Một số phương pháp giải các bài toán về chia hết trong tập n

MC LC PHN TH NHT A.M u Lớ chn ti Mc ớch nghiờn cu Nhim v nghiờn cu i tng nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu PHN TH HAI B Ni dung I Thc trng ca nghiờn cu I.1 c im tỡnh hỡnh lp I.2 Nguyờn nhõn II Bin phỏp gii quyt nghiờn cu II.1 nh ngha,tớnh cht,du hiu chia ht II.2 Phng phỏp gii cỏc bi toỏn v chia ht II.3 Mt s dng bi toỏn v chia ht III Kt qu nghiờn cu PHN TH BA Kt lun v khuyn ngh I Kt lun II Bi hc kinh nghim III Khuyn ngh TI TIU THAM KHO 2 3 3 4 4 5 14 26 28 28 28 28 29 30 M U Lý chn ti: a C s lớ lun: Toỏn hc l mt mụn khoa hc gõy nhiu hng thỳ cho hc sinh, nú l mt mụn hc khụng th thiu quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v c cuc sng hng ngy Mt nh toỏn hc ó núi: Toỏn hc c xem nh l mt khoa hc chng minh Trong cỏc mụn hc ph thụng toỏn hc c coi nh l mt mụn hc c bn, l nn tng cỏc em phỏt huy c nng lc bn thõn, gúp phn to iu kin cỏc em hc tt cỏc mụn khoa hc t nhiờn khỏc Vy dy nh th no hc sinh khụng nhng nm chc kin thc c bn mt cỏch cú h thng m phi c nõng cao phỏt trin cỏc em cú hng thỳ say mờ hc l mt cõu hi m mi thy cụ luụn t cho mỡnh Tuy nhiờn hc tt mụn toỏn thỡ ngi giỏo viờn phi bit cht lc ni dung kin thc, phi i t d n khú, t c th n tru tng v phỏt trin thnh tng quỏt giỳp hc sinh cú th phỏt trin t toỏn hc, lm cho cỏc em tr nờn yờu thớch toỏn hn t ú cỏc em cú ý thc hc m bo yờu cu ca thi i mi b C s thc tin: L mt giỏo viờn dc phõn cụng ging dy lp 6A, 6C vi nhiu i tng hc sinh khỏ gii, cỏc em cú t nhy bộn v nhu cu hiu bit ngy cng cao, lm th no phỏt huy c ht kh nng ca cỏc em ú l trỏch nhim ca mi ngi giỏo viờn Qua ging dy chng trỡnh toỏn lp tụi nhn thy ti v phộp chia ht l mt ti tht lý thỳ, phong phỳ a dng khụng th thiu mụn s hc lp Vic gii bi toỏn chia ht l mt dng toỏn hay, vi mong mun cung cp cho cỏc em mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v chia ht, giỳp cỏc em lm bi tt hn nhm tớch cc hoỏ hot ng hc tp, phỏt trin t duy, ú nm hc ny tụi chn ti: Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v chia ht N thc hin chng trỡnh toỏn lp Mc ớch nghiờn cu: - Cỏc phng phỏp thng dựng gii cỏc bi toỏn v phộp chia ht - Rốn k nng dng kin thc gii bi toỏn v phộp chia ht - Cng c v hng dn hc sinh lm bi Nhim v nghiờn cu: - Nhim v khỏi quỏt: Nờu nhng phng phỏp gii bi toỏn chia ht theo chng trỡnh mi - Nhiờm v c th: - Tỡm hiu thc trng hc sinh - Nhng phng phỏp thc hin - Nhng chuyn bin sau ỏp dng - Bi hc kinh nghim i tng nghiờn cu - ti nghiờn cu qua cỏc tit dy v phộp chia ht N, SGK toỏn 1, qua nh hng i mi phng phỏp dy toỏn - i tng kho sỏt: HS lp 6A, 6C trng THCS Cao Viờn Phng phỏp nghiờn cu: - Phng phỏp