Luận văn một số phương trình hàm cơ bản và phương pháp giải

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy

L I C M ƠN

Lu n văn này đư c hoàn thành v i s hư ng d n và ch b o t n tình

c a PGS TS Nguy n Nh y Nhân d p này t đáy lòng mình, em xin đư c bày t lòng bi t ơn trân tr ng và sâu s c t i PGS TS Nguy n Nh y, ngư i th y

đã quan tâm, đ ng viên và s ch b o hư ng d n nhi t tình, chu đáo cùng nh

ng l i đ ng viên khích l em trong su t quá trình làm lu n văn

Em cũng xin g i l i c m ơn chân thành c a mình đ n quý Th y Cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin, phòng Sau Đ i h c, phòng Đào t o Trư ng Đ i

H c Khoa h c T nhiên - ĐHQGHN, đ c bi t là nh ng Th y Cô giáo

đã t ng gi ng d y l p PPTSC, khóa h c 2013 - 2015 C m ơn Th y Cô

đã truy n th cho em ki n th c và giúp đ em trong su t quá trình h c t p t i khoa Đ ng th i, em xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao H c Toán PPTSC, khóa h c 2013 - 2015 đã đ ng viên, giúp đ em trong su t quá trình vi t và ch

nh s a lu n văn này

Cu i cùng, em xin g i l i c m ơn đ n nh ng ngư i thân trong gia đình

và b n bè đã luôn ng h , t o đi u ki n thu n l i và nhi t tình giúp đ em trong

M cl c

0.1 M c đích c a đ tài lu n văn 5

0.2 B c c c a lu n văn 5

1 M t s phương trình hàm cơ b n và ví d 7 1.1 M t s phương trình hàm cơ b n 7

1.1.1 Bài toán 1 (Phương trình hàm Cauchy)

71.1.2 T ng quát Bài toán 1 7

1.1.3 Bài toán phương trình hàm Cauchy không có đi u ki n liên t c 8

1.1.4 Bài toán 2 14

1.1.5 T ng quát Bài toán 2 14

1.1.6 Bài toán 3 15 1.1.7 T ng quát Bài toán 3 16 1.1.8 Bài toán 4 16 1.1.9 T ng quát Bài toán 4 17

1.2 Các ví d áp d ng 17

2 M t vài phương pháp gi i phương trình hàm 33 2.1 Phương pháp đ t n ph 33

2.1.1 Phương trình d ng: f ( (x)) = g(x) 33

2.1.2 Các ví d 34

2.2 Phương pháp đưa v h phương trình 40

2.2.1 Phương trình d ng: a(x)f (x) + b(x)f (g(x)) = c(x) 40 2.2.2 Các ví d 41

2.3 Phương pháp chuy n qua gi i h n 52

2.3.1 Các ví d 53

3

M ĐU

C A LU N VĂN Phương trình hàm là phương trình trong đó n s là m t hàm s nào

đó, vi c gi i phương trình hàm là đi tìm các hàm s th a mãn đi u ki n c a đ bài, m i hàm s th a mãn phương trình hàm đư c g i là nghi m c a phương trình hàm C u trúc c a phương trình hàm g m ba ph n chính

ng không theo m t quy t c t ng quát nào c Gi i phương trình hàm đòi h i

ph i có s tư duy sáng t o, v n d ng m t cách linh ho t các ki n th c đã h c vào t ng bài toán c th Vi c tìm ra l i gi i ph thu c vào t ng phương trình hàm c th và m t vài đi u ki n ràng bu c Tuy nhiên cũng có nh ng bài toán

v phương trình hàm có cách gi i g n gi ng nhau, có nh ng phương trình hàm có c u trúc tương t nhau, nh ng đ c trưng cơ b n gi ng nhau Vì th , ta

c n có m t s phân l p các lo i phương hàm đ tìm ra phương pháp gi i đ i di

n cho m i l p Ti p theo ta c n s p x p các phương trình hàm đ có th đưa đư

c v lo i các phương trình hàm

đã kh o sát b ng cách th c nào đó Ti p theo n a, là đưa ra m t s k

thu t đ c trưng đ gi i phương trình hàm Cu i cùng gi ng như các bài toán

đ ng em xin nêu ra m t s đ nh hư ng gi i phương trình hàm mà t m g i là phương pháp Các phương pháp này có đư c là nh vi c phân lo i c u trúc phương trình hàm thành các phương trình hàm t ng quát có cách gi i tương t nhau

Phương trình hàm cũng là m t chuyên đ quan tr ng thu c chương trình toán trong các trư ng THPT đ c bi t là các trư ng chuyên Các bài

toán có liên quan đ n phương trình hàm cũng là các bài t p khó, thư ng

g p trong các kỳ thi h c sinh gi i c p qu c gia, c p khu v c, c p qu c t và các kỳ thi Olympic toán sinh viên.Tuy nhiên, cho đ n nay, h c sinh các trư

ng chuyên, l p ch n nói riêng và ngư i làm toán nói chung còn bi t r t ít các phương pháp chính th ng đ gi i các bài toán v phương trình hàm, th

m chí b lúng túng không đ nh hư ng đư c khi ti p c n m t phương trình hàm

Các tài li u v phương trình hàm còn ít và chưa có m t tài li u nào

trình bày đ y đ các khía c nh c a phương trình hàm Do đó, có th giúp h c sinh ti p c n v i phương trình hàm d dàng hơn và gi i quy t đư c m t s bài toán v phương trình hàm là m t yêu c u h t s c c n thi t nên em ch n đ tài "

M t s phương trình hàm cơ b n và phương pháp gi i "

0.1 M c đích c a đ tài lu n văn

M c đích c a lu n văn là d a trên vi c tìm hi u các phương trình hàm

và các tài li u liên quan đ n phương trình hàm đ hình thành nên phương pháp phân tích, khai thác các d li u, d đoán các hư ng gi i, các k thu t bi n

đ i trên cơ s đó hình thành nên m t s phương pháp cơ b n đ gi i phương trình hàm

0.2 B c c c a lu n văn

Bài lu n văn " M t s phương trình hàm cơ b n và phương pháp

gi i " g m có: M đ u, 3 chương n i dung, k t lu n và tài li u tham kh o

Chương 1 M t s phương trình hàm cơ b n và các ví d

Trong chương này em đưa ra các Bài toán cơ b n c a phương trình hàm

và các nghi m c a bài toán đó Có nhi u Bài toán cơ b n đây đư c gi i

5

thi u trong ([1]) và ([2]) Nh ng bài toán đã có l i gi i trong ([1]) và ([2]),

thì trong Lu n văn này ta ch s d ng k t đ gi i các bài toán khác

Chương 2 M t s phương pháp cơ b n gi i phương trình hàm

Trong chương này em trình bày m t s d ng thư ng g p c a phương trình hàm và m t s phương pháp cơ b n đ gi i các phương trình hàm và các ví d áp d ng

Chương 3 Phương trình hàm v i t p mi n xác đ nh là các t p

s t nhiên

Đó là các phương trình hàm mà t p xác đ nh là t p s t nhiên và các cách gi i khác

Chương 1

M t s phương trình hàm cơ b n và

ví d

Trong chương này ta gi i thi u m t s Bài toán cơ b n và các ví d áp

d ng M t s Bài toán cơ b n đã có l i gi i trong các tài li u quen thu c, c th làtrong tài li u ([1]) và ([2]), thì ta s không trình bày l i gi i mà ch đưa ra k t

qu

Ti p theo trong m c 1.2 c a chương, em đưa ra các ví d c th áp d ng các k t qu c a các Bài toán cơ b n này

1.1 M t s phương trình hàm cơ b n

1.1.1 Bài toán 1 (Phương trình hàm Cauchy)

Xác đ nh các hàm f (x) liên t c trên R th a mãn đi u ki n

f (x + y) = f (x) + f (y),x, y R Bài toán này đã đư c trình bày trong tài li u ([1]) và ([2]),

đưa ra k t qu Nghi m c a bài toán là

f (x) = ax,a R

(1.1)

đây em ch

1.1.2 T ng quát Bài toán 1

Cho a, b R0 Tìm các hàm f (x) xác đ nh, liên t c trên R và th a

mãn đi u ki n

7

V y (1.2) tr thành f (ax + by) = af (x) + bf (y) = f (ax) + f (by)

Khi đó tr v bài toán Cauchy có nghi m là f (x) = cx, v i c R b) N u a + b = 1 thì f (0) là tùy ý Khi đó ta đ t g(x) = f (x) f (0)

