skkn một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

Thông qua việc học các dạng phương trình trên học sinhđược trang bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đạisố, điều này đồng nghĩa với việc họ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

Họ và tên: Nguyễn Văn Hiến

Đơn vị: THCS Đoàn Thị Điểm - Yên Mỹ - Hưng Yên

Năm học 2012 - 2013

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 2

I LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN 2

1 Cơ sở lí luận 2

2 Cơ sở thực tiễn 2

II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3

1 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 3

2 Đối tượng nghiên cứu 4

3 Phương pháp nghiên cứu 4

B NỘI DUNG 4

I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ 4

1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 4

2 Hệ phương trình đối xứng loại một 6

3 Hệ phương trình đối xứng loại hai 7

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 8

1 Phương pháp biến đổi tương đương 8

DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y 8

DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích 13

2 Phương pháp đặt ẩn phụ 18

3 Phương pháp đánh giá 24

C THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 28

I GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM 28

II KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC VÀ SAU KHI DẠY THỰC NGHIỆM 34

1 Kết quả kiểm tra trước khi tiến hành dạy thực nghiệm 34

2 Kết quả kiểm tra sau khi tiến hành dạy thực nghiệm 35

3 So sánh đối chứng trước và sau tiến hành thực nghiệm 35

D KẾT LUẬN 36

I NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ 36

II BÀI HỌC KINH NGHIỆM 37

III KIẾN NGHỊ VỀ VIỆC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 38

IV KẾT LUẬN CHUNG 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

A MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN

1 Cơ sở lí luận

Kiến thức về phương trình, hệ phương trình trong chương trình toàn củabậc học phổ thông là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúphọc sinh tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trình toán học, vật líhọc, hoá học, sinh học của bậc học này

Trong chương trình toán của bậc học phổ thông, bắt đầu từ lớp 9 họcsinh được học về hệ phương trình, bắt đầu là hệ hai phương trình bậc nhất haiẩn Cùng với đó học sinh được học hai quy tắc biến đổi tương đương một hệphương trình là “Quy tắc thế”; “Quy tắc cộng đại số” Trong chương trìnhtoán lớp 8 và lớp 9 học sinh được học khá đầy đủ về phương trình một ẩnnhư: phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình tích; phương trình chứa ẩn ởmẫu; phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phươngtrình chứa dấu căn Thông qua việc học các dạng phương trình trên học sinhđược trang bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đạisố, điều này đồng nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giảihệ phương trình không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ,không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng này

là hệ phương trình không mẫu mực Việc giải các hệ phương trình không mẫu

mực đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tươngđương một hệ phương trình, các phép biến đổi tương đương một phươngtrình, đặc biệt học sinh phải rất tinh ý phát hiện ra những đặc điểm rất riêngcủa từng hệ từ đó có cách biến đổi hợp lí nhờ đó mới có thể giải được hệ

2 Cơ sở thực tiễn

Tuy trong nội dung chương trình toán lớp 8 và lớp 9 đã trang bị cho họcsinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình và hệ phương trình đại số cùng các

phương pháp giải Trong khi đó, việc trang bị các phương pháp giải hệ phươngtrình không mẫu mực hầu như không được đề cập tới trong sách giáo khoa vàngay cả hệ thống sách tham khảo hiện có dành cho học sinh trung học cơ sở.Việc giải được các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinhphải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợplí đối với riêng từng hệ phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độkiến thức của học sinh Chính vì vậy, trong nội dung các đề thi học sinh giỏicấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Hưng Yên,

đề thi khảo sát chất lượng học kì 2 môn toán 9 nhiều năm gần đây của SởGiáo dục và Đào tạo Hưng Yên luôn xuất hiện các câu hỏi yêu cầu học sinhphải giải các hệ phương trình không mẫu mực, với mục đích phân loại đốitượng học sinh Không những vậy, trong nội dung đề thi tuyển sinh vào khốiTHPT chuyên của trường Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm Hà Nội ở môntoán vòng 1, vòng 2 luôn xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình thuộckiểu hệ không mẫu mực

Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinhgiỏi viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực không có,chính vì thế giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng khi dạy đếnchuyên đề này Vì vậy, khi dạy đến nội dung này giáo viên thường dạy lướtqua bằng một số ví dụ minh hoạ chưa làm rõ được những đường lối chung đểgiải các hệ phương trình không mẫu mực

Chính vì những lí do mang tính lí luận và thực tế trên mà tôi chọn sáng

kiến của mình là “Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9”.

