Giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

A.Đặt vấn đề I Lí chọn đề tài Cơ sở lí luận Trong cỏc k thi hc sinh gii hoc cỏc k thi tuyn sinh vo lp 10 ca cỏc trng cht lng cao, tuyn sinh vo i hc - Cao ng thng cú nhng bi toỏn gii phng trỡnh vụ t, h phng trỡnh m vic gii chỳng khụng h n gin Thụng thng, nhng phng phỏp hay c s dng l phng phỏp bin i tng ng, phng phỏp t n ph, phng phỏp hm s hoc phng phỏp ỏnh giỏ hai v Nhng la chn phng phỏp no tng bi c th cú th gii c (hoc gii nhanh) cỏc phng trỡnh, h phng trỡnh ny thỡ qu tht khụng n gin m chỳng ta phi bit dng linh hot tng trng hp c th c bit i vi phng phỏp t n ph, vic la chn t n nh th no, t n ht hay khụng ht, t mt hay nhiu n l c mt nan gii Cơ sở thực tiễn i vi hc sinh THPT, vic hiu cn k cõu hi Ti li t n ph nh th?, Khi no thỡ t n ph nh vy? ng dng vo lm toỏn khụng h n gin Túm li, vic gii bi toỏn ny ũi hi hc sinh cú k nng tt ,cú t linh hot sỏng to v dng thnh tho cỏc kin thc toỏn hc khỏc vo bi II Thực trạng vấn đề nghiên cứu 1.Thực trạng Bi v gii phng trỡnh vụ t v h phng trỡnh rt nhiu, phng phỏp gii cng ó c nhiu ngi xõy dng vụ cựng phong phỳ Vi phng din l mt ngi thy trờn bc ging, vic gii cỏc bi toỏn gii phng trỡnh cho hc sinh hiu ó khú nhng vic dn dt hc sinh a mt cỏch gii mi m nh khụng mi, l m nh rt quen thuc d hiu cũn khú hn rt nhiu Kết quả, hiệu thực trạng Chớnh vỡ vy, qua cỏc bi ging trờn lp, qua cỏc bui hp nhúm v sinh hot ngoi khúa, tụi ó h thng kin thc li : Gii phng trỡnh v h phng trỡnh vụ t bng phng phỏp t n ph cho phự hp vi chng trỡnh, sỏch giỏo khoa v chun kin thc k nng v vi i tng hc sinh tng lp, vi cỏc i tng hc sinh gii nhm giỳp hc sinh hc tt hn v dựng lm ti liu ụn thi i hc hoc bi dng hc sinh gii vi gúc vit dn dt hc sinh nh th no cỏc em thy hc mt phng phỏp mi m nh khụng mi III nhiệm vụ đề tài 1.Chn v h thng bi Gii phng trỡnh v h phng trỡnh vụ t bng phng phỏp t n ph s dng cho cỏc lp bi dng hc sinh gii lp 10,11,12 v ụn thi i hc cho hc sinh khỏ, gii 2.Trờn c s: - Xỏc nh h thng kin thc c bn cn thit dy gii cỏc bi - a mt s bi phự hp vi ni dung kin thc - Hng dn gii cỏc bi ú IV phơng pháp nghiên cứu Nghiờn cu lớ thuyt v dy gii bi toỏn hc ph thụng Trao i ng nghip v thc t bn thõn c mt s ti liu tham kho V Nội dung I Cỏc cn c la chn h thng bi II Ni dung kin thc c bn v h thng bi A.Kin thc c bn: B.H thng bi 1.S dung phng phỏp t mt n ph ht Phng phỏp t mt n ph khụng ht a v mt phng trỡnh hai n Phng phỏp t n ph l hng s Phng phỏp t