng quan mơn hình khơng gian II Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu mong muôn giúp học sinh khắc phục yếu điểm làm dạng toán liên quan đến phần quan hệ vng góc từ đạt kết cao giải toán tính thể tích tốn khoảng cách, phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em III Nhiệm vụ nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ : -Hình thành kỹ giải toán cho học sinh - Biết làm tốn liên quan - Những khó khăn học sinh thường mắc giải tập toán - Đánh giá kết việc thực đề tài IV Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp trường TTGDTX THIỆU HÓA V Phương pháp nghiên cứu: Trong trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Bước đầu mạnh dạn thay đổi tiết học, sau nội dung có kinh nghiệm kết thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phù hợp với đối tượng học sinh PHẦN II NỘI DUNG QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vng góc với A Phương pháp chứng minh: Cách : Dùng quan hệ vng góc biết mặt phẳng Cách 2: a ⊥ b ⇔ góc (a;b) = 90o Cách3: Dùng hệ quả: a a ⊥ (P ) ⇒a⊥b b ⊂ (P ) b P Cách 4: Dùng hệ quả: b a b// c , a ⊥ b ⇒ a ⊥ c c [1] ` [1] Tham khảo chương III sgk hình học 11 Cách : Dùng hệ quả: a b a song song (P ) ⇒a⊥b b ⊥ (P )  P Cách : Sử dụng định lí ba đường vng góc Cách 7: Dùng hệ quả: Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh lại tam giác ∆ B A C ∆ ⊥ AB   ⇒ ∆ ⊥ BC ∆ ⊥ AC  Cách 8: a ⊥ b véctơ phương đường thẳng vng góc Chú ý:Định lí hàm số cosin cos A = AB + AC − BC BA + BC − AC cos B = ; AB AC 2.BA.BC B Bài tập: Bài 1: Cho tứ diện ABCD đều.Chứng minh:AB vng góc với CD Hướng dẫn: Cách 1: Dùng tích vơ hướng AB.CD = D Ta có uuu r uuu r uuuu ruuu r uuuu r uuuruuu r uuu r uuu r AB.CD = AB ( AD − AC ) = AB AD − AB.AC uuu r uuu r uuu r uuu r = AB AD cos 600 − AB AC cos 600 = A C ⇔AB ⊥CD Cách 2: Để chứng minh AB vng góc với CD B ta chứng minh AB vng góc với mặt phẳng chứa CD Gọi M trung điểm AB, chứng minh cho AB ⊥ (MCD) Thật vậy: AB ⊥ CM; AB ⊥ DM ⇒ AB ⊥ (CDM) ⇒ AB ⊥ CD Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB Gọi M trung S điểm BC Chứng minh: a AM vng góc với BC SM vng góc với BC b SA vng góc với BC Hướng dẫn: C M A B a Ta có ∆ ABC cân A ⇒ AM ⊥ BC Ta có: ∆ SAB= ∆ SAC(cgc) ⇒ SB=SC ⇒ SM ⊥ BC b Từ câu a ta có: AM ⊥ BC SM ⊥ BC Suy BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ SA Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD a Chứng minh: AO ⊥ CD b Chứng minh: AB ⊥ CD Hướng dẫn: a Ta có: AO ⊥ ( BCD) ⇒ AO ⊥ CD b Gọi M trung điểm CD ⇒ AM ⊥ CD ,lại có AO ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (AMB) ⇒ CD ⊥ AB Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vng cân AB= AC = a a Tính góc hai đường thẳng SA BC S b Tính góc hai đường thẳng AB SC Hướng dẫn: a Gọi M trung điểm BC ⇒ SM ⊥ BC; C M B có AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAM) ⇒ góc SA BC 90 b Ta có: A uuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuruuuu r SC.BA = ( BC − BS ).BA = a ⇒ cos( SC , BA) = / ⇒ ( SC ; BA) = 450 Ta làm cách sau: Gọi M trung điểm AB, chứng minh cho AB ⊥ (MCD) Các tập vận dụng: Bài 1: Cho tứ diện ABCD AB ⊥ AC, AB ⊥ BD Gọi P Q lần lựơt trung điểm AB CD Chứng minh AB ⊥ PQ Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC = BAD = 600 Chứng minh a AB ⊥ CD b Nếu M, N trung điểm AB CD MN ⊥ AB, MN ⊥ CD Bài 3: Cho tứ diện ABCD có đáy BCD tam giác cạnh 2a, có AB= AC= AD = 2a a CMR AD vng góc BC b Gọi I trung điểm CD Tính góc AB CD Bài 4: Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính góc AB CD Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, tâm O, góc SAB, SAC, SAD vng, SA= a Tính góc SC AD Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng A Phương pháp chứng minh Cách : Dùng định lý: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Cách : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // đường thẳng vng góc với mặt phẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng b a a b P P a // b , b ⊥ (P ) ⇒ a ⊥ (P ) c b , c cắt , b,c ⊂ (P ) , a ⊥ b, a ⊥ c ⇒ a ⊥ (P ) Cách 3: Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vng góc theo giao tuyến b, đường thẳng a nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến b đường thẳng a vng góc với mặt phẳng kia.1 Tham khảo lí thuyết sgk hình 11 chương 2;3;4 Cách 4: Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba Q a b (P ) ∩ (Q) = b   ⇒ a ⊥ (P ) a ⊂ (Q),a ⊥ b P ∆ (α) (β) Lưu ý kiến thức thường gặp: P (α ) ∩ (β ) = ∆   ⇒ ∆ ⊥ (P ) (α ) ⊥ (P ),(β ) ⊥ (P ) - Tam giác ABC cân đỉnh A đường trung tuyến kẻ từ A đường cao - Tam giác đường trung tuyến đường cao - Hình thoi, hình vng có đường chéo vng góc với nhau2 B Bài tập: Bài 1: Cho tứ diện ABCD có mặt ABC DBC hai tam giác cân chung đáy BC Gọi I trung điểm BC a Chứng minh BC vng góc AD b Kẻ AH đường cao ∆ ADI Chứng minh AH vng góc với mp(BCD)3 Hướng dẫn: A a.Ta có: BC ⊥ DI; BC ⊥ AI nên BC ⊥ AD b.Ta có: AH ⊥ DI AH ⊥ BC nên AH ⊥ (BCD) Bài 2: Cho hình chóp SABC SA vng góc với B H D I đáy (ABC) đáy tam giác vuông B C a Chứng minh: BC ⊥ SB b Từ A kẻ đường cao AH, AK tam giác SAB SAC Chứng minh: AH ⊥ (SBC), SC ⊥ ( AHK) S Tham khảo lí thuyết sgk hình 11 chương 2;3;4 K Trích tập trang 104 sgk hình 11 Hướng dẫn: a Ta áp dụng hệ quả: Nếu đường thẳng vng góc H A C B với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh lại Ta có: BC ⊥ AB BC ⊥ SA nên BC ⊥ SB b.Ta có: AH ⊥ SB AH ⊥ BC nên AH ⊥ (SBC) Theo ta có AH ⊥ SC AK ⊥ SC nên SC ⊥ (AHK) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD Chứng minh: a SO vng góc với (ABCD) b AC vng góc SD, BD ⊥ SA c Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC Chứng minh: IJ ⊥ (SBD) d Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH Chứng minh: AD ⊥ (SOH) S Hướng dẫn: a Vì SO ⊥ AC SO ⊥ BD nên SO ⊥ (ABCD) b Vì AC ⊥ BD AC ⊥ SO nên AC ⊥ (SBD) suy AC ⊥ SD B c Ta có: IJ //AC mà AC ⊥ (SBD) nên IJ//(SBD) d Vì AD ⊥ SH AD ⊥ SO nên AD ⊥ (SOH) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy Đáy ABCD hình thang vng A Có AD = 2AB = 2BC O I A J C D H S a Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b Chứng minh: SC ⊥ CD Hướng dẫn: a Ta có: BC ⊥ SA BC ⊥ AB ( AD song song với BC) M A B D C nên BC ⊥ (SAB) b Tam giác MAC cân M nên góc MCA = 45 tương tự tam giác MCD vuông cân M suy góc MCD= 45 , CD ⊥ SA CD ⊥ AC nên CD ⊥ SC Trích tập trang 104 sgk hình 11 Bài 5: Hình chóp S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC a.Chứng minh: BC ⊥ (SAM) S b.Vẽ AH ⊥ SM H Chứng minh: AH ⊥ SB Hướng dẫn : H a Ta có: BC ⊥ AM BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAM) b Ta có: AH ⊥ SM AH ⊥ BC nên AH ⊥ (SBC) C A M Bài tập vận dụng: B Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA = a SA ⊥ (ABCD) a Gọi I trung điểm SD.Chứng minh AI ⊥ (SCD) b.Gọi O tâm hình vng ABCD, M di động SD Tìm tập hợp hình chiếu O CM Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều, SCD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB, CD a Tính cạnh tam giác SIJ, suy tam giác SIJ vuông b Chứng minh SI ⊥ (SCD); SJ ⊥ (SAB) c Gọi H hình chiếu vng góc S lên IJ Chứng minh: SH ⊥ AC Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng tâm O, SA ⊥ (ABCD) a Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b Chứng minh (SAC) mặt phẳng trung trực BD Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD Gọi H trực tâm ∆ BCD a Chứng minh: AH ⊥ (BCD) b Chứng minh: AD ⊥ CD Dạng 3: Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng A Phương pháp chứng minh Ta sử dụng định lý:  a // b ⇒ b ⊥ (α )   a ⊥ (α ) ( β ) //(α ) ⇒ a ⊥ (β )  a ⊥ α (α ) ≠ ( β )  a ⊥ (α ) ⇒ (α ) //( β )) a ⊥ ( β )  a ≠ b  a ⊥ (α ) ⇒ a // b b ⊥ (α )  a ⊥ b a ⊂ (α ) ⇒ (α ) ⊥ b a //(α )  B Bài tập Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, SA vng góc (ABCD) Gọi ( α ) mặt phẳng qua A vng góc với SC, ( α ) cắt SC I a Xác định giao điểm SO ( α ) S b Chứng minh: BD vng góc SC Xét vị trí tương đối BD ( α ) c Xác định giao tuyến (SBD) ( α ) J A Hướng dẫn: a Ta có J giao điểm AI SO J giao điểm SO ( α ) I B O D C b Vì BD ⊥ AC BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC) suy BD ⊥ SC c Vì BD nằm (SBD) BD song song ( α ) ⇒ Giao tuyến (SBD) ( α ) đường thẳng qua J song song với BD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, SA vng góc(ABCD) SA = AB Gọi H M S trung điểm SB SD H Chứng minh OM vng góc với (AHD) M A Hướng dẫn:Ta có: OM //SB SB ⊥ AH; SB ⊥ AD B ⇒ SB ⊥ (AHD) suy OM ⊥ (AHD) Bài tập vận dụng O D C Bài 1: Cho tam giác ABC cân A, Gọi I H trung điểm cạnh AB, BC, dựng SH ⊥ (ABC) Trên đoạn CI SA lấy điểm M, N cho MC = 2MI, NA = 2NS Chứng minh MN ⊥ (ABC) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, SA ⊥ (ABC) a Kẻ đường cao AH tam giác SAB Chứng minh: BC ⊥ (SAB) AH ⊥ (SBC) b Kẻ đường cao AK tam giác SAC Chứng minh SC ⊥ (AHK) c Kẻ đường cao BM tam giác SBC Chứng minh BM //(AHK) Dạng 4: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc A Phương pháp chứng minh Cách 1: Chứng minh góc chúng vng ∆ x ϕ α y β +) (α ) ∩ (β ) = ∆ , Ox ⊂ (α ),Ox ⊥ ∆ , Oy ⊂ (β ),Oy ⊥ ∆ Khi đó: · góc ((α );(β )) = góc (Ox;Oy) = xOy = ϕ : ≤ ϕ ≤ 90o +) (α ) ⊥ (β ) ⇔ ϕ = 90o Cách 2: Dùng định lí: Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc với phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng a ⊂ (β )  ⇔ (α ) ⊥ (β ) a ⊥ (α )   B Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi Các tam giác SAC tam giác SBD cân S Gọi O tâm hình thoi Chứng minh: a.SO ⊥ (ABCD) S b (SAC) ⊥ (SBD) Hướng dẫn: a Ta có tam giác SAC cân S, mà OA= OC suy SO ⊥ AC (1) D Tam giác SBD cân S OB=OD Suy SO ⊥ BD (2) Từ (1) (2) suy SO ⊥ (ABCD) C O A B b Trong mp(SAC) chứa đường thẳng AC vng góc với mp(SBD) suy (SAC) ⊥ (SBD) Bài 2: Hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng cân B Có SA vng góc với đáy ABC S a Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC) b.Gọi M trung điểm AC Chứng minh: (SAC) ⊥ (SBM) Hướng dẫn: A M a Trong (SBC) có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA suy BC ⊥ (SAB) C B 10 mà BC thuộc mp(SBC) nên (SBC) ⊥ (SAB) b Trong (SBM) có BM ⊥ AC, BM ⊥ SA suy BM ⊥ (SAC) nên (SBM) ⊥ (SAC) Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Tam giác ABC vuông B Chứng minh: (SAC) ⊥ (ABC) Gọi H S H hình chiếu A lên SC K hình chiếu A lên SB Chứng minh (AHK) ⊥ (SBC) Hướng dẫn: K A C a Trong (SAC) có SA ⊥ (ABC) suy (SAC) ⊥ (ABC) b Ta có: BC ⊥ AB; BC ⊥ SA suy BC ⊥ (SAB) suy BC ⊥ AK B Trong (AHK) có AK ⊥ BC,AK ⊥ SB suy AK ⊥ (SBC) suy (AHK) ⊥ (SBC) Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng C, mặt bên SAC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) a Chứng minh: (SBC) ⊥ (SAC) b Gọi I trung điểm SC Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi I, K trung điểm AB, BC a Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB) (SBC) ⊥ (SAB) b Chứng minh: (SDK) ⊥ (SIC) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) Gọi E, F hình chiếu A lên SB, SD Chứng minh: a (SAB) ⊥ (SBC); (SAD) ⊥ (SCD) b (AEF) ⊥ (SBC); (AEF) ⊥ ((SCD) Bài 4: Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O SO ⊥ mp(ABCD) SO = a/2 Gọi I, J trung điểm AD BC Chứng minh: a.(SBD) ⊥ (SAC) b (SIJ) ⊥ (SBC) Dạng 5: Khoảng cách Ta phân làm hai toán sau: 11 Bài tốn 1: Trong khơng gian cho điểm M khơng thuộc mặt phẳng (α ) , tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) ta sử dụng phương pháp: a Phương pháp trưc tiếp: Xác định chân đường vng góc H hạ từ M đến mặt phẳng (α ) mặt phẳng ( β ) qua M ( β ) ⊥ (α ) Tìm giao tuyến ∆ = ( β ) ∩ (α ) Kẻ MH ⊥ ∆ d ( M;(α ) ) = MH.[2] Bài tập: Bài : Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân B AC = 2a, cạnh SA ⊥ (ABC) SA = a a Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC) b Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC); C đến (SAB); B đến (SAC) c Tính khoảng cách từ trung điểm O AC đến mp(SBC) d Gọi D trung điểm BC Tính khoảng cách từ A đến SD Hướng dẫn: S a Ta có: BC ⊥ AB; BC ⊥ SA suy BC ⊥ (SAB) K mà BC∈ mp(SBC) nên (SBC) ⊥ (SAB) b Trong tam giác SAB kẻ AH ⊥ SB , H O A ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( A; ( SBC )) = AH = a C D I B d(C;(SAB))=CB=a ; d(B;(SAC))=BO=a với O trung điểm AC c Gọi I trung điểm AB ⇒ IO // BC ⇒ IO //( SBC ) ⇒ d (O; ( SBC )) = a d ( A; ( SBC )) = d Tam giác SDA vuông A, kẻ AK ⊥ SD AK=d(A;SD)= a 35 [2] Tham khảo qua tài liệu: Các giảng luyện thi mơn tốn: Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy- ĐàoTam- Lê Thống Nhất Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA ⊥ (ABCD) SA = Tính khoảng cách từ: 12 a A đến (SBD) b A đến (SBC) c O đến (SBC) Hướng dẫn: a Kẻ AI ⊥ BD ⇒ BD ⊥ SI, (SAI) kẻ AH ⊥ SI ⇒ AH ⊥ (SBD).; ⇒ d(A; (SBD))=AH 1 1 1 1 769 60 Ta có: AH = SA2 + AI = SA2 + AB + AD = 25 + + 16 = 3600 ⇒ AH = 769 b Kẻ AK ⊥ SB BC ⊥ mp(SAB) ⇒ BC ⊥ AK S ⇒ AK ⊥ mp(SBC) ⇒ d(A;(SBC))=AK Ta có: 1 1 34 = + = + = 2 AK AS AB 25 225 15 ⇒ AK = 34 A M B H D O I C c M trung điểm AB ⇒ OM//(SBC) nên d(O;(SBC))=d(M;(SBC))= d(A; (SBC))= 15 34 