SKKN Một số phương pháp giúp học sinh lớp 9 học tốt giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu

Tuy SGK đã trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình chứa ẩn ở mẫu và các bài tập thuộc các dạng nhưng vẫn chưa đủ và cũng vì ý thức tự học, tự đọc sách của một

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 9 HỌC TỐT

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Môn toán là môn thể thao trí tuệ, nó giữ vai trò quan trọng trong mọi lĩnh vực, mọi ngành kinh tế khác của cuộc sống Bởi vì không một ngành khoa học nào không cần đến toán học cả

Trong chương trình Toán THCS, phương trình một ẩn là một trong những kiến thức quan trọng được đề cập xuyên suốt trong tất cả các khối lớp từ lớp 6 đến lớp 9 tùy mức độ khác nhau Thực tế giảng dạy cho thấy kĩ năng giải phương trình một

ẩn của một số học sinh còn hạn chế, mỗi học sinh đều thấy có những khó khăn của

riêng mình, nhất là phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Tuy SGK đã trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình chứa ẩn ở mẫu và các bài tập thuộc các dạng nhưng vẫn chưa đủ và cũng vì ý thức tự học, tự đọc sách của một số học sinh là chưa cao Học sinh chưa nắm vững các định nghĩa, các quy tắc biến đổi phương trình chứa ẩn ở mẫu Một số học sinh vẫn còn lối “học vẹt” không biết hoặc chưa biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải bài tập

Ngoài ra, cũng vì việc lựa chọn phương pháp như thế nào để phù hợp với từng bài toán thì các em còn lúng túng nhiều, nhiều bài các em không biết làm hoặc nếu

có làm được thì cũng chưa giải quyết bài toán một cách tốt nhất nên kết quả học tập chưa cao Nhất là trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường THPT chuyên của Tỉnh đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán có liên quan khá phổ biến

Xuất phát từ lí do trên, tôi xin đề cập tới vấn đề “Một số phương pháp giúp học sinh lớp 9 học tốt giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu” Mong rằng sẽ phần nào

giải quyết được những khó khăn trong dạy và học giải phương trình một ẩn, từ đó giúp các em học sinh chủ động hơn trong việc dùng những phương pháp này để giải các bài toán có liên quan, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh sẽ học tốt hơn, hứng thú say mê hơn với bộ môn Toán Vì thời gian có hạn nên chắc rằng có nhiều điều

thiếu sót, rất mong quý thầy cô giáo trong hội đồng thẩm định đóng góp ý kiến Tôi xin chân thành cảm ơn!

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Những thuận lợi

– Nhà trường luôn tạo điều kiện cung cấp các đồ dùng dạy học cần thiết

– Giáo viên trẻ, nhiệt tình, luôn học hỏi

– Bản thân đã được tập huấn các phương pháp dạy học mới

– Học sinh đa số ngoan

2 Những khó khăn

– Trang thiết bị tuy nhiều nhưng vẫn còn thiếu so với yêu cầu của bộ môn – Số học sinh yếu kém còn nhiều

– Môn toán theo suy nghĩ của học sinh là khô khan, nhiều em lấy lí do đó mà lười học, chuẩn bị bài ở nhà còn sơ sài

– Thời lượng để học sinh củng cố và khắc sâu kiến thức cũng như tiếp thu kiến thức mở rộng còn hạn chế

3 Số liệu thống kê (Năm học 2010 – 2011)

Lớp Tổng số HS Số HS chưa hiểu bàiKhi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệmSố HS hiểu bài

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 27 Luật giáo dục là “Nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có học vấn phổ thông ở trình độ THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học trung học phổ thông, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”

Để đáp ứng mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế theo hướng tăng tính thực tiễn, thực hành, bảo đảm vừa sức, khả thi, tăng thời gian tự học và hoạt động ngoại khóa

Khác với các môn học khác, Toán học là môn học đòi hỏi rất nhiều thời gian thực hành làm bài tập Vì thế, thông qua việc củng cố kiến thức cơ bản về phương trình chứa ẩn ở mẫu, các bài toán cơ bản được tổng hợp qua một vài phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu cụ thể Giáo viên giúp học sinh nâng cao năng lực trí tuệ trong việc phát hiện vấn đề, nâng cao việc rèn kĩ năng cho học sinh so sánh

có luận cứ, có hướng đi rõ ràng, khắc phục những vướng mắc trong việc dạy và thực hành làm bài tập Làm cho học sinh lựa chọn, khám phá ra hướng đi đúng, lời giải đúng và nhanh nhất trong giải toán về phương trình chứa ẩn ở mẫu và các bài tập có liên quan

2 Nội dung và các biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

2.1 Mục đích

a) Đối với học sinh

– Tiếp thu bài học nhanh

– Phát huy tính tích cực của học sinh

– Cung cấp cho học sinh các phương pháp để giải toán

– Hấp dẫn các các em trong tiết học

– Vận dụng kiến thức bài cũ để phục vụ bài mới

b) Đối với giáo viên

– Truyền tải kiến thức đến học sinh một cách logic, tổng quát

– Đánh giá và phân loại học sinh nhanh, tương đối chính xác

– Hệ thống được kiến thức cơ bản cho học sinh vận dụng vào thực hành bài tập

2.2 Nội dung và các biện pháp thực hiện

2.2.1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

a) Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

- Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình

- Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

- Giải phương trình vừa nhận được

- Kết luận: Trong các giá trị tìm được của ẩn, các giá trị nào thỏa mãn ĐKXĐ chính là các nghiệm của phương trình đã cho

b) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình

3 2

10 1

3 2

) 2













x

x x

x

Bài giải:

ĐKXĐ: x 

2 3

3 2

10 1

3

2

)

2













x

x x

x



3 2

10 3

2

3 2 ) 2















x

x x

x x

Khử mẫu ta được: (x + 2)2 – 2x + 3 = x2 + 10

 x2 + 4x + 4 – 2x + 3 = x2 + 10

 2x = 3

 x = 23 (không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình:

1

6 1

2 2

5









x x

Bài giải:

ĐKXĐ của PT là x –1

1

6 1

2

2

5









x

x

 5 2 2 2.6 2( 1) 2( 1)



Khử mẫu ta được: 5x + 2x + 2 = –12  7x = –14

 x =  2 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S =  2

2.2.2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỤ THỂ

Phương pháp biến đổi

1 Phân tích hoặc nhóm các phân thức

* Ví dụ 1: Giải phương trình

4 2

5 4 11 28 17 70 x

x  x x  x x  x  

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x 10; 7; 4; 1;1

2

    

Với ĐK trên thì phương trình đã cho tương đương với

(x 1)(x 4) ( x 4)(x 7) ( x 7)(x 10)4x 2

2

2

3

7 12 0

4

x

x







So sánh với ĐKXĐ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = – 3.

* Ví dụ 2: Giải phương trình 4

4



Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x 3; 2;1;4  

Với ĐK trên thì phương trình đã cho tương đương với

2

0

0 ( 1)( 4) ( 2)( 3)

(5 8)( 2)( 3) (5 12)( 1)( 4) 0

16

0 5

1

1

Kết hợp với ĐKXĐ thì phương trình đã cho có hai nghiệm là:

x     x    

* Ví dụ 3: Giải phương trình 1 1 1 1

2008x 1 2009 x 2 2010x 4 2011 x 5

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x 1 ; 2 ; 4 ; 5

2008 2009 2010 2011



Với ĐK trên, phương trình đã cho tương đương với

2008x 1 2011 x 5 2009x 2 2010 x 4

(2008 1)(2011 5) (2009 2)(2010 4)

4019x 6 0

   hoặc (2008x 1)(2011 5)1 (2009x 2)(20101 x 4)

4019x 6 0

   hoặc (2008x 1)(2011 5) (2009   x 2)(2010x 4) 0 

4019x 6 0

   hoặc 2x2 + 5x + 3 = 0

Kết luận: Phương trình đã cho có ba nghiệm 1 2 3

x   x  x 

2 Đưa về phương trình bậc cao giải được

* Ví dụ 4: Giải phương trình 2 2 213 6

x  x  x  x 

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x 1;2

3



Với ĐK trên, phương trình đã cho tương đương với

2x(3x2 + x + 2) + 13x(3x2 – 5x + 2) = 6(3x2 + x + 2)(3x2 – 5x + 2)

 54x4 – 117x3 + 105x2 – 78x + 24 = 0

 (2x – 1)(3x – 4)(9x2 – 3x + 6) = 0

Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2

;

x  x 

* Ví dụ 5: Giải phương trình 1 1

2

x  x  x

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x > 0 và x  1

Với ĐK trên, phương trình đã cho tương đương với 2 1 2

x   x (1)

 Nếu 0 < x < 1 thì vế trái của (1) là số âm, trong khi vế phải là số dương

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm

 Nếu x > 1 thì hai vế của (1) đều dương, bình phương hai vế ta được:

x4 – 2x2 – 16x + 1 = 0

 (x2 + 3)2 – 8(x + 1)2 = 0

 (x2 – 2 2x + 3 – 2 2)(x2 +2 2x + 3 + 2 2) = 0

Kết hợp với điều kiện x > 1 ta có x = 2  2 2 1 

Phương pháp đặt ẩn phụ

1 Đặt một ẩn phụ

* Ví dụ 6: Giải phương trình x43 3x22 1 3



Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x  0 và 1 5

2

x 

Chia cả tử và mẫu ở vế trái cho x 2 rồi rút gọn ta được:

2 2

1 3 3 1

1

x x x x



 

Đặt t = x 1

x

 , phương trình trên trở thành:

2

5

2 1

t t

t t







 Với t = 1, ta có: 1 2 1 5

2

x



 Với t = 2, ta có: 1 2

x

Kết luận: Phương trình đã cho có 4 nghiệm là: 1,2 1 5

2

x   ; x  3,4 1 2

* Ví dụ 7: Giải phương trình 2 2 2 13 6

3x  4x 1 3 x  2x 1x

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: 0;1;1

3

x 

  Biến đổi phương trình đã cho thành

6

3x 4 3x 2

Đặt t = 3x 4 1

x

  Phương trình trên trở thành 2 13 6

6

t t 

2

t  t   t hoặc t 4

 Với 1

2

4

1 2

2

x

x

x







 



 Với t 4, ta có 1 2

x

Phương trình này vô nghiệm

Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2

;

x  x 

* Ví dụ 8: Giải phương trình 2 2

15 ( 1)

x  x 

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x 0; 1  

Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:

2

Đặt x x ( 1 1)= t Phương trình trên trở thành: t2 + 2t – 15 = 0  t = 3 hoặc t = –5.

x x

 

x x

 



Kết luận: Phương trình đã cho có bốn nghiệm 1,2 3 21

6

x   ; 3,4 5 5

10

x  

2 Đặt hai ẩn phụ

* Ví dụ 9: Giải phương trình

12

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x 2;3

  thì phương trình đã cho trở thành:

u uv v  u v u v 

3

  hoặc u 4v

 Với u 3v, ta có 1 2 2 8 46

 Với u 4v, ta có 1 2 2

Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là 1,2 8 46

2

* Ví dụ 10: Giải phương trình .3 3 2

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x 1.

Đặt .3 ; 3

  Ta có: a.b = 2 và a + b = 3.

Do đó a và b là hai nghiệm của phương trình X2 – 3X + 2 = 0  X 1  1 hoặc

X 

 Với a = 1, b = 2 ta được x2 – 2x + 1 = 0  x = 1.

 Với a = 2, b = 1 ta được x2 – x + 2 = 0 (vô nghiệm).

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1.

Phương pháp đánh giá

* Ví dụ 11: Giải phương trình 2 3 2 4 12

x  x  x  x  x

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x 0

Phương trình đã cho tương đương với 12 2 4 2 3

2x  x  3x 9x  x 3 (*)

Áp dụng BĐT a2 b2 (a b)2



 với mọi x, y > 0.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a x b y , ta có: 12 2 4 (2 1)2 2 2 3

2x x 3x 9 3x 3x 9 x x 3



Suy ra (*) x2 + 3x + 9 = 4x2  x2 – x – 3 = 0

Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là 1,2 1 13

2

2.2.3: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giải các phương trình sau:

4x 2006 5 x 2004 15 x 2007 6 x 2005

2

2

2

2

25

11 ( 5)

x

x

x



x  x x  x x  x 

5 2 1 2 18 2 18

x  x x  x x  x

(x 1)(x 2) ( x 1)(x 4) 

7 (5 ) 5 5

x

x  x 

9 22 2 1 22 2 2 7

10 2 4 2 3 1

x  x  x  x 

11 2 2 213 6

x  x  x  x 

12 3

3

13

IV/ KẾT QUẢ

1 Đối với giáo viên

Giáo viên đã tạo ra không khí học tập sôi nổi trong học sinh, kích thích sự tìm tòi và say mê học toán của học sinh

Chủ động về mặt thời gian và kiến thức Tùy theo trình độ của học sinh mỗi lớp

mà giáo viên lựa chọn cách thích hợp để học sinh nắm vững kiến thức và giải quyết các bài tập liên quan đến giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Đánh giá được mức độ hiểu bài của học sinh Đảm bảo được sự chu đáo về ĐDDH

2 Đối với học sinh

Năng lực, trí tuệ của học sinh được nâng lên

Học sinh nắm chắc kiến thức, biết phân tích đặc điểm của từng dạng bài tập, lựa chọn phương pháp giải thích hợp để giải phương trình được tốt nhất

Học sinh đã giải dạng toán này có luận cứ, có hướng đi rõ ràng, khắc phục được những vướng mắc

Củng cố lại được kiến thức đã học

Rèn luyện kĩ năng làm bài tập Lựa chọn, khám phá ra hướng đi đúng, lời giải đúng và nhanh nhất trong giải toán Tìm ra được mối liên hệ giữa các bài toán Hệ thống hoá được kiến thức cần nhớ, tự đề ra các bài toán tương tự, bài toán tổng quát hay hơn

* Kết quả đối chứng: (Dựa trên kết quả bài kiểm tra 15’ - Năm học 2010 – 2011)