nhiu n ph a v phng trỡnh tớch Phng phỏp t nhiu n ph a phng trỡnh thnh h phng trỡnh III.Bi t luyn IV.Kt lun v kin ngh V Ti liu tham kho B Giải vấn đề PHN I NHNG CN C LA CHN H THNG BI TP 1.Mc ớch , ý ngha ca phng phỏp Gii phng trỡnh v h phng trỡnh vụ t bng phng phỏp t n ph Phng phỏp t n ph cú th gii quyt c nhiu bi gii phng trỡnh Nú giỳp chỳng ta cú th nhỡn nhn mt phng trỡnh di nhiu gúc khỏc v mi gúc ú li ny sinh mt cỏch gii i vi bi toỏn lm hc sinh cm thy hng thỳ hc toỏn v sỏng to hn Cỏc yờu cu ca vic la chn bi a H thng bi y , hp lý H thng bi phi y , hp lý , lm hc sinh nm c bn cht ca phng phỏp , rốn luyn cho hc sinh kh nng c lp suy ngh sỏng to v cú kinh nghim suy lun b H thng bi m bo tớnh mc ớch ca vic dy hc Bi c chn phi nhm cng c , khc sõu kin thc c bn vỡ nn hc c bn l c s ca mi Cú nm vng kin thc c bn mi to iu kin cho hc sinh cú kh nng ỏp dng kin thc ó hc vo vic gii quyt cỏc thc t Cỏc bi trang b cho hc sinh cỏc kin thc h thng chớnh xỏc gúp phn rốn luyn k nng , k xo c Yờu cu va sc - H thng bi c chn phự hp i tng hc sinh c bi dng - Bi ũi hi cú s ng t t n gin n phc - Cỏc bi n gin nhm lm cho hc sinh nm rừ bn cht ca phng phỏp Cỏc bi phc hn ũi hi hc sinh phi bit dng cỏc thao tỏc t khộo lộo , s dng cỏc tớnh cht lý thuyt phc hn , dng nhiu dng kin thc khỏc giỳp hc sinh cú iu kin phỏt trin trớ thụng minh v nng lc sỏng to d Yờu cu cõn i Cỏc bi la chn phi cõn i vi thi gian quy nh ca chng trỡnh v thi gian hc nh ca hc sinh e Yờu cu gn vi thc t Giao cho hc sinh nhng bi toỏn cú th dựng lý thuyt gii cỏc bi thc t , lm cho hc sinh thy c toỏn hc l mt mụn khoa hc bt ngun t thc t v phc v cuc sng mt cỏch tớch cc, t ú bin toỏn hc thnh mt mụn hc hp dn hc sinh Cỏc cn c la chn h thng bi a Cn c vo mc ớch dy hc Mc ớch mụn toỏn trng hc ph thụng : - Dy cho hc sinh nhng kin thc c bn, cú h thng v s hc, i s, hỡnh hc,lng giỏc - Bi dng cho hc sinh nhng k nng thnh tho ỏp dng kin thc y vo thc tin - Giỳp phỏt trin suy lun khoa hc v t tru tng , nng lc phõn tớch , tng hp - Bi dng cho hc sinh gii kh nng t , sỏng to toỏn hc b Cn c vo tỡnh hỡnh dy hc c Cn c vo sỏch giỏo khoa v chng trỡnh d Cn c vo tỡnh dy hc Cỏc phng hng la chn bi Cỏc bi gii phng trỡnh m cỏc nhúm cha n cú mi quan h c bit hoc khụng cú quan h nhng sau bin i cú th gii bng phng phỏp t n ph Cỏc yờu cu i vi li gii a Li gii khụng cú sai lm b Lp lun cú cn c chớnh xỏc c Li gii y Ngoi cỏc yờu cu trờn yờu cu li gii ngn gn, y , n gin, trỡnh by rừ rng, hp lý PHN II