“Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức

I.t : T l thc l kin thc khỏ trng tõm chng trỡnh toỏn lp v cng l mt mng kin thc quan trng chng trỡnh toỏn ph thụng. Vỡ th vic rốn luyn cho hc sinh k nng gi bi v t l thc l mt iu cn thit quỏ trỡnh ging dy toỏn chng trỡnh lp 7. Vic giỳp hc sinh rốn k nng gii bi v t l thc giỳp hc sinh hiu sõu, nm vng dng toỏn ny chng trỡnh lp ngoi cũn giỳp hc sinh gii quyt tt cỏc dng toỏn cú liờn quan n t l thc chng trỡnh lp trờn: cỏc dng bin i v phõn thc i s, chng minh mt ng thc, gii phng trỡnh cú hai v l nhng phõn thc i s, toỏn chia ht, bin i cỏc biu thc dng tớch hai on thng vớ d: MN.PQ=EF.GH hoc EF2=MN.PQtrong hỡnh hc v on thng t l, nh lý Thales hay tam giỏc ng dng. Qua vic rốn k nng gii bi v t l thc gúp phn vo vic giỳp cỏc em hc sinh hiu bi t ú cỏc em s cú thúi quen nhn nh tng th dng bi tp, sau ú nh hng gii quyt theo phng phỏp ỳng n. Khi nm vng lớ thuyt, c rốn luyn k nng mt cỏch thớch hp ó phn no thỳc y c hng thỳ gii bi tp, cỏc em s bt phn ngi khú, ngi gii bi tp. Cng c v hng dn hc sinh lm bi nhm nõng cao cht lng ging dy, nhm nõng cao trỡnh chuyờn mụn nghip v cho bn thõn thụng qua ú gii thiu cho bn bố ng nghip tham kho, dng vo quỏ trỡnh ging dy mụn Toỏn Trng THCS t hiu qu cao v cú ý thc dng linh hot sỏng to cỏc kin thc k nng ó thu nhn c.T ú hiu qu ging dy s tt hn. II.Gii quyt : 1.C s lớ lun: Tri thức khoa học nhân loại ngày đòi hỏi cao. Chính vậy, việc giảng dạy nhà trờng phổ thông ngày đòi hỏi nâng cao chất lợng toàn diện, đào tạo hệ trẻ cho đất nớc có tri thức bản, phẩm chất nhân cách, có khả t duy, sáng tạo, t độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học. Môn Toán môn học góp phần tạo yêu cầu đó. Việc hình thành lực giải Toán cho học sinh trung học sở việc làm thiếu đợc ngời thầy, rèn luyện cho em có khả t sáng tạo, nắm kiến thức bản, gây đợc hứng thú cho em yêu thích môn Toán. Môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trờng phổ thông, có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trớ tuệ .Toán hc l mt môn khoa hc gây nhiu hng thú cho hc sinh, l mt môn hc không th thiu trình hc tp, nghiên cu v c cuc sng hng ngy. Mt nh toỏn hc ó núi: Toán hc c xem nh l mt khoa hc minh. Thật vậy, tính chất trừu tợng, tính xác, t suy luận logic. Toán học đợc coi "môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo. Trong cỏc mụn hc trng ph thụng, Toỏn hc c coi nh l mt mụn hc c bn, l nn tng cỏc em phỏt huy c nng lc bn thõn, gúp phn to iu kin cỏc em hc tt cỏc mụn khoa hc t nhiờn khỏc. Vy dy nh th no hc sinh khụng nhng nm chc kin thc c bn mt cỏch cú h thng m cũn phi c nõng cao phỏt trin cỏc em cú hng thỳ say mờ hc l mt cõu hi m mi thy cụ luụn t cho mỡnh. Tuy nhiờn hc tt mụn toỏn thỡ ngi giỏo viờn phi bit cht lc ni dung kin thc, phi i t d n khú, t c th n tru tng v phỏt trin thnh tng quỏt giỳp hc sinh cú th phỏt trin t toỏn hc, lm cho cỏc em tr lờn yờu thớch toỏn hn t ú cỏc em cú ý thc hc m bo yờu cu ca thi i mi. L mt giỏo viờn dc phõn cụng ging dy lp 7A2, 7A5 vi i tng hc sinh khỏ gii, cỏc em cú t nhy bộn v nhu cu hiu bit ngy cng cao, lm th no phỏt huy c ht kh nng ca cỏc em ú l trỏch nhim ca cỏc giỏo viờn chỳng ta. Qua ging dy chng trỡnh toỏn lp tụi nhn thy ti v T l thc l mt ti tht lý thỳ, phong phỳ a dng khụng th thiu mụn i s lp 7. Vic gii bi toỏn v t l thc l mt dng toỏn hay, vi mong mun cung cp cho cỏc em mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc, giỳp cỏc em lm bi tt hn nhm tớch cc hoỏ hot ng hc tp, phỏt trin t duy, ú nm hc ny tụi chn ti Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc thc hin chng trỡnh toỏn lp 7. 