Phép biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− PHẠM THỊ THÊ PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Chun ngành: Cử nhân Tốn - Tin LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Đà Nẵng, 5/2013 MỤC LỤC Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 1.1 1.2 1.3 Biến đổi tích phân Fourier 1.1.1 Định nghĩa tính chất Biến đổi tích phân Hartley 1.2.1 Định nghĩa Biến đổi tích phân Fourier đối xứng 11 1.3.1 Định nghĩa tính chất 11 1.4 Chập suy rộng phép biến đổi tích phân dạng Fourier 15 1.5 Tích chập suy rộng với hàm trọng biến đổi Hartley toán tử T 25 Chương ỨNG DỤNG 2.1 2.2 56 Giải phương trình vi phân 56 2.1.1 Giải phương trình vi phân thường 56 2.1.2 Giải phương trình đạo hàm riêng 58 Giải phương trình tích phân 61 2.2.1 Giải phương trình tích phân dạng chập với nhân Hartley tích chập T 61 KẾT LUẬN 65 Tài liệu tham khảo 66 Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê LỜI CẢM ƠN Để thực tốt đề tài luận văn tốt nghiệp này, em nhận giúp đỡ tận tình Thầy, Cơ khoa Tốn trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng bạn khóa Đầu tiên, em xin cảm ơn Thầy Cơ khoa Tốn, trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng cung cấp cho em kiến thức vô quý báu cần thiết suốt thời gian học tập trường, tạo điều kiện thuận lợi để em thực hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Phan Đức Tuấn, thầy hướng dẫn, giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn tận tình suốt trình em thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy Tôn Thất Tú hướng dẫn tận tình, giúp em sử dụng phần mềm Maple để hỗ trợ cho việc làm đề tài Cuối cùng, em cảm kích biết ơn gia đình, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ để em có đủ tự tin nghị lực để thực tốt đề tài Do giới hạn thời gian thiếu kinh nghiệm chuyên môn kinh nghiệm thực tiễn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót ngồi ý muốn Em mong thông cảm Quý Thầy Cô mong đóng góp ý kiến Thầy Cô bạn Một lần em xin trân trọng cảm ơn Đà Nẵng, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Thê Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N : tập hợp số tự nhiên R : tập hợp số thực Z : tập hợp số nguyên S : không gian hàm f khả vi vô hạn Rd thỏa mãn sup sup(1 + x2 )m |(Dxα f )(x)| < ∞, (m = 0, 1, 2, ) |α|≤m x∈R L1 (E) : không gian hàm f khả tích Lebesgue E, với chuẩn f |f (x)|dx = E C0 (R) : không gian hàm f liên tục Rd triệt tiêu vô với chuẩn f ∞ = sup |f (x)| x∈R Φα (x) : hàm Hermite xác định 2 Φα (x) = (−1)|α| e |x| Dxα e−|x| cas(x) : hàm Hartley xác định cas x = cos x + sin x Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí lựa chọn đề tài Nhiều vấn đề khoa học cơng nghệ đưa đến việc giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Có