NI DUNG KIN THC C BN V H THNG BI TP I.KIN THC C BN a) Phng trỡnh f(x) g(x) f(x) = g (x) g(x) f(x = g (x) f(x) = g (x) b) Ta lu ý cỏc phộp t n ph thng gp sau: Nu bi toỏn cha f(x) v f(x) cú th: t t= f(x) , iu kin ti thiu t , ú f(x)=t Nu bi toỏn cha cú th: f(x) , g(x) v f(x) g(x) = k (k=const) k g(x) = t Nu bi toỏn cha f(x) g(x), f(x).g(x) v f(x) + g(x) = k (k=const) cú th: t2 - k t= f(x) g(x) t t , ú , ú f(x).g(x) = Nu bi toỏn cha a - x cú th: t x= a sint vi t hoc x= a cost vi t 2 Nu bi toỏn cha x - a cú th: a a t x= vi t , \ { 0} hoc x= vi t [ 0, ] \ sint cost 2 Nu bi toỏn cha a + x cú th: t x= a tgt vi t , ữhoc t x= a cotgt vi t ( 0, ) 2 a+x a-x Nu bi toỏn cha hoc cú th t x=acos2t a-x a+x Nu bi toỏn cha ( x a ) ( b x ) cú th t x=a+ ( b-a ) sin t t t= f(x) , iu kin ti thiu t , ú II H THNG BI TP S DNG PHNG PHP T MT N PH HT PHNG PHP Phng phỏp dựng mt n ph ht l vic s dng n ph chuyn phng trỡnh ban u thnh mt phng trỡnh vi mt n ph Vớ d 1: Giải pt: x + + x +1 = 3x + 2 x + x + 16 Nhn xột : x + x + = ( x + 3) ( x + 1) v x = (2 x + 3) + ( x + 1) Bi gii : DK : x t = 2x + + x +1 Đăt => t = 3x + + 2 x2 + x + pt t = suy x = Vớ d 2: Phng trỡnh sau cú bao nhiờu nghim ? x3 3x = x Nhn xột : Nu bỡnh phng hai v ta cú phng trỡnh bc cao quỏ ( bc 6) rt khú gii ý thy biu thc cn cú dng a - x nờn ta liờn tng n t n ph dnh lng giỏc v biu thc ngoi cn thc cú dng khai trin ca cos 3x T ú t x=cost Bi gii: iu kin: x Vi iu kin ( *) , t x= cost, t [ 0, ] Khi ú phng trỡnh c chuyn v dng: 4cos3 t 3cos t = cos t cos3t = sin t cos t 3t = sin t cos t 3t = cos t ữ ( **) t = x = c os t = + k t = t + k 5 t = x = cos 8 t = + k 3t = + t + 2k t = x = cos Vy phng trỡnh cú nghim Vớ d :Gii phng trỡnh 4.33x -3x+1 = x (4) Nhn xột : phng trỡnh tng ng: 4.33 x 3.3x = 32 x , vy tng t vớ d trờn ta cú th t 3x = cost Li gii: DK: 9x x < 3x t 3x = cost (t 0; ữ(**) (4) tr thnh: 4cos3t 3cost = cos t cos3t =sint do(**) cos3t = cos t ữ 3t = / t + k 3t = / + t + k t = / + k / t = / + k (loai ) + k (***) t= Do (**) nờn t (***) t = Ta cú: cos 2+ = cos cos = 8 Nờn 3x = cos = + x = log + 2 KL: vy PT cú nghim l x = log + 2 Vớ d 4: Gii phng trỡnh: + x = x(1 + x ) (2) k: 1-x2 hay x t x = sint, t ; (*) 2 Pt (2) tr thnh + sin t = sin t (1 + sin t ) + cos t = sin t (1 + cos t ) t = sin t + sin 2t t 3t t 2cos = sin cos 2 2cos cos t / = sin 3t / = / t = / t = / x = 1/ hay x = Vớ d 5: Gii phng trỡnh:: x2 + + x + ( x + 1) = (3) 2x x(1 x ) Nhn xột: Nhu