Luận văn một số phương trình hàm cơ bản và phương pháp giải

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ VÂN MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ VÂN MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy HÀ NỘI - 2015 L I C M ƠN Lu n văn này đư c hoàn thành v i s hư ng d n và ch b o t n tình c a PGS TS Nguy n Nh y Nhân d p này t đáy lòng mình, em xin đư c bày t lòng bi t ơn trân tr ng và sâu s c t i PGS TS Nguy n Nh y, ngư i th y đã quan tâm, đ ng viên và s ch b o hư ng d n nhi t tình, chu đáo cùng nh ng l i đ ng viên khích l em trong su t quá trình làm lu n văn Em cũng xin g i l i c m ơn chân thành c a mình đ n quý Th y Cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin, phòng Sau Đ i h c, phòng Đào t o Trư ng Đ i H c Khoa h c T nhiên - ĐHQGHN, đ c bi t là nh ng Th y Cô giáo đã t ng gi ng d y l p PPTSC, khóa h c 2013 - 2015 C m ơn Th y Cô đã truy n th cho em ki n th c và giúp đ em trong su t quá trình h c t p t i khoa Đ ng th i, em xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao H c Toán PPTSC, khóa h c 2013 - 2015 đã đ ng viên, giúp đ em trong su t quá trình vi t và ch nh s a lu n văn này Cu i cùng, em xin g i l i c m ơn đ n nh ng ngư i thân trong gia đình và b n bè đã luôn ng h , t o đi u ki n thu n l i và nhi t tình giúp đ em trong th i gian v a qua M c dù đã r t c g ng song do s hi u bi t có h n c a b n thân và khuôn kh c a lu n văn th c sĩ, nên ch c r ng trong quá trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót, em r t mong đư c s ch d y và đóng góp ý ki n c a Th y Cô và đ c gi quan tâm t i Lu n văn này Hà N i, ngày 15 tháng 09 năm 2015 H c viên Vũ Th Vân 1 M cl c 0.1 0.2 M c đích c a đ tài lu n văn B c c c a lu n văn 1 M t s phương trình hàm cơ b n và ví d 1.1 M t s phương trình hàm cơ b n 1.1.1 T ng quát Bài toán 1 7 Bài toán phương trình hàm Cauchy không có đi u ki n liên t c 1.1.4 Bài toán 2 1.1.5 T ng quát Bài toán 2 1.1.6 7 7 Bài toán 1 (Phương trình hàm Cauchy) 71.1.2 1.1.3 5 5 8 14 14 Bài toán 3 15 1.1.7 T ng quát Bài toán 3 16 1.1.8 Bài toán 4 16 1.1.9 T ng quát Bài toán 4 17 1.2 Các ví d áp d ng 17 2 M t vài phương pháp gi i phương trình hàm 2.1 Phương pháp đ t n ph 33 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 Phương trình d ng: f (α(x)) = g(x) 33 Các ví d 34 Phương pháp đưa v h phương trình 40 2.2.1 Phương trình d ng: a(x)f (x) + b(x)f (g(x)) = c(x) 40 2.2.2 Các ví d 41 Phương pháp chuy n qua gi i h n 52 2 33 2.3.1 Các ví d 53 3 Phương trình hàm v i mi n xác đ nh là t p các s t nhiên 69 3.1 Tìm công th c t ng quát c a dãy s b ng cách đưa v c p s 3.2 70 Tìm công th c t ng quát c a dãy b ng phương trình đ c trưng 79 3.2.1 Phương trình đăc trưng c a dãy 79 3.2.2 Áp d ng gi i phương trình hàm 86 3.3 M t s phương trình hàm d ng khác 91 K t lu n 100 Tài li u tham kh o 101 3 M Đ I CƯƠNG V ĐU PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ C U TRÚC C A LU N VĂN Phương trình hàm là phương trình trong đó n s là m t hàm s nào đó, vi c gi i phương trình hàm là đi tìm các hàm s th a mãn đi u ki n c a đ bài, m i hàm s th a mãn phương trình hàm đư c g i là nghi m c a phương trình hàm C u trúc c a phương trình hàm g m ba ph n chính 1 Phương trình hàm cơ b n và các ví d 2 M t vài phương pháp gi i phương trình hàm 3 Phương trình hàm v i t p xác đ nh là t p s t nhiên Phương trình hàm nói chung là m t d ng toán khó c a Gi i tích nói riêng và c a toán h c nói chung Nhìn chung vi c gi i phương trình hàm thư ng không theo m t quy t c t ng quát nào c Gi i phương trình hàm đòi h i ph i có s tư duy sáng t o, v n d ng m t cách linh ho t các ki n th c đã h c vào t ng bài toán c th Vi c tìm ra l i gi i ph thu c vào t ng phương trình hàm c th và m t vài đi u ki n ràng bu c Tuy nhiên cũng có nh ng bài toán v phương trình hàm có cách gi i g n gi ng nhau, có nh ng phương trình hàm có c u trúc tương t nhau, nh ng đ c trưng cơ b n gi ng nhau Vì th , ta c n có m t s phân l p các lo i phương hàm đ tìm ra phương pháp gi i đ i di n cho m i l p Ti p theo ta c n s p x p các phương trình hàm đ có th đưa đư c v lo i các phương trình hàm đã kh o sát b ng cách th c nào đó Ti p theo n a, là đưa ra m t s k thu t đ c trưng đ gi i phương trình hàm Cu i cùng gi ng như các bài toán đ ng em xin nêu ra m t s đ nh hư ng gi i phương trình hàm mà t m g i là phương pháp Các phương pháp này có đư c là nh vi c phân lo i c u trúc phương trình hàm thành các phương trình hàm t ng quát có cách gi i tương t nhau Phương trình hàm cũng là m t chuyên đ quan tr ng thu c chương trình toán trong các trư ng THPT đ c bi t là các trư ng chuyên Các bài 4 toán có liên quan đ n phương trình hàm cũng là các bài t p khó, thư ng g p trong các kỳ thi h c sinh gi i c p qu c gia, c p khu v c, c p qu c t và các kỳ thi Olympic toán sinh viên.Tuy nhiên, cho đ n nay, h c sinh các trư ng chuyên, l p ch n nói riêng và ngư i làm toán nói chung còn bi t r t ít các phương pháp chính th ng đ gi i các bài toán v phương trình hàm, th m chí b lúng túng không đ nh hư ng đư c khi ti p c n m t phương trình hàm Các tài li u v phương trình hàm còn ít và chưa có m t tài li u nào trình bày đ y đ các khía c nh c a phương trình hàm Do đó, có th giúp h c sinh ti p c n v i phương trình hàm d dàng hơn và gi i quy t đư c m t s bài toán v phương trình hàm là m t yêu c u h t s c c n thi t nên em ch n đ tài " M t s phương trình hàm cơ b n và phương pháp gi i " 0.1 M c đích c a đ tài lu n văn M c đích c a lu n văn là d a trên vi c tìm hi u các phương trình hàm và các tài li u liên quan đ n phương trình hàm đ hình thành nên phương pháp phân tích, khai thác các d li u, d đoán các hư ng gi i, các k thu t bi n đ i trên cơ s đó hình thành nên m t s phương pháp cơ b n đ gi i phương trình hàm 0.2 B c c c a lu n văn Bài lu n văn " M t s phương trình hàm cơ b n và phương pháp gi i " g m có: M đ u, 3 chương n i dung, k t lu n và tài li u tham kh o Chương 1 M t s phương trình hàm cơ b n và các ví d Trong chương này em đưa ra các Bài toán cơ b n c a phương trình hàm và các nghi m c a bài toán đó Có nhi u Bài toán cơ b n đây đư c gi i 5 thi u trong ([1]) và ([2]) Nh ng bài toán đã có l i gi i trong ([1]) và ([2]), thì trong Lu n văn này ta ch s d ng k t đ gi i các bài toán khác Chương 2 M t s phương pháp cơ b n gi i phương trình hàm Trong chương này em trình bày m t s d ng thư ng g p c a phương trình hàm và m t s phương pháp cơ b n đ gi i các phương trình hàm và các ví d áp d ng Chương 3 Phương trình hàm v i t p mi n xác đ nh là các t p s t nhiên Đó là các phương trình hàm mà t p xác đ nh là t p s t nhiên và các cách gi i khác 6 Chương 1 M t s phương trình hàm cơ b n và ví d Trong chương này ta gi i thi u m t s Bài toán cơ b n và các ví d áp d ng M t s Bài toán cơ b n đã có l i gi i trong các tài li u quen thu c, c th là trong tài li u ([1]) và ([2]), thì ta s không trình bày l i gi i mà ch đưa ra k t qu Ti p theo trong m c 1.2 c a chương, em đưa ra các ví d c th áp d ng các k t qu c a các Bài toán cơ b n này 1.1 1.1.1 M t s phương trình hàm cơ b n Bài toán 1 (Phương trình hàm Cauchy) Xác đ nh các hàm f (x) liên t c trên R th a mãn đi u ki n f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Bài toán này đã đư c trình bày trong tài li u ([1]) và ([2]), (1.1) đây em ch đưa ra k t qu Nghi m c a bài toán là f (x) = ax, ∀a ∈ R 1.1.2 T ng quát Bài toán 1 Cho a, b ∈ R∴{0} Tìm các hàm f (x) xác đ nh, liên t c trên R và th a mãn đi u ki n f (ax+by) = af (x)+bf (y), ∀x, y ∈ R 7 (1.2) Gi i Cho x = y = 0 thay vào (1.2) ta đư c f (0) = af (0) + bf (0) ⇔ f (0).(a + b − 1) = 0 a) N u a + b = 1 thì f (0) = 0 T (1.2) l n lư t cho x = 0, y = 0 ta đư c f (by) = bf (y), ∀y ∈ R f (ax) = af (x), ∀x ∈ R V y (1.2) tr thành f (ax + by) = af (x) + bf (y) = f (ax) + f (by) Khi đó tr v bài toán Cauchy có nghi m là f (x) = cx, v i c ∈ R b) N u a + b = 1 thì f (0) là tùy ý Khi đó ta đ t g(x) = f (x) − f (0) Cho x = y = 0 thì g(0) = f (0) − f (0) = 0 thay vào (1.2) ta đư c g(ax + by) + f (0) = a[g(x) + f (0)] + b[g(y) + f (0)] ⇔ g(ax + by) = ag(x) + bg(y) Theo k t qu trên thì g(x) = cx, v i c ∈ R V y f (x) = cx + d v i d = f (0), c ∈ R tùy ý Th l i th y f (x) = cx + d th a mãn Nh n xét 1.1 Ngoài gi thi t liên t c trên R c a hàm c n tìm trong phương trình hàm Cauchy n u thay b ng các đi u ki n khác như Bài toán 1.1.3 dư i đây thì l p hàm nh n đư c v n không thay đ i 1.1.3 Bài toán phương trình hàm Cauchy không có đi u ki n liên t c Ch ng minh r ng n u hàm f : R −→ R th a mãn phương trình hàm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R và m t trong các đi u ki n 1 f liên t c t i m t đi m x0 ∈ R; 8 (1.3) ... a phương trình hàm C u trúc c a phương trình hàm g m ba ph n Phương trình hàm b n ví d M t vài phương pháp gi i phương trình hàm Phương trình hàm v i t p xác đ nh t p s t nhiên Phương trình hàm. .. ĐU PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ C U TRÚC C A LU N VĂN Phương trình hàm phương trình n s m t hàm s đó, vi c gi i phương trình hàm tìm hàm s th a mãn u ki n c a đ bài, m i hàm s th a mãn phương trình hàm. .. s phương pháp b n gi i phương trình hàm Trong chương em trình bày m t s d ng thư ng g p c a phương trình hàm m t s phương pháp b n đ gi i phương trình hàm ví d áp d ng Chương Phương trình hàm