(Sáng kiến kinh nghiệm) một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm trong việc ứng dụng định lí vi ét để giải toán trong chương trình toán 9

MỤC LỤC Nội dung MỞ ĐẦU Trang - Lí chọn đề tài - Mục đích nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu NỘII DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề Nguyên nhân dẫn đến thực trạng 2.3 Gải pháp tổ chức thực 2.3 Kiểm nghiệm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị 2 3 15 17 17 17 MỞ ĐẦU - Lí chọn đề tài: Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không đơn truyền thụ kiến thức cho học sinh mà phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thơng qua luyện tập, thực hành thí nghiệm Đối với mơn tốn, việc giải tốn xem hình thức vận dụng kiến thức học vào thực tế, vào trường hợp cụ thể giải toán mơn tốn khơng giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ mà cịn hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự tìm kiến thức Tuy nhiên, để đạt hiệu trên, người giáo viên phải biết tổ chức cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao, từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt phương pháp dạy học tích cực Trong năm trở lại đây, đề thi học sinh giỏi toán đề thi vào lớp 10 PTTH chuyên, đề thi tốn giải hệ phương trình chiếm tỉ lệ không nhỏ định lý Viét đảo công cụ hữu hiệu để giải nhiều hệ phương trình Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa chưa đề nhiều, lượng tập chưa đa dạng làm cho học sinh gặp khơng khó khăn việc tìm cách giải cho hiệu Vì giáo viên nhiều năm dạy ơn luyện đội tuyến tốn, thấy tác dụng tích cực việc ứng dụng hệ thức vi –ét vào giải hệ phương trình nên tơi định nghiên cứu đề tài: “Phát triển tư cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức vi-ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số 9” Đồng thời, qua giúp thân có điều kiện nắm vững lí luận dạy học tốn, bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ giải tập, nghiên cứu phát triển tốn, tìm cách giải khác, Nhằm giúp nâng cao hiệu việc dạy học sau - Mục đích nghiên cứu Nâng cao khả giải tốn, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Từ góp phần nâng cao chất lượng giáo dục đại trà phát nguồn học sinh giỏi cho lớp - Đối tượng nghiên cứu: Phát triển lực tư cho đối tượng học sinh lớp thông qua số toán vận dụng hệ thức Vi-ét đảo vào giải hệ phương trình - Phương pháp nghiên cứu: Tham khảo thu thập tài liệu Phân tích tổng hợp kinh nghiệm Kiểm tra kết chất lượng học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục giai đoạn phải đào tạo người có trí tuệ phát triển, giàu tính tư sáng tạo Để đạt mục tiêu phải áp dụng phương pháp dạy học bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nề nếp tư sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại vào trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo học sinh, phải phù hợp với đặc điểm môn học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Bài tập phương trình hệ phương trình đa dạng phong phú, để giải học sinh cần có kỹ tốt, biết nhiều phương pháp cách vận dụng Tạo tảng kiến thức để học sinh lấy làm tiền đề tiếp tục hoàn thiện học sang THPT Trang bị cho học sinh kỹ vận dụng hệ thức Vi-ét đảo để giải hệ phương trình, giải đề thi vào lớp 10 có nội dung liên quan đến hệ thức Vi-ét đảo 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Về phía giáo viên: Hầu hết đào tạo qui, phân cơng giảng dạy chun mơn, nhiệt tình công việc Tuy đại đa số giáo viên dạy theo chương trình sách giáo khoa, việc tổng hợp dạng phương pháp làm thành hệ thống để học sinh dễ học, dễ nhớ giáo viên làm Đối với đại trà việc giảng dạy theo chương trình sách giáo khoa coi đạt yêu cầu cơng việc bồi dưỡng học sinh giỏi việc trang bị kiến thức không theo dạng phương pháp làm kèm theo chưa đảm bảo yêu cầu Về phía học sinh: Đa số học sinh ngoan ngỗn, có ý thức học, có ý thức phấn đấu vươn lên Tuy nhiên lực có hạn nên kiến thức sức tiếp thu chậm, chưa thấy hết tính đặc trưng, ưu việt phương pháp giải Đổi lại học sinh có tảng kiến thức tốt hồn tồn nắm vững phương pháp tạo tiền đề vững để học tốn trường THPT Trong q trình dạy tốn trường THCS nhận thấy kiến thức kỹ vận dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình giải hệ phương trình tảng chương trình tốn THCS hồn thiện chương trình tốn THPT Nội dung đề tài nghiên cứu triển khai nhiều năm giảng dạy toán 9, lần áp dụng xong tiến hành rút kinh nghiệm, có chỉnh sửa bổ xung thêm tính Chính đề tài “Phát triển tư cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức vi-ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số ” coi tài liệu để học sinh giáo viên tham khảo cơng tác giảng dạy mơn tốn khối 9, bồi dưỡng thi vào 10 Giới hạn đề tại: Hệ phương trình chuyên đề hay cần thiết cho học sinh THCS THPT giúp học sinh phát triển tư toán học kỹ tính tốn, biến đổi, kỹ giải phương trình đặc biệt kỹ đặt ẩn phụ, áp dụng hệ thức Viét … vào giải hệ phương trình, chuyên đề tương đối rộng cấu trúc đề tài không cho phép nên nội dung đề tài đưa phương pháp giải hệ phương trình dạng đối xứng loại I, cịn dạng hệ phương trình đối xứng loại II, hệ phương trình đẳng cấp loại I, loại II… trình bày đề tài sau 2.3 Các giải pháp tổ chức thực A Kiến thức cần nhớ Hệ Thức Vi –ét: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ¹ 0) (*) b   b   ; x2  2a 2a b    b   2b b x1  x2    2a 2a a ( b   )(b   ) b   4ac c x1 x2     4a 4a 4a a Có hai nghiệm: x1  Suy ra: b a c - Tích nghiệm P: P = x1 x2  a Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a,b,c Đây nội dung Định lí Vi-et, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải toán Hệ Thức Vi-ét đảo :  S  x1  x2 Cho  với S2 – 4P  x1 ; x2 nghiệm phương trình có P  x x  2 dạng: x  Sx  P  Hệ phương trình đối xứng loại 1: Dạng tổng quát Vậy đặt: - Tổng nghiệm S:  f (x, y)   g(x, y)   S = x1  x2   f (x, y)  f (y, x) gọi hệ đối xứng loại I g(x, y)  g (y, x) Phương pháp giải chung Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S  P Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P dùng Viét đảo tìm x, y nghiệm phương trình: X2 – SX + P = 0 (định lý Viét đảo) Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2=S2−2P; x3 + y3=S3−3SP… u  u ( x ) S  u  v và      v  v ( x )  P  uv ii) Đơi ta phải đặt ẩn phụ:              ii) Có hệ phương trình trở thành hệ đối xứng loại I sau ta đặt ẩn phụ Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S  P iii) Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m từ điều kiện (*) tìm m Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv nhớ tìm xác điều kiện u, v II Bài tập: Loại 1: Biến đổi