Luận văn phương trình tích phân volterra

sinh µ x quá trìnhx lí có th đưc hoànt ành... Xét phương trình tích phân Volterra... Theo nguyên lý qui n p, ta có đpcm... Ch ng minh.

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

3 Nghi m tư ng minh c a m t s phương trình tích phân d ng

Volterra

3.1 Phương trình tích phân Abel

3.1.1 Phương trình tích phân Abel lo i m t 3.1.2

Phương trình tích phân Abel lo i hai 3.1.3 Phương trình tích phân d ng Abel 3.1.4 Phương trình

tích phân Abel v i nhân t ng quát

3.2 Phương trình Volterra v i các nhân đa th c hay phân th c h u t

3.2.1 Đ o hàm theo tham s trong tích phân xác đ nh 3.2.2 Nhân đa th c b c nh t 3.2.3 Nhân đa th

c b c hai 3.2.4 Nhân đa th c b c

ba 3.2.5 Nhân lũy th a b c cao 3.2.6 Nhân phân th c h u

3.3 Phương trình Volterra v i nhân căn th c hay lũy th a phân 47

3.3.1 Nhân căn th c 47 3.3.2 Nhân lũy th a phân 49

3

L i cám ơn

L i đ u tiên, tôi xin trân tr ng c m ơn Th y - TS Nguy n Văn Ng c đã t n

tâm hư ng d n, đ ng viên tôi trong su t quá trình th c hi n lu n văn này

Xin chân thành c m ơn Quý th y cô khoa Toán - Cơ - Tin, Trư ng Đ i h c Khoa

H c T Nhiên, ĐHQG Hà N i đã t n tâm truy n đ t ki n th c và kinh nghi m cho tôi trong su t khóa h c

Xin c m ơn Phòng Sau Đ i h c Trư ng Đ i h c Khoa H c T nhiên, ĐHQG Hà N

i đã t o đi u ki n thu n l i đ tôi hoàn thành khóa h c

Cho tôi g i l i c m ơn chân thành t i các đ ng nghi p, các b n h c viên cao h c

Gi i Tích khóa 2013-2015 đã giúp đ tôi trong th i gian h c t p và th c hi n lu n văn

Hà N i, tháng 11 năm 2015

Lê Th Thu Hà

1

M đu

Nhi u v n đ trong toán h c(phương trình vi phân v i đi u ki n biên hay đi u ki n ban đ u, phương trình đ o hàm riêng), cơ h c, v t lí và các ngành kĩ thu t khác d

n đ n nh ng phương trình trong đó hàm chưa bi t ch a dư i d u tích phân Nh ng

lo i phương trình đó đư c g i là phương trình tích phân Phương trình tích phân là công c toán h c h u ích trong nhi u lĩnh v c nên đư c quan tâm nghiên c u theo nhi u khía c nh khác nhau như s t n t i nghi m, s x p x nghi m, tính ch nh hay không ch nh, nghi m ch nh hóa,

Lý thuy t t ng quát c a các phương trình tích phân tuy n tính đư c xây d ng

bu i giao th i c a các th k XIX, XX, ch y u là trong các công trình c a Volterra, Fredholm và Hilbert, v.v Phương trình tích phân tuy n tính có

d ng

b

αu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, (1)

a

trong đó u(x) là hàm c n tìm ( n hàm), f(x) và K(x, y) là nh ng hàm cho trư c

và tương ng đư c g i là v ph i và nhân (h ch) c a phương trình đã cho,α là h ng s

đã cho Phương trình (1) đư c g i là phương trình lo i 1 hay lo i 2, tùy thu c vàoα

= 0, hayα = 0 tương ng

Thông thư ng, trong trư ng h p (a, b) là kho ng h u h n và K(x, y) là hàm liên t

c hay kh tích trong hình ch nhât (a, b) ⋅ (a, b) thì phương trình (1) đư c g i là

λu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b (3)

x

2

đây, có th x y ra trư ng h p là b = +∞. N u K(x, y) có d ng K(x-y) thì

phương trình tích phân đư c g i là phương trình tích ch p

M c đích c a lu n văn này là tìm hi u và h c các phương pháp gi i hình th c các phương trình tích phân Volterra

N i dung c a lu n văn đư c trình bày trong ba chương:

Chương 1 trình bày phương pháp x p x liên ti p gi i gi i phương trình Volterra lo i hai v i v ph i và nhân là nh ng hàm liên t c

