Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-MAI THỊ THU NHÀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-MAI THỊ THU NHÀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS PHẠM VĂN QUỐC

Hà Nội – Năm 2015

Mục lục

Mở đầu 3

1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Một số công thức cần nhớ 5

1.2 Ví dụ mở đầu 8

2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 11 2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 11

2.2 Phương pháp 2: Nhân liên hợp 13

2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 20

2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ mới 21

2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích, phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba 28

2.3.3 "Ẩn phụ không hoàn toàn" 32

2.3.4 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 37

2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa 43

2.4 Phương pháp 4 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 46

2.5 Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức 51

2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa 51

2.5.2 Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc so sánh các vế của phương trình 55

3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 59 3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương 59

3.2 Xây dựng từ các nghiệm chọn sẵn và phương pháp nhân liên hợp 60 3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai 62

3.4 Xây dựng từ phương trình tích, các đẳng thức 64

3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích 64

3.4.2 Xây dựng từ các đẳng thức 64

3.5 Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn" 66

3.6 Xây dựng từ hệ phương trình 67

3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 69 3.8 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu 71

3.8.1 Dựa theo tính chất của hàm đơn điệu 71

MỤC LỤC

3.8.2 Dựa vào các ước lượng của hàm đơn điệu 72 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77

2

Mở đầu

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là một lớp các bài toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong chương trình toán học bậc phổ thông Nó xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi cũng như kỳ thi tuyển sinh vào đại học Học sinh phải đối mặt với rất nhều dạng toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn mà phương pháp giải chúng lại chưa được liệt kê trong sách giáo khoa Đó là các dạng toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn, dạng ẩn phụ lượng giác hóa,

Việc tìm phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là niềm say mê của không ít người, đặc biệt là những người đang trực tiếp dạy toán Chính vì vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tác giả đã chọn đề tài

"Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn"

Đề tài nhằm một phần nào đáp ứng nhu cầu mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy của mình trong nhà trường phổ thông Luận văn được hoản thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Phạm Văn Quốc.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến người thầy của mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa

Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Đại học và sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, cùng toàn thể các học viên khóa 2013-1015 đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để tác giả hoàn thành khóa học và hoàn thành bản luận văn này

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Chương 3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

MỤC LỤC

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và nghiêm túc trong quá trình nghiên cứu, nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên kết quả đạt được trong luận văn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi thiếu xót Vì vậy tác giả mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp, chỉ bảo quý báu của quý thầy cô, các bạn học viên

để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Học viên thực hiện

Mai Thị Thu Nhàn

4

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số công thức cần nhớ

1 Căn bậc hai và căn bậc ba của một tích

√

ab =p|a|p|b| với a, b ∈ R, ab ≥ 0

3

√

ab = √ 3

a √ 3

b với a, b ∈R.

2 Căn bậc hai và căn bậc ba của một thương

qa

b =

p

|a|

p

|b| với a, b ∈R, ab ≥ 0, b 6= 0

3

qa

b =

3

√ a

3

√

b với a, b ∈ R, b 6= 0

3 Căn của một lũy thừa

n

√

a m = amn = ( √ n

a)m, với a ∈R∗+; m, n ∈N∗, n ≥ 2.

4 Căn nhiều lớp

n

q

m

√

a = mp√n

a = nm √

a với a ∈R∗+; m, n ∈N∗; m, n ≥ 2.

5 Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai

√

a 2 b = |a| √

b, với a ∈ R, b ∈R+

6 Đưa một thừa số vào trong dấu căn bậc hai

a √

b = √

a 2 b khi a, b ≥ 0; a, b ∈R

a √

b = − √

a 2 b khi a ≤ 0, b ≥ 0; a, b ∈R.

7 Tích của hai căn

m

√

a √ n

a = a m1a1n = a m1+ 1

n = am+nmn = mn√

a m+n = ( mn √

a)m+n

với a ∈ R∗+; m, n ∈N∗; m, n ≥ 2.

8 Thương của hai căn

m

√

a

n

√

a =

a m1

a n1

= a m1− 1

n = an−mmn = mn√

an−m = ( mn √

a)n−m

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

với a ∈ R∗+; m, n ∈N∗; m, n ≥ 2.

9 √A = B ⇔



B ≥ 0

A = B2.

10 √A = √

B ⇔



A ≥ 0

A = B.

11 √ 3

A = √3

B ⇔ A = B.

12 √ 3

A = B ⇔ A = B3.

13 Phương trình tương đương

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm Nếu phương trình f1(x) = g1(x) tương đương với phương trình f2(x) = g2(x) thì ta viết

f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x).

Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng tập xác định D (hay có cùng điều kiện xác định mà ta cũng kí hiệu là D) và tương đương với nhau,

ta nói

- Hai phương trình tương đương với nhau trên D, hoặc

- Với điều kiện D, hai phương trình tương đương với nhau

Chẳng hạn với x > 0, hai phương trình x2 = 1 và x = 1 tương đương với nhau

Trong các phép biến đổi phương trình, đáng chú ý nhất là các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình Ta gọi chúng là các phép biến đổi tương đương Như vậy, phép biến đổi tương đương biến một phương trình thành phương trình tương đương với nó.Chẳng hạn, việc thực hiện các phép biến đổi đồng nhất ở mỗi vế của một phương trình và không thay đổi tập xác định của nó là một phép biến đổi tương đương

14 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Hàm số y = f (x) được gọi đồng biến (tăng) trong khoảng (a,b) nếu với

∀x1,x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 thì f (x1) < f (x2)

Hàm số y = f (x) được gọi nghịch biến (giảm) trong khoảng (a,b) nếu với

∀x1,x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 thì f (x1) > f (x2)

Hàm số y = f (x) đồng biến hoặc nghịch biến trên (a,b), ta nói hàm số

y = f (x) đơn điệu trên (a,b)

Định lý Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trong (a,b) Khi đó :

6

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

- Hàm số y = f (x)đồng biến trong (a,b) ⇔ f,(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) và f,(x) = 0

chỉ xảy ra tại một số hữu hãn điểm trong (a,b)

- Hàm số y = f (x)đồng biến trong (a,b) ⇔ f , (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) và f,(x) = 0

chỉ xảy ra tại một số hữu hãn điểm trong (a,b)

- Nếuf,(x) > 0, ∀x ∈ (a, b)và f liên tục trên [a, b] thìy = f (x) đồng biến trên

[a, b]

- Nếu f,(x) < 0, ∀x ∈ (a, b) và f liên tục trên [a, b] thì y = f (x) nghịch biến trên [a, b]

15 Hệ phương trình đối xứng loại I



f (x, y) = 0 g(x, y) = 0 (I) với f (x, y) = f (y, x) và g(x, y) = g(y, x)

Phương pháp giải

Biến đổi về tổng, tích và đặt



S = x + y

P = xy đưa hệ phương trình mới với ẩn S,P Giải hệ phương trình mới tìm được S, P và điều kiện có nghiệm (x, y)

là S2≥ 4P.

Tìm nghiệm(x, y)bằng cách giải phương trìnhX2− SX + P = 0hoặc nhẩm nghiệm với S, P đơn giản

16 Hệ phương trình đối xứng loại II



f (x, y) = 0 (1)

f (y, x) = 0 (2)

Phương pháp giải

Trừ (1) và (2) vế cho vế ta được hệ phương trình mới



f (x, y) − f (y, x) = 0 (3)

Biến đổi (3) về phương trình tích (x − y).g(x, y) = 0 ⇔



x = y g(x, y) = 0.

Khi đó giải hai trường hợp



f (x, y) = 0



f (x, y) = 0 g(x, y) = 0

Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ đã cho

17 Một số công thức lượng giác hay dùng

cos 2x = cos2x − sin2x = 2 cos2x − 1 = 1 − 2 sin2x sin 2x = 2 sin x cos x

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x sin 3x = 3 sin x − 4 sin3x cos2x = 1 + cos 2x

2 sin2x = 1 − cos 2x

1.2 Ví dụ mở đầu

Ví dụ 1.1 Giải phương trình

1 + 2 3

p

x − x 2 = √

x + √

1 − x.

Nhận xét Trước hết có điều kiện0 ≤ x ≤ 1. Để giải phương trình này thì

rõ ràng ta sẽ tìm cách làm mất căn thức Có nhiều cách để làm mất căn thức

Cách 1 Đầu tiên ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế Vì hai vế của phương trình đã cho luôn không âm với điều kiện xác định nên ta có thể bình phương hai vế để thu được phương trình tương đương sau

1 + 2 3

√

x − x 2 = √

x + √

1 − x

⇔1 + 2

3

√

x − x 2

2

x + √

1 − x
2

⇔ 1 + 4

3

√

x − x 2 + 9

4 x − x

2

= 1 + 2 √

x − x 2

⇔ 27(x − x 2 ) − 8 √

x − x 2 = 0

⇔√x − x 2 27 √

x − x 2 − 8
= 0

⇔

 √

x − x 2 = 0

27 √

x − x 2 − 8 = 0

⇔







x = 0 (thỏa mãn)

x = 1 (thỏa mãn)

x = 27 ±

√ 473

54 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x = 1, x = 27 ±

√ 473

54 Cách 2 Ta thấy √x + √

1 − x 2
2

= 1 + 2 √

x − x 2

Do đó nếu đặt y = √

x + √

1 − x 2 Suy ra, ta sẽ tính được √x − x 2 = y

2 − 1

2 .

Phương trình đã cho trở thành phương trình bậc hai ẩn y là

1 + y

2 − 1

3 = y ⇔ y

2 − 3y + 2 = 0 ⇔



y = 1

y = 2.

8

Chương 3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo Dục

[2] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục

[3] Nguyễn Vũ Lương, 2008„ Hệ phương trình và phương trình chứa căn thức, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

[4] Nguyễn Tuấn Anh, 2014, Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ,NXB Giáo Dục

[5] Tạp chí toán học tuổi trẻ

[6] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình trên mạng Internet

[7] Tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Đại Học Sư Phạm