đặt x + y = S; xy = P  x  y  xy  11 Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  2  x y  xy  30 Hướng dẫn: Trước hết cho hs nhận dang dạng hệ phương trình đối xứng loại I Sau gợi ý cho hs biết cách biến đổi để đặt x + y = S xy = P Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y  x  y  xy  11  x  y  xy  11  đặt x + y = S xy = P  xy ( x  y )  30  x y  xy  30 Cụ thể ta làm sau:  2  S  P  11 suy S = 6, P = S = 5, P = SP  30 Ta có  * Với S = 6, P = khí x, y nghiệm pt X2 – 6X + = Giải ta (x;y) = (1;5), (5;1) nhiệm hpt * Với S = 5, P = khí x, y nghiệm pt X2 – 5X + = Giải ta (x;y) = (2;3), (3;2) nhiệm hpt 5( x  y )  xy  19 3 xy  x  y  35 Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  Hướng dẫn: Trước hết cho hs nhận dang dạng hệ phương trình đối xứng loại I 5S  P  19  P  12   ( Thoả mãn) 3P  S  35 S  đặt x + y = S xy = P ta có   x, y nghiệm hệ phương trình bậc hai X  X  12   X  3, X  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (-3;4), (4;-3)  x  y  10 Bài 3: Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  58 Hướng dẫn: Trước hết cho hs nhận dang dạng hệ phương trình đối xứng loại I đặt x + y = S xy = P Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y  x  y  10  x  y  10  đặt x + y = S xy = P ta  x  y  58 ( x  y )  xy  58 Cụ thể ta làm sau:   S  10 có   S  P  58 2 Suy P = 21 * Với S = 10, P = 21 khí x, y nghiệm pt X2 – 10X + 21 = Giải ta (x;y) = (7;3), (3;7) nhiệm hpt  x  y  25 Bài 4: Giải hệ phương trình sau:   xy  12 Hướng dẫn: Trước hết cho hs nhận dang dạng hệ phương trình đối xứng loại I Sau gợi ý cho hs biết cách biến đổi để đặt x + y = S xy = P Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y  x  y  25 ( x  y )  xy  25  Cụ thể ta làm sau:   xy  12  xy  12  S  P  25 đặt x + y = S xy = P ta có  Suy S = S = -7  P  12 * Với S = 7, P = 12 khí x, y nghiệm pt X2 – 7X + 12 = Giải ta (x;y) = (4;3), (3;4) nhiệm hpt * Với S = -7, P = 12 khí x, y nghiệm pt X2 + 7X + 12 = Giải ta (x;y) = (-4;-3), (-3;-4) nhiệm hpt  x  y  xy  Bài 5: Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  x  y  Hướng dẫn: Trước hết cho hs nhận dang dạng hệ phương trình đối xứng loại I đặt x + y = S xy = P Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y  x  y  xy  ( x  y )  xy   Cụ thể ta làm sau:  2  đặt x + y = S  x  y  x  y  ( x  y )  xy  x  y  S   2  S  P   P  S   P    xy = P ta có  2   S  2  S  P  S   S  2( S  7)  S     P  3 * Với S = 3; P = khí x, y nghiệm pt: X2 – 3X + = Giải ta (x,y) = (1;2), (2;1) nhiệm hpt * Với S = -2; P = -3 khí x, y nghiệm pt: X2 + 2X - = Giải ta (x,y) = (1;-3), (-3;1) nhiệm hpt  x  xy  y  Bài 6: Giải hệ phương trình sau:  x  y  Hướng dẫn:  x  y   3xy   xy   Ta biến đổi hệ phương trình trở thành  x  y   x  y   x, y nghiệm hệ phương trình bậc hai X  X    X  2, X  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (2;3), (3; 2) x  y  Bài 7: Giải hệ phương trình sau:  3  x  y  26 Hướng dẫn: Dùng đẳng thức ta biến đổi hệ phương trình trở thành x  y  S  S    đặt x + y = S xy = P ta có Þ   8  3P.2  26  P  3 ( x  y )  xy ( x  y )  26  x, y nghiệm hệ phương trình bậc hai X  X    X  1, X  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (-1;3), (3; -1)  x  y  xy  Bài 8: Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  xy  7 Hướng dẫn: S  P   S   P1   S  S  12      