Cho x = y = 0 thì g(0) = f (0) f (0) = 0 thay vào (1.2) ta đư c

g(ax + by) + f (0) = a[g(x) + f (0)] + b[g(y) + f (0)]

⇔ g(ax + by) = ag(x) + bg(y)

1.1.3 dư i đây thì l p hàm nh n đư c v n không thay đ i

1.1.3 Bài toán phương trình hàm Cauchy không có đi u ki n

2. f b

ch n trên trên m t kho ng (a; b);

3. f đơn đi u trên R

thì f (x) = ax

Gi i

Trư c h t ta th y r ng n u hàm f : R R th a mãn đi u ki n Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y),x, y R thì

Do đó b ng qui n p thì bi u th c (1.3a) đư c ch ng minh v i n 2, n N

Khi đó t (1.3a) v i x = 0 ta có f (0) = f (n.0) = nf (0). T đó suy ra

f (0) = 0

N u n = 0 ta có f (0.x) = f (0) = 0 = 0.f (x) (đúng)

N u n = 1 ta có f (1.x) = f (x + 0) = f (x) + f (0) = f (x) (đúng) V y

(1.3a) đư c ch ng minh

Hơn n a t (1.3) l y y =x và s d ng f (0) = 0, ta thu đư c

f (x x

f (x) + f (

⇔

f

(0) = f (x) + f (x)

9

(

1.3d)

Trư c h t ta ch ra f liên t c t i 0

Gi sxn là dãy sao cho x n 0, khi đó (xn + x0) x0. L i do f

10

th a mãn Phương trình Cauchy cho nên

b ch n trên trên m t kho ng (a, b) nào đó thì nó b ch n trong m i

kho ng (, ) v i  > 0 tùy ý Ta xét hàm

11

D th y hàm g xác đ nh b i (1.3h) cũng th a mãn Phương trình

Đ ch ng minh đư c đi u đó ta s ch ng minh b đ sau

B đ 1.1 N uxn=1 là m t dãy d n t i 0, thì t n t i m t dãy n

Bây gi ta ti p t c gi i bài toán (b)

Gi sxn=1 là dãy d n t i 0 khi n. Khi đó theo B đ trên n

t n t i r n Q, r n + sao cho x n r n 0 khi n. V y thì v i

n r n

ch mi n giá tr c a bài toán là R+ thì có th t ng quát Bài toán 2 như sau

1.1.5 T ng quát Bài toán 2

Cho a, b R0 Tìm các hàm f : R R+ xác đ nh, liên t c trên

R và th a mãn đi u ki n:

f (ax + by) = [f (x)] a [f (y)] b ,x, y R

Gi i

Theo gi thi t f (x) > 0,x R nên có th đ t

g(x) = ln f (x)

Bài toán đư c quy v xác đ nh hàm g xác đ nh, liên t c trên R và th a mãn đi u ki n

g(ax + by) = ag(x) + bg(y),x, y R,

theo cách gi i c a Bài toán t ng quát c a Bài toán 1 ta có

Xác đ nh các hàm f (x) liên t c trên R0 và th a mãn đi u ki n:

f (x.y) = f (x).f (y),x, y R

Bài toán này đã đư c trình bày trong tài li u ([1]) và ([2]),

đưa ra k t qu Nghi m c a bài toán là:

Nh n xét 1.3 N u h n ch mi n xác đ nh và mi n giá tr c a bài toán

là R+ thì ta có th t ng quát hóa như sau

15

1.1.7 T ng quát Bài toán 3

Cho a, b R0 Tìm f : R+ R+ xác đ nh, liên t c trên R+ và

th a mãn đi u ki n

f (x a y b ) = [f (x)] a [f (y)] b ,x, y R+

Gi i

Do x > 0, y > 0 nên ta có th đ t u = ln x, v = ln y, khi đó t gi thi t

c a bài toán ta đư c

f (e au+bv ) = [f (e u)]a [f (e v)]b ,u, v R.

Ta đ t g(x) = f (e x) bài toán quy v tìm hàm g : R R+ xác đ nh, liên

t c trên R và th a mãn đi u ki n

g(ax + by) = [g(x)] a [g(y)] b ,x, y R.

S d ng k t qu c aBài toán t ng quát c a Bài toán 2 ta đư c

1 N u a + b = 1 thì f (x) = e c ln x ,c R tùy ý

2 N u a + b = 1 thì f (x) = e c ln x+d ,c, d R tùy ý

1.1.8 Bài toán 4

Xác đ nh các hàm f (x) liên t c trên R0 và th a mãn đi u ki n:

f (x.y) = f (x) + f (y),x, y R

Bài toán này đã đư c trình bày trong tài li u ([1]) và ([2]), đây em ch đưa ra k t qu Nghi m c a bài toán là

f (x) = b lnx v i b R tùy ý

Nh n xét 1.4 N u h n ch mi n xác đ nh là R+ thì ta có th t ng quát bài toánnhư sau

1.1.9 T ng quát Bài toán 4

Cho a, b R0 Tìm f : R+ R+ xác đ nh, liên t c trên R+ và

th a mãn đi u ki n

f (x a y b ) = af (x) + bf (y),x, y R+

Gi i

Do x > 0, y > 0 nên ta có th đ t e u = x, e v = y,u, v R , khi đó t

gi thi t c a bài toán ta đư c

f (e au+bv ) = af (e u ) + bf (e v ),u, v R

Ta đ t g(x) = f (e x) bài toán quy v tìm hàm g : R R+, xác đ nh liên

t c trên R và th a mãn đi u ki n

g(ax + by) = ag(x) + bg(y),x, y R.

S d ng k t qu c a Bài toán t ng quát c a Bài toán 1 ta đư c

Dư i đây là các ví d áp d ng các Bài toán cơ b n trên

Ví d 1.1 Xác đ nh hàm s f liên t trên R th a mãn đi u ki n: c

g(x + y) = g(x) + g(y)

Theo k t qu c a Bài toán 1, ta có nghi m là:

g(x) = x, R

18

V

y khi đó nghi m c a bài toán là

f (x) =ax2 + x, R

2

Ví d 1.3 ( Đ thi hoc sinh gi i Qu c gia 2006)

Xác đ nh các hàm s f liên t c trên R, l y giá tr trong R và th a mãn

Ta đ t g(x) = log2 (f (x))⇒ f (x) =2 g(x), do f liên t c trên R nên g

cũng liên t c trên R Thay vào phương trình (1.3) ta đư c

⇒ g(x) = ax + 1,a R

⇒ f (x) =2 ax+1 ,a R

Ví d 1.4 Xác đ nh các hàm s f liên t c trên R th a mãn đi u ki n

f [2015f (x) + f (y)] = 2015x + y,x, y R (1.4)

f (2015.2016x+2016y) = f (2015.2016x)+f (2016y) (1.4e)

Đ t u = 2015.2016x; v = 2016y thay vào (1.4e) ta đư c

f (u + v) = f (u) + f (v)

Đ n đây bài toán tr v Bài toán 1 có nghi m là

f (x) thì g(x) liên t c và (1.5a) tr thành

a g(xy) = g(x).g(y),x > 0; y > 0.

21

⇔ (xy) = (xy),x > 0; y > 0 (vô lý)

2 N u  =1 thì f (x) = a thay vào (1.5) ta đư c

f (x + y) + 1 = f (x) + 1 + f (y) + 1 + f (x)f (y) 1,x, y R

Đ t g(x) = f (x) + 1⇔ f (x) = g(x) 1 thay lên (1.7a) ta đư c

23

Khi đó hàm g th a mãn đi u ki n Cauchy và vì f liên t c t i x = 0 nên

g cũng liên t c t i x = 0, do đó tr v Bài toán 1.1.3 có nghi m là

Ví d 1.9 (Theo BMO 1997, 2000) Xác đ nh các hàm s f liên t c

x

Vì f 2(x) = x2,x R, khi đó x y ra hai trư ng h p:

25

1 N u f (1) = 1⇒ x = 1, thay vào (1.9) ta có f (1 + f (y)) = 1 + y bình phương hai v c a đ ng th c lên ta đư c

(1+y)2 = f 2(1+f (y)) = (1+f (y))2 = 1+2f (y)+f 2(y) = 1+2f (y)+y2

⇒ 1 + 2y + y2 = 1 + 2f (y) + y2

⇔ f (y) = y,y R

2 N u f (1) =1⇒ x =1, thay vào (1.9) ta có f (1 + f (y)) = 1 + y

bình phương hai v c a đ ng th c lên ta đư c

(1+y)2 = f 2(1+f (y)) = (1+f (y))2 = 12f (y)+f 2(y) = 12f (y)+y2

Ví d 1.11 (Đ thi ch n hoc sinh gi i Qu c gia 2010) Tìm t t c

các hàm liên t c f : R+ R+ th a mãn các đi u ki n sau:

f [f (xy)xy]+xf (y)+yf (x) = f (xy)+f (x).f (y),x, y > 0 (1.11)

Gi i

Phương trình (1.11) tương đương v i phương trình sau

f [f (xy)xy][f (xy)xy] = [f (x)x].[f (y)y],x, y > 0 (1.11a)

Đ t f (x) x = g(x) vì f (x) liên t c trên R+ nên g : R+ R+ và cũng

liên t c Khi đó (1.11a) tr thành

Đ t g(1) = a cho y = 1 thì (1.11b) tr thành

khi đó g(x) = ah(x) = a.x,x > 0

V y nghi m c a bài toán

29

Đ t n = g(  + 1); m = f ( + 1) f ()

thay vào bi u th c trên ta đư c

f (x + n) = mx

Do đó f là hàm tuy n tính và g cũng là hàm tuy n tính Khi đó ta gi s

f (x) = ax + b và g(x) = cx + d, thay vào phương trình đã cho ta có

a[x + (xy + d)] + b = x(ay + b) y(ax + b) + cx + d

Do đó ta có th đ t  =g(0)

Ta gi s f (0) = b = 0 Thay x = g(x) vào phương đã cho ta đư c

Tương t ta có

f (g(x) + g(y)) = g(y)f (y) xf (g(y)) + g(g(y)) (1.12b)

Thay vào phương trình đã cho x = 0 ta đư c

g(y) = a by v i a = g(0)

Đ c bi t do g là đơn ánh và f là toàn ánh, vì v y t n t i c R sao cho

f (c) = 0

K t h p (1.12a) và (1.12b) ta đư c

thay y = c vào (1.12c) ta đư c

g(g(x)) = g(c)f (x) ax + g(g(c)) + ac = kf (x) ax + d

Do f liên t c t i 0 nên cho n, ta có

N u = ta xét hai trư ng h p sau:

1 N u  =  thì không t n t i hàm f th a mãn đi u ki n đ bài vì

f ( x) = f (x) + x2,x = 0 (vô lý)

2 N u  = thì không t n t i hàm f th a mãn đi u ki n đ bài vì

f ( x) = f (x) + x2,x = 0 (vô lý)

V y n u =, thì không t n t i hàm f th a mãn đi u ki n đ bài

Nh n xét 1.5 Các bài toán trong M c 1.2 này đ u gi thi t liên t c,

nhưng theo Bài toán 1.13, ta ch c n gi thi t hàm th a mãn m t trong ba đi u

ki n đã nêu trong Bài toán 1.13

m t vài d ng đã đư c phân l p Sau đây em xin gi i thi u m t s ý tư ng mangtính ch t đ nh hư ng nh m gi i các phương trình hàm mà em t m g i là phương pháp gi i

Có r t nhi u phương pháp gi i Phương trình hàm nhưng do gi i h n v dung lư ng c a m t lu n văn nên đây em ch gi i thi u m t vài phương pháp cơ b n đ gi i Phương trình hàm

2.1 Phương pháp đ t n ph

2.1.1 Phương trình d ng: f ((x)) = g(x)

Trong phương trình trên (x) và g(x) là nh ng hàm s đã bi t xác

đ nh trên R Ta thư ng đ t t = (x) r i tìm cách gi i ra x = h(t) khi đó

th vào phương trình đã cho ta đư c

f (t) = g(h(t)),t R

33

Hàm s f (x) tìm đư c ph i th l i tr c ti p các yêu c u c a đ bài xem

có th a mãn không r i m i k t lu n là nghi m c a phương trình

34

Ví d 2.4 (Đ thi ch n h c sinh gi i Qu c gia 2000) Tìm t t c

các hàm liên t c f th a mãn các đi u ki n sau:

Gi i

36