skkn một số giải pháp giúp học sinh lớp 9 trường PTDT bán trú THCS tam thanh ứng dụng định lí vi ét trong việc giải toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO QUAN SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ‘‘MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP TRƯỜNG PTDT BÁN TRÚ THCS TAM THANH ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG VIỆC GIẢI TOÁN’’ Người thực hiện: Lê Trọng Trường Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường PTDT Bán trú THCS Tam Thanh SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA, NĂM 2018 Mục Lục Nội dung Trang 1 2 3 4-18 I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi áp dụng Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Các giải pháp thực Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, 18-19 đồng nghiệp nhà trường II KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 20 Kết luận 20 Kiến nghị 20 I MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Văn Kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XII tiếp tục khẳng định “giáo dục quốc sách hàng đầu, phát triển giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh trình giáo dục chủ yếu từ trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học; học đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn Phát triển giáo dục đào tạo phải gắn với nhu cầu phát triển kinh tế - xã hội” Trọng tâm “ đởi tồn diện giáo dục đạo tạo phát triển nguồn nhân lực, phấn đấu năm tới, tạo chuyển biến bản, mạnh mẽ chất lượng, hiệu giáo dục đào tạo làm cho giáo dục đào tạo thật quốc sách hàng đầu, đáp ứng ngày tốt công xây dựng, bảo vệ tổ quốc nhu cầu học tập nhân dân, yêu cầu thiết toàn xã hội, yêu cầu hội nhập quốc tế kỷ ngun tồn cầu hóa” Trong chương trình giáo dục trung học nay, mơn tốn với môn học khác nhà trường THCS có vai trị góp phần quan trọng đào tạo nên người phát triển tồn diện.Tốn học mơn khoa học tự nhiên có tính lơgíc tính xác cao, chìa khóa mở phát triển môn khoa học khác Muốn học sinh THCS học tốt mơn tốn thì người giáo viên truyền đạt nội dung kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹ tài liệu có sẵn sách giáo khoa, sách hướng dẫn sách thiết kế giảng cách dập khn, máy móc làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học thì việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập khơng cao Nó nguyên nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với hội nhập giới Vì người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách lôi em tham gia vào hoạt động học tập Trong chương trình Sách giáo khoa Toán THCS, Học sinh làm quen với phương trình bậc hai: Công thức nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt định lý Vi-ét ứng dụng việc giải toán Song qua thực tế giảng dạy học sinh khối trường PTDT Bán tú THCS Tam Thanh năm vừa qua nhận thấy em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thực linh hoạt, chưa khai thác sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại tốn, hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rộng rãi việc giải tốn bậc THCS cấp học để từ giúp nắm vững kiến thức, làm tốt dạng toán cần áp dụng hệ thức Vi-ét Đứng trước vấn đề đó, tơi sâu nghiên cứu đề tài “Một số giải pháp giúp học sinh lớp trường PTDT Bán Trú THCS Tam Thanh ứng dụng định lí Vi-ét việc giải tốn” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững sử dụng thành thạo định lí Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học tốn kích thích hứng thú học tập học sinh 2.Mục đích nghiên cứu: Đây đề tài rộng ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể rõ vẻ đẹp toán học, đặc biệt giúp phát triển khả tư sáng tạo học sinh, vấn đề quan tâm thường xuyên dạy học thầy cô giáo thì chắn đề tài kinh nghiệm bở ích việc bồi dưỡng đội ngũ học sinh thi vào lớp 10 THPT trường chuyên lớp chọn kì thi khảo sát chất lượng học kì II 3.Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này, đưa nghiên cứu số ứng dụng định lí Viét việc giải số dạng tốn thường gặp mơn tốn cấp THCS Do đề cập đến số loại tốn là: 3.1.