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a có cạnh SA vng góc mp(ABCD) , với SA= a Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD) S Hướng dẫn: Vì ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD= 2a nên ta có: AD//BC, AB= BC= CD= a AC ⊥ CD, AB ⊥ BD , AC= BD= a Ta có CD ⊥ AC   ⇒ CD ⊥ mp(SAC) CD ⊥ SA  H A D B C Kẻ AH ⊥ SC H ta có AH ⊥ CD Nên AH ⊥ mp(SCD) Vậy AH= d ( A;(SCD) ) Xét tam giác SAC vuông A có AH đường cao 13 1 1 1 Do AH = SA + AC2 = (a 6)2 + (a 3) = 2a ⇒ AH = 2a ⇒ AH = a Nhận xét: Khơng phải tốn ta xác định chân đường vng góc hạ từ điểm đến mặt phẳng Do ta làm gián cách sau: b Phương pháp gián tiếp: Hướng 1: Tìm đường thẳng ∆ qua M ∆ cắt mp (α ) M I ∆ chọn điểm A ( A ≠ I, A ≠ M ) Lúc d ( M; ( α ) ) d ( A; ( α ) ) = dẫn đến d ( M; ( α ) ) = ∆ A IM IA I α d ( A;(α ) ) IM IA Nhận xét : Ở hướng thay tính khoảng cách từ A đến mp (α ) ta đưa tính khoảng cách từ điểm khác A thuộc đường thẳng ∆ qua A mà khoảng cách tính cách dễ dàng Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mp(ABCD), SA= a Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách từ G đến mp(SAC) Hướng dẫn: Gọi O tâm hình vng ABCD Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) F Khi Mà d ( G; ( SAC ) ) d ( B; ( SAC ) ) = FG = FB OB ⊥ SA   ⇒ OB ⊥ (SAC) OB ⊥ AC  Nên d ( B;(SAC) ) = OB = Vậy d ( G;(SAC) ) = S F a 2 1a a = D G A C O B 14 3Vchóp Hướng 2: Sử dụng công thức h = S dáy Bài 5: Trên mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Bx ' By lập với góc 450 Trên đường vng góc với (P) B lấy BA= a, kẻ Ax // Bx ' lấy C thuộc Ax cho AC= c Gọi D hình chiếu C lên By Tính khoảng cách từ B đến mp(ACD) Hướng dẫn: Kẻ CE// AB, dễ thấy ABEC hình chữ nhật CE ⊥ (P) Từ ED ⊥ BD (định lí đường vng góc) Kẻ DF ⊥ BE từ ta có tam giác DBE vng cân đỉnh D c c DF= 2 Mà BE= AC= c nên BD= DE= Và F trung điểm BE A Vì AB ⊥ (BDE) ⇒ AB ⊥ DF c K C a Do DF ⊥ AB  ⇒ DF ⊥ (ABEC) DF ⊥ BE  B 450 Nghĩa DF đường cao hình F chóp DABC Từ y D x E 1 ac VABCD = DF.SABC = AC.AB.DF = 12 x’ Kẻ DK ⊥ AC, tam giác ADC cân có AD= DC= a + Từ DK= c2 nên K trung điểm AC c2 AD − AK = a + 2 2 c2 c −  ÷ = a2 + 2 1 c2 SADC = AC.DK = c a + = c 4a + c 2 4 ⇒ d ( B;(ADC) ) = 3VABCD 3ac2 c ac = : 4a + c = SADC 12 4a + c2 Tham khảo qua tài liệu: Các giảng luyện thi mơn tốn: Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy- ĐàoTam- Lê Thống Nhất 15 Nhận xét: ta sử dụng phương pháp trực tiếp để tính khoảng cách gặp khó khăn Bài tốn 2: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo a b.Tính khoảng cách a b Để giải tốn có hướng sau: Hướng 1: Áp dụng cho trường hợp a ⊥ b.Ta chọn mp (α ) chứa a vng góc với b B Dựng BA ⊥ a A Khi d(a;b)= AB Bài tập: Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a.Gọi M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B1C Hướng dẫn: Lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có cạnh a nên mặt bên hình vng Đáy tam giác Gọi I trung điểm A1C1 ,tam giác A1B1C1 nên B1I ⊥ A1C1 ⇒ B1I ⊥ (ACC1A1 ) ⇒ B1I ⊥ MC1 (*) ∆A1C1M = ∆C1CI ⇒ ∠MC1A1 = ∠C1CI (1) Mà ∠C1CI + ∠C1IC = 900 B C (2) A Từ (1), (2) suy ∠MC1A1 + ∠C1IC = 900 O ⇒ IC ⊥ MC1 (**) B1 (*),(**) ⇒ MC1 ⊥ mp(B1IC) C1 M I MC1 ⊥ B1C  ⇒  ⇒ B1C ⊥ (MBC1 ) ⇒ B1C ⊥ MB BC1 ⊥ B1C  A1 Gọi O giao