II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG

PHÁP NGHIÊN CỨU.

1 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thốngcác phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình không mẫumực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 của cấp trung học cơ sở

Nhiệm vụ cần đạt:

- Chỉ ra được kiến thức về hệ phương trình có liên quan mà học sinh cầnnắm vững trước khi tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình khôngmẫu mực

- Đưa ra hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực

có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn

- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinhtheo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tậpkhắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạphong phú cho tứng phương pháp

2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là hệ thống cácphương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực, những điểm học sinh cầnlưu ý khi tiến hành giải các hệ phương trình loại này

3 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thiện sáng kiến này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cưu sau:

- Phương pháp duy vật biện chứng và duy vật lịch sử

- Phương pháp trừu tượng hoá khoa học

- Phương pháp phân tích tổng hợp

- Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê

- Phương pháp số liệu, hệ thống hoá … phỏng vấn, điều tra, khảo sátđiều tra thực tế

(1) ' ' ' (2)

trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước, a2 b2  0 và a' 2 b' 2  0

Nghiệm của hệ là cặp số x y;  thoả mãn đồng thời hai phương trình (1) và (2) của hệ Giải hệ tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ

Cách giải:

Trong chương trình toán trung học cơ sở để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta thường sử dụng hai phương pháp:

- Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế;

- Phương pháp cộng đại số nhờ sử dụng quy tắc cộng đại số

Để minh hoạ cho hai phương pháp này ta xét ví dụ sau:

Ví dụ Giải hệ phương trình 32x x y 2y5 (2)4 (1)



Lời giải:

Cách 1: (Sử dụng phương pháp thế)

- Từ phương trình (2) của hệ, rút y theo x ta có y  5 2x Thay vào phươngtrình (1) của hệ ta được: 3x 2 5 2  x  4 Hay 7x 14

- Theo quy tắc thế hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ;  2; 1 

Cách 2: (Sử dụng phương pháp cộng đại số)

- Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 rồi cộng với phương trình (1) vếvới vế ta được: 4x 2y  3x 2y 10 4  Hay 7x 14

- Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ

phương trình sau: 72x x y14 5 x y21

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ;  2; 1 

Nhận xét: Trong chương trình toán lớp 10 của cấp THPT học sinh mới bắt

đầu tiếp cận đến việc giải hệ phương trình trên bằng phương pháp sử dụngđịnh thức cấp 2 Bằng phương pháp sử dụng định thức ta có thể giải hệphương trình trên như sau:

Hệ phương trình 32x x y 2y54

x

y

D x D D y D

2 Hệ phương trình đối xứng loại một

Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối

xứng loại một nếu mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y (nghĩa là mỗi phương trình của hệ không thay đổi khi ta đổi vai trò của x và y cho nhau)

Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ

Cách giải thường dùng: Đặt S x y  và P xy , với điều kiện S 2  4P 0  đưa hệ đã cho về hệ đơn giản hơn đã biết cách giải

Ví dụ Giải hệ phương trình

* Nếu S 5 thì P 6, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: 2; 3 ; 3; 2 ; 3; 7 ; 7; 3         

3 Hệ phương trình đối xứng loại hai

Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối

xứng loại hai nếu trong hệ phương trình, khi đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia

Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ

Cách giải thường dùng: Trừ các vế tương ứng của hai phương trình thì nhận

được phương trình tích dạng    

Từ đó hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản hơn có thể giải được

Ví dụ Giải hệ phương trình sau:

3 3

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

1 Phương pháp biến đổi tương đương

Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quytắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng đại số Cùng với đó tacần kết hợp các phép biến đổi tương đương một phương trình trong quá trìnhbiến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bìnhphương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung,…Nhìn chung việc biến đổi tương đương các hệ phương trình loại này đòihỏi người làm phải rất khéo léo và linh hoạt trong từng bước biến đổi Ta cóthể vận dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ không mẫu mựctrong các tình huống sau

DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau: 2 2 2 1 0

Vậy hệ có hai nghiệm:  1; 0 ; 1; 1   

Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên

ta có thể rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ, theo quy tắc thế ta nhận được một hệ mới tương đương Trong hệ mới nhận được có một phương trình là phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ Trong lời giải trên, ta đã tính x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai Ta cũng có thể tính y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai của hệ, tuy nhiên việc biến đổi hệ tiếp theo sẽ trở nên phức tạp vì xuất hiện mẫu số.

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:

1 1

1 1

1

2

2 1

x

x y

x

x x

y

x

x x

Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên

ta tiến hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ Tuy nhiên việc tính y theo x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét

0; y không là nghiệm của hệ để từ đó với x 0 ta có thể tính y 1 x2 1

x



hệ nhận được tương đương với hệ đã cho

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau

10 0

17 2

y x

x

y x

y

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:  1; 17 ; 2; 24     

Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào

là phương trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc cộng đại số trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình là phương trình bậc nhất hai ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau  

*) Dễ thấy x y 0 là nghiệm của hệ

*) Các cặp số x y víi ;  x 0; y0 hay x 0; y 0  đều không là nghiệm

*) Với xy 0. Chia cả hai vế của mỗi phương trình trong hệ cho xy 0 ta được:

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:

Nhận xét: Để giải hệ trên ta có thể biến đổi ngay từ hệ ban đầu nhờ quy tắc

cộng đại số như sau:

x y xy x y xy y

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: 1; 2 ; 2; 1     

Nhận xét: Rõ ràng với ví dụ 5 này việc tìm ra được cách biến đổi để giải

được hệ phương trình trên như trên là khá khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh lớp 9 Với ví dụ này, đòi hỏi học sinh phải nhận xét hết sức tinh tế các hệ số của từng hạng tử trong mỗi phương trình và học sinh đã được tiếp cận với cách biến đổi tương tự như trên.

9 7)

a) Giải hệ phương trình khi m = 3.

b) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích.

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau

Nhận xét: Trong hệ phương trình trên, phương trình thứ nhất chính là

phương trình đẳng cấp bậc hai, tuy nhiên đối với học sinh lớp 9 không nên giải bằng cách đặt x = ky vì với cách giải này học sinh rất khó hiểu tại sao lại nghĩ ra cách đặt đó Chính vì vậy, khi dạy giáo viên nên hướng dẫn học sinh hãy phân tích phương trình thứ nhất về dạng tích và biến đổi tiếp như cách giải trên.

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau:

x y

x y

 

2 2

ó ta đ ợc nghiệm của hệ l à tham số)

Khi đó ta đ ợc nghiệm của hệ l à tham số)

Vậy tập nghiệm của hệ đã cho l à tham số) ; 4; 13 .

Ví dụ 3 Giải hợ̀ phương trình sau

- Với hệ có chứa dấu căn, khi dạy giáo viên cần rèn cho học sinh thói

quen phải đặt điều kiện để các căn thức cùng có nghĩa, trong thực tế học sinh thường quên điều này.

- Để biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng tích, ta cũng có thể

biến đổi như sau:

Nhận xét: Trong hệ trên chưa có phương trình nào của hệ có thể đưa ngay

về dạng tích, tuy nhiên bằng việc cộng vế với vế hai phương trình của hệ theo quy tắc cộng đại số ta nhận được một hệ mới, trong hệ mới này có một phương trình đưa được về dạng tích.

2 Phương pháp đặt ẩn phụ

* Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải phát hiện ra ẩn phụ

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau:

* Nhận thấy mọi cặp số x y;  với y = 0 đều không phải là nghiệm của hệ

* Khi y0, chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được hệ:

 

2

2 2

1

4 1

x

x y y

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau: 

0 9 6 4

2 2

2 2 4

y x

y x

y y

x x

Lời giải: