Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu - Vũ Văn Bắc

Tài liệu Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu đề cập đến một lớp phương trình cũng rất quan trọng, thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp trung học cơ sở cũng như các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đó là các phương trình dạng phân thức có chứa ẩn ở mẫu. Mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN Ở MẪU Thực Vũ Văn Bắc Website : http://parksungbuyl.wordpress.com/ TÀI LIỆU CĨ THAM KHẢO TẠP CHÍ TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ Trong số báo THTT có nghiên cứu sâu sắc phương trình vơ tỉ Trong viết đề cập đến lớp phương trình quan trọng, thường gặp kỳ thi học sinh giỏi cấp THCS đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Đó phương trình dạng phân thức có chứa ẩn mẫu Chúng ta giải khó khăn bạn học sinh gặp loại phương trình thơng qua phương pháp giải sau I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI Phân tích nhóm phân thức Thí dụ Giải phương trình 1    (1) x  x  x  11x  28 x  17 x  70 x  Lời giải 1  Điều kiện: x   10;7;4;1;  (*) 2  1 (1)     ( x  1)( x  4) ( x  4)( x  7) ( x  7)( x  10) x  1 1  1 1  1 1             x  x    x  x    x  x  10  x  1 1      x  x  12   x  3; x  4   x  x  10  x  So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x  3 Thí dụ Giải phương trình x 1 x  x  x      ( 2) x 1 x  x  x  Lời giải Điều kiện: x   3;2;1;4 (*) ( 2)   1 1 1 4 x 1 x2 x3 x4    5x  x  12      0  0 ( x  1)( x  4) ( x  2)( x  3)  x 1 x    x  x   16 1 69    x     2  1 69   So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x     2   (5 x  8)( x  2)( x  3)  (5 x  12)( x  1)( x  4)   x  x  Thí dụ Giải phương trình 1 1    (3) 2008 x  2009 x  2010 x  2011x  Lời giải   Điều kiện: x   ; ; ;  (*)  2008 2009 2010 2011  1 1 4019 x  4019 x  (3)       2008 x  2011x  2009 x  2010 x  (2008 x  1)(2011x  5) (2009 x  2)(2010 x  4)   1    4019 x     (2008 x  1)(2011x  5) (2009 x  2)(2010 x  4)  4019 x    (2008 x  1)(2011x  5)  (2009 x  2)(2010 x  4)    x   4019 4019 x  6    x  1; x   2 x  x    So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x   ; x  1; x   4019 2 Đưa phương trình bậc cao giải Thí dụ Giải phương trình 2x 13x   ( 4) x  x  3x  x  Lời giải  2 Điều kiện: x  1;   3 (4)  x(3x  x  2)  13x (3 x  x  2)  6(3 x  x  2)(3 x  x  2)  54 x  117 x  105 x  78 x  24  ;x  So sánh với điều kiện (*) nghiệm phương trình x  ; x  Thí dụ Giải phương trình 1   (5) x 1 x 1 x Lời giải Điều kiện: x  0; x  (*) (5)   x 1 x +) Nếu  x  vế trái âm cịn vế phải ln dương nên phương trình vơ nghiệm +) Nếu x  hai vế khơng âm nên bình phương hai vế ta phương trình  (2 x  1)(3 x  4)(9 x  x  6)   x    2    x  x  16 x    x   8 x  1   x  2 x   2 x  2 x   2   x   2  ( x  1) Vậy phương trình cho có nghiệm x   2  II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đặt ẩn phụ Thí dụ Giải phương trình x  3x   (6) x3  x2  x Lời giải  1  Điều kiện: x  0;  (*)   x  3x  1 x2   t  1 t2  x ( 6)  x 3  đặt t  x  ta   t  3t     x x x x t 1 t  x  1 x x 1   x2  x 1   x  x +) t   x    x  x    x   x +) t   x  