2. Thc trng ca : 2.1. Khú Khn: Lp 7A2, 7A5 cú s lng hc sinh khụng ng u v mt nhn thc gõy khú khn cho giỏo viờn vic la chn phng phỏp phự hp.Nhiu hc sinh cú hon cnh khú khn ú vic u t v thi gian v sỏch v b hn ch v nh hng khụng nh n nhn thc v s phỏt trin t ca cỏc em. a s cỏc em hay tho hc tp, cỏc em cho rng ch cn hc thuc lũng cỏc kin thc SGK l . Chớnh vỡ vy m cỏc em tip thu kin thc mt cỏch th ng, khụng t my mũ, khỏm phỏ kin thc mi. Hu ht cỏc em u hp gii cỏc bi dng ny. VD: Li gii ca em Nguyn Thy yn Vi - Lp 7A5 x y (Bi 62 trang 31 SGK NXBGD 2003): Tỡm hai s x, y bit: = ; xy=10 HS gii: Ta cú: x y xy 90 = = = =9 2.5 10 x=2.9=18; y=5.9=45 Li gii ỳng: k = k = * x = k x y = = k M xy = 90 2k . 5k = 9010k2 = 90k2 = y = k Vi k = x = 2.3 = ; y = 5.3=15 ; * Vi k = -3 x = 2.(-3) = -6 ; y = 5.(-3) = -15 ; Vy (x; y) = (6; 15); (-6; -15) (Hc sinh mc sai lm cha hiu rừ tớnh cht ca dóy t s bng nhau). Qua mt thi gian tụi ó tin hnh iu tra c bn v thu c kt qu nh sau: + Lp 7A2: S em li hc bi, li lm bi chim khong 50%, s hc sinh nm c kin thc v bit dng vo bi chim khong 30%. + Lp 7A5 S em li hc bi, li lm bi chim khong 85%, s hc sinh nm c kin thc v bit dng vo bi chim khong 10%. 2.2.Nguyờn nhõn: Nguyờn nhõn ca trờn l cỏc em cha cú ý thc t giỏc hc tp, cha cú k hoch thi gian hp lý t hc nh, hc cũn mang tớnh cht ly im, cha nm vng hiu sõu kin thc toỏn hc, khụng t ụn luyn thng xuyờn mt cỏch h thng, khụng chu tỡm tũi kin thc mi qua sỏch nõng cao, sỏch tham kho, cũn hin tng du dt, khụng chu hc hi bn bố, thy cụ. ng trc thc trng trờn tụi thy cn phi lm th no khc phc tỡnh trng trờn nhm nõng cao cht lng hc sinh, lm cho hc sinh thớch hc toỏn hn Vy tụi thit ngh ti ca tụi nghiờn cu v ny l bc i ỳng n vi tỡnh trng v sc hc ca hc sinh hin 3.Cỏc gii phỏp ó tin hnh gii quyt : T thc t trờn ca hc sinh mỡnh trc tip ging dy, tụi cm nhn c vic rốn k nng gii bi liờn quan v t l thc l mt nhim v cn thit ca ngi giỏo viờn t hiu qu ging dy. Nhn thc v mc tiờu l nh th nhng lm th no nõng cao cht lng hiu qu ging dy cũn ph thuc rt nhiu vo mụi trng, i tng hc sinh, cỏch truyn th ca bn thõn giỏo viờn. Sau mt thi gian t tỡm hiu, hc hi thy cụ, ng nghip, bn thõn toi ó tỡm mt vi gii phỏp ging dy v rốn luyn cho hc sinh v phn kin thc trờn nh sau: + giỳp hc sinh nm vng nh ngha. +Gỳp hc sinh nm vng cỏc tớnh cht c bn v t l thc, +Nm tớnh cht ca dóy t s bng nhau. +Rốn k nng gii mt vi dng bi c bn v t l thc, bit cỏch nh hng bin i cỏc t l thc mt cỏch thớch hp. +cho hc sinh lm quen mt s bi nõng cao, m rng v t l thc. 3.1. cỏc gii phỏp: -Giỳp hc sinh nm vng nh ngha, sau hc sinh bit nh ngha T l thức đẳng thức hai tỉ số a c (hoặc a : b = c : d). tụi nhn mnh số a, b, c, d đợc gọi số = b d hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay gọi ngoại tỉ, b c số hạng hay gọi trung tỉ. - Giúp học sinh nắm vững tính chất tỷ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nhau: Khi giảng dạy tỉ lệ thức, thờng cho học sinh chuẩn bị trớc nhà bảng câu hỏi gây ý: +thế tỉ lệ thức? Hay: tỉ lệ thức gì? em tự tìm ví dụ tỉ lệ thức. Có đợc câu hỏi kích thích tò mò học sinh kèm theo kiểm tra việc chuẩn bị sẵn nhà nên đến lớp em tiếp thu nhanh hơn. Khi giảng dạy tính chất tỉ lệ thức: a c Tính chất 1: = ad = bc; tính chất này, để giúp em dễ nhớ, thờng b d a c giúp em hình ảnh trực quan nh sau: = ad = bc khắc sâu lời nói: Tích hai b d số ngoại tỉ tích hai số trung tỉ. Tính chất 2: ad= bc a, b, c, d 0, ta có tỉ lệ thức sau: a c a b d c d b = , = , = , = tính chất này, để em dễ nhớ, thờng khắc sâu b d c d b a c a a c a b cách sau: Từ tỉ lệ thức = suy = thờng dùng phấn màu khác để viết hai số b d c d trung tỉ b, c nói: cách biến đổi thứ nhất: giữ nguyên hai số ngoại tỉ, đổi chỗ hai so trung tỉ. a c d c Từ tỉ lệ thức : = , suy = thờng dùng phấn màu khác để viết hai số ngoại tỉ a, b d b a d nói: cách biến đổi thứ hai: đổi chỗ hai số ngoại tỉ đổi chỗ hai số trung tỉ. Sau lu ý em sau viết xong luôn kiểm tra xem tích hai số ngoại tỉ có tích hai số trung tỉ hay không? Đối với học sinh giỏi, thờng hớng dẫn thêm cách chứng minh cho trờng hợp tổng quát, học sinh đại trà thờng cho em nghiên cứu từ ví dụ đến tổng quát. Qua thực tế giảng dạy năm trớc đây, gặp tính chất này, học sinh thờng lúng túng giáo viên yêu cầu kiểm tra tính chất này, em học thuộc máy móc nên khó tái kiến thức. Nhng nhờ kinh nghiệm nhỏ này, thấy học sinh dễ nhớ hơn. Thực tế kiểm tra phần lý thuyết lớp 7A2 năm học 2013-2014 có 38 em làm đợc trung bình với sĩ số lớp 38 em. -Tính chất: Từ a c a+c a-c a c = suy ra: = = = b d b d b+d b-d - Tính chất mở rộng cho dãy tỉ số nhau: a c e a+b+c a-b+c a c e = = suy ra: = = = = = . (giả thiết tỉ số có nghĩa). b d f b d f b+d+f b-d+f a b c Chú ý: Khi có dãy tỉ số = = ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2; 3; 5. Ta viết a : b : c = : : Sau hc sinh ó nm chc c lý thuyt thỡ vic dng lý thuyt vo gii bi l vụ cựng quan trng, vy ngi giỏo viờn khụng ch n thun cung cp li gii m quan trng hn l dy cho cỏc em bit suy ngh tỡm ng hp lý gii bi toỏn nh nh toỏn hc Pụlia ó núi Tỡm c cỏch gii mt bi toỏn l mt iu phỏt minh. -Rèn kỹ giải tập tỉ lệ thức, biết cách định hớng biến đổi tỉ lệ thc cách thích hợp. Các tập tỉ lệ thức đa dạng, xin trình bày vài dạng thờng gặp trình giảng dạy. Dạng 1: lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trớc. ví dụ: lâp tỉ lệ thức từ đẳng thức: 6.63 =9.42 cho trớc: trớc đây, học thuộc lòng tính chất nên gặp tập này, em thờng mò mẩm đợc tỉ lệ thức lúng túng. để rèn luyền học sinh tránh tồn trên, dạy học sinh giải tập này, thờng cho em định hớng giải nh sau: + xác định số ngoại tỉ, số trung tỉ: Số ngoại tỉ là: 6, 63. Số trung tỉ 9, 42 số ngoại tỉ 9, 42, số trung tỉ 6, 63. 42 63 + áp dụng tính chất 2: 6.63 = 9.42 => = 42 áp dụng tính chất cách nhớ trình bày phần 63 63 42 63 lý thuyết, học sinh dễ dàng suy tỉ lệ lại: = ; = ; = 42 63 6 42 + tỉ số đợc thành lập = + lu ý em kiểm tra tích hai số ngoại tỉ có tích hai số trung tỉ hay không? Dạng 2: tìm x tỉ lệ thức ( tìm số hạng cha biết tỉ lệ thức) x ví dụ 1: tìm x tỉ lệ thức = ; học sinh giỏi, em giải 27 3,6 cách dễ dàng nhng em khác thờng mắc sai lầm em thực phép tính chia : -2 : 3,6 trớc sau tìm x, làm nh gặp phép chia không hết, toán rờm rà dễ dẫn đến sai số, số em quy đồng mẫu số. Đễ giải toán trên, định hớng cho em nh sau: x + từ = nêu số ngoại tỉ, số trung tỉ; + tỉ lệ thức muốn tìm số ngoại tỉ ta làm nh 27 3,6 nào?Muốn tìm số ngoại tỉ, ta lấy tích hai trung tỉ biết chia cho ngoại tỉ biết Tơng tự cho trờng hợp tìm số trung tỉ. x -2 (-2) . 27 = 3,6 x=(-2) . 27 => x= = 15 Nếu đề viết dới dạng: -0.52:x = -9,16:16,38 27 3,6 3,6 cách làm tơng tự nh trên. Khi có phơng pháp giải, hiểu biết cách làm, em hứng thú làm không ngại khó nữa. Qua thử nghiệm, thấy kết khả quan năm trớc, cụ thể học sinh lớp 7A5 gặp dạng tập em giải tơng đối tốt hơn, khoảng 33/39 đạt trung bình trở lên. Bên cạnh việc rèn kỹ trên, trọng đến việc khuyến khích em ôn kiến thức cũ, luyện kiến thức để sau không bị quên bên cạnh toán bản, cho em làm tập khó hơn. Ví dụ1 : cho tỉ lệ thức a c a-b c-d ; = với a, b, c, d 0. Chứng minh = b d a c Cách 1: học sinh thờng áp dụng tính chất 1để chứng minh a-b c-d thì(a - b).c=a(c- d) = a c Tuy nhiên giáo viên cần phải cho học sinh tập chứng minh tỉ lệ thức theo hớng khác tránh tình trạng giải tập cách cứng nhắc theo hớng mà cần rèn luyện trí thông minh sáng tạo trình biến đổi. Cách 2: ta đặt Ta có a c = = k suy a = kb, c= kd b d a b kb b b(k 1) k = = = (1) a kb kb k Từ (1) (2) suy c d kd d d (k 1) k = = = (2) c kd kd k a b c d a b c d ; Trong cách giải này, để chứng minh tỉ lệ thức , = = a c a c ta chứng minh hai tỉ số hai vế tỉ số thứ ba. Do ta đặt giá trị chung tỉ số tỉ lệ thức cho k, từ tính giá trị tỉ số tỉ lệ thức phải chứng minh theo k. Cách 3: a c a b a b = = = b d c d cd Vậy: a b a a b c d Trong cách này, ta hoán vị = = cd c a c trung tỉ tỉ lệ thức cho, sau ta sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau. Cuối cùng, lại hoán vị trung tỉ tỉ lệ thức đợc tạo để đến cách chứng minh. Cách 4: a c b d a b a b b d cd a b c d ; Vậy: . = nên = ; Ta có: = = = = = b d a c a a a a c c a c Trong cách này, ta cần biến đổi tỉ số vế trái tỉ lệ thức cần chứng minh thành vế phải. Đây cách thờng dùng để chứng minh tỉ lệ thức. Cách 5: ta có a c b d b d a b c d Trong cách này, từ tỉ lệ thức cho = = = = b d a c a c a c ta biến đổi dần thành tỉ lệ thức phải chứng minh cách hoán vị, tính chất đẳng thức. Ví dụ2 : cho a + d = b + c a2 + d2 = b2 + c2 (b, d 0). Chứng minh số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức. Giải: từ a + d = b + c suy (a + d)2 = (b + c)2 a2 + 2ad + d2 = b2 + 2bc + c2 (1) a b a2 + d2 = b2 + c2 nên từ (1) 2ad = 2bc hay ad = bc nên = c d Ta dựa vào tính chất: có số, mà tích hai số tích hai số số lập thành tỉ lệ thức. -Tuy nhiờn gii bi dng ny tụi khụng mun dng li nhng bi SGK m tụi mun gii thiu thờm mt s bi in hỡnh v mt s phng phỏp gii cỏc bi ú giỳp cho hc sinh lm quen mt s bi nõng cao, m rng v t l thc. Dạng I: Tìm giá trị biến tỉ lệ thức. x y Bài toán 1: Tìm hai số x y biết = x + y = 20 Giải: x y = =k , x=2k , y=3k ; theo giả thiết: x+y = 20 2k+3k = 20 5k = 20 k=4 ; Do đó: x = 2.4 = 8; y = 3.4 = 12 ; KL: x=8 , y=12 Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt Cách 2: ( Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau):áp dụng tính chất dãy tỉ số x y ta có: x = y = x+y = 20 =4 ; Do đó: = x = ; = y=12 ; KL: x=8 , y=12 2+3 Cách 3: (phuơng pháp thế) Từ giả thiết mà x+y=20 x y 2y = x= 3 2y 2.12 =8 ; KL: x = , y = 12 +y=20 5y=60 y=12 Do đó: x= 3 x y y z 2x-3y+z=6 Giải: = , = x y x y y z y z Cách 1: Từ giả thiết: = = (1) ; (2) = = 12 20 12 x y z Từ (1) (2) suy ra: = = (*) 12 20 x y z 2x 3y z 2x-3y+z Ta có: = = = = = = = =3 ; (áp dụng tính chất dãy tỉ số 12 20 18 36 20 18-36+20 z x y nhau) Do đó: = x = 27 ; = y = 36 ; =3 z=60 ; KL: x=27; y=36; z=60 12 20 Bài toán 3: Tìm x, y, z biết: x y z = = =k (sau giải nh cách VD1). 12 20 y z 3z = y= Cách 3: (phơng pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: ; 5 3z 9z 3z z 3. x y 3y 9z mà 2x-3y+z=6 2. -3. +z=6 =60 z=60 ; Suy ra: = x= = = 20 10 4 20 3.60 9.60 = 27 ; KL: x=27; y=36; z=60 y= = 36 , x = 20 Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt Bài toán 4: Tìm hai số x, y biết rằng: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt x y x.y=40 ; Giải: = x y = =k , suy x=2k , y=5k ; Theo giả thiết: x. y = 40 2k .5k = 40 10k = 40 k = k = + Với k = ta có: x=2.2=4 ; y=5.2=10 ; + Với k =-2 ta có: x=2.(-2)=-4 ; y=5.(-2)=-10 KL: x = , y = 10 x = , y = 10 Cách 2: ( sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Hiển nhiên x ; Nhân hai vế x y với x ta đợc: x = xy = 40 = x = 16 x = = 5 + Với x = ta có y 4.5 = y= = 10 ; + Với x = ta có y 4.5 = y= = 10 KL: x = , y = 10 x = , y = 10 Cách 3: (phơng pháp thế) làm tơng tự cách ví dụ Bài toán 5: Tìm x, y, z biết a) 3x = 5y = 8z x + y + z = 158 b)2x = 3y; 5y = 7z 3x + 5z - 7y = 60 c) 2x = 3y = 5z x + y - z = 95 Giải: Đối với toán khác lạ so với toán trên. Song nhắc em lu ý đến thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức hai tích đến tính chất đẳng thức. Từ em có hớng giải chọn lời giải cho phù hợp. Cách 1: Dựa vào thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức hai tích ta có lời giải sau: Ta có: 3x = 5y 5y = 8z y y y x x x = . = . hay = 5 8 40 24 