cu ta mun t n ph cho biu thc cn thc tr thnh mt bỡnh phng nờn ta liờn tng t x= tan t, ú ta nhn xột thy ( x + 1) x2 + hai biu thc v tr nờn rt gn Vy cỏch t trờn l phự hp (1 x ) 2x Li gii: x k: x x t x=tant, t ; ữ\ ; ;0 2 4 Ta cú: x2+1=tan2t+1= Sin2t= 1 + x2 = cos t cos t tan t 2x x2 + 1 = = 2 + tan t x + 2x sin 2t tan t x Cos2t= = + tan t + x 2 x (1 x ) sin 2t.cos 2t = ( x + 1)2 x(1 x ) sin 4t = ( x + 1) 2 ( x + 1) = sin 4t x(1 x ) (3) tr thnh 1 + = cos t sin 2t sin 4t 4sintcos2t + 2cos2t = sint = ẵ t = /6 hay x = 1/ Vớ d : Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: x + x = x + x + m Nhn xột : x + (9 x) = v x(9 x) = x + x T ú ta bỡnh phng hai v , t t= x(9 x ) => t / Lp bng bin thiờn ca hm : f (t ) = t + 2t + (0 t / 2) / m 10 10 Nhn xột: nu ta ly tha hai v mt cn thỡ c phng trỡnh bc cao, rt khú gii Vỡ vy ta nờn t n ph cho phng trỡnh ny Hin nhiờn ta ngh n vic t y= n bx a , nu thay ht n x theo y thỡ li c PT n y rt khú gii , vy ta khụng thay ht n Nhng ny ta li c mt phng trinh hai n nờn cn mt mi quan h na gia x ,y Mi quan h ú t õu? Ta thy cú mt mi quan h t cỏch t n ph Vy l ta cú mt h PT , ý rng h ny rt d gii vỡ nú l h i xng loi Cỏch gii: t y= n bx a ú ta cú h i xng loi II x n by + a = n y bx + a = Vớ d 1: Gii phng trỡnh: Gii t y = x Ta cú h x3 + = x x3 + = y y3 + = x x y = 2( y x) ( x y )( x + _ y + xy + 2) = tr v vi v ta c: x = x = y 2x = x x 2x + = x = x = x = 3 Vy pt cú nghim l Dng 2: t n ph khụng ht a PT thnh h PT i xng hoc gn i xng Vớ d 1:Gii phng trỡnh: x2 2x = 2x Nhn xột: Ta th t y = x thỡ cú h phng trỡnh: x2 2x = y x2 y = y hoc 2 y = x y = 2x C hai h ny u khú gii nhng s xut hin v bc ca x,y rt cõn i , lm th no h s ca x,y cng i xng thỡ vic gii h PT s tr nờn n gin ( y + ) = x Gi s t x = y + , ú h PT tr thnh: x x = y + 18 Nhn thy h PT dng trờn d gii nht thỡ nờn chn , cho ta cú h PT i xng loi Vy chn = ú ta cú h sau ( y + ) = x y + y + = x x x = y + x x = y D dng nhn thy chn = l phự hp T ú t x = y v ta a v h sau: y2 y + = 2x x 2x + = y Tr hai v hai PT ta c (x-y)(x+y)=0 Gii ta tỡm c nghim ca PT l: x =2+ Mun to cỏc phng trỡnh dng ny ta nờn xut phỏt t dng h PT bc hai ( x + ) = ay + b ( 1) i xng sau: ( y + ) = ax + b ( ) t PT (2) suy ta t y + = ax + b ,thay y vo PT (1) ta s cú PT vụ t dng tng quỏt : a n ( x + ) = n ax + b + b a Vớ d 2: Gii phng trỡnh : x + 13 x + x + = Nhn xột : Nu chỳng ta nhúm nh phng trỡnh trc: 13 33 x ữ = 3x + 4 13 t y = x + thỡ chỳng ta khụng thu c h phng trỡnh m chỳng ta cú th gii c ( x+ ) = my + nx + p Ta li ý rng h PT sau khụng l h i xng ( y + ) = (m + n) y + p nhng nu tr v vi v hai PT thỡ cng gii c bng cỏch tng t Vy ta t : y + = 3x + , chn , cho h chỳng ta cú th gii c , (i xng hoc gn i xng ) ( y + ) = 3x + y + y x + = (1) Ta cú h : (2) (*) x 13 x + y + + = x 13x + = y 19 gii h trờn thỡ ta ly (1) nhõn vi k cng vi (2) v mong mun ca chỳng 2 = = ta l cú nghim x=y Nờn ta phi cú : ta chn c 13 + = 2; = Ta cú li gii sau : iu kin : x t x + = ( y 3) , y ữ ( x 3) = y + x + ( x y ) ( x + y 5) = ta cú h phng trỡnh sau : 2 y = x + ) ( 15 97 vi x = y x = 11 + 73 vi x + y = x = 15 97 11 + 73 ; Kt lun : nghim ca phng trỡnh l : 8 Chỳ ý : Khi ó lm quen , chỳng ta cú th tỡm ; bng cỏch vit li phng trỡnh ta vit li phng trỡnh nh sau : ( x 3) = x + + x + Khi ú t x + = y + , nu t y = 3x thỡ chỳng ta khụng thu c nh h mong mun , ta thy du ca cựng du vi du trc cn Mun to cỏc phng trỡnh dng ny ta nờn xut phỏt t dng h PT f ( x ) = Ax + By + m vi x=f(y) cú hm ngc y =g(x) thay vo PT u ta f ( y ) = ( A + B) x + m s cú mt bi mi (khụng nờn chn h cú phng phỏp gii quỏ phc tp) Chỳ ý: Ngoi cỏch tỡm tũi t n ph nh trờn ,ta cũn cú th tỡm biu thc t n ph a phng trỡnh v h PT gn i xng bng cỏch da vo o hm nh sau: *)PT dng ax + b = x + cx + d thỡ xột a 2 ac f ( x ) = x + cx + d ; f ' ( x ) = x + c = x + ữ ,khi ú ta th t a a a ac ax + b = y + 2 *) PT dng ax + b = cx + dx + e thỡ xột f ( x ) = cx + dx + e; f ' ( x ) = 2cx + d ta th t ax + b = 2cy + d 20 x + cx + dx + e thỡ xột a f ( x ) = x + cx + dx + e; f ' ( x ) = x + 2cx + d ; a a 6 ac f '' ( x ) = x + 2c = ( x + ) a a ac Khi ú ta cú th th t ax + b = y + 3 *) PT dng ax + b = cx + dx + ex + m tng t ta xột f ( x ) = cx + dx + ex + m; f ' ( x ) = 3cx + 2dx + e; *) PT dng ax+b = f '' ( x ) = 6cx + 2d = ( 3cx + d ) ú ta cú th th t: ax + b = 3cy + d Dng 3: Phng trỡnh cú dng n a k f ( x) + m b + t f ( x) =c Cỏch gii: t u= n a k f ( x) , v= m b + t f ( x) ta cú h sau u + v = c n m t u + k v = ta + kb Vớ d 1: Gii phng trỡnh: x + + x = Gii KX:x t u= x + u = x + x = u v= x v = x x = v + ta cú h: u + v = u , v u v = 15 v = u (u v )(u + v ) = 15 u , v v = u (u v)(u + v)(u + v ) = 15 u , v v = u u u 2 (2 u 3) u + (3 u ) = (u v)(u + v ) = 21 u (2u 3)(2u 6u + 9) = x + = u t ú ta cú: x = u = x + = 16 x=8 x = (tmdkx) Vy pt cú nghim l x=8 Vớ d 2: Giải phơng trình sau: (2 x) + (7 + x) (7 x)(2 x) = Hng dn: 2 u = x u + v uv = PT 3 -ẹaởt : u + v = v = + x u + v = u = 1; v = => x = 1, x = uv = Vớ d 3: Gii phng trỡnh: Gii 3x + x = u = 3x 5u + 3v = 5(3x 2) + 3(6 x) = t u= 3x , v= x v = x 2u + 3v = ta li cú 2u+3v-8=0 nờn cú h sau: u + v = 2u ) = 15u + 4u 32u + 40 = PT cú nghim nht u=-2 nờn 3x =-2 x=-2 u + 3( Vớ d 4: Gii phng trỡnh: + x (1 + x)3 (1 x)3 = + x Gii: Cỏch 1: k : -1 x ( 3 Nhn xột (1 + x) (1 x) = (1 + x) (1 x) + x ) Bng phng phỏp bin i tng ng ta t nhõn t chung v t ú gii c x= Cỏch 2: k : -1 x T nhn xột : (1-x)+(1+x)=2 v (1-x)(1+x)=1-x2 t a= + x ; b= x vi a,b a + b2 = ta cú h sau a + b = 2 2 ( a + b) ta cú a +b = (a + b) = + 2ab + ab = 3 + a ( a b ) = + ab 1 2 (a + b)(a b)(a + b + ab) = + ab (a b ) = Nờn thay vo PT th cú 2 22 a b = 1 1+ x = 1+ x= a2 = 1+ T ú cú h 2 2 a + b = Vy pt cú nghim l x= Cỏch 3: T iu kin xỏc nh ta thy cú th t x=cost ; t [ 0; ] Khi ú PT tr thnh: 3 + sin t ( + cost ) ( cost ) = + sin t t t t t sin + cos ữ 8cos 8sin = + sin t ữ 2 t t t t sin + cos ữ 2 cos3 sin ữ = + sin t ữ 2 2 2 cos t + sin t ữ = + sin t ữ cos t = Ta cú x = sin t = (l) Vớ d 5: Gii phng trỡnh: (x+5) x + + = 3x + Gii k x t a= x + , b= 3x + x = a v 3a + = b3 thay vo pt cú hờ (a + 4) a + = b cng v vi v ta cú 3a + = b a + 3a + 4a + = b3 + b ( a + 1)3 + (a + 1) = b3 + b Xột hm c trng f(t)= t + t ta cú f ' (t ) = 3t + >0 vy hm s ng bin nờn a+1=b a + = b a = b b3 3(b 1) = b3 3b + 6b = 3 2 b a = b a = (b 1)(b b + 4) = suy b=1 x=-1 ta cú h sau Vy pt cú nghim l x=-1 Túm li mun to bi toỏn gii phng trỡnh vụ t gii bng phng phỏp dt n ph thỡ ta nờn xut phỏt t mt h PT gii c ,sau ú thay cỏc bin h bng cỏc cn thc n x to phng trỡnh vụ t 23 PHN III MT S BI TP S DNG PHNG PHP TRấN Gii cỏc phng trỡnh sau : Dng t n ph hon ton bng i s: Bi Gii cỏc phng trỡnh: 2 2) x + x + + x + x + = 1) x + 10 x + = x x 3) x + + x ( x + 1)(3 x) = x + 12 x = x + 11x 23 4) Bi Gii cỏc phng trỡnh 1) x x + = x2 x + 2) x + + x + = x 16 + 2 x + x + Bi Gii cỏc phng trỡnh: 1) x + x ( x 2) 3x + =8 x2 2) x + 15 + x x 12 = x+3 ( x + 3) Bi Gii cỏc phng trỡnh: 1) x+ x = 2x + +4 2x 2 2 2) x + x = + 3x x Bi Gii cỏc phng trỡnh: x +1 x+2 =3 x + x + 1) 2) x + x = x x Bi Gii cỏc phng trỡnh: x2 + 2x x = 3x + x 1) 2) x + x x = x + (HD: Chia c hai v cho x ) Dng t n ph hon ton bng lng giỏc: * Cú th ỏp dng cho cỏc phng trỡnh m K ca bin s thuc mt on [a; b] Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh: 1) x 3x = x 2 2 2) 3x = x x (Chia v cho x3) 2 3) x 12 x + x = x