nhiều cách giải đáng ý biến đổi Fourier (xem [4]): Thứ nhất, phương trình thay phương trình đại số đơn giản, cho phép tìm nghiệm biến đổi Fourier hàm Nghiệm phương trình ban đầu thu thơng qua biến đổi Fourier ngược Thứ hai, biến đổi Fourier nguồn gốc ban đầu để xác định nghiệm bản, minh họa cho ý tưởng xây dựng hàm Green sau Thứ ba, biến đổi Fourier nghiệm kết hợp với định lý chập cung cấp cách biểu diễn nghiệm tường minh cho toán biên ban đầu Các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine R, Fourier, Fourier ngược biến đổi Hartley định nghĩa không gian L1 (R) sau (xem [2, 3, 6, 7]): (Tc f )(x) := (Ts f )(x) := (F f )(x) := (F −1 f )(x) := (H1 f )(x) := (H2 f )(x) := Luận Văn Tốt Nghiệp f (y) cos(xy)dy, d (2π) R f (y) sin(xy)dy, d (2π) (2π) (2π) d d R f (y)e−ixy dy, R f (y)eixy dy, f (y) cas(xy)dy, d (2π) R f (y) cas(−xy)dy, d (2π) (1) R R SVTH: Phạm Thị Thê đó, cas u := cos u + sin u Theo công thức Euler biến đổi Fourier, Fourier ngược Hartley biểu diễn tuyến tính qua hai biến đổi Fourier cosine Fourier sine R F = Tc − iTs , H1 = Tc + Ts , F −1 = Tc + iTs , H2 = Tc − Ts Điều đưa đến cho ý tưởng xét biến đổi tích phân Ta,b = aTc + bTs , a, b ∈ C, gọi biến đổi tích phân dạng Fourier Với lí trên, em lựa chọn đề tài "Phép biến đổi tích phân dạng Fourier ứng dụng giải số phương trình vi phân tích phân" Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu tính chất tốn tử, xây dựng chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley với hàm trọng Hermite hàm trọng Sử dụng chúng để giải số phương trình vi phân tích phân miền hữu hạn Luận văn cịn xét biến đổi tích phân dạng Fourier (T f )(x) = √ 2π f (y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy, R nghiên cứu đặc trưng đại số, xây dựng chập liên kết với biến đổi Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu đặc trưng đại số biến đổi tích phân Từ đó, tìm biến đổi ngược ngược từ đẳng thức nhân tử hóa để xây dựng chập, chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân Đặc biệt, tích phân có dạng f (±x ± y)g(y)dy, biểu diễn qua chập Cấu trúc luận văn kết Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận phụ lục: Chương trình bày số tích chất biến đổi Fourier R Xây dựng chập, chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley với Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê hàm trọng Hermite khơng có hàm trọng Đặc biệt đưa biến đổi tích phân dạng Fourier T Chứng minh số đặc trưng đại số như: + T biến đổi đối xứng khơng unita + T có đa thức đặc trưng PT (t) = t4 − 5t2 + + T biến hàm nhận giá trị thực thành hàm nhận giá trị thực + T toán tử khả nghịch với toán tử ngược (T −1 g)(y) = √ 2π g(ξ)[ cos yξ + sin yξ]dξ R Xây dựng chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley, T