Một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm trong việc ứng dụng định lí vi ét để giải toán trong chương trình toán 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG SAI LẦM TRONG VIỆC ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT ĐỂ GIẢI TỐN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN LỚP Người thực hiện: Lê Văn Hồng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường trung học sở Điền Lư SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HÓA NĂM 2017 MỤC LỤC TT NỘI DUNG Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG Cơ sở lý luận 2 Thực trạng 3 Các giải pháp thực 3.1 Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh tránh sai lầm áp dụng định lí thuận để giải Toán 3.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh tránh sai lầm áp dụng định lí đảo để giải Tốn 3.3 Giải pháp 3: Giúp HS nắm nội dung định lí phát triển tốt tư thuật giải, tư sáng tạo thông qua tập Kết đạt 14 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 15 Kết luận 15 Kiến nghị 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÔNG NHẬN 17 PHẦN I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Như biết, Toán học mơn học đóng góp phần lớn việc phát triển tư hình thành nhân cách cho học sinh Vì địi hỏi giáo viên phải khơng ngừng cố gắng tìm tịi , học hỏi đúc rút kinh nghiệm , cải tiến phương pháp dạy học để nâng cao chất lượng đặt biệt chất lượng đại trà góp phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện theo mục tiêu giáo dục đề Trong q trình học tập mơn tốn nói chung mà đặc biệt mơn tốn chương trình THCS nói riêng, học sinh thường mắc sai lầm việc vận dụng kiến thức học vào việc làm tập toán Khi học sinh mắc sai lầm giải tốn giáo viên khơng nắm bắt nguyên nhân không kịp thời đưa biện pháp khắc phục sai lầm điều đáng tiếc cho giáo viên học sinh Nếu q trình dạy học tốn, giáo viên đưa tình sai lầm mà học sinh dễ bị mắc phải, rõ phân tích cho em thấy chỗ sai lầm nguyên nhân dẫn đến sai lầm, giúp cho em khơng khắc phục sai lầm mà cịn hiểu kĩ sâu học Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn lớp trường THCS Điền Lư kết hợp với việc tham khảo ý kiến đồng nghiệp, đúc kết, tổng hợp số sai lầm thường gặp học sinh q trình vận dụng định lí Vi-ét để giải toán Điều đặt cho giáo viên câu hỏi làm để học sinh vận dụng định lí Vi-ét khơng mắc sai lầm điều cấp thiết đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi tuyển học sinh giỏi lớp cấp xuất toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại (chỉ tiết lí thuyết luyện tập) lượng tập chưa đa dang Chính điều dẫn tới việc học sinh áp dụng định lí Vi-ét vào giải tốn cịn mắc nhiều sai lầm, ngộ nhân áp dụng Với kinh nghiệm thân với học hỏi đồng nghiệp xin giới thiệu đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh tránh sai lầm việc ứng dụng định lí Vi-ét để giải tốn chương trình Tốn lớp 9” 2.Mục đích nghiên cứu: Nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho em học sinh THCS Từ em làm tốt tốn bậc hai trong chương trình Tốn THCS Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng tốn bậc hai dạng toán khác Bài tập toán học đa dạng phong phú Việc giải toán yêu cầu quan trọng học sinh Nhiệm vụ giáo viên phải làm cho học sinh nhận dạng, hiểu tốn, từ nghiên cứu tìm cách