y z y z y x+ y+ z z x y z 158 = . = . hay = = = = = =2 8 24 15 40 24 15 40 + 24 + 15 79 x = 40 . = 80; y = 24 . = 48; z = 15 . = 30; Vậy x = 80; y = 48; z = 30 Cách 2: Dựa vào tính chất phép nhân đẳng thức. Các em biết tìm bội số chung nhỏ 3; 5; 8. Từ em có lời giải toán nh sau: ta có BCNN(3; 5; 8) = 120 Từ 3x = 5y = 8z 3x. 1 y x+y+z x z 158 = 5y. = 8z. = = = =2 Hay = 120 120 120 40 24 15 40 + 24 + 15 79 (Tơng tự nh có .) Vậy x = 80; y = 48; z = 30 Cách 3: Tôi đặt vấn đề: Hãy viết tích hai số thành thơng. Điều hớng cho em tìm cách giải sau: Từ 3x = 5y = 8z x = y x +y +z x z 158 = = = = = 240 1 1 1 79 + + 8 120 1 .240 = 80 ; y = .240 = 48 ; z = .240 = 30 ; Vậy x = 80; y = 48; z = 30 Qua ba hng giải trên, giúp em có công cụ để giải toán từ em lựa chọn lời giải phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ giúp em phát huy thêm h ớng giải khác vận dụng để giải phần b c. Để giải đợc phần b có điều khác phần a chút yêu cầu em phải có t chút để tạo lên tích trung gian nh sau: + Từ 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1) + Từ 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2) Từ (1) (2) ta có: 10x = 15y = 21z y 3x + z y x z 60 = = = = = 840 1 1 1 15 3. + 5. 7. 10 15 21 10 21 15 210 1 .840 = 56 ; z = .840 = 84 ; y = .840 = 40 15 10 21 Vậy x = 84; y = 56; z = 40. Kết thu đợc: Các em tìm hng giải cho phần c tự cho đợc ví dụ dạng toán này. Bài toán 5. Tìm x, y, z biết x= a) x y z = = x + y z = 12 ; y2 z3 b) x = = x + 3y z = 50 Để tìm đợc lời giải toán cho em nhận xét xem làm để xuất đợc tổng x + 2y - z = 12 2x + 3y - z = 50 hoặc2x + 3y- 5z =10 Với phơng pháp phân tích, hệ thống hoá giúp cho em nhìn có hớng cụ thể. Cách 1: Dựa vào tính chất phân số tính chất dãy số có lời giải toán nh sau: a) Ta có : x-1 y-2 z-2 2(y-2) 2y-4 x-1+2y-4-(z-2) x+2y-z-3 12-3 = = = = = = = =1 2.3 5+6-2 9 x - = x = 6; y - = y = 5; z - = z =4 Cách 2: Dùng phơng pháp đặt giá trị tỷ số ta có lời giải sau: Đặt x y z = = = k x - = 5k x = 5k + 1; y - = 3k y = 3k + 2; z - = 2k z = 2k + 2; Ta có: x + 2y - z = 12 2k + + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12; 9k + = 12; k = 1; Vậy x = . + = 6; y = . + = 5; z = . + = Với phơng pháp cụ thể hớng em vận dụng để tự giải phần (b) toán 5. y+ z +1 x+ z + x+ y3 = = = x y z x+y+z Bài toán 6: Tìm x, y, z biết rằng: Đối với toán khác lạ. Vậy ta phải khởi đầu từ đâu? từ kiến thức nào? Điều yêu cầu em phải t có chọn lọc để xuất x + y + z. Tôi gợi ý cho em từ ba tỷ số đầu để xuất dãy tỷ số có lời giải toán nh sau: Giải: Điều kiện: x, y, z ; Ta có: y + z + x + z + x + y y + z + + x + z + + x + y 2( x + y + z ) = = = = =2 x y z x+ y+ z x+ y+ z 1 =2 x+y+z = = 0,5 x+y = 0,5 - z y + z = 0,5 - x x + z = 0,5 - y x+y+z Thay giá trị vừa tìm x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có: +) +) +) y+z+1 0,5-x+1 =2 = 0,5-x+1=2x ;1,5=3 x = 0,5 x x x+z+2 0,5-y+2 = 2,5-y = 2y 2,5 = 3y y = y y x+ y3 0,5 z = = -2,5 - z = 2z -2,5 = 3z z = z z Vậy (x; y; z) = ( 0,5; 5 ;- ) 6 Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm số x, y, z biết rằng: x y z x + y z = 28 = = 10 21 2x 3y 4z c) x+y+z=49 = = a) e) b) x y y z = , = 2x+3y-z = 124 d) x = y xy = 54 x y = x -y =4 f) x y z = = =x+y+z y+z+1 z+x+1 x+y-2 Bài 2: Tìm số x, y, z biết rằng: a) 3x=2y; 7y=5z x-y+z=32 c) 2x=3y=5z x+y-z=95 x-1 y-2 z-3 2x+3y-z=50 = = x y z d) = = xyz=810 b) Với phng pháp trên, phng pháp giảng dạy học sinh giỏi môn toán làm cho em t tốt, rèn luyện đợc ý thức tự tìm tòi độc lập suy nghĩ để nhớ kỹ, nhớ lâu sáng tạo giải toán đạt hiệu cao. Đó công cụ giải toán học sinh. Ngoài phơng pháp công cụ đặc biệt quan trọng cho em giải dạng toán có lời văn phần đại lợng tỷ lệ thuận, đại lợng tỷ lệ nghịch, dạng toán chia tỉ lệ. Dạng