SKKN: Một số phương pháp giải phương trình nguyên bậc hai hai ẩn

Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn. Mời thầy cô tham khảo sáng kiến kinh nghiệm một số phương pháp giải phương trình nguyên bậc hai hai ẩn để có phương pháp giải tốt nhất.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN BẬC HAI HAI ẨN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng không rõ phương pháp giải Qua q trình giảng giải tơi xin đưa số phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn” Việc giải phương trình cịn giúp học sinh có kỹ tìm giá trị nhỏ biểu thức bậc hai hai ẩn phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời biết cách giải số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn II.NỘI DUNG A Xét phương trình a1 x + a2 xy + a3 x + a4 y + a5 y + a6 = Trong a1 ≠ a2 ≠ , a5 ≠ B Các phương pháp giải a.Phương pháp thứ Viết vế trái thành tổng bình phương A = Dạng A + B + C = ⇔  B = C =  2 Ví dụ; giải phương trình nghiệm ngun: x + y + xy + y − x + 14 = 0(1) Lưu ý: Để viết vế tr thành tổng bình phương bình phương tam thức cần có cách tách hợp lý Ta biết hang tử có bình phương hệ sổ số phương, 5x2 = x2 + x2 y2 = y2 + y2 Phương trình (1) ⇔ 4x + x + y + y + xy − x − x + y + 14 = Ta coi bình phương tam thức (a + b + c) = ((a + b) + c)2 bình phương nhị thức với biểu thức thử (a+b) bểu thức thứ hai c Vậy (1) ⇔ 4x + x + y + y + xy − x − x + y + 14 = Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn ⇔ ((2 x) + 2.2 x( y − 1) + ( y − 1) ) + ( x − 2) + ( y − 3) = ( x + y − 1) + ( x − ) + ( y − 3) 2 =0 ⇔ (2 x + y − 1) + ( y + 3) + ( x − 2) = 2 x + y − =  ⇔ y + = x − =  x = ⇔  y = −3 Bài tập: giải phương trình nghiệm nguyên: 1, x + y + 14 − xy − y − x = 2, x + y + 14 + xy − y + x = 3, x + 10 y + − 12 xy + y − x = 4, 10 x + y + 38 − 12 xy + 16 y − 36 x = 5, 10 x + y + 34 − 12 xy + 20 y − 36 x = Giải: 1, x + y + 14 − xy − y − x = ⇔ x + x + y + y − xy − y − x + 14 = ⇔ ( x − y + 1) + ( x − 3) + ( y − ) = 2 x − y +1 =  ⇔ x − = y − =  x = ⇔ y = 2, x + y + 14 + xy − y + x = ⇔ x + x + y + y + xy + x − y + 14 = ⇔ ( x + y + 1) + ( x + ) + ( y − 3) = 2 2 x + y + =  ⇔ x + = y −3 =   x = −2 ⇔ y = 3, x + 10 y + − 12 xy + y − x = ⇔ x + x + y + y − 12 xy − x + y + = Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn ⇔ ( x − y − 1) + ( x + 1) + ( y + 1) = 2 2 x − y − =  ⇔ x +1 =  y +1 =   x = −1 ⇔  y = −1 4, 10 x + y + 38 − 12 xy + 16 y − 36 x = ⇔ x + x + y + y + 38 − 12 xy + 16 y − 36 x = ( ) ( ) ⇔ (( 3x ) − 2.3 x ( y + ) + ( y + 5) ) + x − x + + y − y + = 2 ⇔ ( x − y − ) + ( x − 3) + ( y − ) = 2 3x − y − =  ⇔ x − = y − =  x = ⇔ y = 5, x + x + y + 34 − 12 xy + 20 y − 36 x = ⇔ ( x + y − ) + ( x − 3) = 2 3x + y − = ⇔ x − = x = ⇔  y = −2  A = ±m Dạng A + B + C + = m + n + p + ⇔  B = ± n C = ± p  2 2 2 hoán vị chúng Ví dụ: Giải phương trình: x2 − x − + y = ⇔ x − x − 24 + y = ⇔ (2 x − 1) + (2 y )2 = 25 = 32 + 42 = 02 + 52 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn  x − =  x = 2; −1 Do 2x-1 lẻ nên  y = ⇔   y = ±2  x = 3; −2  x − = ⇔  y =  y = Hoặc Phương trình cho có nghiệm: (x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0) Bài tập: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 1, x = 100 + xy − 13 y 2, x − xy + y = 169 Giải: 1, x = 100 + xy − 13 y ⇔ x − xy + y + y = 100 ⇔ x − + y = 100 = 62 + 82 = 02 + 102 2  x − = x = ⇔ ⇔  y =  y =  x − =  x = 11 Hoặc  y = ⇔  y =  x − = 10  x = 13 Hoặc  y = ⇔  y =  x − = x = Hoặc  y = 10 ⇔  y = Vậy phương trình cho có nghiệm: ( x, y ) = {( 9; ) (11;3)( 3;5 ) } 2, x − xy + y = 169 ⇔ x − xy + y + y = 169 ⇔ x − y + y = 169 = 12 + 52 = + 132 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn  x − y = 12  x = 22 ⇔ ⇔  y = y =  x − y =  x = 19  y = 12 ⇔  y = 12  x − y =  x = 26  y = 13 ⇔  y = 13 Vậy phương trình cho có nghiệm: ( x, y ) = {( 22;5) (19;12 )( 26;13) } b.Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử Dạng A = A.B.C =0 ⇔  B = C = Dạng A.B.C = m.n.p (Với m, n,p số nguyên) A = m ⇔  B = n C = p hốn vị chúng Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x + 10 xy + y = 96 ⇔ 3x + xy + xy + y = 96 ⇔ ( x + y )(3x + y ) = 96 = 16.6 = 12.8 = 24.4 Do x,y số nguyên dương nên (3 x + y ) > ( x + y ) ≥ 2 x + y = 16 x = ⇒ ⇔ x + y = y =1 2 x + y = 12  x = −4 Hoặc  ⇔ (loại) x + y = y = 2 x + y = 24  x = 16 Hoặc  ⇔ (loại) x + y =  y = −6 Vậy phương trình cho có nghiệm: ( x, y ) = ( 4;1) Bài tập: Giải phương trình nghiệm nguyên: 1, y = x + x + Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn 2, x − 25 = y ( y + ) 3, x − xy + y = 121 4, ( x + y ) = 3xy − 5, x − x − xy + y − = Giải: 1, y = x + x + ⇔ y = x + x + 24 ⇔ (2 y )2 − (4 x + x + 1) = 23 ⇔ (2 y )2 − (2 x + 1) = 23 ⇔ ( y − x − 1)( y + x + 1) = 23 = 1.23 = (−1).(−23) = 23.1 = (−23).(−1) ( y + x + 1) = 23 y = ∗ ⇔  y x − − = ( )  x = ( y + x + 1) = y = ∗ ⇔  x = −6 ( y − x − 1) = 23 ( y + x + 1) = −23  y = −6 ∗ ⇔  y − x − = − ( )   x = −6 ( y + x + 1) = −1  y = −6 ∗ ( y − x − 1) = −23 ⇔  x =  Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {( 5; ) , ( −6; ) , ( −6; −6 ) , ( 5; −6 )} 2, x − 25 = y ( y + ) ( −(y ) + y + ) = 16 ⇔ x − y + y + = 16 ⇔ x2 ⇔ ( x ) − ( y + 3) = 16 2 ⇔ ( x − y − 3)( x + y + 3) = 16 Do ( x − y − 3) ≤ ( x + y + 3) Và ( x − y − 3) ; ( x + y + 3) tính chẵn lẻ nên ( x − y − 3)( x + y + 3) = 2.8 = 4.4 = ( −8 )( −2 ) = ( −4 )( −4 ) x − y − = x = ∗ ⇔ x + y + = y = Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn x − y − = x = ∗ ⇔ x + y + =  y = −3  x − y − = −8  x = −5 ∗ ⇔  x + y + = −2 y =  x − y − = −4  x = −4 ∗ ⇔  x + y + = −4  