Ứng dụng định lí Vi -ét để Giải phương trình bậc hai cách tính nhẩm nghiệm 3.2.Ứng dụng định lý Vi-ét giải toán tìm điều kiện tham số để tốn thỗ mãn yêu cầu đặt 3.3.Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số m 3.4.Ứng dụng định lí Viét vào việc xét dấu nghiệm phương trình bậc hai 3.5.Ứng dụng định lí Vi- ét vào so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước 3.6.Ứng dụng định lí Vi- ét vào lập phương trình có hai biêu thức chứa hai nghiệm 3.7.Ứng dụng định lí vi-ét giải tốn chứng minh 3.8.Ứng dụng định lí Vi-ét để giải tốn vị trí tương đối đường thẳng parabol 3.9.Ứng dụng Định lý Vi-ét với toán cực trị( Tìm giá trị tham số để biểu thức x1 , x2 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.) Phương pháp nghiên cứu Để hồn thành SKKN tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu sau đây: + Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết nghiên cứu + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế + Phương pháp thu thập thông tin + Phương pháp thống kê + Phương pháp xử lí số liệu II NỘI DUNG 1.Cơ sở lí luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, giáo dục đào tạo nước ta đứng trước thời thách thức Để hòa nhập với tiến độ phát triển thì giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trị quan trọng việc “ đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng nhà nước đề Là giáo viên muốn học sinh mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học Một vấn đề đặt cho người giáo viên phải dạy học để học sinh nắm vững nội dung kiến thức cách có hệ thống mà phải rèn luyện khả tư lôgic, rèn luyện kỹ làm tập mơn tốn mơn khoa học khác Có thái độ, quan điểm rõ ràng tập mình để tạo hứng thú, say mê học tập, tiếp thu kiến thức đưa kiến thức áp dụng vào sống đời thường Do trình giảng dạy, giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức cách rõ ràng ngắn gọn đầy đủ nội dung , phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng rút nội dung kiến thức học Đồng thời gợi mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển tư kĩ phân tích nội dung làm tập toán học cách chặt chẽ, rõ ràng có hệ thống, đồng thời giúp cho em nhận dạng toán học cách nhanh Để phát triển khả tư sáng tạo việc học toán giải toán thì việc tìm kết toán phải coi giai đoạn mở đầu cho cơng việc, khai thác, phân tích tốn Trong q trình dạy học tốn nói chung q trình giải tốn nói riêng, người dạy cần tạo cho học sinh thói quen “sau tìm lời giải toán, dù lời giải tốn đơn giản hay phức tạp, thì cần tiếp tục suy nghĩ lật lại vấn đề, tìm thêm lời giải khác, cố gắng tìm phương án giải tối ưu được” Hãy ln nghĩ đến việc khai thác toán đường tương tự hố, tởng qt hố, đặc biệt hố để tạo toán sở toán có Đối với việc học tốn thì việc rèn luyện kỹ giải toán cần thiết, cần phải rèn luyện thường xuyên kỹ giải toán nhiều cách, giải nhiều tập thuộc nhiều dạng khác sau tự mình suy nghĩ rút học kinh nghiệm Trước giải toán, nên tìm hiểu xem toán thuộc loại nào? dạng nào? Sau tư chọn phương pháp giải cho thích hợp, có định hướng cho phương pháp giải khai thác tốn tốt Đối với học sinh trường PTDT Bán trú THCS Tam Thanh nhiều em học sinh cịn yếu mơn tốn, với nhiều lí khác nhau, điều hạn chế lớn đến việc phát huy tính tích cực độc lập nhận thức giải toán học sinh, dẫn đến em khơng ham học tốn khơng tự tin giải tốn, lúng túng lí luận trình bày Trong ứng dụng hệ thức Vi –ét vào dạng tập lại phần quan trọng thi vào lớp 10 THPT 2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Như tơi nói trên, SKKN cung cấp nội dung kiến thức quan trọng cho học sinh ôn thi vào lớp 10 THPT trường chuyên lớp chọn đặc biệt kì thi khảo sát học kì II Cho nên trước vận dụng SKKN, khảo sát 36 học sinh lớp khối năm học 2016 – 2017 học song phần Đinh lí Vi – ét ứng dụng với kết là: Kết khảo sát Thời gian học kỳ II Năm học 2016-2017 TS HS Khảo sát (chưa áp dụng giải pháp) 36 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 20 55.5% Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích, nhận dạng dạng tập, không nắm phương pháp, chưa biết cách trình bày nên bị điểm nhiều đẫn đến tỉ lệ đạt điểm trung bình cao chiếm tới 44.5% Trước thực trạng trên, áp dụng đề tài để truyền thụ kiến thức cho học sinh Các giải pháp thực 3.1 Đề tài đề giải pháp gồm nội dung sau: - Sắp xếp dạng ứng dụng hệ thức Viét theo mức độ từ dễ đến khó - Xây dựng phương pháp giải theo dạng - Rèn kỹ làm thành thạo toán ứng dụng hệ thức Viét - Tìm tòi cách giải hay, khai thác toán * Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức * Đối với học sinh khá: - Phát triển tư duy, kỹ giải dạng toán ứng dụng hệ thức Viét có lồng ghép tập nâng cao - Đưa cách giải hay, sáng tạo, cho dạng 3.2 Hệ thống kiến thức liên quan *Định lý Vi-ét: - Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0): b a c P = x1.x2 = a S = x1 +x2 = -Nếu hai số x1 , x2 có tởng x1 + x2 = S tích x1x2 = P thì hai số nghiệm phương trình X2 - SX + P = (*) (Định lý Viét đảo) Chú ý: Phương trình (*) có nghiệm S �4 P *Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (1) Có nghiệm: TH1: a = 0: phương trình bx + c = có nghiệm TH2: a  0;  (’)  phương trình ax2+bx+c = có nghiệm (2) Vơ nghiệm   (’) < (3) Có nghiệm kép ( hai nghiệm nhau)  a  ;  (’) = (4) Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)  a  ;  (’) > (5) Hai nghiệm trái dấu  a.c < (6) Hai nghiệm dấu  a  ;  (’)  P > (7) Hai nghiệm dấu dương(lớn 0)  a  ;  (’)  0; S > P > (8) Hai nghiệm dấu âm(nhỏ 0)  a  ;  (’)  0; S < P > (9) Hai nghiệm đối  a  0;  (’) > S = (10) Hai nghiệm nghịch đảo  a  ;  (’) > P = (11) Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn  a.c < S < (12) Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn  a.c < S > (13) Một nghiệm nghiệm dương ( x2 > x1 = 0)  a �0 � �  ( ')  � � �P  � �S  a �0 � � ( ')  � (14) Một nghiệm 0và nghiệm âm (x1 < x2 = 0)  � �P  � �S  (15) Phương trình có nghiệm khơng âm (ít nghiệm khơng âm) -Nếu a = xét phương trình bx + c = có nghiệm x = c �0 b -Nếu a � TH1: Phương trình có nghiệm  P = TH2: Phương trình có nghiệm trái dấu ( có nghiệm dương)  ac < ( ') �0 � � TH3: Phương trình có nghiệm dương  �P  �S  � *Biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai x12  x22  ( x12  x1 x2  x22 )  x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2 x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2  �  x1  x2   3x1 x2 � � � 2 x14  x24  ( x12 )  ( x22 )   x12  x22   x12 x22  � ( x1  x2 )  x1 x2 � � � x1 x2 1 x1  x2   ; x1  x2  �  x1  x2   x1 x2 x1 x2 x1 x2 x12  x22 (   x1  x2   x1  x2  =…….)   x13  x23 ( =  x1  x2  x12  x1 x2  x22   x1  x2  �  x1  x2   x1 x2 � � �=…… ) 2 2 x14  x24 ( =  x1  x2   x1  x2  =…… ) ( = ( x1 )  ( x2 )   x1  x2   x1  x1 x2  x2  = …… ) *Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: (1) Giá trị lớn nhất: Nếu hai số có tởng khơng đởi thì tích hai số lớn hai số Giả sử x1  x2  S không đởi, cịn P = x1.x2 thay đởi x16  x26 3 2 2 S2 Do điều kiện S2 – 4P �0 � P � Vậy P đạt GTLN S S2 x1  x2  (2) Giá trị nhỏ Nếu hai số dương có tích khơng đởi thì tởng hai số nhỏ hai số Giả sử x1 , x2  x1.x2  P không đổi, cịn x1  x2  S thay đởi Do điều kiện S2 – 4P �0 � ( S - P ) (S + P ) �0 � S - P �0 � S �2 P Vậy S đạt GTNN P x1  x2  P 3.3 dạng tập vận dụng ứng dụng Định lí Vi-ét 3.3.1 Dạng 1: ứng dụng định lí Vi -ét để Giải phương trình bậc hai cách tính nhẩm nghiệm *Phương pháp + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a khác 0) có a + b + c = thì phương trình có nghiệm x1= 1, nghiệm x2 = c a + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a khác 0) có a - b + c = thì phương trình có nghiệm x1= -1, cịn nghiệm x2 = - c a Ví dụ 1: Không giải phương trình nhẩm nghiệm phương trình sau: a 3x2 - 5x + = b -7x2 - x + = Giải: a Ta có a + b + c = - + = nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = c = a b Ta có a - b + c = -7 +1 + = nên phương trình có hai nghiệm x1= -1, x2 = - c = a Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phương trình sau a x2 - 7x + 10 = b x2 + 6x +8 = Giải: a Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = x1x2 = 10 ta nhẩm hai nghiệm x1= 2, x2 = b Tương tự câu a) ta có x1 + x2 = -6 x1x2 = nên x1 = -2, x2 = -4 Bài tập áp