nghiờn cu ti liu SGK, sỏch tham kho - Phng phỏp kim tra, thc hnh - Phng phỏp phỏt vn, m thoi nghiờn cu - Tng kt kinh nghim ca bn thõn v ca ng nghip dy phn phộp chia ht PHN TH HAI NI DUNG I THC TRNG CA VN NGHIấN CU I.1 c im tỡnh hỡnh lp: Lp 6A, 6C cú s lng hc sinh khụng ng u v mt nhn thc gõy khú khn cho giỏo viờn vic la chn phng phỏp phự hp Nhiu hc sinh cú hon cnh khú khn ú vic u t v thi gian v sỏch v b hn ch v nh hng khụng nh n nhn thc v s phỏt trin t ca cỏc em a s cỏc em hay tho hc tp, cỏc em cho rng ch cn hc thuc lũng cỏc kin thc SGK l Chớnh vỡ vy m cỏc em tip thu kin thc mt cỏch th ng, khụng t my mũ, khỏm phỏ kin thc mi, hu ht cỏc em u hp gii cỏc bi dng ny VD: Li gii ca em Lờ Th Thu - Lp 6A (Bi 85 trang 36 SGK NXBGD 2002) p dng tớnh cht chia ht xột xem tng (560 + 18 + 3) cú chia ht cho khụng? HS gii: Ta cú 560 chia ht cho 18 khụng chia ht cho khụng chia ht cho nờn (560 + 18 + 3) khụng chia ht cho Li gii ỳng: Ta cú 560M7 (18 + 3) M7 Suy (560 + 18 + 3) M7 (Hc sinh mc sai lm cha hiu rừ tớnh cht chia ht: Nu mt tng cú s hng khụng chia ht cho s thỡ cha th kt lun c tng ú cú chia ht cho s ú hay khụng) Qua mt thi gian tụi ó tin hnh iu tra c bn v thu c kt qu nh sau: + Lp 6A: S em li hc bi, li lm bi chim khong 50%, s hc sinh nm c kin thc v bit dng vo bi chim khong 30% + Lp 6C: S em li hc bi, li lm bi chim khong 85%, s hc sinh nm c kin thc v bit dng vo bi chim khong 10% I.2 Nguyờn nhõn: Nguyờn nhõn ca trờn l cỏc em cha cú ý thc t giỏc hc tp, cha cú k hoch thi gian hp lý t hc nh, hc cũn mang tớnh cht ly im, cha nm vng hiu sõu kin thc toỏn hc, khụng t ụn luyn thng xuyờn mt cỏch h thng, khụng chu tỡm tũi kin thc mi qua sỏch nõng cao, sỏch tham kho, cũn hin tng du dt khụng chu hc hi bn bố, thy cụ ng trc thc trng trờn tụi thy cn phi lm th no khc phc tỡnh trng trờn nhm nõng cao cht lng hc sinh, lm cho hc sinh thớch hc toỏn hn Vy tụi thit ngh ti ca tụi nghiờn cu v ny l bc i ỳng n vi tỡnh trng v sc hc ca hc sinh hin II BIN PHP GII QUYT VN NGHIấN CU t c hiu qu gii cỏc bi toỏn núi chung v gii cỏc bi toỏn v chia ht núi riờng, tụi ó rốn cho hc sinh ghi nh khỏi nim, cụng thc, nh ngha, quy tc ỏp dng gii mt s bi toỏn dng ny II.1 TRC TIấN HC SINH PHI NM VNG NH NGHA TNH CHT, DU HIU CHIA HT nh ngha: Cho hai s t nhiờn a v b (b 0), nu cú s t nhiờn x cho b.x = a thỡ ta núi a chia ht cho b v ta cú phộp chia ht a: b = x Tớnh cht ca quan h chia ht + S chia ht cho mo s b + S a chia ht cho a vi mi a + Nu a chia ht cho bv b chia ht cho c thỡ a chia ht cho c + Nu a chia ht cho b v b chia ht cho a thỡ a = b + Nu a chia ht cho b v a chia ht cho c m (b, c) =1 thỡ a chia ht cho b.c + Nu a b chia ht cho m v (b, m) = thỡ a chia ht cho m + Nu a.b chia ht cho m v m l s nguyờn t thỡ a chia ht cho m hoc b chia ht cho m + Nu a chia ht cho m v b chia ht cho n thỡ a.b chia ht cho m.n + Nu a chia ht cho m v b chia ht cho m thỡ (a b) chia ht cho m + Nu a chia ht cho m v b khụng chia ht cho m thỡ (a b) khụng chia ht cho m + Nu a chia ht cho m thỡ a n chia ht cho m (n N) +Nu a chia ht cho b thỡ a n chia ht b n (n N) Cỏc du hiu chia ht a Du hiu chia ht cho 2: Mt s chia ht cho ch s tn cựng ca s ú l s chn b Du hiu chia ht cho 5: Mt s chia ht cho ch s tn cựng ca s ú bng hoc c Du hiu chia ht cho 3(hoc 9) Mụt s chia ht cho (hoc 9) tng cỏc ch s ca s ú chia ht cho (hoc 9) Chỳ ý: Mt s chia ht cho (hoc 9) d bao nhiờu thỡ tng cỏc ch s ca nú chia (hoc 9) d by nhiờu v ngc li d Du hiu chia ht cho 4(hoc 25) Mt s chia ht cho (hoc 25) hai ch s tn cựng ca s ú chia ht cho (hoc 25) e Du hiu chia ht cho (hoc125) Mt s chia ht cho (hoc 125) ba ch s tn cựng ca s ú chia ht cho (hoc 125) f Du hiu chia ht cho 11 Mt s chia ht cho 11 hiu gia tng cỏc ch s hng l v cỏc ch s hng chn (t trỏi sang phi) chia ht cho 11 Sau hc sinh ó nm chc c lý thuyt thỡ vic dng lý thuyt vo gii bi l vụ cựng quan trng, vy ngi giỏo viờn khụng ch n thun cung cp li gii m quan trng hn l dy cho cỏc em bit suy ngh tỡm ng hp lý gii bi toỏn nh nh toỏn hc Pụlia ó núi Tỡm c cỏch gii mt bi toỏn l mt iu phỏt minh Tuy nhiờn gii bi dng ny tụi khụng mun dng li nhng bi SGK m tụi mun gii thiu thờm mt s bi in hỡnh v mt s phng phỏp gii cỏc bi ú II.2 PHNG PHP GII CC BI TON V CHIA HT Phng phỏp 1: Da vo nh ngha phộp chia ht chng minh s a chia ht cho s b (b 0) ta biu din a di dng tớch, ú cú tha s bng b (hoc chia ht cho b) Bi 1: Cho n N, chng minh rng (5n) 100 chia ht cho 125 Gii : Ta cú : (5n) 100 = 100 n 100 = 53.597.n100 = 125.597.n100 M125 Vy (5n) 100 chia ht cho 125 Bi 2: Chng minh s abcabc chia ht cho 143 Gii: Ta cú: abcabc = 1001 abc = 7.11.13 abc =143.(7 abc ) M143 Vy abcabc chia ht cho 143 Bi 3: Chng minh rng: S = (5 + 52 + 53 + + 599 + 5100 ) chia ht cho Gii: Ta cú S = (5 + 52 + 53 + + 599 + 5100 ) = (5 + 52 ) + (53 + 54 ) + + (599 + 5100 ) = 5(1 + 5) + 53 (1 + 5) + + 599 (1 + 5) = 5.6 + 53.6 + + 599.6 = 6.(5 + 53 + + 599 ) M6 Phong phỏp 2: Da vo tớnh cht ca quan h chia ht * Dựng tớnh cht chia ht ca mt tng, hiu - chng minh a chia ht cho b ta biu din s a di dng mt tng ca nhiu s hng ri chng minh tt c cỏc s hng ú u chia ht cho b - chng minh a khụng chia ht cho b ta biu din s a di dng mt tng ca nhiu s hng ri chng minh cú mt s hng khụng chia ht cho b cũn tt c cỏc s hng cũn li u chia ht cho b Bi 1: Chng minh rng: Tng ca s l liờn tip chia ht cho nhng khụng chia ht cho Gii: Gi s l liờn tip l: 2n+1; 2n+3 ; 2n+5 (n N) Tng ca s ú l: a = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 6n+ = 6n + + Suy a chia ht cho (vỡ s hng ca a u chia ht cho 3) Mt khỏc: 6n M6 v M6 nhng khụng chia ht cho Do ú a khụng chia ht cho Vy tng ca s l liờn tip chia ht cho nhng khụng chia ht cho Bi 2: Tỡm s t nhiờn n cho: a n + chia ht cho n b 2n + chia ht cho n+1 Gii: Cn c vo tớnh cht chia ht ca mt tng (hiu) ta cú th rỳt phng phỏp chung gii dng ny da vo nhn xột sau: Nu A MB thỡ (mA + nB) hoc (mA - nB) MB (m, n) a) Vỡ (n + 2) M(n 1) suy [(n+ 2) (n 1)}] M(n 1) Hay 3M(n 1) Do ú (n 1) (3) = {1 ; 3} + Nu n = thỡ n = + Nu n = thỡ n = Vy vi n = 2; thỡ (n+2) M(n 1) b) Vỡ (2n + 7) M(n + 1) suy [( 2n + 7) 2(n + 1)] M(n + 1) hay M(n + 1) Do ú (n+ 1) (5) = {1 ; 5} + Nu n+ = thỡ n = + Nu n + = thỡ n = Vy vi n = 0; thỡ (2n + 7) M(n + 1) Bi 3: Chng minh tng ca s t nhiờn liờn tip luụn chia ht cho Gii: Gi s t nhiờn liờn tip l: n; n + 1; n + Tng ca s t nhiờn ú l: n + (n + 1) + (n + 2) = (n + n + n) + (1 + 2) = 3n + chia ht cho (Tớnh cht chia ht ca mt tng) T bi ny giỏo viờn cú th a tỡnh hung: Cú phi tng ca n s t nhiờn liờn tip luụn chia ht cho n khụng? Qua ú gi cho hc sinh trớ tũ mũ a tỡnh cú cn gii quyt Sau ú giỏo viờn gi ý cho hc sinh qua bi sau: Bi 4: Tng ca s t nhiờn liờn tip cú chia ht cho hay khụng? Gii: Gi s t nhiờn liờn tip l: n; n + 1; n + 2; n + Tng ca s t nhiờn liờn tip ú l: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = (n + n + n + n) + (1+ +3) = 4n + Ta cú: 4n chia ht cho khụng chia ht cho Suy (4n + 6) khụng chia ht cho Vy tng ca n s t nhiờn liờn tip cha chc chia ht cho n * Dựng tớnh cht chia ht ca mt tớch a chng minh s a chia ht cho s b (b 0) ta cú th biu din s b di dng tớch b = m.n + Nu (m, n) = thỡ tỡm cỏch chng minh a Mm v a Mn lỳc ú a Mm.n tc l a Mb + Nu (m, n) thỡ ta biu din s a thnh tớch a = a a ri chng minh a Mm; a Mn thỡ a a Mm.n tc l a Mb Bi 5: Chng minh rng tớch ca s chn liờn tip luụn chia ht cho Gii: Gi s chn liờn tip l: 2n, 2n + 10 KL: Vậy 4343 - 1717 chia hết cho Bài 3: Cho A = + 22 + 23+ + 260 Chứng minh rằng: A chia hết cho 3; 15 Gii Ta có: A =2 + 22 + 23+ + 260 A = 2(1+2) + 23 (1+2) + + 259 (1 + 2) = (2 + 22 + 23+ + 259) A = (2 + 22 + 23+ + 259) chia hết cho Ta có A = + 22 + 23+ + 260 A = (1 + + 22) + 24 (1 + + 22) + + 258 (1 + + 22) A = 2.7 + 24.7 + + 258.7 A = 7(2 + 24 + + 258) chia hết cho Ta có A = (1 + + 2+ 23) + 25(1 + + 22 + 23) + +257(1 + + 22 + 23) A = 15 + 25.15 + + 257.15 A = 15(2 + 25 + + 257) chia hết cho 15 KL: Vậy A chia hết cho 3, 15 * Bài tập tơng tự: Bài 1: Cho B = + 33 + 35 + + 31991 Chứng minh B chia hết cho 13 41 Bài Cho C = 119 + 