điểm B1C BC1 ⇒ d ( B1C, MB ) = d(O, MB) = h M a a Lại có ∆MBC1 có MB= MC1= a + = ⇒ ∆MBC1 cân đỉnh M H B O có BC1= a 2,OB = BC1 = C1 a 5a 2a a ,OM = − = 4 16 a a OM.OB 2 = a 30 = h= OH= MB 10 a Hướng 2: Dựng mặt phẳng (α ) chứa a mp (α ) // b Khi d ( a;b ) = d ( b;(α ) ) = d ( B;(α ) ) với B điểm thuộc b Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 đáy ABC tam giác vuông, AB= BC= a, AA1 = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B1C Hướng dẫn: Gọi N trung điểm BB1 MN// B1C ⇒ B1C// mp(AMN) nên d ( B1C; AM ) = d ( B1C;(AMN) ) = d ( C;(AMN) ) = d ( B;(AMN) ) Mặt khác tứ diện BAMN vuông đỉnh B nên A C d ( B;(AMN) ) =BH với H trực tâm ∆AMN M B a 1 1 ⇒ BH = ⇒ = + + 2 2 BH BA BM BN Vậy d ( AM;B1C ) = a A1 Hướng 3: Dựng mặt phẳng (α ) chứa a mp (α ) // b Dựng mặt phẳng ( β ) chứa b mp ( β ) // a N C1 B1 Khi d ( a;b ) = d ( (α );( β ) ) = d ( A;( β ) ) với A điểm thuộc (α ) Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a Lấy M, N, P trung điểm AD, AB, B1C1 Tính khoảng cách MN BP Hướng dẫn: Gọi E, F, Q, R, S, T, O trung điểm CC 1, DD1, C1D1, PQ, BD, MN, B1D1 Khi mp(MNB1D1) // mp(BDQP) Ta có A1E ⊥ (MNB1D1) Trích tham khảo từ báo THTT trang số 325 tác giả Nguyễn Anh Dũng, Đặng Thanh Hải Thật hình chiếu A1E lên mặt phẳng (A1B1C1D1 ) A1C1 Mà A1C1 ⊥ B1D1 17 nên A1E ⊥ B1D1 (định lí đường vng góc) T mà A1F ⊥ MD1 ⇒ A1E ⊥ MD1 Từ A1E ⊥ (MNB1D1 ) M A Hình chiếu A1E lên (AA1D1D) A1F D S N B Tương tự A1E ⊥ (BPQD) A1 Gọi I, J giao điểm D1 J I A1E với TO SR E O Độ dài IJ khoảng cách MN BD F C Q R B1 P C1 Áp dụng định lí Talet cho tam giác A1EC1 ta có: JI RO RO a2 a a = ⇒ IJ = A1E = 2a − = Vậy d(MN;BP) = [ 3] A1E A1C1 A1C1 4 8 Bài học sinh lớp 12 ta sử dụng phương pháp tọa độ không gian để giải Bài tập vận dụng: Bài : Cho hình chop S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc (ABC) SA = h Gọi I trung điểm SC a.Tính khoảng cách từ I đến (ABCD) b.Tính khoảng cách từ I đến AB c Chứng minh (SBC) ⊥ (SAB); Tính khoảng cách từ A đến (SBC) từ A đến (SBD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng tâm O, cạnh a SA= SB =SC =SD = a Gọi I, J trung điểm AD BC a Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) b Tính khoảng cách từ O đến (SBC) [3] Tham khảo tài liệu mạng internet nguồn giáo án điện tử c Tính khoảng cách đường thẳng AD SB Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a SA ⊥ (ABCD) SA = a 18 a.Chứng minh (SAE) ⊥ (SBD) với E chân đường cao hạ từ A tam giác ABD b Tính khoảng cách từ A đến (SBD) c Tính khoảng cách đường thẳng AD SB; AB SC Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, mặt bên (SAB), (SAD) vng góc với (ABCD), góc đường thẳng SB mặt đáy 600 Gọi M, N trung điểm đoạn AD CD, MN = a Tính thể tích khối chóp S.BMN khoảng cách đường thẳng chéo BM SN theo a.7 PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau đây: Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải khái niệm kĩ hình thành kĩ học giải tập toán cho học sinh Thống kê số dạng tốn điển hình liên quan đến nội dung chun đề thực Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh chứng tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Trong trình giảng dạy mơn Tốn trường, việc áp dụng hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải tốn cho học sinh có kết rõ rệt.Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân, thấy học sinh trung bình khá, hứng thú với việc làm mà giáo viên áp dụng chun đề 1Trích đề thi HSG mơn tốn lớp 12 BT THPT Năm học 2014-2015 KIẾN NGHỊ 19 Nhà trường cần đầu tư cho phòng thư viện thêm loại sách tham khảo để học sinh tự học, tự làm tập nhà Đoàn trường thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn học sinh trước đến trường Qua trình nghiên cứu vận dụng đề tài: “Một số phương pháp giải tốn quan hệ vng góc khơng gian”,vào giảng dạy nhận thấy vấn đề giúp ích cho học sinh việc làm toán, giúp em khơng “e ngại” học phần hình học không gian em giải tốt tập Thực nghiệm cho thấy có khoảng 81% học sinh hiểu tập sách giáo khoa, 19% học sinh giải trọn vẹn tập sách giáo khoa Riêng thân tiếp tục nghiên cứu sâu để có định hướng tốt Vì kiến thức thời gian nhiều hạn chế đề tài có thiếu sót, tơi chân thành nhận góp ý q thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn Thiệu Hóa, tháng 3/2017 Người viết Đinh Văn Ba 20 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG TTGDTX THIỆU HÓA - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: Một số phương pháp giải tốn quan hệ vng góc khơng gian Người viết: Đinh Văn Ba Sáng kiến kinh nghiệm thuộc môn: Tốn Đơn vị cơng tác: Trường TTGDTX Thiệu Hóa Thiệu Hóa, tháng năm 2017 21 MỤC LỤC PHẦN I MỞ ĐẦU Trang Lý chọn đề tài 2 Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: .2 Phương pháp nghiên cứu PHẦN II NỘI DUNG Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vng góc với .3 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Dạng 3: Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng Dạng 4: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 5.Dạng 5: Khoảng cách 12 PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 19 KẾT LUẬN .19 KIẾN NGHỊ .20 PHỤ LỤC 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Các giảng luyện thi mơn tốn: Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy- ĐàoTam - Lê Thống Nhất 2.Sách giáo khoa hình học 11-NXBGD 2.Sách giáo khoa hình học 12-NXBGD Chuẩn KT-KN mơn tốn Phương pháp giảng dạy mơn tốn, Vũ Dương Thụy, NXBGD, 2009 Hướng dẫn ôn thi TN 2014 - 2015; 2015 - 2016 Phương pháp dạy học mơn Tốn: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy – NXBGD 2000 Phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thông – NXB ĐHQG TPHCM 2005 Hướng dẫn thực chương trình SGK Tốn 11: Nguyễn Thế Thạch – NXBGD 2008 Tạp trí Tốn Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 9.Giới thiệu đề thi mơn tốn: Dỗn Minh Cường- NXB ĐHQGHN 23 ... DUNG QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vng góc với A Phương pháp chứng minh: Cách : Dùng quan hệ vng góc biết mặt phẳng Cách 2: a ⊥ b ⇔ góc (a;b) = 90o Cách3:... tài: Một số phương pháp giải toán quan hệ vng góc khơng gian ,vào giảng dạy tơi nhận thấy vấn đề giúp ích cho học sinh việc làm tốn, giúp em khơng “e ngại” học phần hình học khơng gian em giải. .. TRƯỜNG TTGDTX THIỆU HÓA - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: Một số phương pháp giải tốn quan hệ vng góc không gian Người viết: Đinh Văn Ba Sáng kiến kinh nghiệm thuộc mơn: Tốn Đơn vị