x (t (x-1) = sint) 4) ( + x2 = x + x2 6) + x = 8[ x + (1 x ) ] ) 5) 24 x + = x (lp phng v) x2 + = +x 2 8) + x = + x x 35 x+ = x 12 10) x +1 1 + =x + x x 9) Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh: 7) 2 a, x x x x + = 3 c, x + (1 x ) = x 2(1 x ) 2 b, 64 x 112 x + 56 x = x x + ( x + 1) x +1 + = x x(1 x ) d Dng t n ph ht khụng ht a v h: Bi Gii cỏc phng trỡnh: 3 1) x + x + + x + x = 3 2) x + x = 3) x + 2( x + + x ) = 4) 18 x + x = 3 5) 3x + x = (TSH A - 2009) Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh: 3 1) x = x + 2) 12 x + + x = 4 4 3) 18 x + x = 4 5) 97 x + x = Bi Gii cỏc phng trỡnh: 3 1) x + = 2 x 4 4) 4 17 x8 x8 = 2) x x = x + 3) x x = x + Bi 4: Gii cỏc phng trỡnh: 4) x+4 = 3x x 1) x 13x + + x + = 2) x 13 x + + x + = 4) x + = x3 x 15 5) ( 30 x x ) = 2004 30060 x + + Dng 4: Giai h phng trỡnh bng phng phỏp t n ph Bi 1:Gii cỏc h phng trỡnh sau: (2 x 3x + 4)(2 x 3x + 4) = 18 2 x + y + xy x y + 14 = Bi 2: ( ) 25 x + x y = 2 x + x + 2 y = + Bi 3: x y + y x = (1 x)(1 + y ) = Bi 4: Gii h phng trỡnh sau: x 3z 3z x + z = ( 1) y 3x 3x y + x = ( ) ( 3) z y y z + y = 26 C Kết luận I Kết nghiên cứu -Phng phỏp t n ph khụng nhng giỳp hc sinh hiu sõu sc hn bi toỏn gii phng trỡnh bng phng phỏp t n ph m cũn giỳp cỏc em bit cỏch la chn cỏch gii phự hp trc mi phng trỡnh -Phng phỏp cũn giỳp cỏc em trỏnh c mt s sai lm thng gp bi toỏn gii phng trỡnh -Phng phỏp to cho hc sinh hng thỳ hc , kiờn trỡ sỏng to, ng thi giỳp hc sinh rốn luyn cỏc thao tỏc t c lp , linh hot , sỏng to v cm nhn c nim vui chin thng -H thng bi giỳp hc sinh tớch cc ch ng chim lnh kin thc , rốn luyn k nng , k xo v l ti liu b ớch hc sinh ụn nhm t kt qu cao kỡ thi Cao ng ,i hc, Thi hc sinh gii Tụi ó ỏp dng sỏng kin kinh nghim ny vo dy cho hai loi i tng hc sinh: + ễn luyn thi i hc cho hc sinh trung bỡnh, khỏ +Dy bi dng hc sinh gii Vi mi i tng l hc sinh, 100% cỏc em u ho hng, hiu bi v t ca cỏc em phỏt trin rt tt, khụng ch phn phng trỡnh m cỏc em cũn ỏp dng c phng phỏp t ny sang cỏc phn toỏn khỏc Sau õy l kt qu ca s hc sinh t im trờn trung bỡnh ca vic dy tng phn i vi tng i tng: S dung phng phỏp t mt n ph ht Hc sinh gii 100% Hc sinh trung bỡnh,khỏ 90% Phng phỏp t mt n ph khụng ht a v 100% 95% 100% 80% mt phng trỡnh hai n Phng phỏp t n ph l hng s 27 Phng phỏp t nhiu n ph a v phng 95% 75% 90% 80% trỡnh tớch Phng phỏp t nhiu n ph a phng trỡnh thnh h phng trỡnh II Kiến nghị- đề xuất Trờn phng din giỏo viờn, nu