SKKN một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao, phải có năng lực biến đổ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

-MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG

SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI

DẤU CĂN BẬC HAI

Quảng Bình, tháng 11 năm 2018

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

-MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG

SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI

DẤU CĂN BẬC HAI

Họ và tên: Nguyễn Hồ Ngọc Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Quý Đôn

Quảng Bình, tháng 11 năm 2018

1 MỞ ĐẦU

Trong môn toán ở trường phổ thông nói chung và đại số lớp 10 nói riêng thì phần phương trình chứa ẩn dưới dấu căn giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán thì việc giải phương trình còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh

Các em học sinh đã được học giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cụ thể với nội dung sách giáo khoa cơ bản chỉ giới thiệu phương trình chứa dấu căn bậc hai dạng đơn giản Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh Nhưng trong thực tế, để biến đổi

và giải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao, phải có năng lực biến đổi toán học

Một thực tế nữa là các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi THPT quốc gia; không những thế học sinh còn phải giải phương trình chứa căn trong các dạng toán khác như phương trình mũ và logarit Do đó học giải phương trình chứa căn không chỉ để giải một lớp các bài toán về phương trình chứa căn mà còn là công cụ để các em làm những bài toán dạng khác, đặc biệt khi giải các phương trình loại này học sinh thường mắc những sai lầm cơ bản

Với năng lực của học sinh trong quá trình giảng dạy, tôi cũng không hy vọng

có thể dạy cho các em có những kĩ năng để giải những bài toán khó và phức tạp mà mục đích giúp học sinh giải thành thạo một số dạng toán cơ bản và không bị mắc sai lầm trong quá trình làm bài Qua các năm giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số kinh nghiệm dạy nội dung kiến thức này

Từ những lý do trên tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh tránh

những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai”

1.2 Điểm mới của đề tài

Trong đề tài này tôi đã đưa ra các dạng toán theo thứ tự của các cấp độ nhận thức từ nhận biết - thông hiểu - vận dụng để học sinh dễ tiếp cận Sau mỗi ví dụ có hướng dẫn giải và có nhận xét để học sinh khắc sâu được những kỹ năng quan trọng

khi tiếp cận bài toán, rèn luyện cách trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi, đồng thời có bài tập tương tự để học sinh tự rèn luyện Từ đó giúp học sinh phân tích để vận dụng nhằm đơn giản hoá một số bài toán, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh trong quá trình học tập

Đề tài của tôi có thể áp dụng cho tất cả học sinh ở bậc THPT, đặc biệt có hiệu quả đối với học sinh lớp 10 khi tiếp cận và học phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, cũng như đối với học sinh 12 khi ôn thi THPT quốc gia Rất nhiều giáo viên

và học sinh đôi khi chỉ quan tâm đến cách giải hay các dạng phương trình, còn việc làm thế nào để tránh được một số sai lầm khi giải phương trình thì ít được trình bày,

đó cũng là một điểm mới của đề tài

2 NỘI DUNG 2.1 Thực trạng của vấn đề giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Trước khi thực hiện đề tài tôi tiến hành khảo sát ( trong năm học2016-2017)

Khi gặp phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đa số học sinh thường giải sai, giải không triệt để, kết luận thường thừa hoặc thiếu nghiệm

Với các dạng toán khác mà khi triển khai đến bước phải giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là thì học sinh giải sai hoặc lúng túng

Trong các đề thi THPT quốc gia thường xuất hiện các phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai Học sinh lớp 12 thường quên cách giải hoặc giải sai

Trong quá trình dạy học đôi khi chính giáo viên cũng mắc sai lầm, chính vì vậy tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp sau đây để góp phần tránh được sai lầm cơ bản cho học sinh

2.2 Các giải pháp thực hiện

2.2.1 Giải pháp 1: Định hướng cho học sinh giải theo phương pháp biến đổi

tương đương đối với hai dạng phương trình cơ bản để khắc phục một số sai lầm khi học sinh giải theo phương pháp biến đổi hệ quả

Phương pháp:

Dạng 1:

    2

0

g x









Dạng 2:

   

0

f x







   

0

g x









Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g x  và   0 f x  vì   0 f x  g x .

Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu phương trình dạng f x  g x  và trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả, trước khi giải chỉ đặt điều kiện

  0

f x  Nhưng chúng ta nên để ý rằng đây chỉ là điều kiện đủ để thực hiện được

phép biến đổi cho nên trong quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm khi lấy nghiệm và

loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện f x   0 là điều kiện cần và đủ của phương trình

Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau:

Điều kiện phương trình (1) là

3 2

x 

(*) (1) 2x 3x2  4x 4 x2  6x  7 0

Phương trình cuối có nghiệm là x  3 2 và x  3 2

Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x  3 2 bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) là x  3 2

Một số học sinh đã mắc sai lầm là cho rằng sau khi giải được nghiệm ở phương

trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện

3 2

x 

để lấy nghiệm và nghiệm phương trình

là x  3 2 và x  3 2

Nhưng một số học sinh cẩn thận hơn là có thử lại nghiệm Tuy nhiên với cách giải trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai

Ví dụ 2: Giải phương trình 3x2 2x1 3 x (2)1

Với những học sinh nắm vững kiến thức và làm bài cẩn thận mà vẫn làm theo phương pháp biến đổi hệ quả thì cũng gặp khó khăn trong quá trình giải đó là: Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả

sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 3x2 2x 1 0 và thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm

Do đó nên cho học sinh giải đúng theo định hướng ban đầu như sau:

Ta có:

 

2

2

1

1

3

1 3

3 1 0

x

x

x









 











Vậy nghiệm của phương trình (2) là

1 3

x 

Hướng dẫn học sinh biến đổi tương đương cùng một lúc như sau:

Ta có: (3)

3

2

x

x

x























2

Học sinh thường đặt điều kiện

2

3 0

x



 

phương trình

Học sinh gặp phải một trở ngại là mất thời gian để biểu thị hệ điều kiện của phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x  3 0 là điều kiện cần và đủ

mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện

Nên định hướng cho học sinh giải như sau :

Ta có : (4)

3

2

1

1

x

x

x

x













 Vậy nghiệm của phương trình (4) là x 2 và x 1.

Việc định hướng ngay từ ban đầu là yêu cầu học sinh giải theo cách biến đổi tương đương giúp cho học sinh không đi lệch hướng và tránh được những sai lầm đáng tiếc

Tương tự ví dụ trên học sinh giải như sau:

Ta có: (5)

2

2

2

3

3

x

x x

x















Vậy nghiệm của phương trình (5) là x = 3

Ví dụ 6: Giải phương trình 3x2  2x (6)1

Để không bị quên kiểm tra lại điều kiện nên yêu cầu học sinh biến đổi tương đương

cùng một lúc: (6) 

1

5 1

5

x x

x









 



Vậy nghiệm của phương trình (6) là

1 5

x 

Nhận xét: Đối với hai dạng phương trình cơ bản nêu trên nếu giải theo phương pháp

biến đổi hệ quả thì phải đặt điều kiện và phải thử lại nghiệm nên khá rườm rà dẫn đến dễ mắc sai lầm và thiếu sót Còn giải theo phương pháp biến đổi tương đương thì đơn giản và thuận tiện hơn

2.2.2 Giải pháp 2: Khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải phương trình dạng

1 ở trên theo phương pháp biến đổi tương đương bằng cách đặt ẩn phụ

Phương pháp: Chuyển phương trình về dạng af x b f x   c 0

Sau đó đặt ẩn

phụ: f x  t t  0

Đưa về phương trình về dạng: at2 + bt + c = 0.

Ví dụ 7: Khi gặp bài toán x2  3x 5 x2 3x (7)7

Nếu học sinh vẫn cứ biến đổi tương đương như sau:

2

2







thì sẽ dẫn đến một phương trình bậc bốn và để giải được kết quả cuối cùng thì không phải lúc nào cũng thuận lợi

Do đó ta phải có phương pháp khác đó là đặt ẩn phụ và từ đó hình thành cho học sinh một lớp bài toán giải phương trình chứa căn bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Khi đó hướng dẫn học sinh biến đổi như sau :

Ta có: (7)  x2 3x 5 x2 3x 5 12 0

Đặt x2 3x 5 t t(  Khi đó phương trình trở thành 0)

12 0

4( )

t











Với t = 3 ta được

4

x

x











Vậy nghiệm của phương trình (7) là x = -1 và x = 4.