So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x  1 ; x  1 Thí dụ Giải phương trình 13   (7 ) x  x  3x  x  x Lời giải  1 Điều kiện: x  0;1;  (*)  3 13 (7 )    đặt x    t ta phương trình 1 x 3x   3x   x x 13    2t  7t    t  ; t  4 t t 6 +) t   x  11x    x  ; x  2 +) t  4  x  x    x So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x  ; x  Thí dụ Giải phương trình 1   15 (8) x ( x  1) Lời giải Điều kiện: x  1; x  (*)   ( x  1)  x 2x  2x   (8)   15    15     15  2 2 x ( x  1) x ( x  1) x ( x  1) x ( x  1)  x ( x  1)  Đặt  t ta phương trình t  2t  15   t  3; t  5 x ( x  1) +) t     21   3x  3x    x  x( x  1) +) t  5  5  5  x  x    x  x ( x  1) 10 So sánh với điều kiện (*) phương trình có bốn nghiệm x    21 5 ;x  10 Đặt hai ẩn phụ Thí dụ Giải phương trình 2 x 1  x 1   x 2  12     (9) x3  x 2  x 3 Lời giải Điều kiện: x  2; x  (*) x 1 x2 Đặt u  ;v  ta u  uv  12v  (u  3v )(u  4v )   u  3v; u  4v x2 x3 x 1 x2  46 +) u  3v  3  x  x   x  12 x  12  x  16 x    x  x2 x3 x 1 x2 +) u  4v   4  x  x   4 x  16 x  16  x  12 x  19   x x2 x3  46 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Thí dụ 10 Giải phương trình   (10) x  x  x  3x  x Lời giải Điều kiện: x  (*) (10)    x  3x  x x  x3 2 Để ý x  3x   0;2 x  0, x  Do theo bất đẳng thức AM – GM 1 1     2     2  2 x  3x  x x  x  18 x  x   x  x  x  3x  x   13  13 So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x  Chúng cố gắng chia thành ba phương pháp phù hợp với bạn THCS Hy vọng qua viết có nhìn cơng cho phương trình có chứa ẩn mẫu Rất mong nhận bổ sung thêm bạn để phương trình dạng phong phú Cuối cùng, xin mời bạn vận dụng phương pháp nêu để giải số phương trình sau 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 Vì (10)  x  x   x  x  x    x  x 1 x  x  x     0 x2 x3 x5 x6 1 1    (T3/348 - THTT) x  2006 x  2004 15 x  2007 x  2005 x2  3x  x  (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN.2007) ( x  2) 2 x  25 x  11 (Tuyển sinh lớp 10 chun tốn Lê Hồng Phong, T.P.Hồ Chí Minh.2007) ( x  5) x 6125 210 12 x    0 (T2/247 – THTT) x x x3  x 2 ( x  x  1) 4x 5x   x  x  x  5x  3 x 3x x     (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN 2000) x 1 ( x  1) 2 x2   x 2  x  2 10 10   11 0    x2 1  x 1   x 1  18 18 11   x  x  x  2x  x  2x  x  16 12    (Thi HSG toán lớp tỉnh Quảng Ngãi 2007) x 6 x 1 x  x  2x  x  2x  13   x (Bài 3(69) – TTT2) x3  1 1 14   (Bài 2(72) – TTT2) 5x x  x  36 x  x  16 ( x  1) 15  ( x  3)   3x  x  2 ( x  3) ( x  2) 16 x3  m3 x3  n3 x3  p3 3 x  m x  n x  p      (HSGQG.THPT 1975) ( x  m) ( x  n) ( x  p) 2 x  m x  n x  p ... (*) phương trình có nghiệm x  Chúng cố gắng chia thành ba phương pháp phù hợp với bạn THCS Hy vọng qua viết có nhìn cơng cho phương trình có chứa ẩn mẫu Rất mong nhận bổ sung thêm bạn để phương. .. sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x   ; x  1; x   4019 2 Đưa phương trình bậc cao giải Thí dụ Giải phương trình 2x 13x   ( 4) x  x  3x  x  Lời giải  2 Điều kiện: x ... kiện (*) phương trình có nghiệm x  1 ; x  1 Thí dụ Giải phương trình 13   (7 ) x  x  3x  x  x Lời giải  1 Điều kiện: x  0;1;  (*)  3 13 (7 )    đặt x    t ta phương trình