Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian

MỤC LỤC Trang PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ A Lý chọn đề tài B Phạm vi nghiên cứu đề tài PHÂN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI A Cơ sở lý luận B Thực trạng vấn đề C Một số giải pháp I Bài toán : Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng II Bài toán : Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng III Bài toán : Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song IV Bài toán : Khoảng cách hai đường thẳng chéo D Kiểm nghiệm : 13 15 20 PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ A Kết luận 21 B Kiến nghị 21 PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : - Từ đầu lớp 11 trở trước : Học sinh làm việc với phần lớn hình phẳng Mỗi hình biểu diễn cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng kích thước hình vẽ mặt giấy Mọi quan hệ đối tượng biểu diễn cách trực quan Đến chương II, III hình học lớp 11, hình vẽ hình phẳng phản ánh trung thành quan hệ quan hệ vuông góc, quan hệ nhau, … đối tượng Đó khó khăn lớn học sinh - Sau giới thiệu quan hệ: Quan hệ song song, quan hệ vuông góc không gian, sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa hai khái niệm quan trọng “Khoảng cách” “Góc” toán liên quan đến hai khái niệm khai thác nhiều kỳ thi thi Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi Ngoài việc giải toán khoảng cách giúp ta giải toán thể tích khối đa diện lớp 12 - Trong “ Khoảng cách”: Do yêu cầu thời lượng chương trình, SGK hình học lớp 11 đưa khái niệm khoảng cách nêu lên mối liên hệ khái niệm ý cuối ví dụ khoảng cách Do đó, đứng trước toán yêu cầu tính khoảng cách học sinh thường bối rối Từ dẫn đến học sinh có tâm lý sợ ngại học hình học không gian âm thầm bỏ không học phần Từ lý với kinh nghiệm thời gian giảng dạy, xin mạnh dạn đưa đề tài: “ Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học không gian lớp 11” Thông qua nội dung đề tài muốn cung cấp cho học sinh nhìn tổng quan phương pháp giải, từ dó có định hướng tốt để tìm lời giải toán khoảng cách Hy vọng đề tài nhỏ làm cho học sinh yêu môn hình học không gian giúp đồng nghiệp có thêm tư liệu tham khảo bổ ích qúa trình giảng dạy B PHẠM VI NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI : Trong chương trình phổ thông để giải toán khoảng cách có phương pháp “ Gán hệ trục tọa độ hình học không gian” sau sử dụng tọa độ không gian để làm việc khuôn khổ không cho phép nên đề tài khai thác vấn đề góc độ nghiên cứu hình học không gian cách túy PHẦN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI A CƠ SỞ LÝ LUẬN : - Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm quy luật, phương pháp chung để giải vấn đề việc vô quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp toán tương tự Trong dạy học, giáo viên có vai trò thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học điều kiện gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức phương pháp tiến hành có trải nghiệm thành công Do trang bị phương pháp cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên - Trong “ Khoảng cách” sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa khái niệm khoảng cách : Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song , khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng chéo “Khoảng cách điểm A,B độ dài đoạn thẳng AB” Khái niệm em giới thiệu làm việc nhiều cấp học Trên tất khoảng cách có thực tế Do có hệ thống phương pháp giải toán Bài toán : Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài toán : Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài toán 3: Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách mặt phẳng song song Bài toán : Tính khoảng cách đường thẳng chéo hầu hết toán khoảng cách giải Ngoài toán trừ “bài toán 1”, toán quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có số kiến thức thường hay sử dụng để giải toán Vì vậy, thấy việc đưa “Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học không gian lớp 11” việc cần thiết bổ ích cho việc dạy giáo viên việc học hình học không gian học sinh B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ : Trong qúa trình giảng dạy nhận thấy phần lớn học sinh trường THPT Thiệu Hóa học sinh THPT nói chung lơ mơ hình học không gian Đặc biệt gặp toán khoảng cách thường không định hình cách giải, lúng túng xác định hình chiếu điểm lên đường thẳng, mặt phẳng xác định hình chiếu lại không tính khoảng cách, cách tìm mối liên hệ yếu tố biết tập với yếu tố cần tìm, tìm cách làm dài chưa kể đến việc chưa biết vẽ hình hay vẽ hình sai Mặt khác thời lượng dành cho phần lại nên học sinh định hình cách làm đứng trước toán Cụ thể : Khi dạy cho học sinh nhận thấy : S Khi gặp toán : Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác cân S mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng A D đáy góc  Tính khoảng cách từ trung điểm I I AB đến mặt phẳng (SCD) * Học sinh thường cách dựng B C hình chiếu H I lên mp (SDC) từ tính khoảng cách từ I đến mp (SDC) Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a; SA = a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC) * Học sinh thường lúng túng xác S định hình chiếu H1 O lên (SBC), hình chiếu H2 G lên (SAC), N sử dụng tỉ số khoảng cách a) d  O;  SBC   d  A;  SBC    H OC  OA G A D  d  O;  SBC    d  A;  SBC   O B C b) d  G;(ASC)  GN   d  B;(ASC)  BN  d  G;(ASC)   d  B;(ASC)  để đưa việc tính khoảng cách cần tìm việc tính số khoảng cách đơn giản Theo đến giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh số quy trình dựng hình chiếu thường gặp; quy trình dựng hình chiếu trường hợp đặc biệt để học sinh biết cách xác định điểm H cách dùng tỷ lệ khoảng cách để đưa việc tính khoảng cách phức tạp khoảng cách đơn giản Khi gặp toán : Bài toán : Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a, canh SA vuông góc với mặt đáy SA = a Tính khoảng cách AC SD * Học sinh thường loay hoay dựng đường vuông góc chung gặp bế tắc dựng khó Cũng có số học sinh biết cách đưa khoảng cách khoảng cách từ AC đến mặt phẳng qua SD song song với AC để giải cách: Giải Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ DB’//AC  d ( AC; SD)  d ( AC;( SDB '))  d ( A;( SDB ')) Ta tính AB’= a, SB '  SD  B ' D  a Vậy SB ' D Gọi I trung điểm SB’ S a , SB '  ( AID)  ( AID)  ( SB ' D) DI  Kẻ đường cao AK tam giác AID AK khoảng cách từ A đến (SB’D) Ta có AI = B' a , AD  a A D V ì AD  ( SAB) nên AD  AI  AK  AI AD a  DI B C * Đây lời giải mà sách tập trình bày Tuy nhiên thấy việc tính khoảng cách từ A đến (SDB’) dài Ta tính d(A;(SDB’)) theo cách ngắn gọn sau: Dễ dàng suy A.SDB’ hình chóp có AS, AD, AB’ đôi vuông góc với nên d(A; (SDB’)) đường cao hình chóp hạ từ A xuống mp(SDB’) S  d ( A;( SB ' D))  hA 1 1      hA  a 2 2 hA AS AB ' AD 3a B' A Từ giáo viên dẫn dắt tới phương pháp tính khoảng cách cách coi khoảng cách B độ dài đường cao hình chóp Nếu hình chóp biết thể tích biết diện tích đáy tính : d=h= D C 3V S Khi gặp toán: Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AD H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH  a Tính khoảng cách đường thẳng DM SC theo a S * Học sinh thường không nhận vị trí tương đối DM SC có điểm đặc biệt vuông góc với nên loay hoay dựng đường vuông góc chung không Đưa khoảng cách từ đường thẳng đến mặt N D A phẳng song song chứa đường lại, lại H khó dẫn đến bế tắc M Lúc vai trò người giáo viên B C quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại để đáp án suy luận có lôgíc để có hướng làm tốt tránh tình rối ren dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải toán khoảng cách C MỘT SỐ GIẢI PHÁP : Qua nghiên cứu, trao đổi, đúc rút kinh nghiệm ý kiến đồng nghiệp, mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề học sinh với giải pháp: Đưa “Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học không gian lớp 11” sau: I BÀI TOÁN 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp : Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d ta thực theo bước sau : B1 : Trong mặt phẳng ( O;d ) hạ OH vuông góc d với H thuộc d B2 : Tính độ dài OH dựa vào hệ thức O lượng tam giác, tứ giác, đường tròn H d a Các ví dụ : Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I, M theo thứ tự trung điểm SC, AB i) Tính khoảng cách từ I đến CM ii) Tính khoảng cách từ S đến CM Giải : i) Cách : Gọi H hình chiếu I lên CM suy IH  CM Trong tam giác SCM ta có M a CM  MB  BC  a SM  SA2  AM  H SC  SA  AC  3a 2 C SC Suy MSC cân tai M  MI  MS     2a   S I  S 1 10     IH  a 2 IH IM SI 3a 10 Cách 2: Gọi H hình chiếu I lên CM I  IH  CM Vì IO//SA suy IO  CM  OH  CM 1a 2  a 1 20 a     OH  2 OH OK OC a 20 A M Ta có: OK  OB  H B C A Trong tam giác vuông IOH ta có a a IH  IO  OH  ( )  ( )  a 10 20 Vậy khoảng cách từ I tới CM D O M a 10 D O K H B C ii) d ( S ; CM ) SC a 30    d ( S ; CM )  2d ( I ; CM )  IH  d ( I ; CM ) IC Nhận xét : Ở ý i) giáo viên nên đưa thêm cách để học sinh biết thêm: Trong nhiều trường hợp để tính khoảng cách OH từ O đến d mà mp (O;d ) khó tính chọn mặt phẳng khác chứa OH mà có nhiều yếu tố dễ tính Thường mặt phẳng mặt phẳng chứa OH đường thẳng khác qua O vuông góc với d xuất toán Để tính khoảng cách từ S đến CM ý ii) học sinh làm theo cách ý i), sau vận dụng hệ thức lượng tam giác SCM từ suy khoảng cách độ dài đường cao tam giác SCM hạ từ S xuống CM Nhưng cách dài Cách giải đáp áp ngắn gọn Từ GV đưa ra: Chú ý: ▪ Nếu tồn đường thẳng a qua O, a // d d (O; d ) = d (A; d ) với A thuộc d ▪ Nếu OA cắt d I sử dụng tỉ số khoảng cách d (O; d ) OI  d ( A; d ) AI a A O ▪ Một số công thức thường dùng Định lý hàm số cosin d K a  b  c  2bc.cos A 2 A b2  a  c  2ac.cos B O c  a  b  2ab.cos C Các công thức diện tích 1 S  a.ha  b.hb  c.hc 2 1 S  ab.sin C  bc.sin A  ac.sin B 2 abc S 4R S  pr H I A b c B A Hệ thức lượng tam giác vuông h  b '.c ' b c a  b2  c2 a C a H S  p  p  a  p  b  p  c  c  a.c ' d K b  a.b ' B c' b' H a.ha  b.c C a 1  2 2 b c b Bài tập tự luyện Bài 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông đường cao AB=a, BC=2a, SA=a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Ngoài có SC vuông góc với BD Gọi M điểm đoạn SA, đặt AM=x với  x  a Tính khoảng cách từ D đến BM theo a x Tìm giá trị xđẻ khoảng cách có GTNN, GTLN II BÀI TOÁN 2: Tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Để tính khoảng cách từ điểm O đến mp (  ) ta làm sau Phương pháp : B1: Dựng OH với H hình chiếu O lên (  ) cách: ▪ Dựng mp(P) qua O vuông góc  O với (  ) cắt (  ) theo giao tuyến a ▪ Trong (P) dựng OH  A H B2: Tính độ dài OH a H  a Các ví du : Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác cân S mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc  Tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mp(SCD) Giải Gọi H trung điểm AB suy SH  AB  HS  (ABCD) Suy H chân đường cao hạ từ S hình chóp Gọi K trung điểm CD Trong SHK gọi I hình chiếu H lên SK Ta có CD  ( SHK )  CD  HI  HI  (SCD) Vậy HI khoảng cách từ H đến mp(SCD) ˆ  S Ta có  SC;  ABCD    SCH BH  BC  a I Tam giác SHC vuông H  SH  a tan  A D Trong  SHK vuông với HK = a , ta có: 1 tan      2 HI SH HK 5a.tan  H  B K C  HI  a tan  tan   Chú ý : Trong phương pháp dựng vô số mp(P) Trong thực O hành giải toán mp(P) sẵn ta d thường hay chọn mp(P) sau: Dựng đường thẳng d qua O vuông M P I góc với đường thẳng  có sẵn (  ), H   cắt mp (  ) I Từ I kẽ đường thẳng vuông góc với  cắt  M     MOI   ( )   MOI  Vậy mp (MOI) mp (P) cần dựng Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SA = a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) i) Tính khoảng cách từ trung điểm M SC tới mặt phẳng (ABCD) ii) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC), từ suy khoảng cách từ O đến mp (SBC) iii) Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAB đến mp (SAC) Giải i) Ta có MO // SA  MO vuông góc (ABCD) S a  d ( M ;( ABCD))  MO  SA  2 ii) Nhận xét N BC  AB    BC  (SAB)   SAB   (SBC ) BC  SA  M H G A D Hạ AH vuông góc với SB  AH  ( SBC ) O  d ( A;( SBC ))  AH B Trong  SAB vuông A ta có C 1 1 a  2     AH  2 2 AH SA AB 3a (a 3) a Vậy khoảng cách từ A đến ( SBC ) a Vì AO  ( SBC ) = C nên d ( A;( SBC )) OC 1 a    d (O;( SBC ))  d ( A;( SBC ))  AH  d ( A;( SBC )) AC 2 10 iii) Vì BG  ( SAC ) = N nên d (G;( SAC )) GN 1    d (G;( SAC ))  d ( B;( SAC )) d ( B;( SAC )) BN Ta có ( BAC )  ( SAC ), BO  AC  d ( B;( SAC ))  BO  a 2 a  d (G;( SAC)  BO  Nhân xét: Nếu toán có sẵn đường O H  thẳng d    cần dựng OH//d với H  d Nếu OA//  d (O;(  )) = d (A; (  )) Nếu OA cắt  I sử dụng tỉ số khoảng cách d  O A H K A d (O;( )) OI  d ( A;( )) AI O I K để đưa việc tính khoàng cách cần tìm việc tính khoảng cách khác đơn giản khoảng cách biết trước b Bài tập tự luyện:  H Bài 1) (Bài 62-SBT) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, Aˆ  900 , BD=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc mp(SBC) mặt đáy 60 Tính khoảng cách từ A đến mp(SCB) Bài 2) (Câu IV-để thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với ˆ  300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(ABC) Biết SB  2a va SBC mp(SAC) theo a Phương pháp 2: Để tính khoảng cách từ O đến mp (  ) ta coi khoảng cách từ O đến mp (  ) độ dài đường cao hình chóp lăng trụ a Các ví dụ : Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a Cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điểm cạnh BC , E trung điểm BB’ Tính khoảng cách từ B’ đến (AME) 11 Giải Vì E trung điểm BB’  d  B ';  AME    d ( B;( AME)) Dễ thấy hình chóp B.AME có BA, BE, BM đôi vuông góc Khoảng cách từ B đến (AME) độ dài đường cao hình chóp S.AME hạ từ A xuống mp(AME) Gọi hB đường cao hạ từ B xuống (AME) 1 1 1     2   2 2 hB BE BM BA a a a2 a a  hB  a Vậy khoảng cách từ B đến mp(AME) A' B'  C' E B A M C Nhận xét: Để tính khoảng cách từ B đến mp (EMA) có nhiều cách cách làm đáp án tối ưu Từ GV đưa Chú ý: Khi tính độ dài đường cao hình chóp ta cần lưu ý : Nếu hình chóp chân đường cao trùng với trọng tâm tam giác đáy Nếu hình chóp có cạnh xuất phát từ đỉnh đôi vuông góc sử dụng công thức 1 1    2 OH OA OB OC Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, tam giác ˆ  900 , BA =BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA ˆ  BAD ABC = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Giải * Gọi I trung điểm AD suy tứ giác ABCI hình vuông  ICD vuông cân I S  CD  AC    CD ( SAC )  CD SC CD  SA  H  H ; ( SCD)   HS Ta có : d  B; SCD  BS Trong tam giác vuông SAB có A B I D C 12 SH SB  SA2  SH SB SA2 SH SA2     SB SB SB SB Gọi V thể tích hình chóp B.SCD, hB độ dài đường cao hạ từ B xuống (SCD) d  B;  SCD    hB  SA.S BCD 3V  SSCD SSCD a2 a  2a.a 2 a 1 SC.CD, S BCD  hD BC  AB.CD) 2 2 a a  d ( H ;( SCD))  hB   3 ( S SCD  Nhận xét: Giáo viên nên dẫn dắt học sinh đến việc tìm hình chiếu H lên (SCD) khó Từ hướng dẫn học sinh giải theo cách đáp án Phương pháp dùng phương pháp giải khó mà toán có nhiều yếu tố liên quan đến thể tích, diện tích việc tính thể tích, diện tích tính cách đễ dàng b Bài tập tự luyện : Bài 1) (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính khoảng cách từ A đến nặt phẳng (IBC) III BÀI TOÁN 3: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách mặt phẳng song song A a Phương pháp: Để tính khoảng cách từ d đến (  ) với d // (  ) (hoặc khoảng cách từ (  ) đến (  ) với (  )//(  )) ta tiến hành theo bước : B1 : Chọn điểm A d (hoặc điểm A (  )) cho khoảng cách dễ tính B2 : Kết luận d (d ;( ))  d ( A;( )) (hoặc d (( );(  ))  d ( A;(  )) ) H   A H  ̃ a Một số ví dụ : Ví dụ 1: Cho hình hộp thoi ABCD A’B’C’D’có tất cạnh ˆ  BAA ˆ '  DAA ˆ '  600 Tính khoảng cách mặt phẳng đáy (ABCD) a BAD (A’B’C’D’) 13 Giải: Từ giả thiết suy tam giác A’AD, BAD, A’AB tam giác Suy tứ diện A’ABD tứ diện Khi hình chiếu A’ mp(ABCD) trọng tâm H  ABD Suy khoảng cách mp(ABCD) mp(A’B’C’D’) độ dài A’H a 3 2a     Ta có: A ' H  AA '2  AH  a   Vậy A’H = A ' H  A' D' B' C' A D B H O C a Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có SA = a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Đáy ABCD lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng (SBC) Giải Vì tứ giác ABCD nửa lục giác đường kính AD  DA//BC  AD// (SBC) S  d ( AD;( SBC))  d ( A;( SBC)) Hạ AK vuông góc với BC ta BC  AK    BC   SAK    SAK    SBC  BC  AS  H A Hạ AG vuông góc với SK suy AG   SBC   d  A;  SBC    AG D B K C Do ABCD nửa lục giác đường kính AD = 2a  AK  BI  a 1 1   2  2 AG SA AK a   AG  a    2 2a a 3     A O I D K B C 14 Vậy khoảng cách từ AD đến mp(SBC) a Nhận xét: Để giải “bài toán 2”, học sinh cần nắm vững cách giải “bài toán 1” kết hợp với cách chọn điểm A hợp lý Trong ví dụ sở để chọn điểm A giả thiết cho SA vuông góc với mp(ABCD) từ ta suy SA vuông góc với BC yếu tố thuận lợi cho việc dựng hình chiếu A lên mp(SBC) b Bài tập tự luyện : Bài 1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác Cạnh a, mặt bên (SBC) vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm AB, SA, AC Tính khoảng cách hai mặt phẳng (MNP) (SBC) IV BÀI TOÁN 4: Khoảng cách đường thẳng chéo Để tính khoảng cách đường chéo a b ta lựa chọn theo phương pháp sau : Phương pháp : B1 : Dựng đường vuông góc chung cách ▪ Dựng theo quy trình sách giáo khoa ▪ Nếu a  b cần dựng mp(P) chứa b, vuông với a I Trong mặt phẳng (P) hạ a J I b P a b P J I IJ  b  J  b  Suy IJ đường vuông góc chung B2 : Tính độ dài đoạn vuông góc chung IJ a Một số ví dụ: Ví dụ : Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, Â = 600 Góc đường chéo A’C’ mặt phẳng đáy 600 Tìm đường vuông góc chung A’C BB’ Tính khoảng cách đường thẳng Giải Ta có BB '/ /( A ' AB) BO  ( A ' AC ) với O tâm hình thoi ABCD Kẽ OI//AA’ IJ//BO dễ dàng chứng minh IJ đường vuông góc chung BB’ A’C Khoảng cách hai đường thẳng BB’ A’C BO Mặt khác BO = a A' D' B' C' I J A D O B 60 C 15 Vậy d ( BB '; A ' C )  a Chú ý: Cần phân biệt khái niệm “tính khoảng cách” “dựng đường vuông góc chung” “Dựng đường vuông góc chung” bắt buộc phải dựng đường thẳng cắt vuông góc với đường thằng (Quy trình SGK) Còn “tính khoảng cách” không cần dựng đường vuông góc chung mà tính thông qua khoảng cách khác khoảng cách Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB AD H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH= a Tính khoảng cách đường thẳng DM SC theo a Giải S Trong mặt phẳng (ABCD) ta có ADM  DCN (c.g c )  Dˆ1  Cˆ1  Dˆ  Cˆ1  Dˆ  Dˆ1  900 ˆ  900  DM  CN  DHC K N DM  SH D  DM   SHC  H M Hạ HK  SC( K  SC ) Suy HK đoạn vuông góc chung DM SC Trong tam giác vuông DNC ta có HC.NC  DC  HC   C B A H M 1 19     HK  a 2 2 HK HS HC 12a 19 B a Vậy khoảng cách từ DM đến SC 19 D DC 2a  NC N C Chú ý: Khi tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cần lưu ý: Kiểm tra xem đường thẳng có vuông góc với không Nếu có nên sử dụng phương pháp b Bài tập tự luyện : Bài 1) Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS 16 vuông góc với mp(ABCD) SI  a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp AB SD SA BD NP AC MN AP A I Phương pháp : Để tính khoảng cách a đường thẳng a,b chéo ta có thể: b ▪ Quy d(a; b) d(a; (  )), với (  ) mặt J  phẳng chứa b, song song với a ▪ Quy d(a; b) d ((  ); (  )) với (  ), (  ) I a  mặt phẳng song song với chứa đường thẳng a b b J  a Một số ví du Ví dụ : Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Giải Ta có : CD '  ( ACD ')   BC '  ( A ' BC ')   d  CD '; BC '  d   ACD ' ;  A ' BC '   ( ACD ') / /( A ' BC ')  A Mặt khác, gọi G, G’ giao DB’ với mp(ACD’) mp(A’B’C’) Ta có DG=GG’=G’B’ B D C G Dể dàng chứng minh DB '  ( ACD ')  d (CD '; BC ')  DB ' a  3 A' G' B' Ví dụ : Cho hình chóp tứ giác C' S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E D' điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Tính khoảng cách đường thẳng MN AC Giải Gọi P trung điểm SA Suy MP / / AD / / NC MP  NC  AD 17  d ( MN ; AC )  d ( MN ;( SAC))  d ( N ;( SAC))  d ( B;( SAC)) Vì S.ABCD hình chóp tứ giác S  BO  ( SAC) E a 2 a  d ( MN ; AC )  BO   d ( B;( SAC))  BO  Vậy khoảng cách từ MN đến AC = P M A D O a B N C Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SA = a vuông góc với (ABCD) Tính khoảng cách đường thẳng i) SC AD ii) SB AC Giải i) Nhận thấy AB / / BC  AD / /( SBC) S  d ( AD; SC)  d ( AD;( SBC))  d ( A;( SBC )) Gọi M hình chiếu A xuống SB  d ( A;( SBC)  AM  a 2 Vậy khoảng cách SC AD M a 2 A D D' O ii) Từ B kẽ Bx song song AC cắt AD D’  d ( SB; AC)  d ( AC ;(SBD '))  d ( A;( SBD ')) B C Dễ thấy hình chóp A.SBD’ hình chóp có AS, AD’,AB đôi vuông góc  d ( A;(SBD '))  hA với  hA  1 1    2 hA AB AS AD '2 a Vậy khoảng cách từ AC đến SB a Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông C, CA = b, CB = a, cạnh SA = h vuông góc với đáy Gọi D trung điểm AB Tính i) Khoảng cách đường thẳng AC SD ii) Khoảng cách BC SD 18 Giải i) Từ D kẽ Dx // AC  d ( AC ; SD)  d ( AC ;( S , Dx)) = d ( A;( S , Dx)) Trong mp (ABC) vẽ AE // CB với E thuộc Dx  DE  EA DE  SA  DE  ( SEA) S Hạ AH vuông góc với SE  AH   SDE   d ( A;  S , Dx )  d ( A;(SDE))  AH Trong tam giác vuông SAE có AE   AH   AS AE AS  AE  h H a E K a D B A a  4h 2 C a.h a  4h ah Vậy khoảng cách AC DS a  4h 2 ii) Gọi I trung điểm AC Suy CB//ID  d (CB; SD)  d (CB;( SID))  d (C;( SID))  d ( A;( SID)) Gọi K hình chiếu A lên SI Ta có: AK  BC  AK  ID    AK   SID  AK  SI   d  A;  SID    AK  AS AI AS  AI 2  Vậy khoảng cách BC SD b h 4h  b 2  b.h 4h  b bh 4h  b Nhận xét Các toán có nhiều cách giải trình bày cách giải mà qua nghiên cứu giải thấy tối ưu Sở dĩ phần trình bày nhiều ví dụ để giải toán theo phương pháp học sinh cần phải : Nắm vững cách giải toán nêu trước đó, tổng hợp phương pháp giải tình khác nhau, linh hoạt cách sử dụng phương pháp, cách làm 19 b Bài tập tự luyện : Bài 1) (Bài 39 đề thi Đại học khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vuông góc vói mp(ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM, song song với BC, cắt AC N Biết Góc (SBC), (ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SN theo a D KIỂM NGHIỆM : Đề tài kiểm nghiệm năm giảng dạy lớp 11 học sinh đồng tình đạt kết qủa Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hưỡng dẫn kỹ, em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 11 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy kết qủa qua kiểm tra thử sau : Lớp Điểm trở lên Số Tỷ lệ lượng 15% Điểm từ đến Điểm Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ lượng lượng 20 42,5% 20 42,5% Năm học 2012 11M Tổng số 47 2011 11I 40 17,5% 20 50% 13 32,5% 2011 11A 49 20 40,8% 20 40,8% 18,4% 20 PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ A KẾT LUẬN : Trên giải pháp mà đúc rút suốt qúa trình giảng dạy trường THPT Thiệu Hóa Trong trình kiểm nghiệm, thấy phương pháp có hiệu qủa tương đối tốt Khoảng cách nội dung quan trọng chương trình môn toán lớp 11 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy, cô giáo quan tâm Vì theo dạy phần hình học không gian, giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm toán tốt Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, song chắn tránh khỏi thiếu sót hạn chế Vì vậy, mong quan tâm tất các đồng nghiệp để bổ sung góp ý cho đề tài dược hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! B KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT : - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu, sách tham khảo đổi để nghiên cứu, học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường nên phổ biến rộng rãi SKKN, đề tài nghiên cứu khoa học giáo viên hàng năm để GV có thêm nguồn tài liệu tham khảo, đồng thời bổ sung, góp ý làm cho SKKN, đề tài hoàn chỉnh - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỜNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 24 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Anh Niên Lê Thị Thùy Dung 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa hình học 11 - Nhà xuấtbản giáodục + Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất giáo dục + Sách tập hình học lớp 11 - Nhà xuất giáo dục + Taì liệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất giáo dục + Các giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất giáo dục ( TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất ) + Học ôn tập toán hình học 11 - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (TG: Lê Bich Ngọc (chủ biên), Lê Hồng Đức) + Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất giáo dục + Các đề thi đại học năm trước 22 [...]