Ví dụ 8 : Giải phương trình 5 4x2  12x11 4 x2  12x15 (8)

Theo mạch đó học sinh sẽ giải như sau :

Ta có : (8)  4x2  12x11 5 4 x2 12x11 4 0 

Đặt 4x2  12x11 (t t  0)

Phương trình trở thành

4

t

t





 (thoả mãn điều kiện của t) Với t = 1 ta được 4x2  12x11 1  4x2  12x10 0 (phương trình vô nghiệm)

Với t = 4 ta được

4

4

x

x













Vậy nghiệm của phương trình là:

;

Ví dụ 9: Giải phương trình: 2x21 2 x2 1 4x21 3 2 x21

Ta biến đổi để trong phương trình có những biểu thức giống nhau như sau:

2x21 2 x2 1 2 2 x2 1 3 2 x2 1 6

Đặt 2x21t (t ≥ 1)

Khi đó ta được một phương trình bậc ba với ẩn t: t3 2t2 3 6 0t 

 ( t – 2 )(t2 – 3 ) = 0 t = 2 hoặc t = 3 hoặc t = – 3 ( loại )

Với t = 2  2x  = 2  x = 2 1  26

Với t = 3  2x  = 3  x = 12 1

Vậy phương trình có bốn nghiêm là: x =

6 2



, x = 1

Nhận xét:

Khi việc bình phương hai vế mà dẫn đến một phương trình phức tạp thi ta nên nghĩ đến việc biến đổi để trong phương trình có những biểu thức chứa biến giống nhau để giải theo phương pháp đặt ẩn phụ

Trong hai ví dụ này, ta có thể khái quát thành dạng tổng quát như sau:

 ax2 bx t2 , 0





(t ≥ 0).

Tuy nhiên trong một vài trường hợp, nếu phương trình trên có nghiệm từ hai nghiệm hửu tỉ trở lên (có thể trùng nhau) ta vẫn có thể giải bằng cách bình phương hai

vế của phương trình

Ta có:

2 2

1

x

x







 Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm là x 1 và x  2 2.

2.2.3 Giải pháp 3: Định hướng cho học sinh nên đặt điều kiện trước khi giải các

phương trình chứa nhiều căn thông qua một số phương pháp giải khác nhau để tránh sai lầm khi lấy nghiệm của phương trình

Phương pháp: Đối với các phương trình chứa nhiều căn bậc hai ta nên đặt điều kiện

trước khi giải

a Phương trình chứa nhiều căn giải bằng phương pháp biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần

Điều kiện:

1 0

x x

 





 

7 3 1

x x









 

Với điều kiện (11’) ta có: (11)  3x 7 = 2 + x 1  3x + 7 = x + 5 + 4 x 1  2 x 1 = x + 1 (với điều kiện (11’) ta tiếp tục bình phương hai vế)

 4x + 4 = x2 + 2x + 1

 x2 -2x - 3 = 0



1 3

x

x





 

 (thoả mãn điều kiện (11’)

Vậy nghiệm của phương trình (11) là x = -1 và x = 3.

Khi gặp bài toán này nhiều học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau

Ta có : (12)  2 x 4 x 1 2x 3 4x 16

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.

Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã cho do

học sinh không tìm điều kiện của phương trình

Lời giải đúng là: Điều kiện

4 0

x

x











Với điều kiện (12’) ta có: (12)  2 x 4  x 1 2x 3 2 x 4

 x1 2x 3 x ( không thỏa mãn)2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chú ý: 

















C B

A C

A B

Tuy nhiên không phải bài nào ta cũng cố đi tìm cho được điều kiện cụ thể của phương trình, chẳng hạn như ví dụ sau:

Hướng dẫn : Điều kiện

2 2

5 0

x x x





  

Lưu ý: Hệ điều kiện trên rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể.