118 + 11 + + 11 + Chứng minh C chia hết cho Bài Chứng minh A chia hết cho B với A = 13 + 23 + 33 + + 993 + 1003 B = + + + + 99 + 100 Dạng 3: Chứng minh chia hết biểu thức chứa chữ 20 Bài 1: Chứng minh rằng: n3 - n chia hết cho với n s t nhiờn * Cách 1: Vì (2, 3) = nên cần chứng minh n - n chia hết cho chia hết cho Ta có n3 - n = n(n2 - 1) = n(n + 1)(n - 1) Mà n, n + 1, n - số tự nhiên liên tiếp nên (n - 1)n(n + 1) Mặt khác: n biểu diễn thành dạng sau 3k, 3k + 1, 3k+2 (k N) + Nếu n = 3k n3 - n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 - 1) + Nếu n = 3k + n3 - n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2) + Nếu n = 3k+ n3 - n = n(n + 1)(n - 1) = (3k+1)(3k+2)(3k + 3) = 3(k + 1)(3k + 1)(3k+ ) KL: Vậy n3 - n với n N * Cách 2: Nếu n N biểu diễn thành dạng sau: 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + (do phép chia số cho 6) + Nếu n = 6p n3 - n = 6p(6p + 1)(6p - 1) +Nếu n = 6p + n3 - n = 6p(6p + 1)(6p + 2) + Nếu n = 6p + n3 - n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1) + Nếu n = 6p + n3 - n = 6(36p3+ 54p2 + 26p - 4) + Nếu n = 6p + n3 - n = 6(36p3+ 54p2 + 26p - 4) + Nếu n = 6p + n3 - n = 6(36p3+ 54p2 + 26p - 4) Bài 2: Chứng minh 2n + 11 chia hết cho n ch s * Chú ý: Số n số có tổng chữ số n có số d phép chia cho 9, 11 - n chia hết cho n ch s 21 Ta có: 2n + 11 = 3n + (11 - n) chia hết cho n ch s n ch s Bài 3: Chứng minh A = 10n + 18n - chia hết cho 27 * Cách 1: A = 10n + 18n - = 10n - 9n + 27n - = 99 - 9n + 27n = 9(11 - n) + 27n n ch s n ch s Mà 27n chia hết cho 27 nên (11 - n) chia hết cho suy 9(11 - n) n ch s n ch s Vậy 10n + 18n - chia hết cho 27 Cách 2: (Phơng pháp quy nạp toán học) + Nếu n = A = 10 + 18 - = 27 chia hết cho 27 Vậy mệnh đề với n = + Giả sử mệnh đề với n = k tức A k = 10k + 18k -1 chia hết cho 27 Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + Thật Ak+1 = 10k+1 + 18(k + 1) - = 10k.10 + 18k + 18 - Ak+1 = 10 (10k + 18k -1) - 9.18k +27 Ak+1 = 10 (10k + 18k-1) - 27.6k + 27 Mà 10 (10k + 18k-1) 27 27.6k 27 => Ak+1 27 27 27 Vậy 10n + 18n - chia hết cho 27 * Bài tập tơng tự: Bài 1: Chứng minh rng: a) -10n + 72n - chia hết cho 91 b) - 22n + 15n - chia hết cho với n nguyên dơng Bài 2: Chứng minh với n tự nhiên thì: 22 (n+ 19931994 ).(n+ 19941993 ) chia hết cho Bài 5: Chứng minh với số tự nhiên n 4.32n+2 + 32n - 36 64 Vì 32n+2 + 32n - 36 = (32n+2 -8n - 9) nên toán đa việc chứng minh: 32n+2 + 8n - 16 + Nếu n chẵn, ta đặt n = 2k (k N) đó: 32n+2 + 8n - = 34k+2 +16k -9 = 34k 32 - + 16k = 9(34k - 1) + 16k = 9(81k -1) + 16k Vì hiệu (81k-1) 80 nên (81k - 1) 16 Vậy n chẵn 32n+2 + 32n - 36 64 + Nếu n lẻ, ta đặt n = 2k + (k N) Khi 32n+2 + 8n - = 34k+4 + 16k + - = (3 4)k+1- 1+ 16k = 81k+1 -1 + 16k Vì hiệu (81k+1 -1) 80 nên (81k+1 -1) 16 Vậy với n lẻ 32n+2 + 32b - 36 64 Kết luận: Vậy với số tự nhiên n 4(32n+2 + 8n - 9) 64 * Bài tng t: Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n 3n+2 + 42n-1 13 Bài 2: Với n nguyên dơng, chứng minh rằng: 62n + 3n+2 + 3n 11 Bài 6: Chứng minh tổng k số t nhiờn liên tiếp (k lẻ) chia hết cho k Giải: Gọi k số nguyên liên tiếp n, n+1, n+2, , n + k-1 Khi tổng chúng bằng: n + n + 1+ n + + + n + k - = kn + + + + k - 23 = kn + (k + 1)(k 1) k (k 1) = kn + 2 Vì k lẻ nên: Nh kn + k =p (p N) k (k 1) = kn + kp = k(n+p) Điều chứng tỏ k lẻ, tổng k số t nhiờn liên tiếp k + Chú ý: Đây toán tổng quát, từ toán ta yêu cầu học sinh chứng minh trờng hợp riêng toán tổng ba, năm, bảy số t nhiờn liên tiếp chia hết cho 3, 5, Bài 7: Chứng minh tích k số t nhiờn liên tiếp k * Cách 1: Gọi k số t nhiờn liên tiếp là: a, a + 1, a + 2, , a + k -1 Tích chúng là: a(a + 1)(a + 2) (a + k -1) Ta cần chứng minh: a (a+1)(a+2) (a+1 -1) k +Nếu a k toán giải xong +Nếu a không chia hết cho k a = qk + r (0 < r < k) Thừa số (a + k + r) có mặt tích xét a + k - r = qk + r + k -r = k(q+1) k Điều chứng tỏ tích xét luôn tồn số k Từ => a(a+1)(a+2)(a+k-1) k * Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Giả sử tích xét thừa số chia hết cho k Nh chia k tha s ca tích cho k ta nhận đợc số d từ đến k-1 Theo nguyên lý Đirichlờ tồn số có số d Ta gọi số (a + h) (a + l) với h < l k-1 24 Khi (a + h) - (a + l) k hay k-l k Vô lý < h l < k Vy tớch ca k s t nhiờn liờn tip chia ht cho k + Chú ý: Từ toán đa trờng hợp riêng toán quen thuộc học sinh là: Chứng minh tích hai, ba, bốn, năm số t nhiờn liên tiếp 2, 3, 4, Bài 8: Cho a b s t nhiờn, chứng minh rằng: Nếu 2a +3b 17 9a + 5b 17 ngc lại Giải: * Chứng minh: Nếu (2a + 3b) 17 9a +5b 17 Nếu (2a + 3b) 17 8(2a + 3b) 17 +) Rõ ràng (34a + 34b) 17 Vậy (34a + 34b) - (16a +24b) = 34a + 34b - 16a - 24b =18a + 10b =2 (9a + 5b) 17 Vì (2, 17) =1 nên 9a + 5b 17 * Chứng minh: Nếu (9a + 5b) 17 (2a + 3b) 17 Ta có: (34 a + 34 b) 17 Theo giả thiết (9a + 5b) 17 => (9a + 5b) 17 Hay (34a + 34b) - 2(9a + 5b) = 34a + 34b - 18a - 10b =16a + 24b = 8(2a + 3b) 17 Vì (8, 17) =1 nên (2a + 3b) 17 Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu a, b số tự nhiên cho 5a + 3b 13a + 8b 1995 a b chia hết cho 1995 + Theo giả thiết 5a + 3b 1999 => 8(5a + 3b) 1995 13a + 8b 1995 => 3(13a + 8b) 1995 25 Hay 8(5a + 3b) - 3(13a + 8b) = 40a + 24b - 39a + 24b = a 1995 + Theo giả thiết 5a + 3b 1995 => 13(5a + 3b) 1995 13a + 8b 1995 => 5(13a + 8b) 1995 Hay 5(13a + 8b) -13(5a + 3b) = 65a + 40b - 65a - 39b = b 1995 Vậy a