PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn PHỤ để GIẢI một số PHƯƠNG TRÌNH vô tỉ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ... Lê Thị Bạch Liên em đã thực hiện đề tài “ Phươn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG

TRÌNH VÔ TỈ

Giảng viên hướng dẫn: Lê Thị Bạch Liên

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Kiều Oanh

Lớp : CĐ sư phạm Toán - Tin K56

Đồng hới, 5/2017

Khóa luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn

Được sự cho phép của Khoa Khoa Học Tự Nhiên Trường Đại Học Quảng Bình, và sự đồng ý của Cô giáo hướng dẫn TS Lê Thị Bạch Liên em đã thực hiện đề tài “ Phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình vô tỉ ”

Để hoàn thành khóa luận này Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và lòng kính trọng sâu sắc đối với cô, người đã tận tình chỉ dẫn và động viên

em trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn!

Quảng Bình, tháng 4 năm 2017 Sinh viên

Nguyễn Thị Kiều Oanh

MỤC LỤC

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

2 Mục tiêu nghiên cứu

3 Phương pháp nghiên cứu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5 Thời gian nghiên cứu

Nội dung

Chương 1 Phương trình vô tỉ

1.1 Định nghĩa

1.2 Các kiến thức cơ bản về căn thức

1.3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Chương 2 Phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình vô tỉ

2.1 Phương pháp dùng một ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ 2.2 Phương pháp dùng hai ẩn phụ đưa về hệ phương trình

2.3 Phương pháp dùng ẩn phụ không hoàn toàn

Kết luận

Tài liệu tham khảo

MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết ” dành cho học sinh lớp 6, 7 đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đại số ở lớp 9 Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loại phương trình này Thực ra, đây cũng

là một trong những vấn đề khó Đặc biệt, với những học sinh tham gia các

kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỉ mà ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình phức tạp, có thể là bậc quá cao…Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhất để giải quyết vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển về một phương trình đơn giản và dễ giải quyết Để nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện các nhà trường nói chung, các giáo viên trực tiếp giảng dạy nói riêng cần phải có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng môn đại số của học sinh trung học cơ sở củng như trung học phổ thông

Nhằm mục đích nâng cao chất lượng học sinh khi học môn đại số nói chung và phương trình vô tỉ nói riêng, với mong muốn cung cấp thêm cho

học sinh một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ, cùng với lòng đam mê nghiên cứu và sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn em đã quyết

định chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ”

2 Mục tiêu nghiên cứu

Xây dựng hệ thống bài tập về phương trình vô tỷ sử dụng phương pháp đặt

ẩn phụ Giúp học sinh nâng cao trách nhiệm trong học tập, khắc phục tính chủ quan tự mãn, đặc biệt là phát triển năng lực tự đánh giá Giúp người thầy tự điều chỉnh hoạt động dạy và học cho phù hợp

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp phân tích, nghiên cứu tài liệu trên cơ sở đó tổng hợp, chứng minh các vấn đề nghiên cứu, đồng thời trình bày các bài tập có liên quan

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Học sinh THCS và THPT

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu các dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ

5 Thời gian nghiên cứu

Năm học 2016-2017

B Nội dung

Chương 1 Một số khái niệm về phương trình vô tỉ

1.1 Định nghĩa phương trình vô tỷ

Khái niệm phương trình là một trong những khái niệm quan trọng của toán học Khi nói đến phương trình ta hiểu rằng đó là hai biểu thức chứa biến số nối với nhau bởi dấu “ = ” mà ta phải tìm giá trị của biến số để giá trị tương ứng của hai biểu thức bằng nhau

Có thể định nghĩa cơ bản về phương trình vô tỷ như sau:

“Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn ở dưới dấu căn”

A  A với A > 0 và m là số tự nhiên khác 0

1.3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

 Phương pháp 1: Biến đổi về dạng cơ bản

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

(x 5)(2 x)  3 x  3 x

2 x  1 4  x (x 1)(4 x)  5.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

Chương 2 Phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình vô tỷ

2.1 Phương pháp dùng một ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ

Phương pháp: Đối với phương trình vô tỷ, để giải chúng ta có thể đặt t= f(x) và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng hơn, ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt ẩn phụ xem như “hoàn toàn”

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình là: 1 2

2 3

x x

Thay y=1 vào pt  x 0.

Vậy x=0 là nghiệm của phương trình

Chia cả hai vế cho x ta nhận được: 1 1

x=0 không phải là nghiệm

Chia cả hai cho x ta được: 1 3 1

2.2 Pương pháp dùng hai ẩn phụ đưa về hệ phương trình

34

37 3

25 373

2 289

Giải hệ này ta tìm được: ( ; )x y  (2;3)  ( ; )x y  (3; 2).

Vậy nghiệm của phương trình là x (2;3).

Ta đưa về hệ phương trình sau:

4 4

2 4

2 2

4

1 1

2 2

x 

 

Ví dụ 6: Giải phương trình: 2 2

3x  6x   1 2x  4x  3 1. (1.1)

u v

Như vậy những phương trình dạng (1.2) có

' '

Với m≤3 hệ (*) hoàn toàn giải được bằng phương pháp thay thế

Đối với m≥4, ta đưa về giải hệ phương trình bậc cao trong một số trường hợp đặc biệt

Ví dụ 7: Giải phương trình 2 43  x2  53 x2  11  1

Trường hợp đặc biệt, m=n, phương trình (1.5) trở thành

Ví dụ 8: Giải phương trình: 3 x   1 3 x   1 3 5 x (2.1)

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán THPT chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa 2003)

Hướng dẫn:

Ta nhận thấy x=0 là một nghiệm của phương trình

Xét với x≠0, chia cả hai vế của phương trình cho 3

x u

x x v

Ta suy ra u,v là nghiệm của phương trình 5X2 - 5X+1 = 0

Giải phương trình này ta được hai nghiệm X= 5 5

10



Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x= 2

3  5; x= 0

Ta xét bài toán tổng quát: Giải phương trình

n

n

f x u

x x v

u v

u v

Cách 2: Đặt

3 3 3

2 3

,x=-Như vậy, những phương trình dạng (2.2) với n=3 thỏa mãn

2 2 2 2

( ) ( )

Thay vào ta giải ra được x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình

Nhận xét: Ta tổng quát hóa bài toán này như sau:

ta có hệ 

 

Thay u,v vào, ta giải được nghiệm của phương trình ban đầu là: x=0

Ta xét bài tổng quát: Giải phương trình:

Giải hệ này ta được

Suy ra nghiệm của phương trình ban đầu la: x=0

Ví dụ 13: Giải phương trình

Hướng dẫn: Điều kiện 2 x 4

Đặt

Ta có hệ





Đặt S = u + v, P = uv, P 0

Hệ phương trình trở thành



Thế vào ta có x=3 là nghiệm của phương trình ban đầu

Nhận xét Ta xét bài toán tổng quát: Giải phương trình

Với

+ =k c,k ; c

Ta đưa về hệ phương trình

Điểm cần chú ý ở đây là khi gặp bài toán + = ta phải

=> ; là hai nghiệm của phương trình đã cho

2.3 Phương pháp dùng ẩn phụ không hoàn toàn

- Phương pháp: Từ những phương trình tích  x  1 1 x   1 x 2 0;

 2x  3 x 2x   3 x 2 0.

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỷ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát

Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau:

Phương trình tương đương với (3 2x2+ 1−x)( 2x2+ 1+3x−1)=0

Đến đây phương trình đã trở nên đơn giản,dễ dàng giải tiếp

Khi nhìn vào lời giải trên không ít người thắc mắc về cách phân tích thành nhân tử phương trình trên,một lời giải khá gọn và đẹp nhưng tại sao lại có cách phân tích trên,chúng ta sẽ đi tìm lời giải đáp

Mặc dù máy tính Casio có thể tìm được nghiệm của phương trình,chúng ta có thể dựa vào nghiệm vô tỷ hoặc nghiệm phức để tìm ra nhân tử,nhưng nếu phương trình không có nghiệm vô tỷ thì sao.phương pháp này có thể áp dụng cho cả hai trường hợp

Bài toán trên còn có một lời giải khác:

Đặt 2x2+ 1=t ,phương trình trở thành:

3t2+(8x−3)t−3x2+x=0

Ta có : Δt =100x2−60x+9=(10x−3)2

Từ đây dễ dàng giải tiếp

Nhìn hai cách giải trên có gì đó liên quan đến nhau.Từ lời giải 2 dễ dàng suy ra lời giải 1

Ở cách giải thứ 2,hệ số của t2

là 3,nếu hệ số khác có làm cho Δ chính phương không,đáp án là không

Vậy những số nào có thể thỏa mãn

Chúng ta gọi hệ số đó là m, khi đó phương trình trở thành

Mong muốn của chúng ta là : 3t2

Dễ dàng thấy phương trình trên có nghiệm m=3,từ đó suy ra cách biến đổi

phương trình để có hai lời giải trên

Tổng quát: Phương trình (ax+b) cx2+ dx + e = px2+qx+z

Viết lại phương trình thành: px2

+qx+z−(ax+b) cx2+ dx + e= 0 Đặt cx2+ dx + e= t

Ta sẽ biến đổi phương trình thành : mt2−(ax+b)t+P(x) = 0(1)

Khai triển vế trái của phương trình trên ta được một phương trình có dạng

m(a1x3+a2x2+a3x+a4)=0,phương trình này luôn có ít nhất hai nghiệm phân

biệt trong đó có một nghiệm m=0

Sau khi tìm được giá trị m,ta dễ dàng giải quyết phương trinh (1)

VD: Giải phương trình −4x2

+7+(2x−4) 2

x -

Δt = (2x−4)2−4m[−4x2+7−m(2−x2)]=(−4m2

+16m+4)x2−16x+8m2−28m+16 Δ′Δt = 64−(−4m2

+16m+4)(8m2−28m+16)=32m4−240m3

+480m2−144m

= m(32m3−240m2

+480m−144) = 0 Giải phương trình ta tìm được nghiệm m = 3

Phương trinh viết lại thành 3t2

0 ( 1)( 1) 0

Giải tiếp suy ra phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x = 0

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn dụ để giải bài toán, NXB Giáo dục, 2003 [2] Phạm Quốc Phong, Các chuyên đề nâng cao toán PTTH ĐS&GT, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004

[3] Nguyễn Đức Tấn, Phạm Ngọc Thảo, Phương trình và hệ bất phương trình không mẫu mực, NXB Giáo dục, 2003

[4] Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo dục 2002

[5] Phan Đức Chính, Vũ Dương Thuỵ, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Các bài giảng luyện thi môn (T2), NXB Giáo dục, 1999

[6] Phan Huy Khải, Giới thiệu các dạng toán luyện thi đại học (Phần 2) , NXB Hà Nội, 2000

[7] Lê Trần Chính, Nguyễn Quý Di, Nguyễn Văn Lộc, Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán (tập 2), NXB Giáo dục, 2004

[8] Trần Minh Quang, Đức Huyên, Phương pháp giải cdạng toán đại số, NXB đại hoạ sư phạm 2003