Với điều kiện (13’) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta được

x x





3 2

1

1

4

x x

x

x

x

  



  



Vậy nghiệm của phương trình (13) là x = -1

Điều kiện của phương trình là x 1 (14’)

(a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi như sau:

x = 3 thỏa mãn điều kiện (14’) Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.

b Phương trình chứa nhiều căn bậc hai giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Trong dạng phương trình này học sinh cần nhận xét là:

 x 22 7 x2 5

( hằng số ), do đó nếu ta đặt x 2 7 x t thì ta có:

2 5 2 2 7

toán có nhiều thuận lợi.

Điều kiện   2 x 7

Đặt t = x 2 7 x (t 0)

Ta suy ra t2  5 2 x 2 7   x

Ta được phương trình: t2 – 5 – t = 1  t2 – t – 6 = 0 

3 2( )

t





 



Với t = 3 ta được x 2 7   x = 2  x2 – 9x + 18 = 0 

6 3

x x





 



Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 6 và x = 3.

Tuy nhiên có những bài như sau:

HD: Điều kiện

1

1 0

x

x x

 





 

Ta thấy ( 2x3)2 x12 3x4

khác hằng số Tuy nhiên ta vẫn có thể giải bằng phương pháp trên

Đặt 2x 3 x   , (Điều kiện t 1 t  0)

 3x2 2x2 5x  3 t2 4

Phương trình (16) trở thành : t2 - t - 20 = 0 

5 4( )

t





 



Với t = 5 ta được 2 2x2 5x 3 21 3 x( là phương trình thuộc dạng 1)

2

7

x

x

x



 









So sánh với điều kiện (16’) ta có nghiệm của phương trình là x 118 1345

Ví dụ 17 : Giải phương trình : x 2 x 2 2 x2 4 2 x2

Hướng dẫn : đặt điều kiện x 2

Cũng với hướng giải đó ta đặt : x 2 x 2t t( 0) t2 2x 2 x2 4

Phương trình trở thành

2 0

2( )

t











Với

4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

17 4

x 

Có thể tổng quát cho những phương trình đặt ẩn phụ dạng này như sau:

, đặt f x   g x   t t ( 0)  , bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn

lại qua ẩn t

c Phương trình chứa nhiều căn khác bậc giải bằng phương pháp đặt hai ẩn phụ :

Với phưong trình này có chứa hai loại căn là căn bậc hai và căn bậc ba, do đó phương pháp binh phương hai vế hay mũ ba hai vế đều không đem lại kết quả thuận lợi cho việc giải, còn nếu đặt một ẩn phụ thì không thể đưa phương trình về

dạng không chứa căn Đó là lí do để hướng học sinh đến việc phải đặt hai ẩn phụ.

Đặt

3 24

12

x u

v

x v







 



6 36

u v







 

Với

3

24

x



Với

3

3

x



Với

3

88

x



Vậy phương phương trình có 3 nghiệm là x = -24; x = 3; x = -88

Với phương trình này chỉ chứa một loại căn nhưng để mất căn ta phải mũ ba hai

vế nhưng việc làm này sẽ dẫn đến một phương trình khá phức tạp và khó giải

Nhưng ta lại thấy rằng 3 x 1 3 3 x 33 2

( hằng số)

Do đó ta đặt

3

3

1 3







Khi đó ta có hệ

3

3 3

2 2

u v

  







3

3

0 2 2 0

v u v u

 

 



 























 Giải ra ta có các nghiệm là (3; 0) và (0; 3)

Ta tổng quát dạng này như sau: F f x  ,n a f x  ,m b f x   0

2.2.4 Giải pháp 4: Tránh sai lầm cho học sinh khi khai căn của bình phương một

biểu thức, đưa một biểu thức ra ngoài hay vào trong căn bậc hai

Phương pháp:

A A







Ví dụ 20: Khi gặp phương trình: x2  7x12 x 3 x2  x 6

(20)

Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm như sau:

Lời giải sai:

3

x









Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 và x = 7.

HS có thể kết luận với x =3 và x = 7 là hai nghiệm thoả mãn của phương trình

Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là x = 2 cũng thoả

mãn

Lời giải đúng phải là: Ta có

2





Giải (1): (1) x 3 x2 x 3 x 4  x 3  x2  x4 0

7

x



 

