MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015... ĐẠI HỌC Q

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-MAI THỊ THU NHÀN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015

Trang 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-MAI THỊ THU NHÀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS PHẠM VĂN QUỐC

Hà Nội – Năm 2015

Trang 3

Mục lục

Mở đầu 3

1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Một số công thức cần nhớ 4

1.2 Ví dụ mở đầu 5

2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 7 2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 7

2.2 Phương pháp 2: Nhân liên hợp 8

2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 8

2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ mới 9

2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích, phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba 10

2.3.3 "Ẩn phụ không hoàn toàn" 11

2.3.4 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 11

2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa 14

2.4 Phương pháp 4 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 15

2.5 Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức 16

2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa 16

2.5.2 Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc so sánh các vế của phương trình 16

3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 18 3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương 18

3.2 Xây dựng từ các nghiệm chọn sẵn và phương pháp nhân liên hợp 19 3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai 20

3.4 Xây dựng từ phương trình tích, các đẳng thức 20

3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích 20

3.4.2 Xây dựng từ các đẳng thức 21

3.5 Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn" 21

3.6 Xây dựng từ hệ phương trình 22

3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 22 3.8 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu 23

3.8.1 Dựa theo tính chất của hàm đơn điệu 23

Trang 4

MỤC LỤC

3.8.2 Dựa vào các ước lượng của hàm đơn điệu 23Kết luận 25Tài liệu tham khảo 26

Trang 5

Mở đầu

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là một lớp các bài toán có vị trí đặcbiệt quan trọng trong chương trình toán học bậc phổ thông Nó xuất hiện nhiềutrong các đề thi học sinh giỏi cũng như kỳ thi tuyển sinh vào đại học

Chính vì vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tác giả đã chọn đề tài

"Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn"Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Phạm VănQuốc.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến người thầycủa mình Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu,Phòng đào tạo Đại học và sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đạihọc Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, cùng toàn thểcác học viên khóa 2013-1015 đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệutham khảo

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Chương 3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và nghiêm túc trong quá trình nghiên cứu,nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên kết quả đạt được trong luậnvăn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi thiếu xót Vì vậy tác giả mong nhậnđược nhiều ý kiến đóng góp, chỉ bảo quý báu của quý thầy cô, các bạn học viên

để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 08 năm 2015.Học viên thực hiện

Mai Thị Thu Nhàn

Trang 6

5 Phương trình tương đương

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùngmột tập nghiệm Nếu phương trình f1(x) = g1(x) tương đương với phươngtrình f2(x) = g2(x) thì ta viết

f 1 (x) = g 1 (x) ⇔ f 2 (x) = g 2 (x).

Như vậy, phép biến đổi tương đương biến một phương trình thành phươngtrình tương đương với nó.Chẳng hạn, việc thực hiện các phép biến đổi đồngnhất ở mỗi vế của một phương trình và không thay đổi tập xác định của

nó là một phép biến đổi tương đương

6 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Định lý Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trong (a,b) Khi đó :

- Hàm số y = f (x)đồng biến trong (a,b) ⇔ f , (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) và f,(x) = 0

chỉ xảy ra tại một số hữu hãn điểm trong (a,b)

- Hàm số y = f (x)đồng biến trong (a,b) ⇔ f , (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) và f,(x) = 0

chỉ xảy ra tại một số hữu hãn điểm trong (a,b)

- Nếuf,(x) > 0, ∀x ∈ (a, b)và f liên tục trên [a, b] thìy = f (x) đồng biến trên

Trang 7

9 Một số công thức lượng giác hay dùng

cos 2x = cos2x − sin2x = 2 cos2x − 1 = 1 − 2 sin2x sin 2x = 2 sin x cos x

cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x sin 3x = 3 sin x − 4 sin3x cos2x = 1 + cos 2x

2 sin2x = 1 − cos 2x

1.2 Ví dụ mở đầu

Ví dụ 1.1 Giải phương trình

1 + 23

p

x − x 2 = √

x + √

1 − x.