Lớp Tổng số HS Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Số HS chưa hiểu bài Số HS hiểu bài

V/ BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy, bước đầu tôi thấy có nhiều kết quả khả quan Tuy nhiên việc thực hiện vẫn còn gặp rất nhiều khó khăn Một số học sinh còn chưa chịu khó học tập, thường ít chuẩn bị bài ở nhà Về phía giáo viên cần phải kiên trì hướng dẫn từng bước và liên tục thực hiện các bước giải toán để phát huy

mạnh mẽ hơn nữa việc dạy học Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán trong Nhà trường

Giáo viên cần phải thường xuyên tham khảo tài liệu liên quan đến môn học để nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ, nắm bắt các vấn đề một cách sâu rộng, tổng quát

Từ đó có phương pháp giảng dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh và tìm ra các phương pháp giải các dạng toán cơ bản trong chương trình toán THCS

Luôn rèn luyện kĩ năng sử dụng CNTT để thiết kế bài dạy ngày càng tốt hơn Có sự sáng tạo trong việc tổ chức giờ dạy, hướng dẫn học sinh học tập tích cực, rèn luyên khả năng tự học, tự tìm tòi kiến thức

Phải thực sự yêu quý học sinh, gắn bó tâm huyết với nghề nghiệp

Lựa chọn, xây dựng hệ thống bài tập nhằm củng cố bài học cho học sinh một cách

có hiệu quả, phù hợp với thời gian cho phép của một tiết học

VI/ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận

Để giúp học sinh có hứng thú học tập bộ môn toán nói chung và giải bài toán về phương trình nói riêng, mỗi giáo viên chúng ta cần cung cấp cho học sinh những đơn

vị kiến thức và một số phương pháp suy nghĩ, suy luận cần thiết của bộ môn toán Sáng kiến kinh nghiệm này đã góp phần làm đa dạng, phong phú bài tập của học sinh Giúp các em củng cố, cũng như hệ thống lại kiến thức một cách dễ dàng Qua đó giúp cho giáo viên đánh giá học sinh một cách khách quan và chính xác hơn

Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy và qua tham khảo một vài đồng nghiệp, tôi hi vọng sẽ có những dấu hiệu khả quan Với nghị lực và tâm huyết với nghề, tôi sẽ phấn đấu để chất lượng và hiệu quả giáo dục ngày càng cao hơn

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi trên đây không thể tránh được những thiếu sót nhất định Rất mong quý thầy cô trong hội đồng thẩm định góp ý chân thành để tôi thực hiện sáng kiến này được tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

2 Kiến nghị

 Đối với cấp trên:

– Tăng cường thêm trang thiết bị, đặc biệt là máy móc hỗ trợ cho tiết dạy ứng dụng công nghệ thông tin

– Những điều kiện cần thiết về cơ sở vật chất phục vụ cho việc giảng dạy

 Đối với nhà trường:

– Bổ sung, đáp ứng đầy đủ các ĐDDH cần thiết cho môn Toán

– Cung cấp thêm các tài liệu tham khảo, sách giáo viên để GV có điều kiện tìm hiểu

 Đối với giáo viên:

– Cần nghiên cứu kĩ nội dung bài dạy, có biện pháp sư phạm phù hợp với từng loại bài

– Không ngừng tìm tòi, học hỏi nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ

– Tích cực học tập, bồi dưỡng kiến thức về tin học để thiết kế và sử dụng giáo án điện tử có hiệu quả

 Đối với học sinh:

– Chuyên cần chăm chỉ, ý thức được môn học

– Phát huy cao độ tính tự học, hưởng ứng phong trào “Đôi bạn cùng tiến” nhằm hỗ trợ lẫn nhau trong quá trình học tập

VII/ TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Toán 8, 9 – NXB Giáo dục

2 Sách giáo viên Toán 8, 9 – NXB Giáo dục

3 Nâng cao và phát triển toán 9 – Vũ Hữu Bình – NXB Giáo dục

4 Toán nâng cao đại số 9 – Vũ Hữu Bình, Tôn Thân – NXB Giáo dục

La Ngà, ngày 25 tháng 9 năm 2012

Người thực hiện

NGUYỄN TRUNG KIÊN

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN ĐỊNH QUÁN CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Đơn vị: Trường THCS Trần Hưng Đạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

La Ngà, ngày 25 tháng 9 năm 2012

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năn học: 2012 – 2013

Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp giúp học sinh lớp 9 học tốt

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Họ và tên tác giả: Nguyễn Trung Kiên Đơn vị (Tổ): Toán – Tin

Lĩnh vực:

Quản lý giáo dục: Phương pháp dạy học bộ môn:

Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác:

1 Tính mới

- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cái tiến, đổi mới từ giải pháp đã có

Điểm chấm: ………

2 Hiệu quả

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả

Điểm chấm: …………

3 Khả năng áp dụng

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: