MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

Trường THPT Chun Nguyễn Thiện Thành Tổ: Tốn – Tin GV: Phạm Thị Hồng Nhụy MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN  Hệ phương trình bậc hai ẩn  Hệ phương trình đối xứng loại  Hệ phương trình đối xứng loại  Hệ đẳng cấp        x, y = kx MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Phương pháp  Phương pháp cộng đại số  Phương pháp đưa dạng tích  Phương pháp đặt ẩn phụ  Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu hàm số  Phương pháp đánh giá Phương pháp Phương pháp: Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ vào phương trình lại 1 Phương pháp Ví dụ Giải hpt:  x + x y + x y = x + (1)  (2)  x + xy = x + Phân tích x + − x2 (2) ⇔ y = 2x 2  6x + − x   6x + − x  (1) ⇔ x + x  ÷+ x  ÷ = 2x + 2x 2x     (6 x + − x ) 2 ⇔ x + x (6 x + − x ) + = 2x + ⇔ x (6 x + 6) + (6 x + − x ) = 4(2 x + 9) ⇔ x( x + 4)3 = Phương pháp Ví dụ Giải hpt:  x + x y + x y = x + (1)  (2)  x + xy = x + Giải:    Ta có x = khơng thỏa mãn (2) Với x : 6x + − x2 (2) ⇔ y = 2x  6x + − x   6x + − x  (1) ⇔ x + x  ÷+ x  ÷ = 2x + 2x 2x     (6 x + − x ) 2 ⇔ x + x (6 x + − x ) + = 2x + x = ⇔ x( x + 4) = ⇔   x = −4 Vậy hệ phương trình có nghiệm  17   −4; ÷ 4  Phương pháp Ví dụ Giải hpt:  x + x y + x y = x + (1)  (2)  x + xy = x + Giải: Cách khác (1) ⇔ ( x + xy ) = x + (2) ⇔ 2( x + xy ) = x + + x (1) ⇔ (6 x + + x ) = 4(2 x + 9) ⇔  ( x + 3) − 3 = 8( x + 3) + 12  x + = −1 ⇔ x + = Thay x tìm vào (2) để tìm y Hệ phương trình có nghiệm  17   − 4; ÷ 4  Phương pháp cộng đại số Phương pháp: Ta kết hợp phương trình hệ phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia (trong điều kiện) ta thu phương trình mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau 2 Phương pháp cộng đại số Ví dụ Giải hpt:  x  − 3x − + 10 = y    y − y − + 11 = x Phân tích: x − 3x − + 10 = y x − (3 x − 2) + (3 x − 2) − 3x − + + = y x − x + + (3 x − 2) − x − + + x + = y 2  ( x − 2) + ( x − − 2) + x + = y  2 (y − 3) + ( y − − 3) + 2y − = x   ( x − 2) + ( x − − 2) + (y − 3) + ( y − − 3) = (1) (2) Phương pháp cộng đại số Ví dụ Giải hpt:  x − 3x − + 10 = y   y − y − + 11 = x Giải:  Điều kiện   Hệ phương trình cho tương đương với 2  ( x − 2) + ( x − − 2) + x + = y  2  (y − 3) + ( y − − 3) + y − = x Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta ( x − 2) + ( x − − 2) + (y − 3) + ( y − − 3) = Từ ta tìm nghiệm hệ (x;y) = (2;3) (1) (2) Phương pháp cộng đại số  x + y − xy = (1) Ví dụ Giải hệ phương trình:  (2)  x = y + xy Phân tích:  x + y − xy = (1)  (2)  x = y + xy  x + y − xy =   x − y − xy = (x − y ) − ( x − y ) − = Phương pháp cộng đại số  x + y − xy = Ví dụ Giải hệ phương trình:   x = y + xy (2) Giải: Trừ vế theo vế (1) (2) ta x + y − xy − x = − y − xy ⇔ x + y − xy − x + y − = ⇔ ( x − y)2 − ( x − y) − =  x − y = −1 ⇔ x − 2y = 2 y = x + ⇔ 2 y = x − Thay vào (2) ta tìm  − 1− x = − ⇒ y =    − 1+ x = + ⇒ y =   (1) Phương pháp đưa dạng tích Phương pháp: Phân tích hai phương trình hệ thành tích nhân tử Đơi cần tổ hợp hai phương trình thành phương trình đưa dạng tích 3 Phương pháp đưa dạng tích Ví dụ Giải hpt:  xy + x + y = x − y (1)   x y − y x − = x − y (2) Phân tích: (1) ⇔ xy + ( x + y ) = x − y ⇔ y( x + y) + ( x + y) = x2 − y ⇔ ( x + y )( y + − x + y ) = Phương pháp đưa dạng tích Ví dụ Giải hpt:  xy + x + y = x − y (1)   x y − y x − = x − y (2) Giải:   Điều kiện: Ta có (1) ⇔ y ( x + y ) + ( x + y ) = x − y ⇔ ( x + y )( y + − x + y ) =   TH1 , loại   TH2 , thay vào (2) ta được: (2 y + 1) y − y y = y + − y ⇔ ( y + 1) y = 2( y + 1)  y +1 =  y = −1 (l ) ⇔ ⇔  y = y = ⇒ x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (5;2) Phương pháp đưa dạng tích xy  2  x + y + x + y = 16 (1) Ví dụ Giải hệ phương trình:   x + y = x2 − y (2)  Phân tích (1) ⇔ ( x + y )( x + y ) + xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) − xy  ( x + y ) + xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − 16  − xy ( x + y − 4) = ⇔ ( x + y − 4) [ ( x + y )( x + y + 4) − xy ] = Phương pháp đưa dạng tích xy  2  x + y + x + y = 16 (1) Ví dụ Giải hệ phương trình:   x + y = x2 − y (2)  Giải: ĐK : x + y > (1) ⇔ ( x + y )( x + y ) + xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) − xy  ( x + y ) + xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − 16  − xy ( x + y − 4) = ⇔ ( x + y − 4) [ ( x + y )( x + y + 4) − xy ] =   TH1 , thay vào (2) ta được:   TH2 vơ nghiệm  x = −3 ⇒ y = x + x−6 = ⇔  x = ⇒ y = 2 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (-3;7), (2;2) Củng cố Phương pháp Phương pháp cộng đại số Phương pháp đưa dạng tích Ta rút ẩn (hay Ta kết hợp phương Phân tích hai phương trình hệ thành tích nhân tử Đơi cần tổ hợp hai phương trình thành phương trình đưa dạng tích biểu thức) từ phương trình hệ vào phương trình lại trình hệ phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia (trong điều kiện) ta thu phương trình mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau Một số phương pháp giải hệ phương trình (tiết 1) Have a nice day! [...]... nghiệm: (-3;7), (2;2) Củng cố Phương pháp thế Phương pháp cộng đại số Phương pháp đưa về dạng tích Ta rút một ẩn (hay Ta kết hợp 2 phương Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử Đôi khi cần tổ hợp hai phương trình thành phương trình mới rồi mới đưa về dạng tích một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại trình trong hệ bằng các phép toán: cộng,... (2) ta tìm được  − 1− 2 x = 1 − 2 ⇒ y =  2   − 1+ 2 x = 1 + 2 ⇒ y =   2 (1) 3 Phương pháp đưa về dạng tích Phương pháp: Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử Đôi khi cần tổ hợp hai phương trình thành phương trình mới rồi mới đưa về dạng tích 3 Phương pháp đưa về dạng tích Ví dụ 4 Giải hpt:  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1)   x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y (2) Phân...2 Phương pháp cộng đại số  x 2 + 4 y 2 − 8 xy = 2 (1) Ví dụ 3 Giải hệ phương trình:  (2)  x = 2 y + 4 xy Phân tích:  x 2 + 4 y 2 − 8 xy = 2 (1)  (2)  x = 2 y + 4 xy  x 2 + 4 y 2 − 8 xy = 2   x − 2 y − 4 xy = 0 (x − 2 y ) 2 − ( x − 2 y ) − 2 = 0 2 Phương pháp cộng đại số  x 2 + 4 y 2 − 8 xy = 2 Ví dụ 3 Giải hệ phương trình:   x = 2 y + 4 xy (2) Giải: Trừ vế theo vế (1)... phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia (trong điều kiện) ta thu được phương trình mới mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau Một số phương pháp giải hệ phương trình (tiết 1) Have a nice day! ... cho có nghiệm là (5;2) 3 Phương pháp đưa về dạng tích 8 xy  2 2  x + y + x + y = 16 (1) Ví dụ 5 Giải hệ phương trình:   x + y = x2 − y (2)  Phân tích (1) ⇔ ( x 2 + y 2 )( x + y ) + 8 xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) 2 − 2 xy  ( x + y ) + 8 xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) ( x + y ) 2 − 16  − 2 xy ( x + y − 4) = 0 ⇔ ( x + y − 4) [ ( x + y )( x + y + 4) − 2 xy ] = 0 3 Phương pháp đưa về dạng tích 8... dụ 5 Giải hệ phương trình:   x + y = x2 − y (2)  Giải: ĐK : x + y > 0 (1) ⇔ ( x 2 + y 2 )( x + y ) + 8 xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) 2 − 2 xy  ( x + y ) + 8 xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) ( x + y ) 2 − 16  − 2 xy ( x + y − 4) = 0 ⇔ ( x + y − 4) [ ( x + y )( x + y + 4) − 2 xy ] = 0   TH1 , thay vào (2) ta được:   TH2 vô nghiệm  x = −3 ⇒ y = 7 x + x−6 = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y = 2 2 Vậy hệ phương trình. .. Phương pháp đưa về dạng tích Ví dụ 4 Giải hpt:  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1)   x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y (2) Giải:   Điều kiện: Ta có (1) ⇔ y ( x + y ) + ( x + y ) = x 2 − y 2 ⇔ ( x + y )( y + 1 − x + y ) = 0   TH1 , loại do   TH2 , thay vào (2) ta được: (2 y + 1) 2 y − y 2 y = 4 y + 2 − 2 y ⇔ ( y + 1) 2 y = 2( y + 1)  y +1 = 0  y = −1 (l ) ⇔ ⇔  2 y = 2 y = 2 ⇒ x = 5 Vậy hệ phương trình