Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHẠM VĂN QUỐC Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số công thức cần nhớ 1.2 Ví dụ mở đầu 5 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu 2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 2.2 Phương pháp 2: Nhân liên hợp 2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình theo ẩn phụ 2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích, phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba 2.3.3 "Ẩn phụ không hoàn toàn" 2.3.4 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình 2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa 2.4 Phương pháp : Sử dụng tính đơn điệu hàm số 2.5 Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức 2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa 2.5.2 Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc so sánh vế phương trình 11 11 13 20 21 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu 3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương 3.2 Xây dựng từ nghiệm chọn sẵn phương pháp nhân liên hợp 3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai 3.4 Xây dựng từ phương trình tích, đẳng thức 3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích 3.4.2 Xây dựng từ đẳng thức 3.5 Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn" 3.6 Xây dựng từ hệ phương trình 3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác phương trình lượng giác 3.8 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu 3.8.1 Dựa theo tính chất hàm đơn điệu 59 59 60 62 64 64 64 66 67 69 71 71 28 32 37 43 46 51 51 55 MỤC LỤC 3.8.2 Dựa vào ước lượng hàm đơn điệu 72 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 Mở đầu Phương trình chứa ẩn dấu lớp toán có vị trí đặc biệt quan trọng chương trình toán học bậc phổ thông Nó xuất nhiều đề thi học sinh giỏi kỳ thi tuyển sinh vào đại học Học sinh phải đối mặt với nhều dạng toán phương trình chứa ẩn dấu mà phương pháp giải chúng lại chưa liệt kê sách giáo khoa Đó dạng toán phương trình chứa ẩn dấu giải phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn, dạng ẩn phụ lượng giác hóa, Việc tìm phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu niềm say mê không người, đặc biệt người trực tiếp dạy toán Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập, tác giả chọn đề tài "Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu căn" Đề tài nhằm phần đáp ứng nhu cầu mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy nhà trường phổ thông Luận văn hoản thành hướng dẫn trực tiếp TS Phạm Văn Quốc.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến người thầy mình, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo mong muốn học hỏi thầy nhiều Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Đại học sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, toàn thể học viên khóa 2013-1015 tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để tác giả hoàn thành khóa học hoàn thành luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu MỤC LỤC Mặc dù cố gắng nhiều nghiêm túc trình nghiên cứu, thời gian trình độ hạn chế nên kết đạt luận văn khiêm tốn không tránh khỏi thiếu xót Vì tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp, bảo quý báu quý thầy cô, bạn học viên để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Học viên thực Mai Thị Thu Nhàn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số công thức cần nhớ Căn bậc hai bậc ba tích √ ab = |a| |b| với a, b ∈ R, ab ≥ √ √ √ ab = a b với a, b ∈ R Căn bậc hai bậc ba thương a = b a = b |a| |b| √ a √ b với a, b ∈ R, ab ≥ 0, b = với a, b ∈ R, b = Căn lũy thừa √ √ m m n am = a n = ( n a) , với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ , n ≥ Căn nhiều lớp n √ m a= m √ n a= √ nm a với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ Đưa thừa số dấu bậc hai √ √ a2 b = |a| b, với a ∈ R, b ∈ R+ Đưa thừa số vào dấu bậc hai √ √ a b = a2 b a, b ≥ 0; a, b ∈ R √ √ a b = − a2 b a ≤ 0, b ≥ 0; a, b ∈ R Tích hai √ √ √ √ m+n 1 1 m+n mn m a n a = a m a n = a m + n = a mn = am+n = ( mn a) với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ Thương hai √ m √ √ n−m a am mn − n1 = a n−m m mn = √ = = a an−m = ( mn a) n a an Chương Một số kiến thức chuẩn bị với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ 10 11 12 √ √ A=B⇔ A= √ √ A= √ B⇔ √ B≥0 A = B2 A≥0 A = B B ⇔ A = B A = B ⇔ A = B3 13 Phương trình tương đương Hai phương trình (cùng ẩn) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Nếu phương trình f1 (x) = g1 (x) tương đương với phương trình f2 (x) = g2 (x) ta viết f1 (x) = g1 (x) ⇔ f2 (x) = g2 (x) Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có tập xác định D (hay có điều kiện xác định mà ta kí hiệu D) tương đương với nhau, ta nói - Hai phương trình tương đương với D, - Với điều kiện D, hai phương trình tương đương với Chẳng hạn với x > 0, hai phương trình x2 = x = tương đương với Trong phép biến đổi phương trình, đáng ý phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình Ta gọi chúng phép biến đổi tương đương Như vậy, phép biến đổi tương đương biến phương trình thành phương trình tương đương với nó.Chẳng hạn, việc thực phép biến đổi đồng vế phương trình không thay đổi tập xác định phép biến đổi tương đương 14 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) khoảng (a,b) với ∀x1, x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) khoảng (a,b) với ∀x1, x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số y = f (x) đồng biến nghịch biến (a,b), ta nói hàm số y = f (x) đơn điệu (a,b) Định lý Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm (a,b) Khi : Chương Một số kiến thức chuẩn bị - Hàm số y = f (x) đồng biến (a,b) ⇔ f , (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) f , (x) = xảy số hữu hãn điểm (a,b) - Hàm số y = f (x) đồng biến (a,b) ⇔ f , (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) f , (x) = xảy số hữu hãn điểm (a,b) - Nếu f , (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) f liên tục [a, b] y = f (x) đồng biến [a, b] - Nếu f , (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) f liên tục [a, b] y = f (x) nghịch biến [a, b] 15 Hệ phương trình đối xứng loại I f (x, y) = (I) với f (x, y) = f (y, x) g(x, y) = g(y, x) g(x, y) = Phương pháp giải Biến đổi tổng, tích đặt S =x+y đưa hệ phương trình với ẩn P = xy S,P Giải hệ phương trình tìm S, P điều kiện có nghiệm (x, y) S ≥ 4P Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình X − SX + P = nhẩm nghiệm với S, P đơn giản 16 Hệ phương trình đối xứng loại II f (x, y) = f (y, x) = (1) (2) Phương pháp giải Trừ (1) (2) vế cho vế ta hệ phương trình f (x, y) − f (y, x) = f (x, y) = (3) (1) Biến đổi (3) phương trình tích (x − y).g(x, y) = ⇔ Khi giải hai trường hợp f (x, y) = ∨ x=y x=y g(x, y) = f (x, y) = g(x, y) = Giải hệ ta tìm nghiệm hệ cho 17 Một số công thức lượng giác hay dùng cos 2x = cos2 x − sin2 x = cos2 x − = − sin2 x sin 2x = sin x cos x Chương Một số kiến thức chuẩn bị cos 3x = cos3 x − cos x sin 3x = sin x − sin3 x + cos 2x cos2 x = − cos 2x sin x = 1.2 Ví dụ mở đầu Ví dụ 1.1 Giải phương trình 1+ x − x2 = √ x+ √ − x Nhận xét Trước hết có điều kiện ≤ x ≤ Để giải phương trình rõ ràng ta tìm cách làm thức Có nhiều cách để làm thức Cách Đầu tiên ta nghĩ tới lũy thừa hai vế Vì hai vế phương trình cho không âm với điều kiện xác định nên ta bình phương hai vế để thu phương trình tương đương sau √ √ 2√ x − x2 = x + − x √ √ 2√ ⇔ 1+ x − x2 = x+ 1−x √ 4√ ⇔1+ x − x2 + x − x2 = + x − x2 √4 ⇔ 27(x − x2 ) − x − x2 = √ √ ⇔ x − x2 27 x − x2 − = √ x√− x2 = ⇔ 27 x − x2 − =  x = (thỏa mãn)  x = (thỏa mãn) √ ⇔ 27 ± 473 x= (thỏa mãn) 54 √ 27 ± 473 Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1, x = 54 √ √ √ Cách Ta thấy x + − x2 = + x − x2 √ √ √ y2 − Do đặt y = x + − x2 Suy ra, ta tính x − x2 = Phương trình cho trở thành phương trình bậc hai ẩn y 1+ 1+ y2 − = y ⇔ y − 3y + = ⇔ y=1 y = Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Vũ Lương, 2008„ Hệ phương trình phương trình chứa thức, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Tuấn Anh, 2014, Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ,NXB Giáo Dục [5] Tạp chí toán học tuổi trẻ [6] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình mạng Internet [7] Tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Đại Học Sư Phạm 77 [...]... 3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Vũ Lương, 2008„ Hệ phương trình và phương trình chứa căn thức, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Tuấn Anh, 2014, Một số phương pháp giải phương trình. .. phương trình chứa căn thức, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Tuấn Anh, 2014, Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ,NXB Giáo Dục [5] Tạp chí toán học tuổi trẻ [6] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình trên mạng Internet [7] Tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Đại Học Sư Phạm 77