dụng: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a 2x  199x  201  b x  (  5) x  15  c x  (3m  5) x  3m   d (m  2) x  (m  3) x  2m   3.3.2.Dạng 2: Ứng dụng định lý Vi-ét giải tốn tìm điều kiện tham số để tốn thỗ mãn u cầu đặt * Phương pháp:  a 0 - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm    '    0 - Tính tởng S tích P hai nghiệm x x - Kết hợp đẳng thức giả thiết lập hệ phương trình gồm phương trình - Giải tìm tham số - Đối chiếu điều kiện, thử lại, kết luận * Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1, x2 phương trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoã mãn x12  x22 1 Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: m  ; ' ≥ ' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + '   m  Với  m  4, theo định lý Vi-ét: x1 + x2 = m 2( m  2) ; x1.x2 = m m Do đó: = x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =  m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m  m2 - 10m + 16 = 2(m  3) 4( m  2) 2 m m  m = m = Giá trị m = khơng thỗ mãn  m  Vậy, với m = thì x12  x22 = Ví du 2: Cho phương trình ax2 + 3(a + 1)x + 2a + = ( x ẩn số ) Tìm a để phươmg trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn x12 + x 22 = (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hoá 2012 - 2013) Giải: Để phương trình cho phương trình bậc hai a 0 , ta có :  = b2 – 4ac =  3 a  1   4a (2a+4) = ( a2 + 2a + 1) – 8a2 – 16a = 9a2 + 18a + – 8a2 – 16a = a2 + 2a + = ( a+ 1)2 + > với a Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt với a :  3. a  1   x1  x  a Theo hệ thức vi et ta có :  2a   x1 x  a  2 theo ta có : x1 + x =  ( x1 + x2)2 – 2x1.x2 = thay vào ta có 2a    3 a  1  =  ( a2 + 2a + 1) -2a.(2a+4) = 4a2    2 a a   2 9a + 18a + -4a -8a = 4a2  a2 + 10a + = phương trình bậc hai ẩn a có dạng a – b + c= 1- 10 + = nên có hai nghiệm a1 = –1 a2 = -9 với a = - a = -9 thoả mãn Vậy với a = - a = -9 phương trình có hai nghiệm thoả mãn x12 + x 22 = Ví dụ 3: Cho phương trình : x2 + nx – = (1) (với n tham số) Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình (1), tìm n để : x1(x22 +1 ) + x2( x12 + ) > (Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thanh Hố 2010-2011) Giải: Phương trình cho có   n  16  với n, nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Áp dụng hệ thức Vi et ta có: x1 + x2 = n x1x2 = -4 x1 ( x22  1)  x2 ( x12  1)  � x1 x2 ( x1  x2 )  x1  x2  Ta có: � 4.(n)  (n)  � 3n  �n2 Vậy với n> thoả mãn yêu cầu toán *Bài tập: Bài tập 1: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = ( m tham số) (1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 = 2x2 Bài tập 2: Cho phương trình ax2 + 3(a + 1)x + 2a + = ( x ẩn số ) Tìm a để phươmg trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn x12 + x 22 = (Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thanh Hoá 2012-2013) 3.3.3 Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai khơng phụ thuộc tham số m Phương pháp:  a 0 - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:    '    0 - Tính tởng S, tích P hai nghiệm x x - Tính m theo S P - Khử m tìm hệ thức S P Thay S = x + x , P = x x Các ví dụ Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải: a Ta có ' = (m + 1)2 - m2 = 2m + Phương trình cho có nghiệm  ' �0  m �- �x1  x2  2(m  1) (1) b Theo hệ thức Viét ta có � �x1 x2  m (2) x x �x  x � Từ (1) ta có m =  thay vào (2) ta x1 x2  �1  1� � � hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Cách giải chung dạng theo hệ thức Viét ta có hai biểu thức liên hệ hai nghiệm phương trình Từ hai biểu thức ta rút m theo hai nghiệm, sau vào biểu thức cịn lại ta biểu thức cần tìm Tuy nhiên dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ = (m tham số ) Biết phương trình ln có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải : Do phương trình ln có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có: 2( m  3)  2 (1) m m m 1 x1 x2   1 (2) m m x1  x2  Ta có (2)  6x1x2 = + m (3) Cộng vế theo vế (1) (3) ta x1 + x2 + 6x1x2 = Vậy biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình: x2 - (m + 3)x + 2m - = mà hệ thức không phụ thuộc vào m Hướng dẫn:  = (m -1)2+ 28 0 m = S - m = P 5 ta có hệ thức : 2(x  x )  x1 x 11 Bài 2: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m - = Hãy tìm biểu thức liên hệ hai nghiệm không phục thuộc vào m Hướng dẫn:  = (m - ) + m= 19 0 S m = P + ta có hệ thức : x  x  x1 x  10 0 3.3.4.Dạng 4: ứng dụng định lí Viét vào việc xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp Xét phương trình bậc hai: ax  bx  c 0 (a 0) Có  b  4ac P= x1 x  c a S = x1  x  b a Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước xét dấu nghiệm phương trình bậc hai mà khơng cần giải phương trình đó, ta ứng dụng định lí Viét   0  1.phương trình có nghiệm dương   P0  S 0  2.Phương trình có nghiệm âm   0    P 0  S 0  Phương trình có nghiệm trái dấu: P 0 Nhiều tốn địi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm khơng âm Thường có cách giải: Cách 1: Có P  ( Trường hợp có nghiệm dương nghiệm không âm) 10 Hoặc P = Trường hợp tồn nghiệm Hoặc:  P 0    0  S 0  Thì hai nghiệm dương Cách 2: Trước hết phải có  0 phương trình có nghiệm không âm : S 0 ( Trường hợp tồn nghiệm dương) Hoặc S=0 ( Trường hợp tồn nghiệm không âm) Hoặc S 0, P 0 ( Trường hợp có nghiệm không âm nghiệm âm) Tuỳ theo đầu mà chọn cách xét biểu thức P hay S Ví dụ 1: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm dấu Khi nghiệm mang dấu gì ? a x  2mx  5m  0 (1) b mx  mx  0 (2 Hướng dẫn: a Phương trình (1) có nghiệm x1 , x dấu �� m � ��  � 5 m � �� 2 m      �  m  5m  0   0  2 � � 2 � ��     m  �  � �� 2  P 0  5m  40  m � � m�  � � � �m� � �4 �  m �1 � �5 � m �4 � Mặt khác: S = x1 + x2 = 2m > (Do m nhận giá trị dương) nên PT có nghiệm dương b PT (2) có hai nghiệm x1 ; x2 dấu � � m �0 a  m �0 � �2 � �� ��۳ � �m 12m �P  �3 � � 0 �m b Mặt khác: S = x1 + x2 = a m(m  12) � � m0 �  m 12 m  1  nên PT có hai nghiệm âm m Ví dụ 2: Cho phương trình (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + = Tìm m để phương trình có: a Một nghiệm b Hai nghiệm dấu phên biệt c Hai nghiệm âm phân biệt Hướng dẫn: a PT cho có nghiệm 11 a0 m 1  m  1 � � � m  1 � � � � � m  �0 �� � �a �0 � � � �m �1 5 � � m � � � ' 2 � � � 3(2m  5)  (m  4)  (m  1)  � � �  � � � � b PT cho có nghiệm phân biệt dấu � �m �1 �a �0 �m �1 � �' � 3(2m  5)  � � 5 �  � � m �P  �m  � � � � 1 �m  c Để PT có hai nghiệm âm phân biệt �m �1 � � 5 � �a �0 �m  �m �1 �' � � 5 �  � � �m  � �m  � m  1 � �P  �m    � � � �� m4 �S  �2(m  4)  �� m  1 �� � � m 1 Qua ví dụ này, nhấn mạnh cho HS hiểu dạng ax2 + bx + c = có nghiệm nghĩa nào? Vậy giá trị cần tìm m -1 < m � Cách 2: PT cho có nghiệm không âm + Hoặc PT có nghiệm trái dấu, tức là: P = hay – < m < + Hoặc PT có nghiệm 0, tức là: P = hay m = + Hoặc PT có nghiệm dương, tức là: �  �m � � �  ' �0 m  1 � �� �  m � Vậy giá trị cần tìm  m � �P  � �� m 1 �S  �� � � m  1 � Cách 3: PT cho có nghiệm âm �  �m � � �  ' �0 m  1 � �� �  �m  1 �P  � �� m 1 �S  �� � � m  1 � Vậy phương trình cho có nghiệm khơng âm -1 < m � Bài tập áp dụng Bài tập1: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + = a Tìm m để phương trình có nghiệm 12 b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương Bài tập 2: Cho phương trình (m – 1)x2 – 2(m – 3)x + m – = Tìm m để phương có hai nghiệm a Trái dấu b Hai nghiệm dương c Hai nghiệm âm 3.3.5.Dạng 5: ứng dụng định lí Vi- ét vào so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước Phương pháp Ở dạng toán thường gặp là: Tìm điều kiện tham số để so sánh nghiệm với số cho trước Để giải tập kiểu ta thường thực bước sau: B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm B2: Từ điều kiện đầu tìm biểu thức mối liên hệ nghiệm phương trình B3: Thay tởng, tích nghiệm vào biểu thức B4: Tìm giá trị tham số, kết luận Ví dụ Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 – mx + m = có nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1 �2  x2 Hướng dẫn: m �0 � m �4 � Phương trình cho có nghiệm x1 ; x2  �0 � m(m  4) �0 � � x  2  x2 (1) � x1  2  x2 (2) � Ta có: x1 �2  x2 � � TH1: x = -2 gnhiệm PT ta có: (-2)2 – m(-2) + m = � + 3m = � m  4 Ta tính nghiệm cịn lại nhờ vào định