với hàm trọng Hermite khơng có hàm trọng Chương sử dụng kết thu Chương vào giải số phương trình vi phân tích phân Đặc biệt, với công cụ chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley hữu hạn mà lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel sau (xem [8]) λϕ(x) + π b p(x − y) + q(x + y) ϕ(y)dy = f (x), (2) a giải thu nghiệm dạng chuỗi Ý nghĩa kết Luận văn dựa vào đặc trưng đại số biến đổi tích phân phân loại dựa theo đặc trưng đại số Nhờ đó, luận văn đưa biến đổi tích phân T có số đặc trưng đại số khác với biến đổi tích phân biết Hy vọng, tìm ứng dụng cho biến đổi Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 1.1 Biến đổi tích phân Fourier Trong mục này, luận văn trình bày lại số kết liên quan phép biến đổi Fourier Các kết chứng minh chi tiết tài liệu trích dẫn Bởi luận văn nêu kết mà khơng trình bày chứng minh 1.1.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1.1 ([6, 7]) Biến đổi Fourier hàm f kí hiệu (F f ) xác định sau: (F f )(x) = (2π) d f (y)e−ixy dy, (1.1) R đó, f hàm thực hàm phức xác định R Điều kiện để tích phân (1.1) tồn hàm f ∈ L1 Và ảnh Fourier hàm f miêu tả thông qua định lý sau: Định lý 1.1.1 ([6, 7]) Nếu f ∈ L1 (R) (F f ) ∈ C0 (R) ||(F f )||∞ ≤ d (2π) ||f ||1 (1.2) Tính Chất 1.1.1 ([6, 7]) Biến đổi Fourier Fourier ngược hàm Hermite (φn )(x) (−i)|n| φn (x) (i)|n| φn (x) Nghĩa là: (F φn )(x) = (−i)|n| φn (x), (F −1 φn )(x) = (i)|n| φn (x) Luận Văn Tốt Nghiệp (1.3) (1.4) SVTH: Phạm Thị Thê Định lý 1.1.2 ([6, 7]) (i) Nếu g ∈ S g(x) = (2π) (F g)(y)eixy dy := (F −1 (F g))(x), (x ∈ R) d R (ii) Biến đổi Fourier ánh xạ tuyến tính, liên tục, − từ S vào S, F = I ánh xạ ngược liên tục Sau số tính chất biến đổi Fourier Tính Chất 1.1.2 ([6, 7]) Biến đổi Fourier hàm Hermite Φn (x) (−i)|n| Φn (x), nghĩa (F Φn )(x) = (−i)|n| Φn (x) Tính Chất 1.1.3 ([6]) Nếu f ∈ L1 (R) Dxn f ∈ L1 (R) (F Dxn )(x) = i|n| xn (F f )(x) 1.2 1.2.1 Biến đổi tích phân Hartley Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 ([2, 5]) Các biến đổi Hartley hàm f kí hiệu (H1 f ), (H2 f ) xác định bởi: (H1 f )(x) = (H2 f )(x) = d (2π) d (2π) f (y) cas(xy)dy, (1.5) f (y) cas(−xy)dy, (1.6) R R đó, f (x) hàm (thực phức) xác định R và: cas xy = cos xy + sin xy Rõ ràng: (H1 f )(x) = (H2 f )(−x) (H1 f (−y))(x) = (H2 f (y))(x) (1.7) Vì biến đổi Hartley hàm nhận giá trị thực hàm nhận giá trị thực Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê 10 Bổ đề 1.2.1 (xem [9]) Cho |n|=r(mod 4) đó:  φ (x), r=0,1, n (H1 φn )(x) = −φ (x), r=2,3, n và:  φ (x), r=0,3, n (H2 φn )(x) = −φ (x), r=1,2 n Mệnh đề 1.2.1 (Tính nhất) Nếu f ∈ L1 (R) (H1 f ) = (H2 f ) = L1 (R) f = L1 (R) Định lý 1.2.1 Các biến đổi Hartley ánh xạ tuyến tính liên tục , 1-1 từ S vào S biến