MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỉ (repaired)

Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃNLĩnh vực nghiên cứu: Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong b

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃNLĩnh vực nghiên cứu:

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2014 - 2015

10A2, 10A6, 12A4; Chủ nhiệm lớp 10A2.

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học

- Năm nhận bằng: 2000

- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán

- Số năm có kinh nghiệm: 15 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

BM02-LLKHSKKN

Có thể nói, giải phương trình vô tỉ là đỉnh cao của kĩ năng giải phương trình, vì để

giải quyết tốt các phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiếnthức và phép biến đổi cơ bản của căn thức , phải có tư duy ở mức độ cao và biếtcách nhận xét mối quan hệ của các biểu thức xuất hiện trong phương trình để từ

đó đề xuất cách giải phù hợp

- Tuy vậy, trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các

em học sinh được tiếp cận với phương trình vô tỉ ở một vài cách giải thôngthường với những bài toán cơ bản đơn giản Nhưng trong thực tế, các bài toán giảiphương trình vô tỉ xuất hiện rất nhiều trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Caođẳng và các kì thi học sinh giỏi Sự phong phú về các dạng toán và cách giải đãgây không ít khó khăn cho các em học sinh, trong khi đó chỉ có số ít các em biếtphương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủathậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày Tại sao lạinhư vậy?

- Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành,phương trình vô tỉ được trình bày ở phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) rất là ít

và hạn chế Chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ vàđưa ra cách giải thích vắn tắt và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa ra sau bài họccũng rất hạn chế Hơn nữa, do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ítnên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều

bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh mặc dù cách giải

nào cũng có chung một mục đích là làm mất căn thức và đơn giản hình thức bài toán

- Trong những năm học qua, khi được phân công giảng dạy lớp 10 Qua nhận xét

và đánh giá, tôi thấy đa số học sinh nhận thức còn chậm Từ đó, giáo viên cần có

phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn.

- Tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích tổng hợp một số phương pháp giải

phương trình vô tỉ thường gặp trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng

trong những năm gần đây với bài tập được phân dạng tương ứng, nhằm giúp các

em học sinh lớp 10 có thể tự học để nâng cao kiến thức và các em học sinh lớp 12

tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học - Cao đẳng

- Tôi hy vọng chuyên đề này bổ túc cho các em học sinh một lượng kiến thứcnhất định Rất mong được sự động viên và những ý kiến đóng góp của quý Thầy

Cô và các em học sinh

Tôi xin chân thành cảm ơn !

-II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận:

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của giáo viên và

hoạt động học của học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, giúp học sinh củng cố những kiến thức

phổ thông Trong đó, bộ môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khóvới kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môntoán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài

tập Điều đó thể hiện ở việc “học đi đôi với hành”, đòi hỏi học sinh phải có tư

duy logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toánhọc một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyếtvào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

- Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vậndụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình chứa ẩndưới dấu căn

- Trong giới hạn của SKKN tôi giới thiệu 4 phương pháp giải phương trình chứa

ẩn dưới dấu căn thường hay sử dụng:

 Phương pháp biến đổi tương đương

 Phương pháp nhân lượng liên hợp

 Phương pháp đặt ẩn phụ

 Phương pháp hàm số

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:

- Đưa ra một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn, có ví dụ

cho học sinh tham khảo và bài tâp áp dụng

- Đây là nội dung thường gặp trong các kỳ thi Tuyển sinh Cao đẳng và Đại học

Với phương châm “ Từ dễ đến khó” , học sinh cần phải rèn luyện nhiều thì mới

đạt kết quả tốt

1 Biến đổi theo công thức:

(Ở đây ta chỉ thu được phương trình hệ quả, nên cần thử nghiệm)

Chú ý Khi bình phương hai vế của phương trình ta cần có điều kiện hai vế

không âm để có được phương trình tương đương

Bài 1 Giải các phương trình:

x x

So điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 0

Chú ý: Ta chuyển vế trong bước biến đổi 1 để hai vế không âm

d) x 4 1 x  1 2 x (2)

-Mà có : f x h x    k x g x    thì ta biến đổi phương trình về dạng :

f x  h x  k x  g x sau đó bình phương , giải phương trình hệ quả

Bài 2 Giải các phương trình:

+ Nếu x = 30 phương trình thỏa mãn.

+ Nếu x =  61 phương trình thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 30 hay x = – 61

+ Với x = 1 thì phương trình thỏa mãn.

+ Với x = 0 thì phương trình vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1.

Bài tập tự luyện

Bài 3 Giải các phương trình:

1/ 2 x23x  5x2 1 ĐS: x = 1, x = –1

2 2/ 3x2 2x = 3x + 1 1 ĐS: x = 1

3

3/ 2x23x 4 7x2 ĐS: x = 3

4/ 3x 4 x 3 3 ĐS: x = 4, x = 7

5/ 3 1x  4x 3 5x4 ĐS: x = 1

6/ (ĐH 2005B–db1) 3x 3 5 x  2x 4 ĐS: x = 2; x = 4

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

x 825x 56 0

5 61x

So điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 8 hay x = 5 61

2d) 3(x2 – 1) + 4x = 4x 4x  (3)3

Điều kiện: x  3

4(3)  3x2 + 4x – 3 = 4x 4x   3x3 2 – 4x 4x  + 4x – 3 = 0 3

4/ 3 x 3 2 x 7 6 x210 21 ĐS: x = 1, x = 2 5/ 4x2 + 3x + 3 = 4x x 3 2 2x 1 ĐS: x = 1

Tổng quát:

Chú ý: Học sinh cần ôn tập lại các hằng đẳng thức

Bài 1 Giải các phương trình:

phương trình luôn đưa về được dạng tích x x 0  .f x  0 , trong đó ta có thể giảiphương trình f x   0 hoặc chứng minh f x   0 vô nghiệm.

Chú ý: Điều kiện của phương trình để ta có thể đánh gía f x   0 vô nghiệm.

Bài 1 Giải các phương trình:

Bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được phương trình hệ quả :

2x – 1 = (x2 + 2x – 2)2 , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơiphức tạp một chút Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta nhẩm nghiệm củaphương trình là 1 và từ đó biến đổi phương trình làm xuất hiện nhân tử (x –1)

(1)  2x  – 1 = x1 2 + 2x – 3  2( 1)

x x

b) 3x  – 6 x1  + 3x2 – 14x – 8 = 0 (2)

Điều kiện: 1

3

  x  6Phân tích: ta tìm một số x ( 1

3

  x  6) để 3x + 1 và 6 – x là một số chínhphương thỏa phương trình (2) Dễ thấy x = 5 thỏa (2), do đó ta đưa phương trình

về dạng (x – 5).f(x) = 0 Vì thế ta làm xuất hiện nhân tử chung x – 5 bằng phươngpháp liên thông qua việc chọn hai số a, b > 0 để hệ phương trình sau có nghiệm x

giải theo cách trên.

c) 5x 139 x = 2x2 + 3x – 1 (3)

Điều kiện: x  15

Dễ thấy x = 1 là nghiệm, ngoài cách thực hiện như trên ta thấy khi thay x = 1 vào

5x  và 1 39 x có cùng kết quả là 2 nên thực hiện phân tích như sau:

-Điều kiện: x 

21

17

Dễ thấy phương trình có nghiệm x = 1, x = 2 Do đó phương trình sẽ có nhân tử là

x2 – 3x + 2 Tuy nhiên ta không thể nhân và chia lượng liên hợp với hai căn này.Vậy làm sao để phân tích được nhân tử x2 – 3x + 2, ta thực hiện như sau:

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2

- Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t = f(x) và chú

ý điều kiện của t Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t, quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “ hoàn toàn ” Nói chung, những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn

t = f(x) thường là những phương trình đơn giản

Dạng 1: Fnf(x),f(x) = 0 Đặt t = f(x) , ta có phương trình G(t) = 0.n

Dạng thường gặp: af(x) + b f(x) + c = 0

Chú ý điều kiện của ẩn phụ.

Bài 1 Giải các phương trình:

2Với  t 2 x23x 4 0   x 1,x 4.

So với điều kiện, phương trình có 4 nghiệm x = 1, x = – 4,x 3  13

Điều kiện: x  0 hay 4  x

3/ x2 3x 3  x2 3x 6 3  ĐS: x =1; x = 2

4/ x2 x 12 x 1 36  ĐS: x = 3

5/ 2(x2 – 2x) + 2 

x 2x 3 – 9 = 0 ĐS: x = 1 56/ x2 2x x 1 3x 1

Điều kiện: x 1

So điều kiện, phương trình có nghiệm x = 1.

Bài tập tự luyện

Bài 2 Giải các phương trình:

1/ 1 x   8 x   (1 x)(8 x)   3 ĐS: x = – 1 ; x = 82/ 2x 3   x 1 3x 2 (2x 3)(x 1) 16       ĐS: x = 3

2

Với dạng này ta xét hai trường hợp:

 TH2: g(x)  0 chia hai vế phương trình cho n g (x)k và đặt t n f(x)

g(x) tađược phương trình G(t) = 0 là phương trình đa thức bậc k

t 6 9 6tt   x 1 25 2 x2 17x 1 0   x 4,x 1

So điều kiện, phương trình có nghiệm x = 4, x = 1

4.b) x23 x4 x2 2x 1 (2)

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2)

Với x  0, chia hai vế phương trình (2) cho x ta được: x 13 x 1 2 0

Đặt t 3 x 1

x, phương trình (*)  tt 2 03    (t 1)(tt 2) 0 2    t 1Với t 1  3 x 1 1 x2 x 1 0   x1 5

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 5

2 .c) 2 x2  5 x   1 7 x3  1 (3)

Điều kiện: x  1

Phân tích Ta viết x1x2 x 1 7 x1 x2 x 1

Đồng nhất thức ta được (3)  3x 12 x2 x 1 7 x 1 x2 x 1 (*)

Ta thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình (*)

Với x > 1, chia hai vế phương trình (*) cho x – 1 ta được phương trình:

t f(x) , khi đó ta được phương trình theo ẩn t: at2g(x)t h(x) 0  , ta giải

phương trình này theo t, xem x là tham số.

Bài 1 Giải các phương trình:

Với t = 3x thì 4x 3 = 3x  9x 2 = 4x – 3 (vô nghiệm)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 , x = 3

x x

e) 4 x  1 1 3x2 1 x  1 x2 (5)

Điều kiện: – 1  x  1

Đặt t = 1 x , (t  0)

(5)  4 1x 3x2t t 1x (*)

Ta rút x = 1 – t2 thay vào thì được: 3t2  2 1x t 4 1 x  1 0

Nhưng  t 2 1x2 48 x 1 1 không có dạng bình phương

-Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo  1 x 2, 1x2

Cụ thể như sau : 3x 1 x 2 1 x thay vào pt (*) ta được:

x x

t t

4/ 3x2 3 x 4x x 2 3 4 x  ĐS: x = 2, x = 1 5 1

5

HD: Đặt t = 1 y với y = x – 2  3y = – t 2 + 2(y + 1) – 1

3 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình:

3.1 Đặt ẩn phụ chuyển phương trình về hệ phương trình với 2 ẩn phụ:

- Các hệ thu được thông thường là các hệ đối xứng.

- Đối với dạng này, ta cần chú ý đến các đẳng thức trong quá trình biến đổi

Bài 3 Giải các phương trình:

Vậy phương trình có ba nghiệm: x 1;x  1  5

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) k (k là hằng số)

Bước 2: Xét hàm số yf x( )

Bước 3: Nhận xét:

 Với x x 0  f x( ) f x( ) 0 k do đó x0 là nghiệm

 Với x x 0  f x( )  f x( ) 0 k do đó phương trình vô nghiệm

 Với x x 0  f x( )  f x( ) 0 k do đó phương trình vô nghiệm

 Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: thực hiện theo các bước

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) g x( )

ngược nhau và xác định x0 sao cho f x( ) 0 g x( ) 0

Bước 3: Vậy x0là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f u( ) f v( )