lí Viét sau: c 4  m � ( 2) x2  � x2   2  x1 a 3 4 Vậy m  giá trị cần tìm TH2: x1  2  x2 � ( x1  2)( x2  2)  � x1 x2  2( x1  x2 )   4 � m  2m   � m  x1.x2  4 Kết hợp hai trường hợp đối chiếu với điều kiện có nghiệm thì m � giá trị cần tìm Ví dụ 2: Với giá trị m thì phương trình x2 + x + m = có hai nghiệm lớn m Hướng dẫn : Cách 1: 13 PT cho có nghiệm thoả mãn m  x1 �x2  �0  �0 � �  4m �0 � � � ( x1  m)( x2  m)  � � �x1  m  � � �x1 x2  m( x1  x2 )  �x  m  � ( x1  m)  ( x2  m)  �2 � � m� � � �m �4 � � m  2 �2 �� � m  2 �m  2m  � �� m0 �1  2m  �� � � 1 � m � � Cách 2: Từ việc tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn m ta đưa tìm m để PT có nghiệm dương Bằng cách: Đặt t = x – m � x = t + m PT cho viết dạng (t + m)2 + t + 2m = � t + (2m+1)t + m2 + 2m = (*) Bài tập áp dụng: Tìm m để phương trình 2mx  x  m 0 có nghiệm thoả mãn x1  x 2 Theo phương trình : x  2 m  1 x   m  1 0 a Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ 1, nghiệm lớn b Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm nhỏ 3.3.6.Dạng 6: ứng dụng định lí Vi- ét vào lập phương trình có hai biêu thức chứa hai nghiệm Phương pháp Ta cần lập phương trình bậc hai nhận số x1 ; x nghiệm Điều dựa định lý “ Nếu x1  x S x1 x P thì x1 , x nghiệm phương trình x  Sx  P 0 ” Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho x1 =  ; x2 =  a, Tính S = x1 + x2 P = x1x2 b, Lập phương trình bậc hai ẩn x, nhận x1; x2 làm nghiệm (Đề thi khảo sát học kì II năm học 2015 – 2016, Thanh Hoá) Giải a, Ta có S = x1 + x2 = (1  ) + (  ) = P = x1.x2 = (1  ).(1  ) = -1 b, Áp dụng định lí Vi-et đảo, ta được: x2 – Sx + P = Hay x2 -2x – = Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 x2 - 2x - = Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 + 5x - = (1) 14 Không giải phương trình (1), lập phương trình bậc hai có nghiệm luỹ thừa bậc bốn nghiệm phương trình (1) Giải: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình cho, theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - Gọi y1; y2 nghiệm phương trình phải lập, ta có: y1 + y2 = x14  x24 y1.y2 = x14.x24 x14  x24 = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – = 727 Ta có: x14.x24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + = Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Lập phương trình bậc hai thoã mãn điều kiện: x1 x2 k2  Có tích hai nghiệm : x1.x2 = x  + x  = k 4 Bài tập 2: Xác địnhm số m, n phương trình: x2 + mx + n = Sao cho nghiệm của phương trình m n 3.3.7.Dạng 7: Ứng dụng định lí vi-ét giải tốn chứng minh Phương pháp: Đây khơng phải tốn chứng minh đẳng thức thông thường, mà đẳng thức thể liên quan nghiệm hai phương trình hệ số phương trình Vì phải nắm vững định lý Vi-ét vận dụng định lý vào trình biến đổi hai vế đẳng thức để suy hai vế Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b nghiệm phương trình: x + px + = b, c nghiệm phương trình: x2 + qx + = Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - Giải: Vì a,b nghiệm phương trình: x2 + px + = b,c nghiệm phương trình: x2 + qx + = Theo định lý Vi-ét ta có:  a b - p  b  c - q    a.b1  b.c2 Do : (b – a)(b – c) = b2 + ac - (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b + ac + Suy ra: pq - = b2 + ac +3 – = b2 + ac - (2) Từ (1) (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (đpcm) Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Gọi a, b hai nghiệm phương trình bậc hai: x + px + = Gọi c, d hai nghiệm phương trình: y2 + qy + = Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 3.3.8 Dạng Áp dụng định lí Vi-ét để giải tốn vị trí tương đối đường thẳng parabol 15 Phương pháp Giả sử parabol (P) đồ thị hàm số y = ax (a # 0) đường thẳng (d) có phương trình y = bx + c Để tìm toạ độ giao điểm (P) (d) ta viết phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): ax2 = bx + c (1) - Nếu (1) vô nghiệm thì (d) khơng cắt (P) - Nếu (1) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P) - Nếu (1) có nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) điểm phân biệt Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx - (tham số