đổi ngược nó, nghĩa là: H12 = I, H22 = I (1.8) Mệnh đề 1.2.2 Giả sử |n| = r (mod 4) Nếu f ∈ L1 (R) Dxn f ∈ L1 (R) • Trường hợp r ∈ {0, 2} (H1 Dxn f )(x) =(−1)r xn (H1 f )(x), r (H2 Dxn f )(x) =(−1) xn (H2 f )(x) (1.9) • Trường hợp r ∈ {1, 3} (H1 Dxn f )(x) =(−1) r+1 xn (H2 f )(x), (H2 Dxn f )(x) =(−1) r−1 xn (H1 f )(x) (1.10) Định lý 1.2.2 (định lý ngược [3, 9]) Nếu f ∈ L1 (R), (Hi f ) ∈ L1 (R), (i = 1, 2) f1 (x) := f2 (x) := (2π) d (H1 f )(y) cas(xy)dy, R (H2 f )(y) cas(−xy)dy, d (2π) R fi (x) = f (x) hầu khắp nơi R, (i = 1, 2) Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê 52 Chứng minh tích chập (1.32): Ta có: φn (x)(H2 f )(x)(T g)(x) φn (x) = f (u)g(v) (cos xu − sin xu)(2 cos xv + sin xv) dudv (2π) R R r−1 (−1) f (u)g(v) (cos xu − sin xu)(2 cos xv + sin xv) = 3d (2π) R R R (cos xt + sin xt) φn (t)dudvdt = (−1) r−1 f (u)g(v) 3d (2π) R R R cos xu cos xv cos xt + cos xu cos xu sin xt + cos xu sin xv cos xt + cos xu sin xv sin xt − sin xu cos xv cos xt − sin xu cos xv sin xt − sin xu sin xv cos xt − sin xu sin xv sin xt φn (t)dudvdt = (−1) r−1 f (u)g(v) 3d 2(2π) R R R cos x(u + v + t) + sin x(u + v + t) + cos x(u + v − t) − sin x(u + v − t) + cos x(u − v + t) − sin x(u − v + t) − cos x(u − v − t) − sin x(u − v − t) φn (t)dudvdt = 3(−1) r−1 f (u)g(v) cos x(u + v + t) 3d 4(2π) R R R + sin x(u + v + t) φn (t)dudvdt + (−1) r−1 f (u)g(v) cos x(−u − v − t) 3d 4(2π) R R R + sin x(−u − v − t) φn (t)dudvdt − (−1) r−1 f (u)g(v) cos x(u + v − t) 3d 4(2π) R Luận Văn Tốt Nghiệp R R SVTH: Phạm Thị Thê 53 + sin x(u + v − t) φn (t)dudvdt + 3(−1) r−1 f (u)g(v) cos x(−u − v + t) 3d 4(2π) R R R + sin x(−u − v + t) φn (t)dudvdt + (−1) r−1 f (u)g(v) cos x(u − v + t) 3d 4(2π) R R R + sin x(u − v + t) φn (t)dudvdt + 3(−1) r−1 f (u)g(v) cos x(−u + v − t) 3d 4(2π) R R R + sin x(−u + v − t) φn (t)dudvdt − 3(−1) r−1 f (u)g(v) cos x(u − v − t) 3d 4(2π) R R R + sin x(u − v − t) φn (t)dudvdt + (−1) r−1 f (u)g(v) cos x(−u + v + t) 3d 4(2π) R R R + sin x(−u + v + t) φn (t)dudvdt = (−1) r−1 f (u)g(v)(cos xk + sin xk) 3d 4(2π) R R R 3φn (k + u + v) − φn (k + u + v) + φn (k + u − v) − 3φn (k + u − v) + φn (k − u + v) + 3φn (k − u + v) + 3φn (k − u + v) + φn (k − u − v) dudvdk = (−1) r−1 f (u)g(v)(cos xk + sin xk) 3d 4(2π) R R R 2φn (k + u + v) − 2φn (k + u − v) + 4φn (k − u + v) + 4φn (k − u − v) dudvdk = (−1) r−1 f (u)g(v)(cosxk + sinxk) 3d 2(2π) R R R φn (k + u + v) − φn (k + u − v) Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê 54 + 2φn (k − u + v) + 2φn (k − u − v) dudvdk = r−1 (−1) cas xkdk (4π) R d (2π) f (u)g(v) R R φn (k + u + v) − φn (k + u − v) + 2φn (k − u + v) + 2φn (k − u − v) dudvdk =H1 (f φn ∗ H1 ,H2 ,T g)(x) Vậy đẳng thức chứng minh Mệnh đề 1.5.1 Nếu hàm f ∈ L1 (R)và có đạo hàm đến