Luận văn toán học phương pháp toán sơ cấp một số phương trình nguyên liên quan đến đa thức chia đường tròn của học viên Phan Thị Luyện do Tiến sĩ Nguyễn Trọng Hòa hướng dẫn khoa học. Tài liệu gồm 66 trang pdf, được soạn qua chương trình latex, trình bày đẹp. Luận văn gồm ba chương và một số phần khác.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN THỊ LUYỆN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGUYÊN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN THỊ LUYỆN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGUYÊN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HỊA Bình Định - 2012 Mục lục Danh mục ký hiệu iv Danh mục bảng v Mở đầu vi Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính chia hết số nguyên tố 1.1.1 Tính chia hết 1.1.2 Số nguyên tố 1.1.3 Ước chung lớn 1.1.4 1.2 1.3 1.4 Định lý Số học Lý thuyết đồng dư 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Đồng dư tuyến tính 10 1.2.3 Định lý Fermat bé Định lý Wilson 11 Các hàm số học 12 1.3.1 Các hàm có tính chất nhân 12 1.3.2 Phi hàm Euler 12 1.3.3 Hàm số ước số 14 1.3.4 Bậc số nguyên 15 Đồng dư bậc hai 16 ii iii 1.5 Mở rộng trường Bậc mở rộng trường 17 1.5.1 Mở rộng trường 17 1.5.2 Bậc mở rộng trường 18 Thừa số trường bậc hai 19 1.6.1 Sự liên hợp 20 1.6.2 Số nguyên trường bậc hai 21 Kết luận 25 1.6 y n −1 y−1 26 =y 26 Chương Phương trình 2.1 Phương trình q n −1 q−1 2.2 Phương trình xm −1 x−1 q n −1 q−1 = = y y n −1 y−1 xm −1 x−1 = 34 Kết luận 53 Kết luận chung 54 Tài liệu tham khảo 55 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU : Tập số tự nhiên N N ∗ : Tập số tự nhiên khác không Z : Tập số nguyên Q : Tập số hữu tỷ R : Tập số thực C : Tập số phức [x] : Phần nguyên x ∈ R, số nguyên lớn bé x x : Độ cao tối đa x ∈ R, số nguyên bé lớn x #X : Số phần tử tập hợp X max(X) : Số lớn tập số hữu hạn X min(X) : Số bé tập số hữu hạn X pr ||n : Nếu pr lũy thừa lớn p chia hết số nguyên n (a1 , a2 , , ak ) : Ước chung lớn số nguyên a1 , a2 , , ak [a1 , a2 , , ak ] : Bội chung nhỏ số nguyên a1 , a2 , , ak vp (n) : Số mũ lũy thừa cao p chia hết n ϕ(n) : Phi hàm Euler τ (n) : Hàm số ước số n π(n) : Tập ước nguyên tố số nguyên n log(n) : Logarit tự nhiên n exp(x) : ex ordm (a) : Bậc a modulo m v DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1: Các số nguyên trường bậc hai 21 Bảng 2.1: Các nghiệm phương trình (1) 30 vi Mở đầu Lý thuyết nhóm hữu hạn có nhiều ứng dụng giải phương trình đại số nói chung phương trình ngun, nói riêng Chẳng hạn, nghiệm nguyên phương trình Pell x2 − 2y = 1, thực chất, ước đơn vị trường √ √ Q( 2), vậy, từ việc nghiên cứu ước đơn vị Q( 2), ta suy nghiệm phương trình x2 − 2y = Từ lâu, người ta tìm mối liên hệ lý thuyết nhóm hữu hạn lớp phương trình ngun có tập xác định số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố, mà phương trình qn − = y m (∗) q−1 ví dụ Khi nghiên cứu phương trình nguyên q n −1 q−1 = y m , q, n, m, y số nguyên, q > 1, y > 1, n > 2, m ≥ 2, người ta có số nguyên (q, n, y, m) nghiệm đúng, cụ thể 35 − 74 − 183 − = 112 , = 202 , = 73 , 3−1 7−1 18 − nhiên chưa có lời giải cho trường hợp tổng quát Ljunggren ([24]) giải trọn vẹn toán (*) trường hợp m = 2; Ljunggren Nagell [24], [30] giải toán (*) | n, | n Các tác giả chứng minh, trường hợp này, phương trình khơng có nghiệm khác ngồi nghiệm Ở [9], [11], [31], M Bennet, Y Bugeaud N Saradha, T.N Shorey giải hồn tồn tốn q phương lũy thừa số tự nhiên khoảng {2, , 10}, trường hợp này, phương trình có hai nghiệm Trong [10], [12], M Mignotte Y Bugeaud giải toán m ≥ 2, q lũy thừa số nguyên tố p cho p | y − 1, m số nguyên tố ước nguyên tố q ước y − Trong báo Amir Khosravi, Behrooz Khosravi năm 2003, tác giả công bố kết phương trình (*) m = 1; q lũy thừa số nguyên tố p; n số nguyên lẻ số ước nguyên tố y − không vượt sở ứng dụng lý thuyết Nhóm hữu hạn, cho dù trường hợp m = 1, phương trình (*) ln có nghiệm ngun {(q, y) | q ∈ Z, y = q n−1 + q n−2 + + q + 1} vii Nghiên cứu phương trình nguyên yn − xm − = , x > 1, y > 1, m > 2, n > 2, x = y, x−1 y−1 (1) năm 1917, Goormaghtigh ([19]) hai nghiệm là: 31 = 25 − 53 − 213 − 903 − = 8191 = = 2−1 5−1 2−1 90 − Vấn đề nghiệm trên, khơng biết phương trình có hay khơng nghiệm hữu hạn khác Thậm chí, cố định bốn biến câu hỏi mở phương trình (1) có nghiệm Tuy nhiên, x, y, x n m n cố định [8] phương trình (1) chứng minh có nhiều nghiệm hữu hạn Trường hợp x, y, x n cố định, nhờ lý thuyết Baker dạng tuyến tính theo logarith, tính toán cụ thể chặn độ lớn nghiệm Trong [35], Shorey chứng minh rằng: Nếu y > x, phương trình nguyên: yn − xm − = , số nguyên m > 1, n > x−1 y−1 (2) có nhiều 17 nghiệm Người ta −1 = 90−1 ⇔ 89.2 = 88 nghiệm + 90n , với 50 +) Nếu n = vào suy 2m = 92, phương trình khơng có nghiệm ngun +) Nếu n = 3, suy 89.2m = 88 + 903 ⇔ 2m = 8192 = 213 ⇒ m = 13 Vậy (m, n) = (13, 3) nghiệm phương trình +) Nếu n > Suy m > 13 Từ phương trình 89.2m = 88 + 90n ⇔ 89.2m = 88 + 2n 45n Lập luận modulo 16 ta 89.2m ≡ 88 (mod 16) ≡ (mod 16) ⇔ 89.2m−3 ≡ (mod 2), vô lí Vậy phương trình cho có nghiệm (m, n) = (13, 3) Nhận xét M Makowski A Schinzel chứng minh phương trình nguyên (2.2) với y ≤ 10, m > n > có nghiệm (x, y, m, n) = (2, 5, 5, 3), nhiên để đầy đủ đưa chứng minh phát biểu cuối Định lý (2.2.9) Trong Định lý NS m n thay đổi cho tỉ số m−1 n−1 không đổi Điều kiện có nghĩa y khơng q lớn so với x Bây giờ, trình bày hai kết với giả thuyết tương tự Thứ nhất, thấy cải thiện Định lý NS, định lý khơng dẫn đến khẳng định sau Thứ hai, điều tự nhiên khác khơng có hạn chế với m, n x, y mở rộng tập vô hạn Định lý 2.2.11 Cho α > Nếu phương trình (2.1) với (m−1, n−1) ≥ 4α+6+ α1 m−1 n−1 ≤ α max(x, y, m, n) bị chặn số tính tốn phụ thuộc vào α Chứng minh Lấy < φ < α > Ta ký hiệu C1 , C2 , C3 số dương tính tốn phụ thuộc α Giả sử (x, y, m, n) nghiệm phương trình (2.1) cho (m − 1, n − 1) = d ≥ (m − 1)/(n − 1) ≤ α Ta viết m − = dr , n − = ds, r, s số nguyên dương Từ (2.1) suy x ≤ 2y s/r , y ≤ 2xr/s Từ bổ đề (2.2.6) suy d ≤ C1 Theo Định lí (2.2.9), ta giả sử y ≥ C2 với C2 đủ lớn Hơn nữa, ta viết lại (2.1) sau xdr y ds 1 x −y = − , x−1 y−1 x−1 y−1 51 suy y (x − 1) x (y − 1) 1/d − xr < ds s y y (2.28) Bây giờ, áp dụng Bổ đề (2.2.7) với A = x(y − 1), B = y(x − 1), d = n, σ = s K = [2α] + Ta giả sử K < n chọn φ phụ thuộc α thích hợp cho 1+ 1 2−φ + sK + + < 4α + + s α − φ K (1 − φ) α Cuối cùng, đặt δ = + (2 − φ)/K u1 = 40d(K+1)(δ+1−φ)/(Kδ+1−φ) , ta nhận xét −δ −δ A(A − B) u1 −1 > C3 y 1+ α (y − x) > C3 y 1+ α −δ > với C2 đủ lớn Do đó, từ Bổ đề (2.2.7) suy vế trái (2.28) lớn y −s(4α+6+1/α) , hay y −ds > y −s(4α+6+1/α) Suy d < 4α + + α Định lý (2.2.11) không bao hàm Định lý NS điều kiện bắt buộc (m − 1, n − 1) Nếu r s cố định ta bỏ điều kiện Định lý DLS, Định lý NS suy từ Định lý (2.2.11) Trong trình chứng minh Định lý (2.2.11) cần kết bổ trợ (Bổ đề 2.2.6), mà cho phép cải thiện đáng kể Định lý [29] Định lý 2.2.12 Cho (x, y, m, n) nghiệm phương trình (2.1), với y > x Thế thì, (m − 1, n − 1) ≤ 33, 4m1/2 Chứng minh Đặt d = (m − 1, n − 1) Áp dụng Bổ đề (2.2.6) với α = (m − 1)/(n − 1), ta d ≤ 743 m−1 n−1 + Suy d2 ≤ d(n − 1) ≤ 1114, 5m , d ≤ 33, 4m1/2 Nhận xét Định lý [29] khẳng định rằng, tồn số C cho (m − 1, n − 1) ≤ Cm4/5 (log m)3/5 ... ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN THỊ LUYỆN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGUYÊN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... Tập số tự nhiên N N ∗ : Tập số tự nhiên khác không Z : Tập số nguyên Q : Tập số hữu tỷ R : Tập số thực C : Tập số phức [x] : Phần nguyên x ∈ R, số nguyên lớn bé x x : Độ cao tối đa x ∈ R, số nguyên. .. tìm mối liên hệ lý thuyết nhóm hữu hạn lớp phương trình ngun có tập xác định số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố, mà phương trình qn − = y m (∗) q−1 ví dụ Khi nghiên cứu phương trình nguyên q