m) Parabol (P): y = x Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hoàng độ x1, x2 thỏa mãn x1 - x = (Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thanh Hoá 2014-2015) Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm (d) (P): x - mx + = Có Δ = m -12 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồng độ x1, x2 �  m 2 2 Δ = m -12 > � m  12 � m  � � � m  2 � �x1 + x = m Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: � �x1x = Theo ta có x1 - x = �  x1 - x  = �  x1 + x  - 4x1x = � m - 4.3 = � m = 16 � m = ±4 2 Vậy với m = ±4 giá trị cần tìm Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y= 2x - a parabol (P): y = ax2 ,(trong a tham số dương) a, Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Chứng minh A, B có hồnh độ dương 1 b, Gọi xA xB hoành độ A B Tìm a để thỏa mãn: x  x  x x = A B A B (Kì thi thử vào lớp 10 trường THCS Định Tiến năm học 2015 - 2016) Giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: ax2 – 2x +a2 = (1) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt � a0 �� �  a 1  '   a3 � Khi ta gọi xA xB hoành độ A B thì theo định lí Viet cho pt (1) a ta có: xA  xB   0vàxA xB  a  Suy xA >0 xB >0 Vậy điểm A,B có hồnh độ dương 16 = 3, với  a  a �a  � � 2a – 3a + = � � a � � b) Theo câu a), ta có: 2a + Ta thấy a= không t/m đ/k Vậy a = thoả mãn yêu cầu toán 2, Bài tập Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y= x - parabol (P): y = - x2 Gọi A, B giao điểm (d) (P) 1, Tính độ dài AB 2, Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt parapol (P) điểm C D cho AB = CD (Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hoá năm học 2011 - 2012) 3.3.9 Dạng 9: Ứng dụng Định lý Vi-ét với tốn cực trị( Tìm giá trị tham số để biểu thức x1 , x2 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.) Phương pháp:  a 0 -Tìm điều kiện để phương trình cho có nghiệm      '  0 -Tính tởng S P theo tham số -Biến đổi biểu thức cho xuất S P -Thay giá trị S P tính giá trị biểu thức theo tham số -Đánh giá xác định GTLN, GTNN dựa vào a 0 kết hợp tính chất bất đẳng thức tìm giá trị tham số -Đối chiếu điều kiện rút kết luận Các ví dụ: Ví dụ 1: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – = Tìm m để A = x12  x22 có giá trị nhỏ Giải: Xét:  = 4m2 - 4m + - 4m + = 4m2 - 8m + = 4(m - 1)2 + > Nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với m Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - A = x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) 11 11 ) +  4 Dấu “=” xảy m = 11 Vậy MinA = (x12 + x22) = m = 4 =4m2 - 6m + = (2m - Ví dụ 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = 17 Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Giải: Để phương trình cho có nghiệm thì: ' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)   -  m  - (*) Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có:x1 + x2 = - m - m  4m  m  8m  Do đó: A =   x1 x2 = Ta có: m2 + 8m + = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7)  Suy ra: A =  m  8m   (m  4) =  2 Dấu “ = ” xảy (m + 4)2 = hay m = - Vậy, A đạt giá trị lớn m = - 4, giá trị thoã mãn điều kiện (*) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + = 2 Tìm m để x1  x2 có giá trị nhỏ Bài tập 2: Cho phương trình: x2 - mx+ (m - 2)2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau hồn thành SKKN, tơi chia sẻ với đồng nghiệp BGH nhà trường, đồng nghiệp BGH đánh giá cao Đặc biệt đồng nghiệp sử dụng làm tài liệu tham khảo cho việc giảng dạy Đối với học sinh Sau thực đề tài thấy khả vận dụng phương pháp học sinh có nhiều tiến bộ, thể chỗ đa số học sinh biết, cách giải toán linh hoạt, sáng tạo bước đầu chủ động tìm tòi kiến thức góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Với đối tượng học sinh khối trường PTDT Bán trú THCS Tam Thanh huyện Quan Sơn chọn lớp 9A năm học 2017 - 2018 (làm lớp thực nghiệm ), áp dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh lớp thực nghiệm cho thấy: phương pháp tư duy, kỹ giải tập lực sáng tạo học sinh tốt Trong kiểm tra chương 4, phần kiến thức liên quan đến hệ thức Vi-ét ứng dụng thì lớp 9A , số