cấp hai thuộcL1 (R) (T f )(x) = −x2 (T f )(x) Chứng minh Ta có: (F f )(x) = √ 2π Và: (F −1 f )(x) = √ 2π Mà: T = Suy ra: (T f )(x) = ∞ f (y)e−ixy dy −∞ ∞ f (y)eixy dy −∞ 2+i − i −1 F+ F 2 2+i − i −1 (F f )(x) + (F f )(x) 2 Khi đó: 2+i − i −1 (F f )(x) + (F f )(x) 2 ∞ ∞ 2+i 2−i −ixy √ = f (y)e dy + f (y)eixy dy 2 2π −∞ (2π) −∞ ∞ ∞ 2+i = √ f (y)e−ixy + f (y)(ix)e−ixy dy −∞ 2π −∞ ∞ ∞ 2−i ixy √ + f (y)e − f (y)(ix)eixy dy −∞ 2π −∞ ∞ ∞ (2 + i)(ix) (2 − i)(ix) −ixy √ f (y)e f (y)eixy dy = dy − 2π (2π) −∞ −∞ (T f )(x) = Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê 55 = = = = = ∞ ∞ (2 + i)(ix) −ixy √ f (y)e + f (y)(ix)e−ixy dy −∞ 2π −∞ ∞ ∞ (2 − i)(ix) ixy √ − f (y)e − f (y)(ix)eixy dy −∞ 2π −∞ ∞ (2 + i)(ix) (2 − i)(ix) ∞ −ixy √ √ f (y)(ix)e dy + f (y)(ix)eixy dy 2π 2π −∞ −∞ ∞ ∞ 2 (2 − i)(ix) (2 + i)(ix) √ f (y)e−ixy dy + f (y)eixy dy 2π (2π) −∞ −∞ ∞ ∞ 2+i 2−i (ix)2 √ f (y)e−ixy dy + f (y)eixy dy 2 2π −∞ −∞ (ix) (T f )(x) = −x2 (T f )(x) Vậy mệnh đề chứng minh Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê 56 Chương ỨNG DỤNG 2.1 Giải phương trình vi phân 2.1.1 Giải phương trình vi phân thường Xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số (xem [4]) (Ly)(x) = g(x), (2.1) với g(x) hàm cho trước (i) Xét L toán tử d2n−1 d d2n+1 L = a2n+1 2n+1 + a2n−1 2n−1 + · · · + a1 , dx dx dx (2.2) với a2n+1 , a2n−1 , , a1 , số Áp biến đổi Hartley H2 vào hai vế phương trình (2.1) sử dụng Mệnh đề 1.2.2, ta thu P (ξ)(H1 y)(ξ) = (H2 g)(ξ), P (x) = (−1)n a2n+1 x2n+1 + (−1)n−1 a2n−1 x2n−1 + · · · + a1 x Suy (H1 y)(ξ) = (H2 g)(ξ) = Q(ξ)(H2 g)(ξ) P (ξ) =(H2 f )(ξ)(H2 g)(ξ), Q(ξ) = Luận Văn Tốt Nghiệp f (ξ) = (H2 Q)(ξ) P (ξ) SVTH: Phạm Thị Thê 57 Từ định lý chập Hartley, ta thu nghiệm phương trình (2.1) y(x) =H1 {(H2 f )(x)(H2 g)(x)} = [f (x + u) − f (x − u) d 2(2π) R + f (−x + u) + f (−x − u)]g(u)du Hoặc sử dụng định lý ngược Hartley ta thu nghiệm (2.1) (H2 g)(u) cas(xu)du y(x) = √ 2π R P (u) (ii) Xét L toán tử d2n−2 d2 d2n L = a2n 2n + a2n−2 2n−2 + · · · + a2 + a0 , dx dx dx với a2n , a2n−2 , , a2 , a0 , số Ngoài cách sử dụng biến đổi Hartley trường hợp (i), ta sử dụng biến đổi T để giải phương trình (2.1) sau: Áp biến đổi T vào hai vế (2.1) sử dụng Mệnh đề 1.5.1, ta thu (−1)n a2n x2n +(−1)n−1 a2n−2 x2n−2 +· · ·−a2 x2 +a0 (T y)(x) = (T g)(x), hay P (ξ)(T y)(ξ) = (T g)(ξ), P (x) = (−1)n a2n x2n + (−1)n−1 a2n−2 x2n−2 + · · · − a2 x2 + a0 Suy (T y)(ξ) = (T g)(ξ) P (ξ) Sử dụng Định lý ngược 1.3.1 T , ta thu nghiệm (2.1) y(x) = √ 2π Luận Văn Tốt Nghiệp (T g)(u) cos(xu) + sin(xu) du R P (u) SVTH: Phạm Thị Thê 58 2.1.2 Giải phương trình đạo hàm riêng Ví dụ 2.1.1 Bài tốn cauchy cho phương trình truyền sóng Giải phương trình: ∂ 2ω 2∂ ω =c , −∞ < x < ∞, t > ∂t2 ∂x2 (2.3) Các điều kiện ban đầu: ω(x, o) = f (x), ωt (x, o) = g(x), −∞ < x < ∞ Đặt: (T ω)(ξ, t) = √ ω(x, t)[2 cos xξ + sin xξ]dx 2π R Đạo hàm theo biến t hai lần ta thu được: ∂ (ω) ∂ (T ω) = √ [2 cos xξ + sin xξ]dx ∂t2 2π R ∂t2 ∂ (ω) c2 √ = [2 cos xξ + sin xξ]dx 2π R ∂x2 c2 ω(x, t)[−2ξ cos xξ − ξ sin xξ]dx = √ 2π R −(cξ)2 = √ ω(x, t)[2 cos xξ + sin xξ]dx 2π R = −(cξ)2 (T ω)(ξ, t) Do đó: ∂ (T ω) = −(cξ)2 (T ω)(ξ, t) ∂t Phương trình (2.4) nghiệm: (2.4) (T ω)(ξ, t) = A(ξ) cos cξt + B(ξ) sin cξt (2.5) Thay vào điều kiện ban đầu vào (2.5):  ω(ξ, 0) = f (x), ω (ξ, 0) = g(x) t Suy ra: (T ω)(ξ, 0) = A(ξ) cos cξ0 + B(ξ) sin cξ0 = A(ξ), Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê 59 hay: (T f )(ξ) = A(ξ) Tương tự: (T ωt )(ξ, 0) = −cξA(ξ) sin cξ0 + ξB(ξ) cos cξ0 = ξB(ξ), hay: (T g)(ξ) = ξB(ξ), (T g)(ξ) , ⇒ B(ξ) = ξ (T ω)(ξ, t) = (T f )(ξ) cos cξt + (T g)(ξ) sin cξt, ξ (2.6) Áp T −1 vào vế (2.6) ta thu nghiệm phương trình (2.3) ω(x, t) = √ 2π cos xξ + sin xξ dξ 1 (T g)(ξ) +√ sin cξt cos xξ + sin xξ dξ ξ 2π R (T f )(ξ) cos cξt R Ví dụ 2.1.2 Sử dụng phép biến đổi T để giải phương trình Schrodinger chiều: i ψt = − 2m ψxx (2.7) Với: −∞ < x < ∞, t > Điều kiện ban đầu: ψ(x, 0) = f (x), −∞ < x < ∞ Áp biến đổi T vào hai vế phương trình (2.7) sử dụng điều kiện ban đầu ta có:   ∂(T ψ) + i ξ T ψ = 0, ∂t 2m (T ψ)(ξ, 0) = (T f )(ξ) (2.8) Nghiệm phương trình (2.8) là: (T ψ)(ξ, t) = (T f )(ξ)e Luận Văn Tốt Nghiệp −i ξ t 2m = (T f )(ξ)e−ikξ t , SVTH: Phạm Thị Thê 60 với k= 2m Sử dụng định lý ngược phép biến đổi tích phân Fourier đối xứng ta thu nghiệm (2.7) là: 1 ψ(x, t) = √ (T f )(ξ)e−ikξ t cos xξ + sin xξ dξ 2π R 1 = cos xξ + sin xξ dξ f (y) [2 cos ξy + sin ξy] dy ∗ e−ikξ t 2π R R = f (y)dy e−ikξ t cos ξ(x − y)dξ 2π R R Vậy: ψ(x, t) = 2π e−ikξ t cos ξ(x − y)dξ f (y)dy R (2.9) R Ta biến đổi tích phân tích phân thứ hai (2.9) sau: 2 e−ikξ t cos ξ(x − y)dξ = R e−ikξ t [cos ξ(x − y) + i sin ξ(x − y)] dξ R exp −ikξ t exp (iξ(x − y)) dξ = R exp −ikt ξ − = R ξ(x − y) kt x−y = exp −ikt ξ − 2kt R dξ i(x − y)2 exp 4kt dξ i(x − y)2 x−y exp −iktu2 du (với u = ξ − ) 4kt 2kt R π i(x − y)2 =(1 − i) exp (2.10) 2kt 4kt = exp Thay (2.10) vào (2.9) được: 1−i ψ(x, t) = √ 2kπt Luận Văn Tốt Nghiệp f (y)e i(x−y)2 4kt dy R SVTH: Phạm Thị Thê 61 2.2 Giải phương trình tích phân 2.2.1 Giải phương trình tích phân dạng chập với nhân Hartley tích chập T Xét phương trình: λϕ(x) + π [p(x − u) + q(x + u)]ϕ(u)du = f (x), (2.11) R λ ∈ C , p, q, f ∈ L1 (R) biết ϕ hàm chưa biết, hàm p, q gọi nhân Tocpletz Hankel tương ứng: Đặt: A1 (x) := λ − 14(H1 p)(x) + 8(T p)(x) + 10(H1 q)(x) − 8(T q)(x), B1 (x) := −4(T p)(x) + 8(H1 p)(x) + 4(T q)(x) − 4(H1 q)(x), A2 (x) := −λ + 2(H1 p)(x) − 4(T p)(x) + 10(H1 q)(x) − 4(T q)(x), B2 (x) := −4(H1 p)(x) + 4(T p)(x) − 8(H1 q)(x) + 