SKKN: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN MỸ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Họ tên: Đơn vị: Nguyễn Văn Hiến THCS Đoàn Thị Điểm - Yên Mỹ - Hưng Yên Năm học 2012 - 2013 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN Cơ sở lí luận Cơ sở thực tiễn .3 II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu .5 Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình đối xứng loại Hệ phương trình đối xứng loại hai II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC Phương pháp biến đổi tương đương DẠNG 1: Trong hệ có phương trình bậc ẩn x hay ẩn y DẠNG 2: Một hai phương trình hệ đưa dạng tích 14 Phương pháp đặt ẩn phụ 19 Phương pháp đánh giá 25 C THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 29 I GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM 29 II KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC VÀ SAU KHI DẠY THỰC NGHIỆM 35 Kết kiểm tra trước tiến hành dạy thực nghiệm 35 Kết kiểm tra sau tiến hành dạy thực nghiệm 36 So sánh đối chứng trước sau tiến hành thực nghiệm 36 D KẾT LUẬN 37 I NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ 37 II BÀI HỌC KINH NGHIỆM 38 III KIẾN NGHỊ VỀ VIỆC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 39 IV KẾT LUẬN CHUNG 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị §iĨm, Yªn Mü, H­ng Yªn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN Cơ sở lí luận Kiến thức phương trình, hệ phương trình chương trình tồn bậc học phổ thơng nội dung quan trọng, tảng để giúp học sinh tiếp cận đến nội dung khác chương trình tốn học, vật lí học, hố học, sinh học bậc học Trong chương trình tốn bậc học phổ thông, lớp học sinh học hệ phương trình, bắt đầu hệ hai phương trình bậc hai ẩn Cùng với học sinh học hai quy tắc biến đổi tương đương hệ phương trình “Quy tắc thế”; “Quy tắc cộng đại số” Trong chương trình tốn lớp lớp học sinh học đầy đủ phương trình ẩn như: phương trình bậc ẩn; phương trình tích; phương trình chứa ẩn mẫu; phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phương trình chứa dấu Thơng qua việc học dạng phương trình học sinh trang bị tương đối đầy đủ phương pháp giải phương trình đại số, điều đồng nghĩa với việc học sinh trang bị phương pháp giải hệ phương trình khơng phải hệ hai phương trình bậc hai ẩn Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng hệ, khơng có đường lối chung cho việc giải hệ đó, ta gọi hệ dạng hệ phương trình khơng mẫu mực Việc giải hệ phương trình khơng mẫu mực địi hỏi học sinh phải nắm vững phương pháp biến đổi tương đương hệ phương trình, phép biến đổi tương đương phương trình, đặc biệt học sinh phải tinh ý phát đặc điểm riêng hệ từ có cách biến đổi hợp lí nhờ giải hệ Cơ sở thực tiễn Tuy nội dung chương trình tốn lớp lớp trang bị cho học sinh đầy đủ kiến thức phương trình h phng trỡnh i s cựng cỏc Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yªn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP phương pháp giải Trong đó, việc trang bị phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực không đề cập tới sách giáo khoa hệ thống sách tham khảo có dành cho học sinh trung học sở Việc giải hệ phương trình khơng mẫu mực địi hỏi học sinh phải vận dụng khéo léo kiến thức học để có cách biến đổi hợp lí riêng hệ phương trình cho, điều đánh giá trình độ kiến thức học sinh Chính vậy, nội dung đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn tốn 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Hưng Yên, đề thi khảo sát chất lượng học kì mơn toán nhiều năm gần Sở Giáo dục Đào tạo Hưng Yên xuất câu hỏi yêu cầu học sinh phải giải hệ phương trình khơng mẫu mực, với mục đích phân loại đối tượng học sinh Không vậy, nội dung đề thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên trường Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm Hà Nội mơn tốn vịng 1, vịng ln xuất câu hỏi giải hệ phương trình thuộc kiểu hệ khơng mẫu mực Tài liệu tham khảo giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi viết riêng cho chun đề giải hệ phương trình khơng mẫu mực khơng có, giáo viên dạy gặp nhiều khó khăn lúng túng dạy đến chuyên đề Vì vậy, dạy đến nội dung giáo viên thường dạy lướt qua số ví dụ minh hoạ chưa làm rõ đường lối chung để giải hệ phương trình khơng mẫu mực Chính lí mang tính lí luận thực tế mà tơi chọn sáng kiến “Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9” II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm nhằm mục đích tập hợp, xếp hệ thống phương pháp thường sử dụng để giải hệ phương trình khơng mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp cấp trung hc c s Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên MT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Nhiệm vụ cần đạt: - Chỉ kiến thức hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm vững trước tiếp cận với phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực - Đưa hệ thống phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực có xếp hợp lơgíc mặt tư kiến thức môn - Xây dựng hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh theo phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có tập luyện tập khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có hệ thống tập minh hoạ phong phú cho tứng phương pháp Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm hệ thống phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực, điểm học sinh cần lưu ý tiến hành giải hệ phương trình loại Phương pháp nghiên cứu Để hồn thiện sáng kiến tơi sử dụng phương pháp nghiên cưu sau: - Phương pháp vật biện chứng vật lịch sử - Phương pháp trừu tượng hố khoa học - Phương pháp phân tích tổng hợp - Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê - Phương pháp số liệu, hệ thống hoá … vấn, điều tra, khảo sát điều tra thực tế B NỘI DUNG I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn hệ có dạng: Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yªn Mü, H­ng Yªn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP  ax  by  c  a ' x  b ' y  c ' (1) (2) a, b, c, a’, b’, c’ số cho trước, a  b  a '2  b '2  Nghiệm hệ cặp số  x; y  thoả mãn đồng thời hai phương trình (1) (2) hệ Giải hệ tức tìm tất nghiệm hệ Cách giải: Trong chương trình toán trung học sở để giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn ta thường sử dụng hai phương pháp: - Phương pháp nhờ sử dụng quy tắc thế; - Phương pháp cộng đại số nhờ sử dụng quy tắc cộng đại số Để minh hoạ cho hai phương pháp ta xét ví dụ sau: 3 x  y  2 x  y  Ví dụ Giải hệ phương trình  (1) (2) Lời giải: Cách 1: (Sử dụng phương pháp thế) - Từ phương trình (2) hệ, rút y theo x ta có y   x Thay vào phương trình (1) hệ ta được: x    x   Hay x  14 - Theo quy tắc hệ phương trình cho tương đương với hệ phương trình 7 x  14 x    y   2x y 1 sau:  Vậy hệ có nghiệm  x; y    2; 1 Cách 2: (Sử dụng phương pháp cộng đại số) - Nhân hai vế phương trình (2) với cộng với phương trình (1) vế với vế ta được:  x  y    x  y   10  Hay x  14 - Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình cho tương đương với hệ 7 x  14 x   2 x  y  y  phương trình sau:  Vậy hệ có nghiệm  x; y   2; Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên MT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Nhận xét: Trong chương trình tốn lớp 10 cấp THPT học sinh bắt đầu tiếp cận đến việc giải hệ phương trình phương pháp sử dụng định thức cấp Bằng phương pháp sử dụng định thức ta giải hệ phương trình sau: 3 x  y  có: 2 x  y  Hệ phương trình  D 2 2  3.1  2.2   0; Dx   4.1  5.2  14; Dy   3.5  2.4  5 Dx 14   x  D   Suy hệ có nghiệm nhất:   y  Dy    D Hệ phương trình đối xứng loại Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình hệ cho đối xứng với hai ẩn x y (nghĩa phương trình hệ khơng thay đổi ta đổi vai trị x y cho nhau) Tính chất: Nếu (x 0; y0) nghiệm hệ (y0; x 0) nghiệm hệ Cách giải thường dùng: Đặt S  x  y P  xy , với điều kiện S2  4P  đưa hệ cho hệ đơn giản biết cách giải  x  y  xy  11 Ví dụ Giải hệ phương trình  2  x  y   