Trang 8

Nhận xét Trước hết có điều kiện 0 ≤ x ≤ 1.

Cách 1 Bình phương hai vế để thu được phương trình tương đương sau

1 + 23

54 (thỏa mãn)Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x = 1, x = 27 ±

√ 473

54 Cách 2 Đặt y = √

1 − x thì √x = 3y − 3

2y − 3. Khi đó

( √ x)2+ √

Trang 9

Chương 2

Một số phương pháp giải phương

trình chứa ẩn dưới dấu căn

2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương

Nội dung chính của phương pháp này là lũy thừa hai vế với số mũ phù hợp.Một số phép biến đổi tương đương thường gặp

2 2np

f (x) = g(x) ⇔

f (x) = g2n(x) g(x) ≥ 0.

30 vào phương trình đã cho thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 19

30

Trang 10

2.2 Phương pháp 2: Nhân liên hợp

an− bn = (a − b)(an−1+ an−2b + + abn−2+ bn−1).

Nếu x0 là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì ta có thể đưa phươngtrìnhf (x) = 0 về dạng(x − x 0 )f 1 (x) = 0và khi đó việc giải phương trìnhf (x) = 0

quy về giải phương trình f 1 (x) = 0.

Ví dụ 2.2 (Toán học Tuổi trẻ số 454, tháng 4 năm 2015)

Giải phương trình

√ 3x + 1 + √

5x + 4 = 3x2− x + 3.

Giải Điều kiện x ≥ −1

3 Ta thấy x = 0, x = 1 la nghiệm của phương trình trên

Mà x = 0, x = 1 la nghiệm của đa thức x2− x = 0 hoặc −x 2 + x = 0

Cách 1 Ta cần xác địnha, bsao cho√3x − 1−(ax+b) = 0có nghiệmx = 0, x = 1.

Thay x = 0, x = 1 vào ta được hệ phương trình

−x2+ x

√ 5x + 4 + (x + 2) = 3(x

1x

√ 5x + 4 + (x + 2) + 3

1x

√ 5x + 4 + (x + 2)+ 3 = 0

Với phương pháp này ta tiến hành theo các bước sau

Bước 1 Chọn ẩn phụ và tìm điều kiện xác định của ẩn phụ

Trang 11

Bước 2 Chuyển phương trình ban đầu về phương trình (hệ phương trình) theo

ẩn phụ vừa đặt và giải phương trình (hệ phương trình ) này

Bước 3 Giải phương trình (hệ phương trình) với ẩn phụ đã biết để xác địnhnghiệm của phương trình đã cho

2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ mới

v) + b = c

qu

v.Đặt t =

Trang 12

⇔ x

2 + x + 1

x − 1 =

1 4

b =

1 2

Trang 13

2 , x =

5 − √ 37

2.3.3 "Ẩn phụ không hoàn toàn"

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là khi ta đặt ẩn phụ mới t thì phương trìnhnhận được hệ số của nó vẫn chứa x Khi đó nếu phương trình bậc 2 (ẩn t) cóbiệt thức∆tcó dạng∆t= (px+q)2thì bài toán có thể giải theo phương pháp này

Ví dụ 2.5 Giải phương trình

2(2p1 + x 2 −p1 − x 2 ) −p1 − x 4 = 3x2+ 1. (2.2)Giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1 Đặt a = √

Trang 14

Giải Điều kiện 1 ≤ x ≤ 5 Đặt

a + b = √

2 2a2b2− 8ab = 0

⇔

a + b = √

2 2ab(ab − 4) = 0.

a = √ 2

2 − b)b = 4 (vô nghiệm).

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 0, x = 5

Nhận xét Qua các ví dụ trên nhận thấy rằng, nếu phương trình có dạng

Hay nói một cách khác là nếu gặp những bài toán có chỉ số căn lệch bậc hoặc chỉ

số căn cao, thì ta đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình dạng

Trang 15

⇔

x3+ 1 = 2y (x − y)(x2+ xy + y2) = 0 ⇔

Trang 16

ax + b = 3cy + d ta sẽ thu được hệ phương trình đối xứng

Ví dụ 2.8 (Toán học và tuổi trẻ, tháng 6 năm 2001)

3

√ 81x − 8 = x3− 2x2+ 4

Trừ vế cho vế ta được phương trình

3 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có 3 nghiệm là x = 0, x = 3 ± 2

√ 6

2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa

Một số phương pháp lượng giác hóa thường gặp

• Nếu bài toán chứa √a 2 − x 2 có thể đặt

x = |a| cos t, 0 < t < π.

Trang 17

• Nếu bài toán có chứa

• Nếu bài toán có chứa p(x − a)(x − b) có thể đặt x = a + (b − a) sin2t

2.4 Phương pháp 4 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Tính chất:

• Nếu hàm sốy = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên D thì sốnghiệm trên D của phương trìnhf (x) = a không có nhiều hơn một nghiệm

và ∀u, v ∈ D : f (u) = f (v) ⇔ u = v

• Nếu hàm số f (x) và g(x) đơn điệu ngược chiều nhau và liên tục trên D thì

số nghiệm trên D của phương trình f (x) = g(x) không nhiều hơn một

• Nếu hàm số f (x) luôn đồng biến (hay nghịch biến ) trên D thì

f (x) > f (a) ⇔ x > a (hay x < a ),với ∀x, a ∈ D

Ví dụ 2.9 (Đề thi Trung học phổ thông Quốc gia năm 2015)

2 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 2, x = 3 +

√ 13

Trang 18

Trang 19

Dấu đẳng thức xảy ra khi bộ số xi và yi tỉ lệ nhau, tức là tồn tại cặp sốthực α, β không đồng thời bằng 0, sao cho

αxi+ βyi = 0 với mọi i = 1, 2, 3, n

Dấu đẳng thức xảy ra khi x1 = x2= = xn.

Áp dụng cho hai số dương a, b ta có a + b

2 ≥√ab.Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.

Ví dụ 2.11 (Đề dự bị Olympic 30/4 Chuyên Hùng Vương )

4x =

vuu

t30 + 1

4

s

30 +14

r

30 + 14

√

30 + u 4u =

r

30 + 14

√

30 + x ≥

r

30 + 14

1 + √ 1921

32 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 +

√ 1921

32

Trang 20

Chương 3

Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Con đường sáng tạo những phương trình vô tỷ là dựa trên cơ sở các phươngpháp giải đã được trình bày Ta tìm cách "che đậy" và biến đổi đi một chút ít

để dấu đi bản chất, sao cho phương trình thu được dễ nhìn về mặt hình thức vàmối quan hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình càng khó nhận rathì bài toán càng khó Ta tìm hiểu một số các xây dựng sau

3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương

Xây dựng phương trình vô tỷ từ phương trình dạng

√

A + √

B = √

C + √ D.

Gán các biểu thức chứa x cho A, B, C, D ta sẽ thu được các phương trình vô tỷđược giải bằng cách bình phương hai vế

Ví dụ 3.1 Gán A = x + 3, B = 3x + 1, C = 4x, D = 2x + 2 ta được bài toán giảiphương trình sau

√

x + 3 + √

3x + 1 = 2 √

x + √ 2x + 2.

Tương tự ra cũng có một dạng sau

Dạng 1 Phương trình √A = √

B.Dạng 2 Phương trình √A = B ⇔

A + √3

B = √3

C ta được phương

Trang 21

trình A + B + 3 √3

ABC = C

Từ các dạng toán này gán choA, B, C các biểu thức chứaxta sẽ được các phươngtrình vô tỷ tuy nhiên mức độ khó hay dễ phụ thuộc vào việc chọn các biểu thứccho A, B, C sao cho sau khi lũy thừa hai vế lên ta thu được một phương trình

Ví dụ 3.2 Với x = 2, ta có

√ 5x − 1 = 3, √

x + 2 = 2, √

5x − 1 + √

x + 2 = 5 = 7 − x.