-Bước 2: Xét hàm số yf x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

Bước 3: Khi đó f u( ) f v( )  u v

Nhận xét: Vấn đề quan trọng nhất trong phương pháp này là chúng ta nhận ra

1) Để nhận ra hàm luôn đơn điệu chúng ta cần nắm được một số tính chất củahàm đơn điệu:

i) Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) thì:

* Hàm y n f(x) (với điều kiện n f(x) tồn tại) cũng đồng biến(nghịch biến)

2) Khi nhẩm nghiệm của phương trình thì ta thường ưu tiên cho những giá trị của

x mà biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là một số lũy thừa mũ n (với căn bậc n)

Bài 1 Giải các phương trình:

-2 3

Kết hợp với (1) ta có x 2  2 là nghiệm của phương trình đã cho.

Ở cách giải trên, ta thấy sau khi khử căn ta đưa về một phương trình tích Điềunày gợi ý cho chúng ta biến đổi phương trình ban đầu về phương trình tích

Do x = – 1 không là nghiệm của phương trình nên ta có:

Tuy nhiên để có được (**) ta cần có thêm điều kiện 2x 2 4x 3 2x 1 0 

Như vậy ta có cách giải thứ 2 như sau:

x 4x 2 0

Thay vào (3) ta thấy không thoả Suy ra 2x 2 4x 3  1 2x nên (3) tương

Kết hợp với điều kiện, ta có x   2 2 là nghiệm của phương trình đã cho

Vì trong phương trình xuất hiện căn thức nên điều tự nhiên ta nghĩ đến việc đặt

8a2  16a 1 x   2  2 8a 2  14a 1 x 12a    2  12a 1 

Ta chọn a sao cho: 8a2  14a 1   2  12a2  12a 1 8a   2  16a 1    0

Phương trình này có nghiệm a = – 1 Vậy ta có cách giải thứ 3 như sau:

Cách 3 Phương trình tương đương với:

2x 4x 3 2x 1 2x 4x 3 3x

Giải các phương trình này ta được x 2   2

Vì vế trái là tam thức bậc hai và vế phải chứa căn bậc hai, tức là hai vế chứa haiphép toán ngược nhau nên ta nghĩ đến cách chuyển về hệ đối xứng

u 3x 2 (x 1)v

v 3x 2 (x 1)uĐây là hệ đối xứng loại 1 Ta có cách giải thứ 5 như sau:

u 3x 2 (x 1)v

v 3x 2 (x 1)uSuy ra u v u v       (x 1)(v u)    u v u v x 1         0

Giải các phương trình trên ta được x   2 2

Qua 5 lời giải trên, chúng ta thấy được nếu có sự nhận xét tinh tế về mối quan

hệ giữa các biểu thức xuất hiện trong phương trình và có những suy luận hợp lí sẽcho chúng ta nhiều lối đi khác nhau để đến mục đích

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

- Tài liệu phù hợp với mọi đối tượng học sinh, do đó học sinh tích cực, tự giáchọc tập

- Củng cố được nhiều kỹ năng như Phân tích, Tư duy Tổng hợp Giúp các

em học sinh tự tin hơn trong việc học môn Toán

VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trần Phương (2002) Tuyển tập các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán

Đại Số Sơ cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

2 Phan Huy Khải (2011) Bài tập cơ bản và nâng cao theo chuyên đề toán

THPT– Tập 3: Phương trình – Bất phương trình – Bất đẳng thức, Nhà xuất

bản giáo dục ,Việt Nam

3 Nguyễn Tất Thu (2013) Cẩm nang luyện thi Đại học Đại Số Sơ cấp, Nhà

xuất bản Tổng hợp, Thành Phố Hồ Chí Minh

4 Nguyễn Văn Cường (2014) Một số kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để

giải Phương trình – Bất phương trình vô tỉ, Toán học tuổi trẻ tháng 10 năm

2014

5 Một số bài toán được tác giả tích lũy trong quá trình giảng dạy.