S2  4  P2  S  P  Ta thấy (S1 = 3, P1 = 2) thoả mãn  x, y nghiệm hệ phương trình bậc hai X  X    X  1, X  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (2;1), (1; 2)  x  y   x  y  Bài 9: Giải hệ phương trình sau:  3  x  y   x  y  Hướng dẫn: S   2  x  y   xy  3( x  y )  S  P  3S   S  P  3S    2 ( x  y ) ( x  y  xy )  9( x  y )  S ( S  3P )  9S   S  3P    S  P  3S  (I ) ( II ) Giải hệ (I) Þ (S = 0, P = 0) Þ x = y =  3S   P 3S   P  S  P  3S    Giải hệ (II)   S  3P   S  3P   S  S  18   S1 = Þ P1 = Þ (x; y) = (0; 3); (3; 0) S2 = Þ P2 = Þ (3; 3) Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm (0; 3); (3; 0); (3; 3), (0; 0)  x  y  10  x y y  x   Bài 10: Giải hệ phương trình sau: Hướng dẫn: Điều kiện x ¹ 0, y ¹  x  y  10  Hệ   2  x  y  xy  x  y  10    Û ( x  y )  xy  xy  x  y  10  200   xy      Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ,  ;  ,   3   3 10 20 20 10  x  y  xy  11 Bài 11: Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  3( x  y )  28 (ĐH Quốc gia Hà nội) Hướng dẫn:  x  y  xy  11  S  P  11  P  11  S  S  5; P1       S2  10; P2  21 ( x  y )  xy  3( x  y )  28  S  3S  P  28  S  5S  50  +) Với S1 = 5; P1 = Þ Nghiệm (2, 3); (3, 2) +) Với S2 = -10; P1 = 21 Þ Nghiệm (-3, -7); (-7, -3) Kết luận: Hệ cho có nghiệm (2, 3); (3, 2); (-3, -7); (-7, -3)  x y  xy  30 Bài 12: Giải hệ phương trình  3  x  y  35 (ĐHSP1 Hà Nội) Hướng dẫn: Đặt S  x  y, P  xy , điều kiện S  P Hệ phương trình trở thành: 30  P  SP  30  S  x  y  x  x  S        P   xy  y  y   S ( S  3P)  35  S  S  90   35   S  2  x  y  xy  Bài 13: Giải hệ phương trình  4 2  x  y  x y  21 (ĐH Sư phạm Vinh) Hướng dẫn:  x  y   xy   x  y    xy  x  y  3   x  y   xy      2 2 2 2  xy   x  y   x y  21   xy   x y  21  xy  Hệ có nghiệm (x; y) (1;2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1)  x3  y  Bài 14: Giải hệ phương trình   x  y  xy  (Lam Sơn Thanh Hóa) Hướng dẫn:  x3  y  ( x  y )3  3xy ( x  y )   Ta biến đổi    x  y  xy   x  y  xy   S  3PS   S   x  0, y    Đặt x + y = S, xy = P Hệ trở thành:  P   x  2; y  S  2P   x  y  Bài 15: Giải hệ phương trình  2  x  x y  y  13 Hướng dẫn: 2 2  x2  y2   S  x  y    x  y         2  P   x2  y   3x2 y  13  x y   x  x y  y  13  x2, y2 nghiệm PT bậc 2: t2 – 5t + = t = 1, t =   x   (1; 2), (1; 2), (1; 2), ( 1; 2)    y     x    2;1), (2; 1 ,  2;1 ,  2; 1   y   1  x  y  x  y   Bài 16: Giải hệ phương trình   x2  y     x2 y Hướng dẫn: 1 Điều kiện x ¹ 0, y ¹ Đặt x  x  u; y  y  v ta có 1  x  y  x  y  u  v  u  v       u   v   13 uv   x2  y2     x2 y TH1: u = 2, v = nghiệm x  1, y  TH2: u = 3, v = nghiệm x  3 3 , y 1 Vậy hpt có nghiệm (x;y) là: (1; 3 3 3 3 ), (1; ), ( ;1), ( ;1) 2 2 Loại Dùng ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại 1  x  y  x  y   Bài 16: Giải hệ phương trình   x2  y     x2 y Hướng dẫn: Bài đặt x + y = S; xy = P cách giải khó so với cách sau 1 Điều kiện x ¹ 0, y ¹ Đặt x  x  u; y  y  v ta có 1  x  y  x  y  u  v  u  v      u   v   13 uv   x2  y2    2  x y TH1: u = 2, v = nghiệm x  1, y  3 10 TH2: u = 3, v = nghiệm x  Vậy hpt có nghiệm (x;y) là: (1; 3 , y 1 3 3 3 3 ), (1; ), ( ;1), ( ;1) 2 2  xy ( x  y )  2 Bài 17: Giải hệ phương trình  3 x  y  Hướng dẫn: Đặt t   y, S  x  t , P  xt , điều kiện S  P  xt ( x  t )   SP    3 x  t   S  3SP  Hệ phương trình trở thành:  S  x  x     P  t   y  1 Bài 18: Giải phương trình x  1 x  Hướng dẫn:   x  u u  v  Û Đặt:  Vậy ta có hệ:  3   x  v u  v   3  u  v   Û (u  v ) (u  v )  3uv      u, v hai nghiệm phương trình: X - X   u  v   u.v = 19  36 19  36  9    9 x    12  u     12 Þ Þ  -    u    x    12  12     3  ; Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =   12  9     12      xy  3x  y  16 Bài 19: Giải phương trình  2  x  y  x  y  33 Hướng dẫn: 11 2 Ta có x  y  x  y  33   x  1   y    38 nên đặt u  x  1, v  y   u.v   x  1  y    xy  x  y  Do xy  3x  y   xy  x  y     x  1   y     uv  u  v  Khi hệ phương trình trở thành: uv   u  v   21 uv   u  v    16 uv   u  v   21    2  2  u  v   2uv  38  u  v    u  v   80 u  v  38 u  v  10  u.v  31  u  v  8  u.v  13 TH1: u  v  10, uv  31 loại u  4  3, v  4   x  3  3, y  2  u  v  8   uv  13 u  4  3, v  4   x  3  3, y  2  ïìï x2 + y2 + z2 = Bài 20: Cho x, y, z nghiệm hệ phương trình íï xy + yz + zx = ïỵ 8 Chứng minh - £ x,y,z £ 3 TH2:  Hướng dẫn: ìï x2 + y2 = - z2 ïìï (x + y)2 - 2xy = - z2 ï Hệ phương trình Û íï xy + z(x + y) = Û íï xy + z(x + y) = ïỵ ïỵ ìï (x + y)2 - 2[4 - z(x + y)] = - z2 ïìï (x + y)2 + 2z(x + y) + (z2 - 16) = ï Û í Û í ïï xy + z(x + y) = ïï xy + z(x + y) = ỵ ỵ ìï x + y = - z ìï x + y = - - z Û ïí Ú ïí ïï xy = (z - 2)2 ïï xy = (z + 2)2 ỵ ỵ Do x, y, z nghiệm hệ nên: é(4 - z)2 ³ 4(z - 2)2 8 (x + y)2 ³ 4xy Û ê Û £ z £ 2 ê(- - z) ³ 4(z + 2) 3 ê ë 8 Đổi vai trò x, y, z ta - £ x,y,z £ 3 II Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S  P iii) Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m từ điều kiện (*) tìm m 12 Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv nhớ tìm xác điều kiện u, v x  y   3 x  y  m Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Hướng dẫn: x  y  x  y    3 x  y  m  ( x  y )  3xy ( x  y )  m S  S    Đặt -y= u ; S = x + u, P = xu ta có:  8m  S  3PS  m  P  Trước hết ta biến đổi  Viét đảo x u nghiệm phương trình Phương trình có nghiệm   '    t2 - 2t + 8m 0m2 theo định lí 8m =0 Vậy với m  hệ phương trình có nghiệm  x2  y  m Bài 22: Cho hệ phương trình  x  y  a Giải hpt với m = 26 b Xác định m để hpt vô nghiệm c Xác định m để hpt có nghiệm Hướng dẫn: Đây câu đề thi HSG cấp tỉnh yêu cầu học sinh cần trang bị tất kiến thức kỹ giải hệ phương trình  x  y  26  ( x  y )  2xy  26  a Khi m = hệ phương trình trở thành   x  y  x  y  Đặt S = x + y, P = xy ta có:  S  P  26   S  S   P  Vậy x, y nghiệm pt X2 - 6X + = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ;y)=(-5;-1) ;(-1 ;-5)  x2  y  m  ( x  y)  2xy  m  b Ta có   x  y  x  y  Đặt S = x + y, P = xy ta có:  S  2P  m   S  Vậy x, y nghiệm pt t2 - 6t + 36  m S    36  m  P  =0 Phương trình vơ nghiệm  ' <  m < 36 Vậy hệ phương trình vơ nghiêm m < 36 c Phương trình có nghiệm  ' =  m = 36 Vậy hệ phương trình vô nghiêm m = 36 13  x   y 1  có nghiệm  x  y  3m Bài 23: Tìm điều kiện m để hệ phương trình  Hướng dẫn: Đặt u = x - ³ 0, v = y - ³ hệ trở thành: ïìï u + v = Û í ïï u + v2 = 3m - ỵ Suy u, v nghiệm (khơng âm) ìï u + v = ïï í ïï uv = 21 - 3m ïỵ X - 4X + Û (*) có nghiệm khơng âm ìï 3m - 13 ïìï D / ³ ïï ³ ïï 13 Û í S ³ Û íï Û £ m £ ïï ïï 21 - 3m ³ ïỵï P ³ ïï ïỵ 21 - 3m =0 (*) Hệ có nghiệm Bài 24: (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau  x có nghiệm thực:  y 1  x x  y y   3m Hướng dẫn: Điều kiện x, y  ta có: ìï x + y = ìï x + y = ï ï Û í í ïï x x + y y = - 3m ïï ( x)3 + ( y)3 = - 3m ỵï ỵï Đặt S = x + y ³ 0, P = xy ³ , S ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ïìï S = ïì S = Û ïí í ïï S - 3SP = - 3m ï P = m ỵï ỵ Từ điều kiện S ³ 0, P ³ 0, S2 ³ 4P ta có £ m £ Bài 25: Tìm điều kiện m để hệ phương trình  x  y  xy  m  2  x y  xy  3m  có nghiệm thực Hướng dẫn: ìï x + y + xy = m ïí Û ïï x2y + xy2 = 3m - ỵ ìï (x + y) + xy = m ïí ï xy(x + y) = 3m - ỵï ïì S + P = m Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ïíï SP = 3m - ïỵ Suy S P nghiệm phương trình t2 - mt + 3m - = ïì S = ïì S = m - Þ ïí Ú ïí ïï P = m - ïï P = ỵ ỵ 14 é32 ³ 4(m - 3) 21 ê Û Từ điều kiện ta suy hệ có nghiệm ê(m - 3)2 ³ 12 Û m £ Ú m ³ + ê ë  x  y  x  y  10 Bài 26: Tìm điều kiện m để hệ phương trình  xy ( x  4)( y  4)  m có nghiệm thực  Hướng dẫn: ìï x2 + y2 + 4x + 4y = 10 ïí Û ïï xy(x + 4)(y + 4) = m ỵ ìï (x2 + 4x) + (y2 + 4y) = 10 íï ïï (x + 4x)(y2 + 4y) = m ỵ Đặt u = (x + 2)2 ³ 0, v = (y + 2)2 ³ Hệ phương trình trở thành: ìï u + v = 10 ìï S = 10 ïí Û ïí (S = u + v, P = uv) ïï uv - 4(u + v) = m - 16 ïï P = m + 24 ỵ ỵ ìï S2 ³ 4P ïï Điều kiện ïíï S ³ Û - 24 £ m £ ïï P ³ ïỵ ìï x2 + xy + y2 = m + Bài 27: Tìm m để hệ phương trình ïíï 2x + xy + 2y = m có nghiệm thực ïỵ Hướng dẫn: Hệ có nghiệm suy x = y, hệ trở thành: ìï 3x2 = m + ém = - ïìï 3x2 - = m ïí ê Û Þ í êm = 21 ïï x2 + 4x = m ïï x2 + 4x = 3x2 - ê ë ỵ ỵ 2 ìï x + xy + y = ìï (x + y) - xy = + m = – 3: ïíï 2(x + y) + xy = - Û ïíï 2(x + y) + xy = - ïỵ ïỵ ìï x = ìï x = - ïì x = - ïìï x + y = ïìï x + y = - ï ï Û í Úí Û í Úí Ú ïí ïï xy = - ïï xy = ïï y = - ïï y = ïï y = - (loại) ỵ î î îï îï 2 ìï x + xy + y = 27 ïìï (x + y) - xy = 27 ïí Û + m = 21: ï 2x + xy + 2y = 21 íï 2(x + y) + xy = 21 ïỵ ïỵ ìï x + y = - ìï x + y = ìï x = Û ïí Ú ïí Û ïí ïï xy = 37 ïï xy = ïï y = (nhận) ỵ ỵ ỵ Vậy m = 21 ìï x + xy + y = m + Bài 29: Tìm m để hệ phương trình: ïíï x2y + xy2 = m ïỵ có nghiệm thực x > 0, y > Hướng dẫn: 15 ìï x + xy + y = m + ïí Û ïï x2y + xy2 = m ỵ ì ì ì ïíï (x + y) + xy = m + Û ïïí x + y = Ú ïïí x + y = m ïï xy(x + y) = m ïï xy = m ïï xy = ỵ ỵ ỵ ìï m > Hệ có nghiệm thực dương Û ïíï ³ 4m Ú m2 ³ Û < m £ Ú m ³ ïỵ Vậy < m £ Ú m ³ ìï x + y = m ï Bài 30: Tìm m để hệ phương trình íï có nghiệm thực ïïỵ x + y - xy = m Hướng dẫn: ìï x + y = m ïí Û ïï x + y - xy = m ïỵ Suy x, y Hệ có nghiệm ïìï D / ³ ï Û ïí S ³ Û ïï ïỵï P ³ Bài 31: Tìm ïì ïíï ïï ỵï ìï ï ï Û í ïï x + y - xy = m ïïỵ x+ y=m x+ y=m m2 - m m - m = (*) nghiệm (khơng âm) phương trình t2 - mt + Û (*) có nghiệm khơng âm ïìï m2 - 4m £ ém = ïíï m ³ Û ê ê1 £ m £ ïï ê ë ïï m - m ³ ỵ Vậy m = Ú £ m £ ìï x2 + y2 = 2(1 + m) m để hệ phương trình ïíï (x + y)2 = có nghiệm thực ïỵ ( ) xy = phân biệt Hướng dẫn: ìï x2 + y2 = 2(1 + m) ïìï (x + y)2 - 2xy = 2(1 + m) ïí Û Û í ïï (x + y)2 = ïï (x + y)2 = ỵ ỵ ìï xy = - m ìï xy = - m ïí Ú ïí ïï x + y = ïï x + y = - ỵ ỵ Hệ có nghiệm thực phân biệt ( ±2) = 4(1- m) Û m = ïì x + y = 2m - Bài 32: Cho x, y nghiệm hệ phương trình ïíï x2 + y2 = m2 + 2m - Tìm m ïỵ để P = xy nhỏ Hướng dẫn: Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 ³ 4P ìï x + y = 2m - ïí Û ïï x2 + y2 = m2 + 2m - ỵ ìï S = 2m - ïí ïï S2 - 2P = m2 + 2m - ỵ 16 ìï S = 2m - Û ïí Û ïï (2m - 1)2 - 2P = m2 + 2m - î Từ điều kiện suy (2m - 1)2 ³ 6m2 - 12m + Û ïìï S = 2m - ï í ïï P = m2 - 3m + ỵï 4- £ m£ 4- 4+ Xét hàm số f(m) = m2 - 3m + 2, £ m£ 2 ỉ4 - é4 - + ự 11 - ữ ỗ ỳ ÷ minf(m) = f = , " m Ỵ ; ç Ta có ÷ ç ê ú ÷ ç 2 è ø ê ú ë û Vậy minP = 4+ 11 - 4- Û m= B BÀI TẬP I Giải hệ phương trình sau: 1) 4  x  y   6  x  y   x  4)   x y  y x  30 2  x  y  2)  2  x  x y  y  13 y 4  x  y  xy  1  x  y  x  y   7)   x2  y     x2 y  x  y  10)  3  x  3x  y  y 2  x  x  y  y  18  xy ( x  1)( y  1)  72 5)  8)  x y   1  x x y  y   x xy  y xy  78 3)   x x  y y  35     x  y      xy    6)   x  y     49    x2 y     9)   x  y   2 3  x  y x  y  280    II Gải hệ phương trình có tham số: Tìm giá trị m: 5  x  y   xy  a)  x  y  xy   m có nghiệm  b) c)  x  y  xy  m   2  x y  xy  m   x  y    2  x  y   m  1  x  xy  y  m  2  x  y  m có nghiệm có hai nghiệm (1II) 17 a Giải hệ phương trình m = b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm  x  xy  y  m  2  x y  xy  3m  (7I) a Giải hệ phương trình m = b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm  x  xy  y  m   2  x y  xy  m (40II) a Giải hệ phương trình m = b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ IV KẾT QUẢ 1.Ưu điểm 1.1.Giáo viên Giải hệ phương trình bậc hai phương pháp vận dụng định lí Vi-ét đảo kiến thức tảng có tính lề kết nối tốn đại số THCS với THPT Do địi hỏi giáo viên phát huy khả phân tích, tổng hợp kiến thức nhiều phần 1.2.Học sinh Được hoạt động, tư duy, phân tích tổng hợp rút phương pháp phù hợp chủ động giải vấn đề đặt Kỹ vận dụng cao tạo mối quan hệ đơn vị kiến thức với Tạo thói quen học tập, làm việc, tự giác, hợp tác linh hoạt, sáng tạo hoạt động 2.Tồn 2.1.Giáo viên thực việc giảng dạy loại tập tương đối khó đặc biệt với học sinh đại trà tập địi hỏi kĩ biến đổi phân tích, đánh giá tổng hợp cao 2.2.Học sinh Kĩ tổng hợp kiến thức học sinh chưa cao Học sinh thường mắc số sai lầm trình biến đổi Kết thông qua số liệu Sau áp dụng chuyên đề vào giảng dạy, năm học 20142015; 2015-2016; 2016-2017 cho 25 học sinh lớp 9B trường THCS Thị Trấn Cành Nàng làm kiểm tra dạng tốn kết đạt sau: 18 Kết qủa Số Giỏi Năm lượng SL TL Khá SL TL Trung bình SL TL Yếu - SL TL 2014- 2015 10 20 % 30% 50% 0% 2015- 2016 10 30% 40% 30% 0% 2016- 2017 25 10 40% 14 56% 4% 0% Tổng 45 15 33,3% 21 46,7% 20% 0% Qua khảo sát ta thấy kết tốt nhiều so với trước thực chuyên đề Số học sinh đạt điểm giỏi tăng cao chiếm 80%, có 20% học sinh bị điểm trung bình khơng cịn học sinh bị điểm trung bình Đặc biệt áp dụng chuyên đề 25 em học sinh lớp 9B trường THCS Thị Trấn Cành Nàng em làm tốt đa số học sinh đạt điểm giỏi vài em bị điểm trung bình khơng có điểm yếu Trong năm gần áp dụng chuyên đề dạy bồi dưỡng đội truyển học sinh giỏi tốn cấp tỉnh năm 2014 - 2015 có học sinh đạt giải KK; năm 2015 - 2016 có học sinh đạt giải giải Ba; giải KK; năm 2016 - 2017 có học đạt giải tốn tỉnh thi tìm kiếm tài tốn học trẻ tồn quốc đạt huy chương Vàng 1/6 em đạt Huy chương vàng toàn quốc dành cho học sinh khối 9, học sinh tỉnh Thanh Hóa tham gia vào đội tuyển dự thi Singapore vào tháng sáu tới 19 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Hồng Xn Thìn Chức vụ đơn vị cơng tác: Phó hiệu trưởng trường THCS Thị Trấn Cành Nàng TT Tên đề tài SKKN Phát triển tư cho học sinh giỏi Toán thơng qua tốn chứng minh bất đẳng thức phát triển tư cho HS từ tốn hình quen thuộc đến tốn hình hay khó Phát triển tư cho học sinh lớp thông qua việc kẻ đường phụ hình học lớp Một số kinh nghiệm giúp HS rèn luyện kỹ giải toán Máy tính Casio Phát triển tư cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức vi-ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Tỉnh C Năm học 2005 – 2006 Tỉnh C Năm học 2008 – 2009 Huyện B Năm học 2011 – 2012 Tỉnh C Năm học 2014 – 2015 Huyện B Năm học 2016 – 2017 (Đang gửi dự thi cấp tỉnh) TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại số – Nhà xuất giáo dục 23 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Nhà xuất giáo dục Phương trình bậc hai & số ứng dụng - Nhà xuất giáo dục Phương trình & hệ phương trình khơng mẫu mực - Nhà xuất giáo dục Lời giải đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 chuyên toán tỉnh số năm – Siêu tầm tham khảo mạng Internet 20 PHẦN III KẾT LUẬN Kết luận Trên số dạng tập thường gặp vận dụng hệ thức Vi-ét đảo đề giải phương trình bậc hai Dựa sở lý luận, thực tiễn yêu cầu kiến thức, vận dụng Tôi mạnh dạn đưa phương pháp giải nhằm trang bị cho học sinh sở ban đầu cách vận dụng hệ thức Vi-ét đảo từ tạo móng cho học sinh phát triển tập giải hệ phương trình bậc hai chứa tham số mức độ cao lớp sau hệ phương trình đối xứng laoị II, hệ phương trình đẳng cấp loại I, loại II Hơn đề tài sáng kiến kinh nghiệm nâng tầm tư cho học sinh củng cố niềm tin, có ý trí vươn lên học tập Xong phạm vi giới hạn nên vấn đề đưa dạng hệ phương trình đối xứng loại I, chương trình ơn thi HSG cấp tỉnh cịn số hệ phương trình khơng mẫu mực khác hy vọng đè tài sau đề cập tiếp Tuy nhiên với kinh nghiệm ôn luyện thân nên đề tài tơi trình bày khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy để vấn đề hoàn thiện Kiến nghị Nhà trường cần trang bị nhiều tài liệu tham khảo phương trình bậc hai, tuyển tập dạng đề thi vào 10 Các giáo viên Toán trường tổ chức sinh hoạt chuyên đề để giáo viên dạy Tốn có điều kiện trao đổi học tập phương pháp giải giải toán - Kiến nghị: + Đối với phòng Giáo dục: Tăng cường chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ cho giáo viên + Đối với nhà trường: Bổ sung thiết bị dạy học thiếu để tăng hiệu dạy, đặc biệt thực hành Xác nhận nhà trường HIỆU TRƯỞNG Bá Thước, ngày 28 tháng 04 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT Lương Thị Liên Hồng Xn Thìn 21 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC SÁNG KIẾN KINH NGHỆM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT ĐẢO VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Họ tên: Hồng Xn Thìn Chức vụ: Phó hiệu trưởng Đơn vị: Trường THCS Thị Trấn Cành Nàng SKKN mơn: Tốn BÁ THƯỚC, NĂM 2017 22 ... tư cho học sinh thông qua vi? ??c ứng dụng hệ thức vi- ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số ” coi tài liệu để học sinh giáo vi? ?n tham khảo công tác giảng dạy môn toán khối 9, bồi... học lớp Một số kinh nghiệm giúp HS rèn luyện kỹ giải tốn Máy tính Casio Phát triển tư cho học sinh thông qua vi? ??c ứng dụng hệ thức vi- ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số Cấp... qua vi? ??c ứng dụng hệ thức vi- ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số 9? ?? Đồng thời, qua giúp thân có điều kiện nắm vững lí luận dạy học toán, bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ giải tập,