... phần này tôi trình bày nhiều ví dụ hơn vì để giải được bài toán 4 theo phương pháp 2 thì học sinh cần phải : Nắm vững các cách giải các bài toán đã nêu trước đó, tổng hợp được các phương pháp giải trong mỗi tình huống khác nhau, linh hoạt trong cách sử dụng các phương pháp, cách làm bài 19 b Bài tập tự luyện : Bài 1) (Bài 39 đề thi Đại học khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông... AM và A’C Tính khoảng cách từ A đến nặt phẳng (IBC) III BÀI TOÁN 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song A a 1 Phương pháp: Để tính khoảng cách từ d đến (  ) với d // (  ) (hoặc khoảng cách từ (  ) đến (  ) với (  )//(  )) ta tiến hành theo các bước : B1 : Chọn 1 điểm A trên d (hoặc điểm A trên (  )) sao cho các khoảng cách ấy dễ tính... Hóa Trong quá trình kiểm nghiệm, tôi thấy các phương pháp có hiệu qủa tương đối tốt Khoảng cách là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 11 nói riêng và bậc THPT nói chung Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy, cô giáo quan tâm Vì vậy theo tôi khi dạy phần hình học không gian, giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học. .. viên nên dẫn dắt học sinh đến việc tìm hình chiếu của H lên (SCD) là khó Từ đó hướng dẫn học sinh giải theo cách như trong đáp án Phương pháp này được dùng khi phương pháp 1 giải khó ra mà bài toán có nhiều yếu tố liên quan đến thể tích, diện tích và việc tính thể tích, diện tích là có thể hoặc tính được một cách đễ dàng b Bài tập tự luyện : Bài 1) (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ... Nếu trong bài toán đã có sẵn đường O H  thẳng d    thì chỉ cần dựng OH//d với H  d 2 Nếu OA//  thì d (O;(  )) = d (A; (  )) 3 Nếu OA cắt  tại I thì có thể sử dụng tỉ số khoảng cách d  O A H K A d (O;( )) OI  d ( A;( )) AI O I K để đưa việc tính khoàng cách cần tìm về việc tính một khoảng cách khác đơn giản hơn hoặc một khoảng cách đã biết trước đó b Bài tập tự luyện:  H Bài 1) (Bài. .. điểm AB, SA, AC Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (SBC) IV BÀI TOÁN 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau Để tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau a và b ta có thể lựa chọn theo các phương pháp sau : 1 Phương pháp 1 : B1 : Dựng đường vuông góc chung bằng cách ▪ Dựng theo quy trình trong sách giáo khoa ▪ Nếu a  b thì chỉ cần dựng mp(P) chứa b, vuông với a tại I Trong mặt phẳng (P)... D K B C 14 Vậy khoảng cách từ AD đến mp(SBC) bằng 2 a 3 Nhận xét: Để giải được bài toán 2”, học sinh cần nắm vững cách giải bài toán 1” kết hợp với cách chọn điểm A hợp lý Trong ví dụ 2 cơ sở để chọn điểm A là vì giả thiết cho SA vuông góc với mp(ABCD) từ đó ta suy ra SA vuông góc với BC đó là yếu tố thuận lợi cho việc dựng hình chiếu A lên mp(SBC) b Bài tập tự luyện : Bài 1) Cho hình chóp S.ABC... (SBC), (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SN theo a D KIỂM NGHIỆM : Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm giảng dạy lớp 11 được học sinh đồng tình và đạt kết qủa Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hưỡng dẫn kỹ, các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 11 sau khi... thấy hình chóp B.AME có BA, BE, BM đôi một vuông góc Khoảng cách từ B đến (AME) bằng độ dài đường cao của hình chóp S.AME hạ từ A xuống mp(AME) Gọi hB là đường cao hạ từ B xuống (AME) 1 1 1 1 1 1 1 7     2  2  2 2 2 2 2 1 hB BE BM BA a a a2 a 2 4 a  hB  7 a Vậy khoảng cách từ B đến mp(AME) bằng 7 A' B'  C' E B A M C Nhận xét: Để tính khoảng cách từ B đến mp (EMA) thì có nhiều cách nhưng cách. .. ( A;( SID)) Gọi K là hình chiếu của A lên SI Ta có: AK  BC  AK  ID    AK   SID  AK  SI   d  A;  SID    AK  AS AI AS  AI 2 2  Vậy khoảng cách giữa BC và SD bằng b h 2 1 4h 2  b 2 2  b.h 4h 2  b 2 bh 4h 2  b 2 Nhận xét 1 Các bài toán trên có nhiều cách giải nhưng tôi chỉ trình bày ở đây cách giải mà qua nghiên cứu và giải tôi thấy là tối ưu nhất 2 Sở dĩ trong phần này tôi trình