8(T q)(x), (2.12) D(x) := A1 (x)B2 (x) − A2 (x)B1 (x), D1 (x) := B2 (x)(H1 f )(x) − B1 (x)(H2 f )(x), D2 (x) := A1 (x)(H2 f )(x) − A2 (x)(H1 f )(x) Định lý 2.2.1 Cho p, q, f hàm thuộc L1 (R) Giả sử điều kiện sau thỏa mãn D(x) = 0, ∀x ∈ R D1 ∈ L1 (R) D Khi đó, phương trình (2.11) có nghiệm L1 (R) H1 D1 D ∈ L1 (R) Trong trường hợp đó, nghiệm phương trình xác định ϕ(x) = H1 D1 D (x) (2.13) Chứng minh Với f, g hàm thuộc L1 (R) từ chập (1.13)-(1.16) (1.17)- (1.20) ta suy ra: Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê 62 f (x − u)g(u)du π R = −14(f ∗ g)(x) − 4(f (2.14) ∗ H1 + 8(f = 2(f ∗ H2 ,H1 ,H1 H1 ,T,T ∗ H1 ,H1 ,T ∗ H2 ,T,T = 10(f ∗ H2 ,H1 ,H1 ∗ H1 ,H1 ,T ∗ H2 ,T,T g)(x) − 4(f ∗ H2 ,T,H1 g)(x) (2.15) g)(x) − 8(f ∗ g)x H1 ,T,H1 g)(x) g)(x) − 8(f + 4(f g)(x) g)(x), H1 ,T,T − 4(f ∗ H2 ,H1 ,T f (x + u)g(u)du π R = 10(f ∗ g)(x) + 4(f ∗ H1 ∗ H1 ,T,H1 g)(x) g)(x) − 4(f + 4(f g)(x) + 8(f ∗ H2 ,H1 ,T g)(x) − 4(f ∗ H2 ,T,H1 g)(x) g)(x) Áp H1 , H2 vào vế phương trình ta sử dụng đẳng thức nhân tử hóa tích chập xuất vế phải, ta có H1 π f (x − u)g(u)du = −14(H1 f (x)(H1 g)(x) R − 4(T f )(x)(T g)(x) + 8(T f )(x)(H1 g)(x) + 8(H1 f )(x)(T g)(x), (2.16) H2 π f (x − u)g(u)du = 2(H1 f )(x)(H1 g)(x) R − 4(H1 f )(x)(T g)(x) − 4(T f )(x)(H1 g)(x) + 4(T f )(x)(T g)(x), (2.17) H1 π f (x + u)g(u)du = 10(H1 f )(x)(H1 g)(x) R + 4(T f )(x)(T g)(x) − 8(T f )(x)(H1 g)(x) − 4(H1 f )(x)(T g)(x), (2.18) H2 π f (x + u)g(u)du = 10(H1 f )(x)(H1 g)(x) R − 8(H1 f )(x)(T g)(x) − 4(T f )(x)(H1 g)(x) + 4(T f )(x)(T g)(x) (2.19) Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê 63 Điều kiện cần Giả sử phương trình(2.11) có nghiệm ϕ ∈ L1 (R), tác động H1 , H2 vào vế phương trình (2.11) sử dụng đẳng thức (2.16)(2.19) ta thu hệ phương trình tuyến tính:  A (x)(H ϕ)(x) + B (x)(T ϕ)(x) = (H f )(x), 1 1 A (x)(H ϕ)(x) + B (x)(T ϕ)(x) = (H f )(x) 2 (2.20) Trong hàm A1 (x), B1 (x), A2 (x), B2 (x) xác định (H1 ϕ)(x) (T ϕ)(x) hàm chưa biết Các định thức hệ cho (2.12) Vì D(x) = với x ∈ R suy ra:  (H ϕ)(x) = D1 (x) , D(x) (T ϕ)(x) = D2 (x) (2.21) D(x) Điều kiện đủ.Từ định lý ngược (1.2.2) phép biến đổi Hartley phép biến đổi tích phân Fourier đối xứng (1.3.1), ta thấy: Suy ra:  ϕ(x) = H D1 (x), ϕ(x) = D T −1 DD2 (x) Hay: ϕ(x) = H1 D (x) D(x) = T −1 D (x) D(x) (2.22) Vì vậy:  H1 D (x) D(x) T −1 D2 (x) D(x) ∈ L1 (R), (2.23) ∈ L1 (R) Từ (2.22) ta có: H1 D (x) D(x) = T −1 D (x) D(x) Xét Hàm số: ϕ(x) = H1 D (x) D(x) = T −1 D (x) D(x) (2.24) Suy ϕ ∈ L1 (R) Áp biến đổi Hartley, biến đổi Fourier đối xứng vào vế (2.22) ta thu được: Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê 64 (H1 ϕ) = D (x) , D(x) (T ϕ) = D (x) D(x) Như vậy, hai hàm (H1 ϕ)(x) (T ϕ)(x) thỏa mãn hệ phương trình Do đó: A1 (x)(H1 ϕ)(x) + B1 (x)(T