x  y   28 Lời giải: Đặt S  x  y P  xy , hệ cho có dạng: (1)  S  P  11   S  P  3S  28 (2) Từ (1) suy P  11  S , thay vào phương trình (2) ta được: S  11  S   3S  28 hay S  5S  50  Phương trình có hai nghiệm phân biệt: S 5; S 10 Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP * Nếu S  P  6, nên x, y nghiệm phương trình bậc hai: t  t  5t     t   t  3    t  Suy  x; y    2; 3  x; y    3;  * Nếu S  10 P  21, nên x, y nghiệm phương trình bậc hai:  t  3 t  10t  21    t   t       t  7 Suy  x; y    3;    x; y    7;   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  2;  ;  3;  ;  3;   ;  7;   Hệ phương trình đối xứng loại hai Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại hai hệ phương trình, đổi vai trị x y cho phương trình trở thành phương trình Tính chất: Nếu (x 0; y0) nghiệm hệ (y0; x 0) nghiệm hệ Cách giải thường dùng: Trừ vế tương ứng hai phương trình nhận x  y  phương trình tích dạng  x  y  f  x, y      f  x, y   Từ hệ cho tương đương với hai hệ đơn giản giải  x3   y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau:   y   x (2) Lời giải: Trừ vế phương trình (1) cho phương trình (2) ta được: x3  y3   y  x    x  y   x  xy  y    y   x  y  (V × x  xy  y    x    y   x, y ) 2   y  x 2 Thay y  x vào phương trình (1) ta được: Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yªn Mü, H­ng Yªn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP x  x  x     x  1  x  x  1     x  1   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: 1; 1 ;          1   ; ;   ;   2 2     II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC Phương pháp biến đổi tương đương Để biến đổi tương đương hệ phương trình sử dụng quy tắc biến đổi tương đương quy tắc thế, quy tắc cộng đại số Cùng với ta cần kết hợp phép biến đổi tương đương phương trình trình biến đổi quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình phương lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất nhân tử chung,… Nhìn chung việc biến đổi tương đương hệ phương trình loại địi hỏi người làm phải khéo léo linh hoạt bước biến đổi Ta vận dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ không mẫu mực tình sau DẠNG 1: Trong hệ có phương trình bậc ẩn x hay ẩn y x  y 1  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  xy   Lời giải: Ta có: x  y 1   2  x  y  xy    x  y   2  y  1  y  y  y  1    x  y   5 y  y  1    x  y    x  1   y  y      x  y 1  x      y  y Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Vậy hệ có hai nghiệm:  1;  ; 1; 1 Nhận xét: Phương trình thứ hệ phương trình bậc hai ẩn nên ta rút x theo y ( y theo x ) vào phương trình cịn lại hệ, theo quy tắc ta nhận hệ tương đương Trong hệ nhận có phương trình phương trình ẩn, nhờ ta giải hệ Trong lời giải trên, ta tính x theo y từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai Ta tính y theo x vào phương trình thứ hai hệ, nhiên việc biến đổi hệ trở nên phức tạp xuất mẫu số Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 2  x  y  1 x  y  1  x  x    xy  x   x (1) (2) Lời giải: Nhận thấy x  không thoả mãn phương trình (1) hệ nên hệ khơng có nghiệm  0; y  Khi x  từ phương trình (2) ta có y   x2  thay vào phương trình (1) ta x được:   x   x2   x   x    3x  x  x    x   x 1   y   x  x  1 x  1   x  1 x  1   x2   y 1   x  x   x    x  x  1  x       y  1    x  2      x  2 x2   x 1  y 1   x   y    y   x   2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: 1;  1 ; 2; Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yªn 2 10 ... Mü, H­ng Yªn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP phương pháp giải Trong đó, việc trang bị phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực khơng... 13 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP hệ số hạng tử phương trình học sinh tiếp cận với cách biến đổi tương tự BÀI TẬP Bài 1: Giải hệ phương trình. .. Mü, H­ng Yªn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Vậy hệ có hai nghiệm:  1;  ; 1; 1 Nhận xét: Phương trình thứ hệ phương trình bậc hai