II. Các toán đại lợng tỷ lệ thuận, đại lợng tỷ lệ nghịch, chia tỉ lệ. Bài toán 1: Học sinh lớp 7A đợc chia thành ba tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ3 tỉ lệ với 2; 3; 4. Tìm số học sinh tổ lớp 7A biết số học sinh lớp 7A 45 học sinh. Giải: Gọi số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ lần lợt x, y, z ( x, y, z N* ) x y z Theo đầu ta có : = = x + y + z = 45; áp dụng tính chất dãy tỉ số x y z x + y + z 45 ta có: = = = z = . = 20 = = ; x = . = 10; y = . = 15; + 3+ Vậy số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ lần lợt l: 10; 15; 20 học sinh 8 Bài toán 2: Chia số 136 thành phần tỉ lệ nghịch với ; ; ? Giải: Gọi phần đợc chia số 136 x; y; z ( x; y; z > 0) 8 Theo đề ta có: x = y = z (1) x+ y + z = 136 (1) Chia tỷ số (1) cho BCNN ( 8; ) = 40 ta có: x y z x+y+z 136 = = = = =1 35 45 56 35+45+56 136 x = 35 . = 35; y = 45 . = 45; z = 56 . = 56; Vậy phần đ ợc chia số 136 là: 35; 45; 56 Bài toán 3: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 72 chữ số xếp từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với 1; 2; 3. giải: Gọi a, b, c chữ số phải tìm xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có: a b c a+b+c (1) Vì số phải tìm bội 72 nên a+b+cM9 ; = = = Mà a+b+c 27 a+b+c {9,18, 27} (2) Từ (1) suy a + b + c (3) Từ (2) (3) suy a+b+c=18 suy ra: a=3.1=3; b=3.2=6; c=3.3=9 Vì số cần tìm chia hết ta có số 936 thoả mãn điều kiện đầu bài. Ngoài việc hng dẫn học sinh tìm tòi lời giải khác cho toán, hớng dẫn học sinh cách khai thác toán cách thay đổi số liệu, kiện để có toán với phơng pháp giải tơng tự. Dạng III: Tính giá trị biểu thức. Bài toán 1: Biết x y z x-3y+2z = = =4 . Tính A = a b c a-3b+2c Giải: áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 10 x y z 3y 2z x-3y+2z = = = = = =4 Vậy A = a b c 3b 2c a-3b+2c x+2y-3z Bài toán 2: Cho P= Tính giá trị biểu thức P biết số x, y, z lần lợt tỉ lệ với 5; x-2y+3z Ta có: 4; Giải: Theo đầu ta có: x+2y-3z x y z y z x + y z x y + z x + y z x y + 3z = = = = = = = = = P= x-2y+3z 5+89 +9 Bài toán 3: Ba số a, b, c khác khác thoả mãn điều kiện a b c b+c a+c a+b Chứng minh giá trị biểu thức M = = = = = =-3 b+c a+c a+b a b c a b c a b c a+b+c a+b+c a+b+c Giải:Ta có: Suy : = = +1= +1= +1 = = b+c a+c a+b b+c a+c a+b b+c a+c a+b Mặt khác: a, b, c số khác khác nên đẳng thức xảy a + b + c = Suy ra: a + b = - c; b + c = - a; a + c = - b Thay vào biểu thức M ta có:M = -a -b -c = = =(-1)+(-1)+(-1)=-3 a b c (đpcm) 4.Hiu qu ca gii phỏp: Vi phng phỏp thc hin nh trờn hc sinh ó t tỡm kin thc mt cỏch c lp tớch cc.Do ú hc sinh hng thỳ, hiu bi sõu sc t ú dng tt cỏc phng phỏp trờn gii cỏc bi toỏn v dng bi toỏn cú liờn quan n tỉ lệ thức. Đặc biệt với toán đa em tìm tòi nhiều cách giải khác lựa chọn cách giải tối u để làm. Qua dy i chng v kim tra tụi thy cht lng hc c nõng lờn mt cỏch rừ rt, s hc sinh yờu thớch toỏn ngy cng nhiu, hc sinh ngy cng hng say hc v thu c kt qu tng i kh quan. Lớp Trớc thực gii phỏp 7A2 Giỏi: / 38 21,1% Khá: 10 / 38 33,3% Trung bình: 17/38 44,7% Yếu: / 38 16 % Kém: 0% 7A5 Gii: / 39 2,5% Khá: / 39 15,4% Trung bình: 12/39 30,8% Yếu : 14 35.9 % Kém: 15,4% Sau thực gii phỏp Giỏi: 12/ 38 31,6% Khá: 10 / 38 26,3% Trung bình: 16/38 42,1% Yếu : 0% Kém: 0% Giỏi: 5/ 39 12,8% Khá: 13 / 39 33,3% Trung bình: 15/39 38,5% Yếu : 15,4% Kém: 0% III.KT LUN 1.