ϕ)(x) = (H1 f )(x) Khi phương trình viết lại: H1 (λϕ(x) + π [p(x − u) + q(x + u)]ϕ(u)du) = (H1 f )(x) R Từ định lý phép biến đổi Hartley, ta có ϕ thỏa mãn phương trình (2.11) hầu khắp nơi x ∈ R Định lý chứng minh Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê 65 KẾT LUẬN Luận văn đưa số phép biến đổi tích phân dạng Fourier, xây dựng chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân đưa lấy làm cơng cụ để giải số phương trình vi phân, tích phân Luận văn thu số kết sau: Xây dựng số chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley R Đưa số biến đổi tích phân dạng Fourier đối xứng T Chứng minh số đặc trưng tốn tử xây dựng số tích chập có trọng khơng có trọng liên kết biến đổi Hartley T Giải số phương trình vi phân quen thuộc cách sử dụng biến đổi tích phân chập suy rộng xây dựng Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bochner S., and Chandrasekharan K (1949), Fourier transforms, Princeton Uni Press [2] Bracewell R N (1986), The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, N Y [3] Bracewell R N (1986), The Hartley transform, Oxford University Press, Oxford [4] Debnath L., and Bhatta D (2007), Integral Transforms and Their Applications, Second Edition, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton [5] Hartley R V L (1942), “A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems”, Proc I R E., 30, pp 144–150 [6] Rudin W (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, N Y [7] Titchmarsh E C (1986), Introduction to the theory of Fourier integrals, Chelsea, New York [8] Tsitsiklis J N., and Levy B C (1981), “Integral Equations and Resolvents of Toeplitz plus Hankel Kernels”, Technical Report LIDS-P-1170, Laboratory for Information and Decision Systems, M.I.T., silver ed [9] Tuan N M., and Giang B T., “Inversion theorems and the unitary of the integral transforms of Fourier type”, Integ Transform and Spec Func., (accepted) bibitemgiangmt3 Giang B T., Mau N V., and Tuan N M (2009), “Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions”, Integral Equation and Operator Theory, 65(3), pp 363–386 Luận Văn Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Thê ... xét biến đổi tích phân Ta,b = aTc + bTs , a, b ∈ C, gọi biến đổi tích phân dạng Fourier Với lí trên, em lựa chọn đề tài "Phép biến đổi tích phân dạng Fourier ứng dụng giải số phương trình vi phân. .. đến vi? ??c giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Có nhiều cách giải đáng ý biến đổi Fourier (xem [4]): Thứ nhất, phương trình thay phương trình đại số. .. Phạm Thị Thê Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 1.1 Biến đổi tích phân Fourier Trong mục này, luận văn trình bày lại số kết liên quan phép biến đổi Fourier Các kết chứng minh chi tiết