b chia hết cho 1995 * Bài tập tơng tự: Bài 1: Biết số tự nhiên a b có a + b a2 + b2 chia hết cho 11 Chứng minh a.b 11 Bài 2: Chứng minh với x y số tự nhiên thì: x + 2y 3x - 4y Bài 3: Cho số tự nhiên a b Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 a b chia hết cho Dạng 4: Tìm điều kiện để biu thc chia hết cho số chia hết cho biểu thức Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho n + n +1 Gii: Ta có: (n + 4) = (n+ 1) + Mà (n + 1) (n + 1) nờn (n + 4) (n + 1) n + hay n + Ư(3) Mặt khác: Ư(3) ={1; 3} +) Nu n + = -> n = (thoả mãn) +) Nu n + = -> n = (thoả mãn) Vậy với n = 0; n = n + n+1 Bài 2: Tìm số t nhiờn n để: n2 + 2n - 11 Gii: 26 n + 2n - =(n-3) (n+5) + 11 (n-3) (n-5) M 11 n = B(11) + mà 11M11 n =B(11) - III.KT QU NGHIấN CU: Vi phng phỏp thc hin nh trờn hc sinh ó t tỡm kin thc mt cỏch c lp tớch cc Do ú hc sinh cú hng thỳ, hiu bi sõu sc, t ú dng tt cỏc phng phỏp trờn gii cỏc bi toỏn v dng bi toỏn cú liờn quan n chia ht Qua dy i chng v kim tra tụi thy cht lng hc c nõng lờn mt cỏch rừ rt, s hc sinh yờu thớch toỏn ngy cng nhiu, hc sinh ngy cng hng say hc v thu c kt qu tng i kh quan Lp 6A Trc thc hin ti Gii : 8/46 17,4% Gii : 20/46 43,5% Khỏ : 16/46 34,8% Khỏ : 21/46 45,7% Trung bỡnh: 19/46 41,3% Trung bỡnh: Yu: 3/46 6,5% Yu: 0% Kộm 0% Kộm 6C 0% 5/46 10,8% Gii: 1/39 2,5% Gii: 5/39 12,8 % Khỏ: 6/39 15,4% Khỏ: 13/39 33,3 % Trung bỡnh: 12/39 30,8% Yu Kộm : 27 Sau thc hin ti 18/39 46,2% 2/39 5,1% Trung bỡnh: 14/39 36 % Yu Kộm : 7/39 17,9 % 0% PHN TH BA KT LUN V KHUYN NGH I KT LUN: Trong giai on mi hin nay, i mi phng phỏp ging dy l nhim v ht sc quan trng, bn thõn tụi mong mun lm th no nõng cao cht lng ca hc sinh nờn tụi c gng tỡm tũi v ng dng nhng cỏi mi Để làm tốt đợc tập dạng Toán chia hết học sinh cần phải nắm kiến thức nh: Tính chất chia hết tổng, hiệu, tích, dấu hiệu chia hết số thờng gặp nh: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, bên cạnh hiểu nguyên lý irichlê, phơng pháp chng minh phản chứng số phơng pháp khác Tuy nhiên trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức vào cho phù hợp có nh đạt đợc hiệu tốt II học kinh nghiệm: Trên l mt s dạng toán thờng gặp chơng trình toán THCS Mỗi dạng toán có đặc điểm khác chia nhỏ dạng dạng Việc phân dạng nh giúp học sinh d tiếp thu thấy đợc toán ta nên áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi dạng toán chọn số toán điển hình để học sinh hiểu cách làm, song sau gii giỏo viờn nờn ch mt c im, mt hng gii 28 quyt no ú gp cỏc bi tng t hc sinh cú th liờn h c từ để làm tập mang tính tơng tự dần nâng cao lên Trong trình làm dạng toán đặc biệt ý đến nội dung toán có xếp theo trình tự từ dễ đến khó dạng phong phú, đa dạng nhằm cung cấp cho học sinh lợng kiến thức phù hợp với khả nhận thức có phát triển khả t lôgíc Bờn cnh ú mi giỏo viờn phi khụng ngng n lc nm bt kp thi theo yờu cu i mi phng phỏp ging dy, tham kho cỏc ti liu liờn quan n bi ging, cng c nõng cao chuyờn mụn nghip v, ging dy hay bi dng mt no ú cú th t xõy dng cho mỡnh mt h thng phng phỏp ging dy phự hp III KHUYN NGH: Xu hng hin i hoỏ giỏo dc ng dng cụng ngh thụng tin vo ging dy ang c chỳ trng, mi giỏo viờn thc hin dy giỏo ỏn in t thỡ phi mt nhiu thi gian chun b phũng dy Vy ngh cỏc cp trờn quan tõm v u t nh trng cú nhng phũng b mụn phc v cho cụng tỏc ging dy tt hn Bờn cnh ú sỏch tham kho trng cũn hn ch c v cht lng ln s lng u sỏch, cha ỏp ng c nhu cu ca giỏo viờn v hc sinh, đ ngh phũng giỏo dc, nh trng u t thờm Vic i mi phng phỏp dy hc theo chiu hng tớch cc phỏt huy tớnh c lp sỏng to ca hc sinh khụng th chc lỏt m c mt quỏ trỡnh lõu di Mc tiờu cui cựng l hng dn hc sinh bit gii toỏn, hc toỏn v bit dng toỏn hc vo cỏc b mụn khỏc cng nh vo thc t Trờn õy l mt vi kinh nghim nh ca bn thõn tụi t rỳt dy phn phộp chia ht N, cựng vi s gúp ý ca ng nghip hy vng rng ti ca tụi s gúp phn tng thờm hiu qu hc ca hc sinh Do kh nng v kinh nghim cha nhiu nờn khụng trỏnh nhng thiu xút, rt 29 mong nhn c s quan tõm gúp ý ca ng nghip v hi ng khoa hc cỏc cp nhng nm ti t kt qu tt hn Tụi xin trõn thnh cm n! Cao viờn, ngy 20 thỏng nm 2010 Tỏc gi V Th Lan TI LIU THAM KHO Sỏch giỏo khoa toỏn - (NXBGD 2005) Sỏch giỏo viờn toỏn - (NXBGD 2002) Sỏch bi toỏn - 1(NXBGD 2002) Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn toỏn Vũ Hữu Bình (ch biờn) Nguyễn Ngọc Đạm (NXBGD- 2008) Nõng cao v phỏt trin toỏn - - Vũ Hữu Bình (NXBGD 2004) Nhng chung v i mi giỏo dc Trung hc c s mụn Toỏn (NXBGD 2007) Bi toỏn nõng cao v cỏc chuyờn Toỏn - Vũ Hữu Bình (NXBGD - 2007) Toỏn hc tui tr (NXBGD - Bộ GDT) 30 NHN XẫT CA HI NG KHOA HC CP TRNG o0o - Cao Viờn, ngy 31 thỏng nm 2010 NHN XẫT CA HI NG KHOA HC CP C S o0o 32 NHN XẫT CA HI NG KHOA HC CP THNH PH o0o 33 34 ... với n s t nhi n * Cách 1: Vì (2, 3) = n n c n chứng minh n - n chia hết cho chia hết cho Ta có n3 - n = n( n2 - 1) = n( n + 1) (n - 1) Mà n, n + 1, n - số tự nhi n li n tiếp n n (n - 1 )n( n + 1) Mặt... 4(3 2n+ 2 + 8n - 9) 64 * Bài tng t: Bài 1: Chứng minh với số tự nhi n n 3n+ 2 + 4 2n- 1 13 Bài 2: Với n nguy n dơng, chứng minh rằng: 6 2n + 3n+ 2 + 3n 11 Bài 6: Chứng minh tổng k số t nhi n li n tiếp... 1 0n + 1 8n - chia hết cho 27 * Bài tập tơng tự: Bài 1: Chứng minh rng: a) -1 0n + 7 2n - chia hết cho 91 b) - 2 2n + 1 5n - chia hết cho với n nguy n dơng Bài 2: Chứng minh với n tự nhi n thì: 22 (n+