í ngha gii phỏp: 11 Trong giai on mi hin nay, i mi phng phỏp ging dy l nhim v ht sc quan trng , bn thõn tụi mong mun lm th no nõng cao cht lng ca hc sinh nờn tụi c gng tỡm tũi v ng dng nhng cỏi mi . Để làm tốt đợc tập dạng Tỉ lệ thứcnày học sinh cần phải nắm kiến thức nh : Định nghĩa, tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nhau. Đối với ngời thầy Phải nghiên cứu kỹ mục tiêu dạng toán cần truyền tải đến học sinh . Qua nghiên cứu kỹ tài liệu liên quan , có định hớng rõ ràng , thảo luận tổ chuyên môn trao đổi đồng nghiệp tìm giải pháp tối u, triển khai, rút kinh nghiệm qua cụ thể, bổ sung kiến thức qua tài liệu, tạp trí toán học, đề thi học sinh giỏi hàng năm. Đối với học sinh cần khơi dậy niềm hứng thú đam mê qua tiết học, tập cụ thể, hoàn thành tập đợc giao trao đổi thẳng thắn trực tiếp phần kiến thức mà lĩnh hội đợc, khó khăn vớng mắc thực phần tập đợc giao, trao đổi thông tin với bạn học qua rút phơng pháp học tập phù hợp để đạt đợc kết cao .Tuy nhiên trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức vào cho phù hợp có nh đạt đợc hiệu tốt. 2.Bi hc kinh nghim: Trên l mt s dạng toán thờng gặp chơng trình toán THCS. Mỗi dạng toán có đặc điểm khác chia nhỏ dạng dạng trên. Việc phân dạng nh giúp học sinh dễ tiếp thu thấy đợc toán ta nên áp dụng kiến thức cho phù hợp. Mỗi dạng toán chọn số toán điển hình để học sinh hiểu cách làm, song sau gii giỏo viờn nờn ch mt c im, mt hng gii quyt no ú gp cỏc bi tng t hc sinh cú th liờn h c từ để làm tập mang tính tơng tự dần nâng cao lên. Trong trình làm dạng toán đặc biệt ý đến nội dung toán có xếp theo trình tự từ dễ đến khó dạng phong phú, đa dạng nhằm cung cấp cho học sinh lợng kiến thức phù hợp với khả nhận thức có phát triển khả t lôgíc. Bờn cnh ú mi giỏo viờn phi khụng ngng n lc nm bt kp thi theo yờu cu i mi phng phỏp ging dy, tham kho cỏc ti liu liờn quan n bi ging, cng c nõng cao chuyờn mụn nghip v, ging dy hay bi dng mt no ú cú th t xõy dng cho mỡnh mt h thng phng phỏp ging dy phự hp. 3.í kin xut: Xu hng hin i hoỏ giỏo dc ng dng cụng ngh thụng tin vo ging dy ang c chỳ trng, mi giỏo viờn thc hin dy giỏo ỏn in t thỡ phi mt nhiu thi gian chun b phũng dy. Vy ngh cỏc cp trờn quan tõm v u t nh trng cú nhng phũng b mụn phc v cho cụng tỏc ging dy tt hn. Bờn cnh ú sỏch tham kho trng cũn hn ch c v cht lng ln s lng u sỏch, cha ỏp ng c nhu cu ca giỏo viờn v hc sinh. ngh phũng giỏo dc, nh trng u t thờm. Vic i mi phng phỏp dy hc theo chiu hng tớch cc phỏt huy tớnh c lp sỏng to ca hc sinh khụng th chốc lỏt m c mt quỏ trỡnh lõu di. Mc tiờu cui cựng l hng dn hc sinh bit gii toỏn, hc toỏn v bit dng toỏn hc vo cỏc b mụn khỏc cng nh vo thc t. Đề tài đề cập đến vấn đề nhỏ trình bồi dỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, theo mảng kiến thức trọng tâm chơng trình toán lớp 7. 12 Trờn õy l mt vi kinh nghim nh ca bn thõn tụi t rỳt dy phn tỉ lệ thức, cựng vi s gúp ý ca ng nghip hy vng rng ti ca tụi s gúp phn tng thờm hiu qu hc ca hc sinh . Do kh nng v kinh nghim cha nhiu nờn khụng trỏnh nhng thiu xút, rt mong nhn c s quan tõm gúp ý ca ng nghip v hi ng khoa hc cỏc cp nhng nm ti đề tài t kt qu tt hn. Tụi xin trõn thnh cm n ! Bo Lc, ngy 20 thỏng nm 2014 Tỏc gi: Hunh Bo Ngc TI LIU THAM KHO 1. Sỏch giỏo khoa toỏn - (NXBGD 2003) 2. Sỏch giỏo viờn toỏn - (NXBGD 2003) 3. Sỏch bi toỏn - (NXBGD 2003) 4. Nõng cao v phỏt trin toỏn 7- 1- V HU BèNH (NXBGD - 2004) 5. Nhng chung v i mi giỏo dc Trung hc c s mụn Toỏn 2007) 6. Toỏn hc tui tr (NXBGD - B GDT) 7. Kin thc c bn v nõng cao Toỏn 7-tp 1( NXB H Ni-2008) 13 (NXBGD [...]... làm tốt đợc bài tập dạng Tỉ lệ thứcnày học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức cơ bản nh : Định nghĩa, tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Đối với ngời thầy Phải nghiên cứu kỹ mục tiêu của dạng toán cần truyền tải đến học sinh Qua đó nghiên cứu kỹ các tài liệu liên quan , có định hớng rõ ràng , thảo luận tổ chuyên môn và trao đổi đồng nghiệp tìm ra giải pháp tối u,... trong từng bài toán ta nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp Mỗi dạng toán tôi chọn 1 số bài toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm, song sau khi gii giỏo viờn nờn ch ra mt c im, mt hng gii quyt no ú khi gp cỏc bi tng t hc sinh cú th liờn h c và từ đó để làm các bài tập mang tính tơng tự và dần nâng cao lên Trong quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội dung các bài toán có sự... a-3b+2c x+2y-3z Bài toán 2: Cho P= Tính giá trị của biểu thức P biết các số x, y, z lần lợt tỉ lệ với 5; x-2y+3z Ta có: 4; 3 Giải: Theo đầu bài ta có: x+2y-3z 4 x y z 2 y 3 z x + 2 y 3 z x 2 y + 3 z x + 2 y 3 z x 2 y + 3z = = = = = = = = = P= x-2y+3z 6 5 4 3 8 9 5+89 5 8 +9 4 6 Bài toán 3: Ba số a, b, c khác nhau và khác 0 thoả mãn điều kiện a b c b+c a+c a+b Chứng minh giá trị của biểu thức M = =... triển khai, rút kinh nghiệm qua từng bài cụ thể, bổ sung kiến thức qua các tài liệu, tạp trí toán học, các đề thi học sinh giỏi hàng năm Đối với học sinh cần khơi dậy niềm hứng thú đam mê qua từng tiết học, bài tập cụ thể, hoàn thành các bài tập đợc giao trao đổi thẳng thắn trực tiếp phần kiến thức mà mình đã lĩnh hội đợc, những khó khăn vớng mắc khi thực hiện phần bài tập đợc giao, trao đổi những thông... ra kin thc mt cỏch c lp tớch cc.Do ú hc sinh hng thỳ, hiu bi sõu sc t ú vn dng tt cỏc phng phỏp trờn gii cỏc bi toỏn v dng bi toỏn cú liờn quan n tỉ lệ thức Đặc biệt với mỗi bài toán đa ra các em luôn tìm tòi nhiều cách giải khác nhau và lựa chọn cách giải tối u nhất để làm Qua dy i chng v kim tra tụi thy cht lng hc tp c nõng lờn mt cỏch rừ rt, s hc sinh yờu thớch toỏn ngy cng nhiu, hc sinh ngy cng... giao, trao đổi những thông tin với bạn học qua đó rút ra phơng pháp học tập phù hợp để đạt đợc kết quả cao Tuy nhiên trong quá trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức trên vào từng bài cho phù hợp có nh vậy mới đạt đợc hiệu quả tốt 2.Bi hc kinh nghim: Trên đây l mt s dạng toán thờng gặp trong chơng trình toán THCS Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng... tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những mảng kiến thức rất trọng tâm của chơng trình toán lớp 7 12 Trờn õy l mt vi kinh nghim nh ca bn thõn tụi t rỳt ra khi dy phn tỉ lệ thức, cựng vi s gúp ý ca ng nghip hy vng rng ti ca tụi s gúp phn tng thờm hiu qu hc tp ca hc sinh Do kh nng v kinh nghim cha nhiu nờn khụng... giá trị của biểu thức M = = = = = =-3 b+c a+c a+b a b c a b c a b c a+b+c a+b+c a+b+c Giải: Ta có: Suy ra : = = +1= +1= +1 = = b+c a+c a+b b+c a+c a+b b+c a+c a+b Mặt khác: a, b, c là 3 số khác nhau và khác 0 nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b + c = 0 Suy ra: a + b = - c; b + c = - a; a + c = - b Thay vào biểu thức M ta có:M = -a -b -c = = =(-1)+(-1)+(-1)=-3 a b c (đpcm) 4.Hiu qu ca gii phỏp:... tơng tự và dần nâng cao lên Trong quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội dung các bài toán có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó và các dạng rất phong phú, đa dạng nhằm cung cấp cho học sinh lợng kiến thức phù hợp với khả năng nhận thức và có sự phát triển khả năng t duy lôgíc Bờn cnh ú mi giỏo viờn phi khụng ngng n lc nm bt kp thi theo yờu cu i mi phng phỏp ging dy, tham kho cỏc . thiếu ở môn đại số lớp 7. Việc giải bài toán về tỉ lệ thức là một dạng toán hay, với mong muốn cung cấp cho các em một số phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ thức, giúp các em làm bài tập tốt. toỏn l mt iu phỏt minh. -Rèn kỹ năng giải các bài tập cơ bản về tỉ lệ thức, biết cách định hớng biến đổi các tỉ lệ thc một cách thích hợp. Các bài tập về tỉ lệ thức rất đa dạng, tôi xin trình bày. sai số, còn 1 số em thì quy đồng mẫu số. Đễ giải bài toán trên, tôi đã định hớng cho các em nh sau: + từ 2 27 3,6 x = nêu số ngoại tỉ, số trung tỉ; + trong tỉ lệ thức muốn tìm số ngoại tỉ ta