Khi đó, ta được bài toán sau

Bài toán Giải phương trình

√ 5x − 1 + √

2x − 5 = 2x2− 5x, ta thu được bài toán sau

Vậy x = 0, x = 3 là nghiệm của phương trình

x(x + 1)(x − 3) + 3 = √

4 − x + √

1 + x.

Ta được bài toán sau

x(x + 1)(x − 3) + 3 = √

4 − x + √

1 + x.

Trang 22

3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai

Từ phương trình dạng at2+ bt + c = 0ta thay thế t =pf (x) ta sẽ nhận đượcmột phương trình vô tỷ đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai dễ giải

Vậy ta có bài toán sau

√

x − 1 + 5px 2 + 1 −px 3 − x 2 + x − 1 = 5.

Trang 23

Ta được bài toán sau

3.5 Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn"

Ta xét bài toán xây dựng phương trình dạng At2+ Bt + C = 0, trong đó t làbiểu thức chứa căn của x, còn A, B, C là các biểu thức hữu tỷ chứa x, sao cho

∆ = B2− 4AC luôn luôn là một biểu thức chính phương

Thường để thuận tiện trong tính toán ta chọn −B

A = f (x)+g(x)cònC

A = f (x)g(x),khi đó t = f (x) hoặc t = g(x)

Ví dụ 3.8 Ta chọn t = √

x 2 + 2, f (x) = 3, g(x) = x − 1.

Ta có bài toán giải phương trình vô tỷ như sau

x2+3 −px 2 + 2x = 1 + 2px 2 + 2.

Trang 24

3.6 Xây dựng từ hệ phương trình.

• Xét hệ phương trình tổng quát dạng bậc hai

(αx + β)2= ay + b (αy + β)2= ax + b

Ta sẽ xây dựng lên một phương trình

Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có αy + β = √

ax + b, khi đó thay vàophương trình đầu tiên của hệ ta có phương trình

Từ phương trình dưới ta được

Ta có bài toán sau

Bài toán (Đề nghị Olympic 30/04/2009)

Trang 25

3.8 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu

3.8.1 Dựa theo tính chất của hàm đơn điệu

Dựa vào tính chất "Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) vàliên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f (x) = a không vó nhiềuhơn một nghiệm và ∀u, v ∈ D : f (u) = f (v) ⇔ u = v " Ta có thể xây dựng đượccác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức

Ví dụ 3.10 Xét hàm số f (t) = t3+ 2t đồng biến trên R Cho

fp3 −x 3 + 9x 2 − 19x + 11= f (x − 1)

Ta được

−x 3 + 9x2− 19x + 11 + 2 √ 3

−x 3 + 9x 2 − 19x + 11 = (x − 1)3+ 2(x − 1).

Khai triền và rút gọn ta được bài toán sau

Bài toán (Đề nghị Olympic 30/04/2009)

x3− 6x2+ 12x − 7 =p3 −x 3 + 9x 2 − 19x + 11.

3.8.2 Dựa vào các ước lượng của hàm đơn điệu

Để dễ sử dụng và kết hợp nhiều ước lượng chúng ta xây dựng một số các ướclượng cơ bản như:

x − √ 4

1 − x là hàm tăng trên [0; 1].Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = 1.

Trang 26

3 −1 ≤ √ 4

x − √

1 − x ≤ 1.Hàm số f (x) = √ 4

Ta xây dựng các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn như sau

Cách 1 Cộng hai hay nhiều các ước lượng cơ bản

4x − 3 √ 6

6x − 5 = x3.

Trang 27

Trang 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Tuấn Anh, 2014, Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ,NXBGiáo Dục

[2] Nguyễn Vũ Lương, 2008„ Hệ phương trình và phương trình chứa căn thức,NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

[3] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình và bất phươngtrình, NXB Giáo Dục

[4] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB GiáoDục

[5] Tạp chí toán học tuổi trẻ

[6] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình trên mạng Internet

[7] Tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Đại Học Sư Phạm

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	274,2 KB