Tìm hiểu một số phương trình tích phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TỐN −−− −−− LÊ NỮ KIỀU OANH TÌM HIỂU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Chun ngành: Sư phạm Toán LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: Th.S PHAN ĐỨC TUẤN Đà Nẵng, 5/2012 MỤC LỤC Lời nói đầu Chương Vài nét phương trình tích phân 1.1 1.2 1.3 1.4 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hạch L2 1.1.2 Tốn tử tích phân 1.1.3 Điều kiện Holder 1.1.4 Giá trị tích phân kì dị thực 1.1.5 Tích phân Cauchy 11 1.1.6 Các định lí hội tụ 13 Giới thiệu phương trình tích phân 14 1.2.1 Bài tốn dẫn dến phương trình tích phân 14 1.2.2 Phương trình tích phân 16 1.2.3 Giá trị thường giá trị riêng 17 Các dạng phương trình tích phân 17 1.3.1 Phương trình tích phân Volterra 17 1.3.2 Phương trình tích phân Fredholm 19 1.3.3 Phương trình tích phân kì dị 26 Mối liên hệ phương trình tích phân với phương trình vi phân 27 1.4.1 Giải phương trình vi phân cấp 27 1.4.2 Giải phương trình vi phân cấp 28 Chương Giải số phương trình tích phân 32 2.1 Phương trình Volterra 32 2.2 Phương trình tích phân Fredholm 43 2.2.1 Phương trình tích phân Fredholm với hạch thối hóa 43 GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh 2.3 2.4 2.5 2.2.2 Phương trình tích phân với hạch đối xứng 46 2.2.3 Phương trình tích phân Fredholm với hạch 50 Phương trình tích phân dạng chập 52 2.3.1 Phương trình Fredholm loại thứ hai 52 2.3.2 Phương trình Fredholm loại thứ 55 Phương trình tích phân kì dị 57 2.4.1 Phương trình tích phân Abel 57 2.4.2 Nghiệm phương trình tích phân kì dị Cauchy 60 Bài tập luyện tập 63 2.5.1 Các dạng tập tiêu biểu cho dạng 63 2.5.2 Đáp số 64 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 68 GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Phan Đức Tuấn, thầy hướng dẫn, giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn tận tình suốt trình em thực đề tài Em xin cảm ơn Thầy giáo Tơn Thất Tú, Thầy giáo Lê Hải Trung hướng dẫn em cài đặt, sử dụng phần mềm Vietex Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Toán Thầy khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành tốt luận văn Xin cảm ơn bạn lớp động viên, giúp đỡ em hoàn thành tốt luận văn GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh LỜI NĨI ĐẦU Lí chọn đề tài Nhiều vấn đề toán học, học, vật lý dẫn đến phương trình hàm chưa biết dấu tích phân Những phương trình gọi phương trình tích phân Lý thuyết phương trình tích phân có mối liên hệ với nhiều lĩnh vực toán học Đầu tiên phải kể đến phương trình vi phân lý thuyết tốn tử Nhiều phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng viết lại phương trình tích phân Quả thật, phương trình đạo hàm riêng thay bởi phương trình tích phân mà kết hợp với điều kiện biên Như nghiệm phương trình tích phân tự động thỏa mãn điều kiện biên Chủ đề phương trình tích phân cơng cụ tốn học tiện ích tốn học túy tốn học ứng dụng Chẳng hạn giải tích túy ứng dụng định lí hàm giải tích q trình ngẫu nhiên Vì để mở rộng vốn hiểu biết ỏi mình, thêm vào chương trình đại học sinh viên chưa có điều kiện tiếp cận với lý thuyết phương trình tích phân nên tơi chọn nghiên cứu đề tài: "Tìm hiểu số phương trình tích phân" Mục đích nghiên cứu Gồm hai chương: - Chương 1: Tìm hiểu tổng quan phương trình tích phân giới thiệu: + Sơ nguồn gốc phương trình tích phân + Mối liên hệ phương trình tích phân với phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng + Các dạng phương trình tích phân như: phương trình Volterra, phương trình Fredholm, phương trình tích phân dạng chập, phương trình tích phân kì dị GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh - Chương 2: Các phương pháp giải phương trình tích phân số tập áp dụng Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn tìm hiểu giải số phương trình tích phân (nghiệm xác) Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Trước tiên đọc tài liệu liên quan đến nội dung đề tài Cụ thể tài liệu viết nguồn gốc thực tiễn sở lý thuyết dẫn đến phương trình tích phân Dựa vào tài liệu sẵn có để phân tích, tổng hợp rút kết luận - Hỏi ý kiến chủ yếu giáo viên hướng dẫn Giới hạn đề tài: Đề tài không sâu vào nghiên cứu tất dạng phương trình tích phân phương pháp giải chúng mà giới thiệu sơ phương trình tích phân, nguồn gốc, mối liên hệ với phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng, dạng phương trình tích phân số phương pháp giải chúng Trong thời gian tương đối ngắn, với hạn chế mặt kiến thức hạn chế kinh nghiệm mặt thực tiễn nên tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận bảo, dạy dỗ thầy cơ, góp ý tận tình bạn để kiến thức thêm hồn chỉnh khỏi bỡ ngỡ bước vào thực tiễn Đà Nẵng, tháng năm 2012 Sinh viên Lê Nữ Kiều Oanh GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh Chương VÀI NÉT VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.1 1.1.1 Kiến thức chuẩn bị Hạch L2 Định nghĩa 1.1.1 (Hạch L2 ) Hàm số K(x, t) gọi bình phương khả tích đoạn [a,b] K (x, t) khả tích đoạn [a,b] Tập hợp tất hàm bình phương khả tích đoạn [a,b] ký hiệu L2 (a, b) viết gọn L2 Hàm K(x, t) thỏa mãn ba điều kiện sau: a Hàm K(x, t) hàm theo (s,t) khoảng a ≤ s ≤ b, a ≤ t ≤ b, cho b b |K(x, t)2 dt| < ∞ (1.1) a a b Với giá trị x, K(x, t) hàm xác định theo t cho b |K(x, t)2 dt| < ∞ (1.2) a c Với giá trị t, K(x, t) hàm xác định theo x cho b |K(x, t)2 ds| < ∞ (1.3) a Khi hàm K(x, t) gọi hạch L2 1.1.2 Toán tử tích phân Cho hàm hai biến K(x, t) có bình phương khả tích nghĩa b b K (x, t) dx dt = N < ∞ (1.4) a a GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh Trong xác định L2 tốn tử A cơng thức b A ϕ(x) = K(x, t) ϕ(t) dt (1.5) a Toán tử gọi tốn tử tích phân Fredholm sinh hạch K(x, t) Trước hết, ta thấy tốn tử tuyến tính liên tục L2 Thật vậy, cho ϕ(x) ∈ L, thuộc L2 Do (1.4) nên theo định lí Fubini, hàm K (x, t) khả tích theo t, với hầu hết x, nghĩa K(x, t), xét hàm t thuộc L2 Do tích phân (1.5) tồn với hầu hết x Cũng theo định lí Fubini, hàm b K ( x, t) dt, k (x) = a khả tích theo x tích phân k (x) (từ a đến b) nhỏ vô cùng, k(x) ∈ L2 Theo bất đẳng thức Schwarz - Buniakowski áp dụng cho tích vơ hướng (1.5) ta có b |Aϕ(x)| = b |K(x, t)||ϕ(t)| dt K(x, t) ϕ(t) dt = a a b ≤ K (x, t) dt b 2 ϕ (t) dt a a b b |Aϕ(x)| ≤ ||ϕ||2 ⇒ a k (x) dx = ||ϕ||2 N ≤ +∞ (1.6) a Vậy Aϕ(x) ∈ L2 , nghĩa A tốn tử L2 tích phân tuyến tính hàm nên A tuyến tính có (1.6)nên ta có b ||Aϕ|| = |Aϕ(x)| dx ≤ ||ϕ|| N a nên A tốn tử tuyến tính bị chặn (hay A liên tục), b b ||A|| ≤ N = K (x, t) dx dt a a Định lý 1.1.1 (khơng chứng minh) Tốn tử Fredholm tốn tử hồn tồn liên tục L2 Định lý 1.1.2 Toán tử Fredholm sinh hạch đối xứng toán tử đối xứng GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh 1.1.3 Điều kiện Holder Định nghĩa 1.1.2 (Điều kiện Holder ) Giả sử L chu tuyến trơn φ(t) hàm số theo tọa vị t Hàm số φ(t) gọi thỏa mãn chu tuyến L điều kiện Holder , cặp điểm đó, tùy ý, ta có |φ(t2 ) − φ(t1 )| < A |t2 − t1 |λ , (1.7) A, λ số dương A gọi số Holder λ số Holder Khi λ lớn đơn vị, điều kiện kéo theo đạo hàm φ/ (t) tồn triệt tiêu khắp nơi hàm số φ(t) đồng số Vì thế, ta thường giả thiết < λ ≤ Khi λ = , điều kiện Holder trùng với điều kiện Lípchitz Khi t1 , t2 đủ gần điều kiện Holder thỏa mãn số λ1 , thỏa mãn số λ < λ1 Điều ngược lại, nói chung không Dễ thấy rằng, hàm số φ1 (t), φ2 (t) thỏa mãn điều kiện Holder với số λ1 , λ2 , tương ứng, tổng, tích, thương (khi điều kiện số chia khơng triệt tiêu L) thỏa mãn điều kiện Holder với số λ = (λ1 , λ2 ) 1.1.4 Giá trị tích phân kì dị thực Giả sử a < c < b Xét tích phân a b dx x−c Tính tích phân, ta có a b dx = lim − x−c →0 →0 = ln c− a dx + x−c b−c + lim ln c−a →0 →0 GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn b c+ dx x−c SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh 10 Nếu ta lựa chọn cách thích hợp, chẳng hạn = = , giới hạn biểu thức tồn Ta đến khái niệm giá trị Cauchy tích phân Định nghĩa 1.1.3 Giá trị (theo Cauchy) tích phân kì dị a b dx x−c với a < c < b, biểu thức c− lim →0 a Ta có b dx + x−c b c+ dx x−c dx b−c = ln x−c b−a a Xét tích phân b a φ(t) dx, x−c (1.8) φ(x) hàm số thỏa mãn điều kiện Holder khoảng (a, b) Trường hợp dễ dàng chuyển dạng đơn giản cách biểu diễn tích phân dạng b a φ(t) dx = x−c b a φ(x) − φ(c) dx + φ(c) x−c b a dx x−c Từ giả thiết điều kiện Holder hàm mật độ, ta có | φ(x) − φ(c) A |< x−c |x − c1−λ | tích phân đầu tồn theo nghĩa thường, cịn tích phân thứ hai trùng với tích phân (1.8) Vậy nên, ta nhận kết sau: Tích phân kì dị, φ(x) thỏa mãn điều kiện Holder, tồn theo nghĩa giá trị Cauchy, b a φ(x) dx = x−c GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn b a φ(x) − φ(c) b−c dx + φ(c) ln x−c c−a (1.9) SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh 54 F (k) = √ U (k) 2π G(k) + λ Phép biến đổi ngược Fourier cho ta nghiệm cụ thể f (x) = √ 2π +∞ −∞ U (k).eikx dk √ 2πG(k) + λ Ví dụ 2.3.2 Tìm nghiệm phương trình tích phân sau +∞ f (x − ξ) f (ξ) dξ = −∞ x2 + a2 (2.58) Giải Áp dụng phép biến đổi Fourier cho (2.58) ta có √ +∞ 1 2π F (k) F (k) = √ dx eikx x + a2 2π −∞ π e−a|k| = a (2.59) Hoặc F (k) = √ exp 2a − a|k| Phép biến đổi ngược Fourier cho nghiệm +∞ 1 f (x) = √ √ exp ( −ikx − a|k| ) dk 2π 2a −∞ +∞ +∞ a a exp {−k ( + ix)}dk + exp {−k ( − ix)}dk = √ aπ 2 4a = √ 2 aπ 4x + a2 a = (2.60) π 4x + a2 Nhận xét Cách giải hồn tồn áp dụng để giải hệ phương trình tích phân dạng chập n fp (t) + q=1 √ 2π GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn +∞ kpq (t − x) fq (x) dx = gp (t) (2.61) −∞ SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh 55 p = 1, · · · , n − ∞ < x < +∞ Để thực nhận xét này, ta viết (2.61) dạng phương trình vecto Ký hiệu: f (x) = (f1 (t), f2 (t), · · · , fn (t)) g(x) = (g1 (t), g2 (t), · · · , gn (t)) k(t − x) = (kpq (t − x).p, q = 1, 2, · · · , n) Khi (2.61) có dạng phương trình xét dạng vecto 2.3.2 Phương trình Fredholm loại thứ +∞ k((x − t) f (t) dt g(x) = −∞ Để giải phương trình dùng phép biến đổi Fourier Áp dụng định lí tích chập Fourier cho phương trình cho ta có G(u) = √ 2πK(u) F (u) dt Dùng phép biến đổi ngược Fourier cho nghiệm f (x) = √ 2π +∞ e−iux −∞ G(u) du K(u) Ví dụ 2.3.3 Giải phương trình tích phân sau : = x−1 +∞ −∞ f (t) dt (x − 2)2 (x > 0) Giải Đặt g(x) = GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn x−1 SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh 56 Suy G(u) = = = = K(u) = = = = +∞ 1 √ eiux dx x−1 2π −∞ eiuz √ 2πi.Res( , 1) z−1 2π √ 2πi.eiu √2π ui i 2π.e (2.62) +∞ 1 √ eiux dx x 2π −∞ eiuz √ 2πi.Res( , 2) (z − 2)2 2π √ 2πi.i.u.e2iu 2π√ −u 2π.e2iu (2.63) Áp dụng định lí tích chập cho phương trình cho ta có G(u) = √ 2π K(u) F (u) Hay F (u) = √ G(u) 2π K(u) Dùng phép biến đổi Fourier ngược cho ta f (x) = √ 2π = √ 2π −i = √ 2π GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn +∞ G(u) du K(u) −∞ √ +∞ i 2π.eui −iux √ e du −u 2π.e2iu −∞ e−iux (2.64) SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh 57 2.4 2.4.1 Phương trình tích phân kì dị Phương trình tích phân Abel Phương trình tích phân Abel có dạng x f (x) = g(t) dt, (x − t)α (0 < α < 1) (2.65) Nó xuất phát từ vấn đề vật lý Một điểm vật chất di chuyển tác dụng trọng lực dọc theo đường cong mịn mặt phẳng thẳng đứng khiến cho số lần f (x) di chuyển từ độ cao thẳng đứng x từ điểm cố định O theo đường cong Vấn đề tìm phương trình đường cong Phương trình (2.65) với α = phương trình cần tìm Phương trình tích phân (2.65) giải cách nhân hai vế dx lấy tích phân x từ đến u ta nhân tử (u − x)1−α u f (x) dx = (u − x)1−α u dx (u − x)1−α x g(t) dt (x − t)α (2.66) Tích phân kép bên vế phải phương trình tích phân viết dạng: trước tiên ta lấy tích phân theo t từ đến x kết sau lấy tích phân theo x từ đến u Do miền lấy tích phân hình tam giác nằm đường chéo x = t Ta thay đổi phép lấy tích phân sau: ta lấy tích phân từ x = t đến x = u sau lấy tích phân theo t từ t = đến t = u Từ phương trình (2.66) trở thành: u f (x) dx = (u − x)1−α u u g(t) dt t dx (u − x)1−α (x − t)α (2.67) Trước tiên, ta xét tích phân: dx (u − x)1−α (x − t)α Đặt y= GVHD: Th.S Phan Đức Tuấn u−x u−t SVTH:Lê Nữ Kiều Oanh 58 ta có được: u (u − x)α−1 (x − t)−α dx = t y α−1 (1 − y)−α dy = π sin απ Thay kết vào (2.67) ta có: u sin απ π f (x) dx = (u − x)1−α u g(t) d(t) t sin απ d f (x) (t − x)α−1 dx (2.68) ⇒ g(t) = π dt Phương trình tích phân (2.65) trường hợp đặc biệt phương trình tích phân kì dị: x f (x) = a g(t) dt , [h(x) − h(t)]α 0