giải Để nghiên cứu đề tài này, đề nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu tốn bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho - Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng thức Vi-ét vào toán bậc hai cho hợp lý - Điều tra 69 học sinh xem có học sinh thích học nâng cao, mở rộng kiến thức tốn bậc hai có học sinh tiếp thu, nâng cao kiến thức Đối tượng nghiên cứu: - Hướng dẫn học sinh nắm nội dung cách vận dụng định lí Viét thuận Chỉ sai lầm học sinh thường mắc, cách phát tránh sai lầm áp dụng định lí Viét để giải Tốn - Giúp học sinh nắm nội dung định lí phát triển tốt tư thuật giải, tư sáng tạo thông qua tập Phương pháp nghiên cứu: Căn vào mục đích nghiên cứu, tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp vấn, điều tra - Phương pháp thực nghiệm sư phạm PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN Cơ sở lý luận: Mục tiêu giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục “Nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS hiểu biết ban đầu kỹ thuật hướng nghiệp, học nghề vào sống lao động” Để thực mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS thiết kế theo hướng giảm chương trình lý thuyết, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học lớp, tăng thời gian tự học hoạt động ngoại khóa Trong chương trình lớp 9, học sinh học tiết: Hệ thức Vi-ét ứng dụng - Tiết 1: Lý thuyết học sinh học định lý Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn, lập phương trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúng - Tiết 2: Luyện tập học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Theo chương trình trên, học sinh học Định lý Vi-ét khơng có nhiều tiết học sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi-ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Chính nhiều học sinh áp dụng định lý Vi-ét mắc sai lầm ngộ nhận Là giáo viên cần hướng dẫn khắc sâu kiến thức cho học sinh đặc biệt khắc phục sai lầm áp dụng sở lý thuyết vào toán cụ thể Thưc trạng: a Đối với giáo viên: Trong giảng dạy mơn tốn giáo viên hướng dẫn cho học sinh tiếp thu kiến thức mới, áp dụng kiến thức vào giải tập thông qua tiết lí thuyết tiết luyện tập Tuy nhiên việc rèn luyện cho học sinh áp dụng lí thuyết vào tập đơi cịn hạn chế như: - Chưa ý đến việc phân loại câu hỏi dạng tập phù hợp với đối tượng học sinh, kiến thức dàn trải theo sách giáo khoa dẫn đến học sinh có lực học yếu thường hoạt động cịn học sinh giỏi lại khơng có điều kiện để phát huy hết lực - Trong hướng dẫn học sinh giải tập thường tập trung tìm kết tồn mà khơng ý nhiều đến việc trình bày việc sử dụng kiến thức để giải, việc giải tập củng cố lại kiến thức Dạng tổng quát tập Những lỗi thường mắc phải giải b Đối với học sinh: Qua thực tế giảng dạy tơi thấy tiết lí thuyết học sinh học sôi tiết luyện tập Điều cho thấy khả hệ thống hoá kiến thức vận dụng lí thuyết vào giải tập học sinh thường mắc phải lỗi sau: - Nắm lí thuyết cách thụ động dẫn đến vận dụng định lí, tính chất, hệ khơng xác khơng ý đến điều kiện trước vận dụng dẫn đến sai lầm giải Ví dụ: - Khi áp dụng định lí Vi-ét khơng quan tâm tới điều kiện để phương trình bặc hai có nghiệm - Khơng nắm dạng tập nắm vận dụng cách máy móc, thiếu sáng tạo Đối với mơn đại số lớp Phương trình bậc hai ẩn định lí Vi-ét chiếm vị trí qua trọng Nhưng học sinh học định lí Viét ứng dụng, em thường mắc phải lỗi dẫn đến nhiều học sinh lúng túng nhầm lẫn giải tập khơng có tư thuật giải Để có sở kiểm chứng đề tài tơi cho học sinh lớp trường THCS Điền Lư năm học 2014-2015 tiến hành làm kiểm tra việc áp dụng định lí Viét để giải tốn (khi chưa áp dụng đề tài), đề kiểm tra sau: Câu 1: Tính tổng tích nghiệm phương trình sau: a, x2+ 3x +7 = b, mx2- 8x +2 = Câu 2: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a, 2015x2-2016x +1 = b, x2+2017x +2016 = Câu 3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 2017 -1 Câu 4: Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm -6 tích hai nghiệm 12 Câu 5: Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + = Tìm giá trị tham số m để phương trình cho có hai nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Tôi tiến hành coi thi chấm chữa theo quy định, kết kiểm tra đạt sau: Bảng 1: Thống kê học sinh phạm sai lầm vận dụng định lí Vi-ét Năm học 2014-2015 Lớp Không ý Không ý đến đk Không phạm sai đến đk hệ số a ≠ lầm ∆≥ 0 Sĩ số HS SL % SL % SL % 9A 34 16 47,1 11 32,3 20,6 9B 35 15 42,9 13 37,1 22,6 Khá TB Bảng 2: Kết đạt được: Năm học 2014-2015 Lớp Giỏi Sĩ số HS SL % SL 9A 34 5,9 9B 35 8,6 % Yếu Kém SL % SL % SL % 14,7 12 35, 11 32,4 11,7 11,4 13 37,1 10 28,6 14,3 Từ thực trạng cho thấy số học sinh mắc sai lầm áp dụng định lý Vi-ét để giải toán chiếm gần số học sinh lớp gần nửa học sinh điểm trung bình, số học sinh giỏi Ngun nhân thực trạng là: Giáo viên chưa ý nhiều tới việc cho học sinh áp dụng lí thuyết vào giải tốn, qua giải tập để củng cố lí thuyết xây dựng kiến thức mới, phía học sinh em tiếp thu kiến thức cách thụ động, nặng mặt lí thuyết điều đòi hỏi cần phải thay đổi cách dạy học nhằm đáp ứng với mục tiêu phương pháp dạy học mới, giúp học tăng cường khả áp dụng lí thuyết vào giải tập cách xác, tránh sai lầm ngộ nhận áp dụng lí thuyết vào tập cụ thể, sáng tạo giải tốn, qua giúp học sinh phát triển tốt tư từ giúp em học tốt u mơn tốn Các giải pháp thực hiện: 3.1 Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh tránh sai lầm áp dụng định lí thuận để giải Tốn a Nội dung định lí: Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = o có hai nghiệm x1, x2 x1+ x2 = −b c x1 x2 = a a (Trang 51 - SGK Toán 9/T2 - NXBGD - Chủ biên: Tôn Thân) * Trong dạy học học sinh phát nội dung định lí trước hết cần cho học sinh thấy công thức nghiệm ∆ > ∆ = sau cho học sinh tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm trường hợp tổng quát rút nội dung định lí *Sai lầm học sinh thường mắc phải: Khi áp dụng định lí mà khơng ý đến điều kiện để áp dụng định lí a ≠ ∆ ≥ * Khắc phục: Để khắc phục điều giáo viên đưa phản ví dụ qua học sinh khắc sâu điều kiện áp dụng định lí thuận Ví dụ1: Tính tổng tích nghiệm phương trình sau: x2+ 3x +7 = − b −3 = = -2 a c P= = =7 a *Sai lầm: Nhiều học sinh tính ln: S = Như học sinh không để ý đến điều kiện xem phương trình cho có hai nghiệm hay khơng mà vội vàng áp dụng định lí dẫn đến lời giải sai, Phương trình cho có ∆ = −4 < nên vơ nghiệm khơng tính tổng tích nghiệm Ví dụ 2: Tìm tổng tích hai nghiệm phương trình: mx2- 8x +2 = (1) *Sai lầm: Nhiều học sinh tính tổng tích hai nghiệm sau: −b = m a c x1 x2 = = a m x1+ x2 = Như học sinh