chỳng ta mun sỏng to cỏc PT dng t n ph khụng ht, a phng trỡnh thnh phng trỡnh bc hai mt n (n cũn li nh l tham s) thỡ nờn xut phỏt t PT dng tớch hai biu thc cha cựng mt cn khai trin lờn v rỳt gn i ta s cú mt bi khụng n gin gii c bng phng phỏp ny ụi lỳc chỳng ta cú th t sỏng to cho mỡnh nhng phng trỡnh vụ t"p" bng phng phỏp xut phỏt t phng trỡnh tớch to PT vụ t hoc da trờn nhng ng thc ó bit tao cỏc phng trỡnh phc hn Túm li mun to bi toỏn gii phng trỡnh vụ t gii bng phng phỏp t n ph thỡ ta nờn xut phỏt t mt PT hoc h PT gii c ,sau ú thay cỏc bin h bng cỏc cn thc n x to phng trỡnh vụ t Vn Lõm ,ngy 10 thỏng nm 2012 Ngi vit Nguyn Th Thu Thy TI LIU THAM KHO on Qunh- i s 10-NXB Giỏo dc 28 on Qunh- Bi i s 10-NXB Giỏo dc 3.Trn Phng -Nguyn c Tn (2004)-Sai lm thng gp v cỏc sỏng to gii toỏn-NXB H Ni 4.Trn Phng- Lờ Hng c (2011)-i s s cp- NXB i hc Quc Gia H Ni 5.Lờ Honh Phũ (2013)-10 trng im luyn thi i hc cao ng mụn toỏn- NXB Tng hp thnh ph H Chớ Minh MC LC A T VN B GII QUYT VN 29 PHN I:NHNG CN C LA CHN H THNG BI TP PHN II: NI DUNG KIN THC C BN V H THNG BI TP S DNG PHNG PHP T MT N PH HT 2.PHNG PHP T MT N PH KHễNG HT A V MT PHNG TRèNH HAI N 3.PHNG PHP T N PH L HNG S T N PH A V TCH PHNG PHP T N PH A PHNG TRèNH THNH H PHNG TRèNH 12 14 16 18 PHN III: MT S BI TP S DNG PHNG PHP TRấN 24 C KT LUN 27 NH GI XP LOI CA T CHUYấN MễN: 30 XP LOI: NH GI XP LOI CA HI NG KHOA HC GIO DC NH TRNG: XP LOI: Vn Lõm, ngy thỏng nm 2013 Ch tch hi ng NH GI XP LOI CA HI NG KHOA HC GIO DC CP TRấN: 31 XP LOI: 32 [...]... + (3 u ) = 5 (u v)(u 2 + v 2 ) = 5 21 0 u 3 2 (2u 3)(2u 6u + 9) = 5 4 x + 8 = 2 0 u 3 t ú ta cú: 4 x 7 = 1 u = 2 x + 8 = 16 x=8 x 7 = 1 (tmdkx) Vy pt cú nghim l x=8 Vớ d 2: Giải phơng trình sau: 3 (2 x) 2 + 3 (7 + x) 2 3 (7 x)(2 x) = 3 Hng dn: 2 2 3 u = 2 x u + v uv = 3 PT 3 3 -ẹaởt : 3 u + v = 9 v = 7 + x u + v = 3 u = 1; v = 2 => x = 1, x = 6 uv = 2 ... + = u t ú ta cú: x = u = x + = 16 x=8 x = (tmdkx) Vy pt cú nghim l x=8 Vớ d 2: Giải phơng trình sau: (2 x) + (7 + x) (7 x)(2 x) = Hng dn: 2 u = x u + v uv = PT 3 -ẹaởt... nhiu n ph a phng trỡnh thnh h phng trỡnh III.Bi t luyn IV.Kt lun v kin ngh V Ti liu tham kho B Giải vấn đề PHN I NHNG CN C LA CHN H THNG BI TP 1.Mc ớch , ý ngha ca phng phỏp Gii phng trỡnh v... dựng mt n ph ht l vic s dng n ph chuyn phng trỡnh ban u thnh mt phng trỡnh vi mt n ph Vớ d 1: Giải pt: x + + x +1 = 3x + 2 x + x + 16 Nhn xột : x + x + = ( x + 3) ( x + 1) v x = (2 x + 3) +