y = −3 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {( 5; ) ( −5; )( 4; −3)( −4; −3)} 3, x − xy + y = 121 ⇔ x − xy + y − y = 121 ⇔ ( x − y ) − ( y ) = 121 2 ( )( x − y − y ) = 121 Do ( x − y + y ) ≥ ( x − y − y ) Và ( x − y + y ) ; ( x − y − y ) tính chẵn lẻ nên  x − y + y ) = 121  x − y = 61 (   x − y = 61 ∗ ⇔ ⇔  y = ±30 ( x − y − y ) =  y = 60  ⇔ x − 3y + y Nếu y = 30 Thì x − 90 = 61 ⇒ x = 151; 29 Nếu y = −30 Thì x + 90 = 61 ⇒ x = −151; −29 ( ( ) )  x − y + y = 11  x − y = 11  x = ±11   ∗ ⇔ ⇔ y =  x − y − y = 11  y =  Vậy phương trình cho cónghiệm nguyên: ( x, y ) = {( 29;30 ) , (151;30 ) , ( −29; −30 ) , ( −151; −30 ) , (11;0 ) , ( −11;0 )} 4, ( x + y ) = 3xy − ⇔ ( x + y ) − 3xy = −2 ⇔ 15 ( x + y ) − xy = −6 ⇔ 15 x − xy = −6 ⇔ x ( − y ) − ( − y ) + 25 = −6 ⇔ ( x − )( y − ) = 31 Không tính tổng quát giả sử x ≤ y ⇒ 3x − ≤ y − Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn 3 x − = x = ∗ ⇔ 3 y − = 31  y = 12  x = 3x − = −1  ∗ ⇔ (loại) 3 y − = −31  y = −26  Vậy phương trình cho có nghiệm ngun: ( x, y ) = {( 2;12 ) (12; ) } 5, x − x − xy + y − = ⇔ x − 3x − xy + y + x − = ⇔ x ( x − 3) − y ( x − 3) + ( x − 3) = ⇔ ( x − 3)( x − y + ) =  x = 3; y ∈ Z ⇔  y = x + 2; x ∈ Z c.Phương pháp thứ ba: Dùng cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn phương trình bậc hai ẩn cịn ẩn số.Chẳng hạn f ( x , y ) = ta coi y số Dạng ∆ y = ay + by + c có hệ số a < ∆ y = by + c có hệ số b < Để phương trình f( x , y ) = có nghiệm ∆ y ≥ từ tìm nghiệm y suy nghiệm lại x Ví dụ: giải phương trình nghiệm ngun: (3 x + xy + y ) = x + y ⇔ 3x + (3 y − 1) x + y − y = Coi phương trình phương trinh bậc hai ẩn x Ta có Để pt cho có nghiệm ∆ y = −27 y + y + ∆ y = −27 y + y + ≥ ⇔ −0, 01 ≤ y ≤ 3,3; y ∈ Z y ∈ {0,1, 2,3} Thay vào ta Nếu y = ⇒ 3x − x =  x=  ⇔ 3x − x = ⇒  x = Nếu y = ⇒ 3x + x − = Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn x = ⇔ 3x + x − = ⇒   x = −5  Nếu y = ⇒ 3x + x − = ∆ = 25 + 48 = 73 (không phải số phương) Nếu y = ⇒ 3x + x + = ∆ / = 16 − = (không phải số phương) pt cho có nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1) Bài tập: Giải phương trình nghiệm nguyên: 1, x + xy + y − x − y = 2, x − xy + y = x + y Giải: 1, x + xy + y − x − y = ⇔ x + x ( y − ) + y + y = ∆ = y2 − y + − y2 + y ∆ = − 3y Để phương trình cho có nghiệm ngun − y ≥ ⇔ y ≤ ⇔ −1 ≤ y ≤ Nếu y = −1 ⇒ x − x + − x + = x = ⇔ x − 3x + = ⇒  x =1 Nếu y = ⇒ x − x = x = ⇔ x2 − 2x = ⇒  x = Nếu y = ⇒ x + x + − x − = x = ⇔ x2 − x = ⇒  x = Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {(1; −1) , ( 2; −1) , ( 0; ) , ( 2; ) , (1;1) , ( 0;1)} 2, x − xy + y = x + y ⇔ x − x ( y + 1) + y − y = ∆ = y + y + − y + y = −3 y + y + Để phương trình cho có nghiệm nguyên ∆ ≥ ⇔ −3 y + y + ≥ ⇔ −0,154 ≤ y ≤ 2,154 y ∈ {0;1; 2} Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn Nếu y = ⇒ x − x = x = ⇔ x2 − x = ⇒  x = Nếu y = ⇒ x − x = x = ⇔ x2 − 2x = ⇒  x = Nếu y = ⇒ x − x + = x = ⇔ x − 3x + = ⇒  x =1 Vậy phương trình cho có nghiệm ngun: ( x, y ) = {( 0; ) , (1;0 ) , ( 0;1) , ( 2;1) , (1; ) , ( 2; )} Dạng Nếu ∆ y = ay + by + c có hệ số a số phương Để phương trình f( x , y ) = có nghiệm ∆ y = m từ tìm nghiệm y suy nghiệm lại x Ví dụ : giải phương trình nghiệm ngun: 1, x + y + 3xy − x − y = ⇔ x + (3 y − 2) x + y − y − = Coi phương trình phương trinh bậc hai ẩn x ∆ y = y − y + 16 + 12 Để pt cho có nghiệm ∆ y = m ∆ y = y − y + 16 + 12 = m2 ⇔ m − ( y − 4) = 12 (m − y + 4)(m + y − 4) = 12 = 2.6 = −2.(−6) Vì(m+y-4) ≥ (m-y+4)Và chúng có tính chẵn lẻ.Nên m − y + = m = ⇔ Thay y=6 vào pt cho ta có:  m + y − = y =   x + 72 + 18 x − x − 12 = ⇔ x + 16 x + 60 = Pt vô nghiệm  m − y + = −6 m = −4 ⇔   m + y − = −2 y = Pt đ ã cho vô nghiệm 2, xy − y − 3x + x = ⇔ x − x ( y − 3) − y − = Coi phương trình phương trinh bậc hai ẩn x ∆ y = y − y + + 24 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 10 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn Để pt cho có nghiệm ∆ y = m ∆ y = y + y + + 32 = m ⇔ m − ( y + 1)2 = 32 ( )( m − y + ) = 32 Do ( m + y + ) ≥ ( m − y + ) Và ( m + y + ) ; ( m − y + ) có tính chẵn lẻ, ( m + y + ) ≥ nên ( m − y + ) ≥ Ta có ⇔ m + y +1  m ∗ m  m  ∗  m m = ±9  m = ⇔ ⇔  y = 6; −8 + y + = 16  y + = − y +1 =  m =  m = ±6 ⇔ ⇔  y = 1; −3 + y +1 =  y + = − y +1 = Nếu y = ⇒ x − 3x − 12 + x − = ⇔ x + 3x − 18 = −3 + −3 − = ; x2 = = −6 2 Nếu y = −8 ⇒ x − 3x + 16 − x − = ⇔ x − 11x + 10 = phương trinh có nghiệm: x1 = 1; x2 = 10 ∆ = + 4.18 = 81 ⇒ x1 = Nếu y = ⇒ x − x − + x − = ⇔ x − x − = ∆ / = + = ⇒ x1 = + = ; x2 = − = −2 Nếu y = −3 ⇒ x − x + − 3x − = ⇔ x − x = ⇒ x1 = ; x2 = Vậy phương trình cho có nghiệm ngun: ( x, y ) = {( 3;6 ) , ( −6;6 ) , (10; −8) , (1; −8 ) , ( 4;1) , ( −2;1)( 0; −3)( 6; −3)} 3, x + xy + y − x y = ( ) ⇔ x − y + xy + y = Coi phương trình phương trinh bậc hai ẩn x ( ) ( ∆ y = y2 − y2 − y2 = y2 − y2 + y4 = y4 − y2 = y2 y2 − ) Để pt cho có nghiệm ∆ y số phương ( ⇒ y − = m2 ⇔ y − m = ⇔ y − m 2 )( 2y + m ) =  y = ±1  y − m =  y = ∗ ⇔ ⇔  m = ±1  y + m =  m = Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 11 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn Nếu y = ⇒ x + x + − x = ⇔ x + = ⇔ x = −1 Nếu y = -1 ⇒ x − x + − x = ⇔ − x + = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {( −1;1) , (1; −1) } d.Phương pháp thứ tư: dùng tính chất số phương: Nếu phương trình f( x , y ) = có dạng A2( x , y ) = B( x ) A2( x, y ) = B( y ) Thì  B( x ) = m2  B( y ) = m    B( x ) ≥  B( y ) ≥ Ví dụ: Tìm nghiệm ngun dương phương trình; x + ( x + y ) = ( x + 9)2 ⇔ ( x + y − 9) = 9(9 − y ) Do 18-2y chẵn và18-2y