không đặt điều kiện m để phương trình cho phương trình bậc hai có hai nghiệm mà áp dụng ln định lí Vi ét Sau học sinh thấy sai lầm có lời sau: Để phương trình (1) có hai nghiệm thì: a ≠ ⇔  ∆ ' ≥  m≠0 m ≠ ⇔   16 − 2m ≥ m ≤ Với điều kiện áp dụng định lí Viét ta có: −b = m a c x1 x2 = = a m x1+ x2 = Khi nắm nội dung định lí tiết luyện tập, ôn tập cần tiếp tục cho học sinh biết ứng dụng định lí Viét thuận b ứng dụng định lí Viét thuận: * ứng dụng 1: Tính nhẩm nghiệm Nếu biết nghiệm phương trình bậc hai ta suy nghiệm Xét trường hợp đặc biệt: Cho phương trình: ax2 + bx + c = o (a ≠ ) - Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x = 1, cịn nghiệm x2 = c a - Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm x = -1, nghiệm x2 = −c a (Trang 51 - SGK Toán 9/T2 - NXBGD - Chủ biên: Tôn Thân) Trong dạy học học sinh yếu trung bình cần cho học sinh vài ví dụ cụ thể rơi vào hai trường hợp cho học sinh công nhận ứng dụng Tuy nhiên học sinh giỏi cần xem ứng dụng tập để học sinh hiểu chất từ học sinh hiểu vận dụng tốt * Xét trường hợp: a - b + c = Lời giải: Từ a - b + c = ⇒ b = a + c ⇒ ∆ = b2 – 4ac = a2 + 2ac + c2 – 4ac = (a - c)2 ≥ Suy phương trình có nghiệm, có nghiệm : x1 = − b + ∆ − b + a − c − (a + c) + a − c = = 2a 2a 2a − 2c − c = +Nếu a ≥ c Thì x1 = Áp dụng định lí viét ⇒ x2 = -1 2a a −c +Nếu a < c Thì x1 = -1 Áp dụng định lí viét ⇒ x2 = a Vậy a - b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = -1, cịn nghiệm x2 = −c a Chứng minh tương tự trường hợp a + b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a *ứng dụng 2: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kịên H Để giải tốt dạng toán cần thực bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình xét có hai nghiệm x1, x2 Bước 2: Áp dụng hệ thức vi ét ta có: x1+x2 = ?; x1.x2 = ? Bước 3: Phân tích H cho thay x1+x2 x1.x2 vào suy kết * Lưu ý: Khi tìm hiểu ứng dụng cần lưu ý học sinh phải kiểm tra điều kiện để phương trình có nghiệm cách chứng minh ac < ∆ ≥ , tìm cụ thể nghiệm sau áp dụng định lí viét để giải 3.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh nắm tránh sai lầm áp dụng định lí đảo để giải Tốn a Nội dung định lí đảo: Nếu có hai số x1, x2 cho x1+ x2 = S x1 x2 = P x1, x2 nghiệm phương trình: X2 – SX + P = (Trang 52 - SGK Toán 9/T2 - NXBGD - Chủ biên: Tôn Thân) Khi cho học sinh tìm hiểu nội dung định lí , học sinh có lực học trung bình trở xuống cần cho học sinh cơng nhận định lí sau cho học sinh làm tập củng cố *Sai lầm học sinh thường mắc phải: Khi áp dụng định lí khơng ý đến điều kiện S2 - 4P ≥ Hoặc sử dụng điều kiện không lúc chỗ, cụ thể học sinh thường nhầm lẫn cách giải với hai dạng toán sau: + Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm m n + Lập phương trình bậc hai có hai có tổng hai nghiệm m tích hai nghiệm n *Khắc phục: Để tránh khỏi sai lầm cần cho học sinh kiểm tra xem phương trình bậc hai xét chắn có hai nghiệm hay chưa Nếu có hai nghiệm khơng cần đặt điều kiện S - 4P ≥ Nếu chưa nói cụ thể có hai nghiệm cho học sinh thấy để lập phương trình bậc hai biết tổng tích hai nghiệm cần ý đến điều kiện: S - 4P ≥ Để khắc sâu hai trường hợp cho học sinh xét ví dụ sau: Ví dụ1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm GV yêu cầu học sinh thực bước sau: Tính: S = x1+ x2 = 7 P = x1 x2 = 12 Phương trình cần lập là: : X2 – 7X + 12 = Giáo viên cho học sinh giải lại phương trình lập để kiểm nghiệm lại Giáo viên hỏi: Vì làm tập không cần quan tâm đến điều kiện S - 4P ≥ Học sinh trả lời: Vì theo đề phương trình cho chắn có hai nghiệm nên S2 - 4P > Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm tích hai nghiệm 10 *Sai lầm: Nhiều học sinh vội vàng với cách giải tương tự VD1 đưa phương trình cần lập là: X - 5X +10 = Mà không lưu ý đến điều kiện S2 - 4P ≥ dẫn đến lời giải bị sai * Khắc phục: Giáo viên hướng dẫn học sinh thực lời giải sau: Ta có: S2 - 4P = 52 – 10 = -15 < nên khơng lập phương trình thoả mãn điều kiện cho Đối với học sinh giỏi giáo viên yêu cầu em chứng minh định lí đảo trường hợp tổng quát cách áp dụng định lí thuận học phương trình X2 – SX + P = Sau học sinh nắm nội dung định lí đảo tiết luyện tập, ôn tập cần tiếp tục cho học sinh thấy ứng dụng định lí đảo b Ứng dụng định lí đảo *ứng dụng 1: Tính nhẩm nghiệm Ví dụ: Hãy nhẩm nghiệm phương trình sau : x2 – (2 + )x + 10 = Học sinh: Vì S = + ) P = 10 nên phương trình có hai nghiệm là: x1 = ; x2 = *ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm phương trình Ví dụ: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm nghiệm: Phương trình cần lập là: x2 – ( + )x + = *ứng dụng 3: Lập phương trình biết tổng tích hai nghiệm Ví dụ : Lập phương trình bậc có tổng hai nghiệm -9 tích hai nghiệm 12 Học sinh: Vì S2 - 4P = (-9)2 - 4.12=33 > nên phương trình cần lập là: x2 + 9x + 12 = Đối với học sinh giỏi cần cho học sinh tìm hiểu hai ứng dụng sau: x +y = S  x y = P *ứng dụng : Giải hệ phương trình dạng:  Cách giải: - Hệ có nghiệm S2 - 4P ≥ - x, y nghiệm phương trình X2 - SX + P = - Nếu (x, y) nghiệm hệ (y, x) nghiệm hệ  x + y + xy = 2 x y + y x = Ví dụ: Giải hệ phương trình:  (Tham khảo trang 22-Các chuyên đề chọn lọc Tốn 9/T2-NXBGD-chủ biên: Tơn Thân) Giải:  x + y + xy =  x + y + xy = ⇔  (I) 2 x y + y x =  xy ( x + y ) = Ta có:  S + P = áp dụng hệ thức Vi-ét S,  SP = Đặt x+y = S; xy = P hệ (I) trở thành  P nghiệm phương trình: X - 6X + = Vì 1+ (-6) + = Nên phương trình có hai nghiệm: X1= 1; X2= suy S = , P = S = , P= + Nếu: S= x +y = 1; P= xy = theo hệ thức Vi-ét x, y nghiệm phương trình : Y2 - Y + = (phương trình vơ nghiệm ∆ < 0) + Nếu: S = x +y = 5; P = xy = theo hệ thức Vi ét x, y nghiệm phương trình : Y2 - 5Y + = phương trình có nghiệm: Y = Do hệ phương trình cho có nghiệm: (x, y) = ( (x, y) = ( + 21 ; Y = − 21 + 21 − 21 ; ) 2 − 21 + 21 ; ) 2 *ứng dụng 5: Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử Nếu phương trình ax2 + bx + c = o (a ≠ ) Có hai nghiệm x1, x2 đa thức ax2 + bx + c phân tích thành: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x2 + 5x - Học sinh giải: Phương trình 2x + 5x - 7=0 có a+b+c=2+5+(-7)=0 nên phương trình cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = −7 Nên đa thức 2x2 + 5x - 7= 2(x-1)(x+ )=(x-1)(2x+7) 3.3 Giải pháp 3: Giúp học sinh nắm nội dung định lí phát triển tốt tư thuật giải, tư sáng tạo thông qua tập a Bài tập vận dụng định lí thuận Bài 1: Tìm nghiệm phương trình sau: a x2 + ( m + )x – - m = (1) b 2mx + ( 2m +4 )x + = (2) Lời giải: a Ta có a + b + c = + m + - – m = nên phương trình (1) có hai nghiệm x1 = ; x2= c =-4–m a b + Nếu m = phương trình (2) trở thành: 4x + = ⇔ x = - + Nếu m ≠ 0, ta có a – b + c = 2m - (2m+4) + = nên phương trình (2) có hai nghiệm x1 = -1; x2= - c =a m Kết luận: m = phương trình (2) có nghiệm x = -1 m ≠ phương trình (2) có nghiệm x1 = - 1; x2= - m * Lưu ý: Nhấn mạnh cho học sinh gặp phương trình ax + bx + c =0 ta phải xét trường hợp: a = a ≠ + Trường hợp 1: a = + Trường hợp 2: a ≠ Bài 2: Xác định m để phương trình: x – (m +1)x + 4m = (3) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 x2 = Lời giải: Để phương trình (3) có hai nghiệm ∆ ≥ hay (m+ 1)2 – 16m ≥ (*) áp dụng địng lí Viét ta có: x1.x2 = 4m (4) Theo giả thiết ta có: x1 x2 = (5) 1 Thay m = vào điều kiện (*) ta được: 4 1 39 ∆ =( +1)2 – 16 = < Không thoả mãn điều kiện (*) 4 16 Từ (4) (5) suy m = Vậy không tồn giá trị m để phương trình (3) có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn: x1 x2 = * Lưu ý: Đối với tập học sinh thường hay mắc sai lầm chỗ sau tìm m kết luận ln tốn mà khơng thử lại xem giá trị m vừa tìm có thoả mãn điều kiện để phương trình có hai nghiệm hay khơng Để khắc phục điều GV cần ý cho học sinh kiểm tra lại giá trị m có thoả mãn hay không tuỳ thuộc vào mà chọn hai cách sau: Cách 1: Tìm m trước sau thay giá trị m vừa tìm vào phương trình giải phương trình Nếu phương trình có nghiệm giá trị m tìm 10 thoả mãn, phương trình vơ nghiệm có nghiệm giá trị khơng thoả mãn làm cắch làm toán (Cách thường dùng giải ∆ ≥ khó khăn, phức tạp) Cách 2: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm trước sau tìm giá trị m so với điều kiện ban đầu từ rút kết luận Cách ta áp dụng để giải tập sau: Bài 3: Cho phương trình: x2 + (2m - 1)x - m + = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: a x2( x1 + )+ x1( x2 + ) =8 x x b x + x = 2 (Tham khảo trang 52-53-Toán bồi dưỡng học sinh Đại số 9-NXBGD-Chủ biên: Vũ Hữu Bình) Để giải tập cần thực bước sau: Giải: - Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: ∆ = (2m - 1)2 - 4(- m +1) ≥ ⇔ 4m2 – ≥ ⇔ m ≥ 3 m ≤ (*) 2 Theo hệ thức Viét có: x1+ x2 = - (2m -1) (1) x1 x2 = - m + (2) - Áp dụng hệ thức viét để tìm m cho: x2( x1 + )+ x1( x2 + ) =8 ⇔ x1+x2+2x1x2=8 (3) Từ (1) (2) Thay vào (3) ta : - (2m -1) + 2(- m + 1) = ⇔ m = -1 Kết hợp với điều kiện (*) ta m cần tìm là: m = -1 x x b Ta có: x + x = ⇒ x12+x22 = 2x1x2 ⇔ (x1 +x2)2 - 4x1x2 = (4) Từ (1) (2) Thay vào (4) ta : (2m -1)2 - 4(-m +1) = ⇔ 4m2 –3=0 ⇔ m = 3 m = 2 Kết hợp với điều kiện (*) ta m cần tìm là: m = 3 m = 2 11 Bài 4: Cho phương trình: x2 – (k - 4)x + 2k+3 = (1 ) có nghiệm x1 ,x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập k (Tham khảo trang 63-64-Các chun đề chọn lọc Tốn 9/T2-NXBGD-chủ biên: Tơn Thân) Lời giải: Theo hệ thức Viét có: x1+ x2 = k – (2) x1 x2 = 2k + (3) Từ (2) ⇒ k = x1+ x2 + 4, thay vào (3) ta x1 x2 = 2( x1+ x2 + 4) + Hay 2(x1 + x2) - x1 x2 + 11 = hệ thức cần tìm b Bài tập vận dụng định lí đảo Bài Tìm hai số m n biét tổng tích chúng là: - 3 Lời giải:  −2   −1  Vì S - 4P =  ÷ −  ÷ >     2 X - = Giải 3 1 X1 = ; X2 = - Vậy (m,n) = ( ; -1) (m,n) = (-1 ; ) 3 Nên m, n nghiệm phương trình: X2 + Lưu ý: Có thể thử điều kiện S2 - 4P trước tìm n, m sau Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm + - Lời giải: Ta có : S = + + - = P = (2 + )(2 - ) = -14 Phương trình cần lập là: x2 – 4x - 14 = Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – (3 + )x + Lời giải: Bằng cách nhẩm nghiệm dễ thấy phương trình x2 – (2 + )x + = có hai nghiệm đó: x2 – (3 + ))x + = (x - 3)(x - ) c Bài tập vận dụng định lí thuận định lí đảo Bài tập: Cho phương trình: x2 - ( m – )x + m - = (1) a Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 b Tìm phương trình bậc hai có hai nghiệm X 1= x + ; X2= x + , với x1, , x2 hai nghiệm phương trình(1) c Tìm m để phương trình (1) có nghiệm số x1, x2 thoả mãn: x1 – x2 = 12 (Tham khảo trang 60-61- Các chuyên đề chọn lọc Toán 9/T2-NXBGD-chủ biên: Tơn Thân) Lời giải: a Ta có ∆' = (b’)2 – ac = (m - 1)2 – m + = m2 – 3m +2 Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ m2 – 3m +2 ≥ ⇔ (m-2)(m-1) ≥ m ≥ ⇔ m ≤ m ≥ b Với  phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 theo vi-ét ta có: m ≤ x1+x2= 2(m-1) x1x2= m-1 x1 x2 x1 x2 + x1 + x1 x2 + x2 2m − + 2m − 4m − Ta có: X1 + X2= x + + x + = x x + x + x + = = m − + 2m − + 3m − 2 2 x1 x2  x  x  m −1 m −1 = X1X2 =    = x x + x + x + = m − + 2m − + 3m − 2  x1 +  x2 +  16(m − 1) 4(m − 1) − Xét S – 4P = (3m − 2) 3m − 2 = 4(m − 1)(4m − + − 3m) (3m − 2) = 4(m − 1)(m − 2) 4∆ = (3m − 2) (3m − 2) ≥ m≥2 Vì  m ≤ Theo định lí Viét đảo X1, X2 nghiệm phương trình: X2 – SX + P = m −1  m −1  ⇔ X − 4 =0 X + 3m −  3m −  m≥2 d Với  m ≤  x1 + x2 = 2m −  Theo theo Vi-et ta có:  x1 − x2 =  x x = m −1  Từ hai phương trình đầu ta tìm được: x1 = m , x2 = m-2 Thay x1, x2 vào phương trình thứ ba hệ ta được: m(m-2) = m-1 ⇔ m2 – 3m + 1= 13  3+ m = ⇔  m = −  (thảo mãn ĐK)  3+ m = Vậy với  phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn − m =  x1 – x2 = *Lưu ý: Học sinh làm câu b cần đặt điều kiện để S2 – 4P ≥ 4.Kết đạt Tiến hành khảo sát năm học 2015-2016 áp dụng đề tài hai đối tượng HS 9A (lớp đối chứng) HS lớp 9B (lớp thực nghiệm đề tài), hai lớp đối tượng học sinh có khả học Tốn tương đương việc chia lớp ngẫu nhiên vơi đề kiểm tra năm học 2014-2015 Đề kiểm tra: Câu 1: Tính tổng tích nghiệm phương trình sau: a, x2+ 3x +7 = b, mx2- 8x +2 = Câu 2: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a, 2015x2-2016x +1 = b, x2+2017x +2016 = Câu 3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 2017 -1 Câu 4: Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm -6 tích hai nghiệm 12 Câu 5: Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + = Tìm giá trị tham số m để phương trình cho có hai nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Kết khảo sát đối tượng lớp 9A (không áp dụng đề tài), lớp 9B (áp đụng đề) thu sau : Bảng 3: Thống kê học sinh phạm sai lầm vận dụng định lí Viét Năm học Lớp Sĩ số HS Khơng ý đến đk ∆≥ SL % Không ý đến đk hệ số a ≠ SL % Không phạm sai lầm SL % 14 2015-2016 9A 34 13 38,2 12 35,3 26,5 9B 33 18,2 12,1 23 69,7 Bảng 4: Kết đạt được: Năm học Lớp 9A 2015-2016 Đối chứng 9B Thực nghiệm Giỏi Sĩ số HS SL % Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % 11,8 34 5,9 17,6 13 38,2 26, 33 18,2 10 30,3 14 42,4 9,1 Từ kết cho thấy số lượng học sinh mắc phải sai lầm dạy thực nghiệm giảm đáng kể, từ số lượng yếu lớp dạy thực nghiệm giảm rõ rệt, chất lượng học sinh giỏi tăng lên đáng kể Điều chứng tỏ học sinh nắm chất lí thuyết áp dụng vào việc giải Tốn cách linh hoạt, sáng tạo tránh sai lầm ngộ nhận áp dụng định lí Vi-ét vào giải Toán PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Như so với kết kiểm tra năm học trước kết thu sau thực dạy theo biện pháp thật đáng mừng Điều chứng tỏ khả vận dụng kiến thức lí thuyết vào giải tập học sinh nhiều hạn chế Để khắc phục hạn chế cho học sinh nắm thật kiến thức lí thuyết mà cịn biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo để giải Toán bản, tốn khó có liên quan, qua giúp học sinh phát huy tính tự học, tự tìm tịi chủ động việc chiếm lĩnh kiến thức Muốn dạy kiến thức giáo viên cần chọn dạng toán áp dụng kiến thức học phù hợp với đối tượng học sinh, sau phần, chương cần chọn tập tổng hợp từ hướng dẫn học sinh tìm mối liên hệ yêu cầu toán với kiến thức học, đồng thời giúp học sinh tránh sai lầm thường mắc phải áp dụng lí thuyết vào giải tập Sáng kiến đề cập tới số giải pháp giúp học sinh tránh sai lầm áp ứng dụng định lí Viét vào giải Tốn, sau thực sáng kiến thấy khả vận dụng địng lí Vi ét nói riêng kiến thức lí thuyết nói chung học sinh có nhiều tiến bộ, thể chỗ đa số học sinh 15 biết áp dụng lí thuyết vào giải tập cách xác, nhiều học sinh có cách giải tốn linh hoạt, sáng tạo bước đầu chủ động tìm tịi kiến thức góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Chính tơi mạnh dạn tổng hợp suy nghĩ mà tơi áp dụng, vài kinh nghiệm tơi có góp ý đồng nghiệp tổ Vậy thân nhận thấy đề tài hạn chế mong góp ý đồng nghiệp, đặc biệt đồng chí chun viên phịng giáo dục để tơi có kinh nghiệm cần thiết để tiếp tục nghiên cứu cho việc giảng dạy tốt góp phần nhỏ bé vào phát triển giáo dục Kiến nghị: Vì thời lượng chương trình Tốn giành cho định lí Vi-ét ứng dụng có tiết, lượng tập phần đa dạng Đặc biệt đề thi vào 10, thi học sinh giỏi cấp có nhiều liên quan tới áp dụng định lí Vi-ét để giải Chính thân tơi mong nhà trường tăng cường thêm thời gian buổi chiều để có thời gian ôn luyện, khắc sâu kiến thức cho học sinh, khắc phục sai lầm ngộ nhận áp dụng lý thuyết vào giải tốn Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN HIỆU TRƯỞNG Điền Lư, ngày 30 tháng 03 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Văn Hồng 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO TT Tên tài liệu Sách giáo khoa Toán _ Tập Sách tập Toán _ Tập Sách giáo viên Toán _ Tập Các chuyên đề chọn lọc Toán 9-Tập Toán bồi dưỡng học sinh Đại số NXB NXBGD NXBGD NXBGD NXBGD NXBGD Chủ biên Tôn Thân Tôn Thân Tôn Thân Tôn Thân Đỗ Quang Thiều CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÁC CẤP CÔNG NHẬN TT Tên đề tài Làm để học sinh hiểu khái niệm hàm số Một số phương pháp tổ chức dạy học loại tứ giác cho học sinh Xếp loại Năm học Cấp XL C 2008-2009 Huyện C 2014-2015 Huyện 17 ... đồng thời giúp học sinh tránh sai lầm thường mắc phải áp dụng lí thuyết vào giải tập Sáng kiến đề cập tới số giải pháp giúp học sinh tránh sai lầm áp ứng dụng định lí Vi? ?t vào giải Toán, sau... số học sinh mắc sai lầm áp dụng định lý Vi- ét để giải toán chiếm gần số học sinh lớp gần nửa học sinh điểm trung bình, số học sinh giỏi Nguyên nhân thực trạng là: Giáo vi? ?n chưa ý nhiều tới vi? ??c. .. vận dụng định lí Vi? ?t thuận Chỉ sai lầm học sinh thường mắc, cách phát tránh sai lầm áp dụng định lí Vi? ?t để giải Tốn - Giúp học sinh nắm nội dung định lí phát triển tốt tư thuật giải, tư sáng