học sinh đạt điểm khá, điểm trung bình tăng lên số học sinh đạt điểm yếu giảm Kết áp dụng hệ thức viét vào giải dạng tập góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh 18 Kết kiểm tra thống kê, đánh giá qua kết học tập lớp năm học cụ thể sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Kết khảo sát Thời gian học kỳ II Năm học 2016-2017 TS HS Khảo sát (chưa áp dụng giải pháp) 36 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 20 55.5% - Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích, nhận dạng dạng tập, không nắm phương pháp, chưa biết cách trình bày nên bị điểm nhiều b) Áp dụng giải pháp Lần 1: Kết khảo sát Thời gian học kỳ II Năm học 2017-2018 TS HS Kết áp dụng giải pháp 36 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 28 77,7% - Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm dạng bài, kỹ vận dụng hệ thức viét vào tập, biết suy luận logic, làm tập thành thạo Lần 2: Kết khảo sát (kiểm tra tiết) Thời gian học kỳ II Năm học 2017-2018 TS HS Kết áp dụng giải pháp (lần 2) 36 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 32 88.9% - Nhận xét: Học sinh nắm vững dạng bài, trình bày cẩn thận, ứng dụng thành thạo hệ thức Viét Viét đảo để làm tập từ đến nâng cao, dạng ôn thi vào lớp 10 THPT làm tốt Chỉ cịn số học sinh q yếu, chưa thực tốt Học sinh hứng thú, tích cực tìm hiểu kỹ phương pháp giải, phân loại dạng tốn, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kỹ xử lý nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều toán 19 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Kết luận: Ứng dụng định lí Vi-ét việc giải tốn vấn đề lớn, đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư tốt kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt Chính vì lẽ đó, trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất cách vận dụng Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bở sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhần nhuyễn, logic toán khác Nghiên cứu đề tài “Một số giải pháp giúp học sinh lớp trường PTDT Bán Trú THCS Tam Thanh ứng dụng định lí Vi-ét việc giải toán” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững kiến thức, chủ động tích cực giải tốn thơng qua khơng giúp cho học sinh u thích học mơn Tốn, mà cịn sở giúp cho thân có thêm kinh nghiệm giảng dạy - Kiến nghị *Đối với Giáo viên: Cần phát huy khả tư sáng tạo học sinh việc phát tìm cách giải cho tập Mỗi giáo viên cần có ý thức tìm tịi phương pháp dạy học phù hợp với loại tập đối tượng học sinh theo phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm, tích cực hóa hoạt động học sinh trình học tập *Đối với Hội đồng khoa học chấm sáng kiến kinh nghiệm cấp: Nên có thơng tin phản hồi thiếu sót, hạn chế đề tài để người thực khắc phục, nâng cao chất lượng nghiên cứu Mặc dù cố gắng thực đề tài, song tránh khỏi thiếu sót cấu trúc ngơn ngữ kiến thức khoa học Vì vậy, mong quan tâm đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gửi Địa Gmail: letrongtruong82@gmail.com Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Quan Sơn, ngày 22 tháng năm2018 Tôi xin cam đoan SKKN mình viết, không chép nội dung người khác 20 (Ký ghi rõ họ tên) 21 Tài liệu tham khảo Sách Giáo khoa sách tập Toán lớp Bộ Giáo Dục Ôn luyện thi vào lớp 10 – Mơn Tốn Tơn Thân chủ biên Các dạng toán phương pháp giải toán 9, Tôn Thân chủ biên Các đề thi tuyển sinh thi chuyên chọn trường tỉnh Thanh Hoá Bài tập nâng cao Đại số Vũ Hữu Bình  ... Vi- ét ? ?ứng trước vấn đề đó, tơi sâu nghiên cứu đề tài ? ?Một số giải pháp giúp học sinh lớp trường PTDT Bán Trú THCS Tam Thanh ứng dụng định lí Vi- ét vi? ??c giải tốn” với mong muốn giúp cho học sinh. .. tham số m 3.4 .Ứng dụng định lí Vi? ?t vào vi? ??c xét dấu nghiệm phương trình bậc hai 3.5 .Ứng dụng định lí Vi- ét vào so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước 3.6 .Ứng dụng định lí Vi- ét. .. 3.7 .Ứng dụng định lí vi- ét giải tốn chứng minh 3.8 .Ứng dụng định lí Vi- ét để giải tốn vị trí tương đối đường thẳng parabol 3 .9. Ứng dụng Định lý Vi- ét với toán cực trị( Tìm giá trị tham số để