Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Nguyễn Văn Sang BÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A Phương trình - bất phương trình chứa thức I Phương pháp biến đổi tương đương Kiến thức cần nhớ:  a n n a  ab    a, b  a  b  a n  b n a  b  a n 1 a  b   a a  b b 2n n 1  b2 n  a n 1  b n 1  a , b  Các dạng bản: * Dạng 1:  g  x   f  x   g  x   (Không cần đặt điều  f  x   g  x  kiện f  x   ) * Dạng 2:     hai vế (1) không âm nên ta bình phương vế: x3 – x2 – 5x – 2    x   x  1  x f  x   g  x  xét trường hợp:  g  x    f  x    g ( x )   f  x   g  x  TH1:  * Dạng 3: Nguyễn Văn Sang dụng phương pháp hàm số để giải tiếp phương pháp hàm số không ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác * Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc ta phải nhẩm nghiệm việc giải phương trình theo hướng đúng, nhẩm nghiệm sử dụng phương trìnhbất phương trình bậc không ta phải chuyển sang hướng khác “Cũng không ?!” Ví dụ 1: Giải phương trình: x   x  3x   (ĐH Khối D – 2006) Biến đổi phương trình thành: x    x  3x  (*), đặt điều kiện bình phương vế ta được: x  x  11x  x   ta dễ dạng nhẩm nghiệm x = sau chia đa thức ta được: (*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = Ví dụ 2: Giải bất phương trình:  x  1   x  10    x , ĐK: x   2 pt  x  x    x    x   x  ( x  5)  x   x (1), Với TH2:   f ( x)   f  x  g  x  g  x    f  x  g  x  Lưu ý: + g(x) thường nhị thức bậc (ax+b) có số trường hợp g(x) tam thức bậc hai (ax2+bx+c), tuỳ theo ta mạnh dạn đặt điều kiện cho g  x   bình phương vế đưa phương trìnhbất phương trình dạng quen thuộc + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình n n 1 n 2 a0 x  a1 x  a2 x    an 1 x  an  có nghiệm x=  chia vế trái cho cho b) Tương tự với dạng: * f  x  g  x * f  x  g  x Ví dụ 1: Giải bất phương trình x  x   x   1 Giải 1  x2  x   x  bất phương trình tương đương với hệ: x  x    3 3 3    x   x   x3 2 x  x   2    x  x   x   1  x   Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x  mx   m  có nghiêm Giải n 1 n 2 x–  ta  x     b0 x  b1 x    bn2 x  bn1   , tương tự cho bất phương * Nếu m <  phương trình vô nghiệm * Nếu m   phương trình  x22mxm2+4m3=0 Phương trình có trình * Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm nghiệm =2m 4m+3>0 với m Vậy với m  phương trình cho có nghiêm việc giải theo hướng đúng, không nhẩm nghiệm ta sử Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x  mx   x  có hai nghiệm phân biệt qsangtnl@gmail.com qsangtnl@gmail.com Nguyễn Văn Sang Giải:  x  1 , phương trình (*) có nghiệm:  x   m   x   0, (*) Cách 1: PT   x1   m  m  4m  20  m  m  4m  20  0, x2   Phương trình 2 cho có nghiệm  (*) có nghiệm Nguyễn Văn Sang Vế phải không âm, vế trái chưa nhận xét ta phải biến đổi thành: x   x   x  ta bình phương vế đưa dạng để giải Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x  1  x  x    x 1 Giải Điều kiện: x 1  x  2 *    x  + x1 > 0, x2 < x1 > x2 a.c < nên pt có nghiệm trái  1  x  x  x  x  1 x    x  x  x  1 x  2  x  x  1 m  x  1  x2  1   m  m  4m  20    m  1 2   m   m  4m  20 Chú ý: dấu + Cách thường dùng hệ số a dương âm  x  x  x    x  x  1 + Cách 2: Đặt t = x + suy x = t – 1, với x  1  t   x  8x  9  (*) trở thành:  t  1   m   t  1   (**) Để (*) có nghiệm x  1 (**) phải có nghiệm t  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=0, x  Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân (Hãy tìm thêm cách giải khác) biệt: x  mx   x  , (1) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x  mx  x   có nghiệm  x   Giải: pt   để (1) có hai nghiệm thực phân biệt (2) m  m  16 3 x   m   x   0,   HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm x1,2      m    12     1 có hai nghiệm lớn  hay  f     m 2    S   2 1 Chú ý : Cách 2: đặt t  x  , để (2) có hai nghiệm lớn  2  1  1  t     m  4  t     có hai nghiệm thực lớn 2    Kết hợp với điều kiện ta tìm |m|  b Chuyển phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp ta phải ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình: x  x   HD:  Bình phương hai vế  Dùng đẳng thức a2  b2=0  Nghiệm x  2, x   29 Các kỹ năng: a Để bình phương vế phương trình – bất phương trình ta x2 Ví dụ 5: Giải bất phương trình: a biến đổi cho vế không âm hai đặt điều kiện cho vế không âm 1 1 x Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x   x   x  (ĐH Khối A – 2005)  x qsangtnl@gmail.com  3x  x  3x   qsangtnl@gmail.com  x4 b Nguyễn Văn Sang Nguyễn Văn Sang c Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai  0,  i  n pt tương 1  ĐS: a 1x ĐS: x=1 x  Ví dụ 2: Giải phương trình: x  y  y   x  y Để chứng minh pt   x   x    m x      x  x  32  m, ( 2) Giải m  , phương trình (1) có nghiệm phân biệt cần chứng minh phương Bình phương hai vế ta trình (2) có nghiệm khác 2 2 x  1   y     y    x  y    x  , y  2  Thật vậy: đặt f  x   x  x  32, x  , ta có f(2) = 0, ' d Sử dụng lập phương: lim f  x   , f  x   x  12 x  0, x  nên f(x) hàm liên tục  2;   x  Với dạng tổng quát a  b  c ta lập phương hai vế sử dụng đẳng đồng biến khoảng suy m  phương trình (2) có nghiệm x0 thức  a  b   a  b3  3ab  a  b  phương trình tương đương với hệ mà < x0 <   3 Một số dạng chuyển thành tích:  a  b  c Giải hệ ta có nghiệm phương trình  a c x  b d     - Dạng: ax  b  cx  d   a  b  abc  c  m Ví dụ: Giải bất phương trình Ta biến đổi thành: m( ax  b  cx  d )   ax  b    cx  d  Ví dụ: Giải phương trình: x   x   2x  e Nếu bất phương trình chứa ẩn mẩu: - TH1: Mẩu dương âm ta quy đồng khử mẩu: Ví dụ 1: Giải bất phương trình:  x  16  x3  x3  7x x3 1 (ĐH Khối A2004) Giải ĐK: x  Ví dụ 1: Giải phương trình: x   x x   x  x  x  ĐS: x=0, x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x  3x   x  x   x  x ĐS: x=0 - Dạng: a 3b3  (ab)(a2+ab+b2)=0  a=b 1   x  16   x    x   x  16   10  x x    10  x   10  x    2  x  16   10  x 2   Ví dụ: Giải phương trình:  3 x  x    x  3 x  x   ĐS: x=1  ĐS: x  1; x  2; x  x3 x   3x   ĐS: x=2 - Dạng: u+v=1+uv  (u-1)(v-1)=0 Ví dụ: Giải phương trình: x   x    x  x  ĐS: x=0, x=1 Ví dụ: Giải phương trình: x   x   x3  x ĐS: x=0, x=1 - Dạng: au+bv=ab+uv  (ub)(va)=0 qsangtnl@gmail.com  -  x5  10  34  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x  10  34 TH2: Mẩu âm dương khoảng ta chia thành trường hợp: qsangtnl@gmail.com Nguyễn Văn Sang Ví dụ 2: Giải bất phương trình: a  x  3 x   x  b 51  x  x 1 1 x HD: Nguyễn Văn Sang a Có nghiệm b Có hai nghiệm phân biệt Bài 9: Giải bất phương trình sau: a a Xét ba trường hợp x=3, x>3 x