Chương 2 trình bày phép bi n đ i tích phân Laplace và v n d ng phép bi n

đ i này gi i phương trình tích phân Volterra d ng ch p trên n a tr c th c

Chương 3 trình bày v nghi m tư ng minh c a m t s phương trình tích phân d

ng Volterra là phương trình tích phân Abel và m t s phương trình Volterra khác

3

Chương 1

Phương trình tích phân Volterra

lo i hai t ng quát và phương pháp

trong đó s h ng t do f(x) là hàm bi n ph c liên t c trên [a, b] và h ch K(x, t) có giá tr

ph c và liên t c trên tam giác T (a, b) = {(x, t) : a ≤ x ≤ b, a ≤ t ≤ x} Ta luôn gi thi t r ng các h ch Volterra th a mãn đi u ki n K(x, t) ≡ 0 n u x < t và h ch bi n m t trên đư ng chéo c a hình vuông Q(a, b) N uλ = 0 thì Φ(x) = f (x) là nghi m duy nh t cu phương trình tích phân

N u |λ| đ nh đΦ(x) ≈ f(x) thì ph n t do là hàm x p x ban đ uΦ0(x)

v i nghi m c a phương trình, đ m b o r ng m t nghi m t n t i

N u hàm x p x th nh t Φ1(x) v iΦ(t) đư c cho bi t b ng vi c thay th

Φ(t) b iΦ0(t) = f (t) trong tích phân ta đư c

x

Φ1(x) = f (x) + λ K(x, t)Φ0(t)dt

a

4

N u tích phân

x

K(x, t)Φ0(t)dt = 0

a

thìΦ1(x) = f(x) = Φ0(x) và quá trình l p đi l p l i k t thúc đây Đi u đó ch

ra r ng s ng u nhiên có th x y ra, xét phương trình

luôn gi s r ng tích phân không bi n m t m i bư c N u tích phân m t đi

thìΦn (x) = f(x) = Φ0(x) và quá trình l p này sai

M i x p x Φn (x)} có m t d ng thay th N u thay x p x th nh t vào x p

Chú ý r ng h ch l p K2(x, t) ≡ 0 n u x < t Đi u này d n t i K(x, s) ≡ 0 khi

x < s và K(s, t) ≡ 0 khi s < t T nh ng s kho ng trùng lên nhau khi x < t, nó

ch ra r ng tích phân ch khác 0 khi t ≤ s ≤ x

Thêm vào đó vi c l p l i d n t i d ng t ng quát

Φn (x) = f (x) +

n m=1

Dãy {Φn (x)} c a các x p x liên t c h i t tuy t đ i và đ u trên [a, b] T đó

ta gi s r ng K(x, t) liên t c trên tam giác đóng T (a, b) và K(x, t) ≡ 0 n u x < t,

t n t i s M sao cho |K(x, t)| ≤ M trên hình vuông Q(a, b) Do đó

c a phương trình tích phân (1.1) v i m i giá tr ph cλ khi nó đư c xác đ nh

b i m t chu i h i t tuy t đ i Ta có th thay đ i th t c a t ng và tích phân

m t cách h p lý cho nhau, d ng c a nghi m tr thành

và k t h p v i hai b t đ ng th c trên ta đư c

Đ nh lý 1.1 (Đ nh lý x p x liên ti p) Choλ là m t tham s ph c và cho

f (x) là m t hàm liên t c có giá tr ph c xác đ nh trên [a, b] Cho K(x, t) là m t h ch liên t c có giá tr ph c xác đ nh trên tam giác T (a, b), v i K(x, t) ≡ 0 n u x < t Khi đó

v i m i giá tr c aλ nghi m liên t c duy nh t c a phương trình

M t k t qu đáng lưu ý trong đ nh lý này làΦ(x) ≡ 0 n u f(x) ≡ 0

M t k t qu khác cũng đáng lưu ý là các h ch Volterra không có giá tr riêng,

t chu i gi i th c là m t hàm hoàn toàn theoλ

Đ l n c a sai l ch do x p xΦn (x) trong ư c tính nghi mΦ(x) có th đư c

ư c lư ng đ u gi ng như ư c lư ng thi t l p trong ch ng minh V i m i x ∈ [a, b]

T ng v ph i có th đư c ư c lư ng b i d ng Lagrange còn l i c a chu i lũy

th a Làm tương t ta có đư c ư c lư ng đ u

n

Φ(x) −Φn (x) ∞

≤ e b [|λ| M (nb!− a)]

Do đó đ l n c a sai l ch s nh như mong mu n v i n đ l n

Phương pháp x p x liên ti p thi t l p ch c ch n s tương đương gi a vi c gi i m t phương trình tích phân Volterra c a lo i th hai v i vi c tính toán h ch gi i th c R(x, t,

λ) t h ch K(x, t) đã cho Nh ng ví d sau đây s ch ng minh s tương đương này

9

M t k t qu c a đ nh lý là nghi m c a phương trình tích phân là

Ví d 1.2 N u m t h ch có th phân chia dư i d ng K(x, t) = a(x)b(t) thì các

h ch l p c a nó có th d dàng tính đư c

10

K t qu này đúng chính xác so v i k t qu đã tính ví d trên

M t ví d khác v tính kh d ng c a phương pháp này, xét v i h ch đơn

11

T K(s, s) =

1 1+

s , L(s) = ln(1 + s), theo quy t c trong ví d trư c ta có

m

+ 1

µ

m

= 0

(2

m

+

1)

!

=

1 sinh (µ (x − t)) µ

Như m t k t qu c a đ nh

lý, nghi m c a phương trình là

x

Φ(x)

= f (x) + µ

sinh

(µ (x

quá

trìnhx

lí

có

th

đưc

hoànt

ành

h

m t ch

hi

m

c a phươ

ng trìn

h tích

phân

Volterra

Φ0(x)

= 1 + √ 1

2

arctan 1

−

x

x

ΦΦ

2

t

(1

t đó ta

đư cΦ (0)

= 1 N u ta đ

o hàm phương trình tích

ph

ân thê

m hai

ng kh

ai

13

tri n Maclaurin c a nghi m là

T P7(x, t) phù h p v i h ch nâng lên lũy th a t7, thay th h ch b i P7(x, t)

trong tính toán ta đư c

cùng đư c v đ th trên cùng m t nơi, đ th c a chúng không th nh n th y

rõ b ng m t thư ng M t kĩ thu t phân tích kĩ lư ng s ti t l nh ng l i nh có

trong đó trên đo n [0; 1] 2

Ví d 1.6 Xét phương trình tích phân Volterra

nghi m c a phương trình tích phân gi s có d ng

Chương 2

Phương trình tích phân Volterra

d ng ch p và bi n đ i Laplace

Chương này trình bày phép bi n đ i tích phân Laplace và v n d ng phép bi n đ

i này gi i phương trình tích phân Volterra d ng ch p trên n a tr c th c N i dung c

a chương này đư c hình thành ch y u t các tài li u [1], [3]

Có m t s đ nh nghĩa tương đương c a hàm Beta B(p, q) (hàm Beta)đư c

đ nh nghĩa theo công th c

1

B(p, q) = u p−1(1 − u) q−1du,

0

16

trong đó p và q dương đ tích phân t n t i B ng phép đ i bi n thông

• Đ nh nghĩa Phương pháp bi n đ i Laplace không ch là m t công c c c

kì h u ích đ gi i nh ng phương trình vi phân thư ng tuy n tính mà còn có giá

tr tương đ i trong vi c gi i nh ng phương tích phân Volterra tuy n tính c a m t

• Các ví d Đ minh h a cho đ nh nghĩa, xét m t s ví d sau đây

là

n− 1

L{f(n)(t)} =sn L{f(t)}− f ( )(0)s n− 1 −m

18

Th c t này là lý do bi n đ i Laplace có th đư c dùng đ gi i nh ng

phương trình vi phân thư ng tuy n tính v i h s h ng

• Các tính ch t c a bi n đ i Laplace

Tính ch t 2.1 Cho các hàm g c f k có các ch s tăng làλk , bi n đ i Laplace là

F k , k = 1, 2, , n. Khi đó bi n đ i Laplace c a hàm t h p tuy n

n u không nh m l n, sau này ta s vi t d ng t t cho thu n ti n

T tính ch t 1 và k t qu nói trên, ta s tìm bi n đ i Laplace c a các hàm

thông d ng sau đây

f 0+

− p2 − • • •

f (N) 0+

p N+1 .

Theo nguyên lý qui n p, ta có đpcm

Ví d 2.7 Tìm nghi m c a phương trình vi phân sau đây

y + 2y − 3y = e−t ,

y (0) = y (0) = 0

21

Đ t Y = L [y], l y bi n đ i Laplace hai v c a phương trình trên và s d ng tính ch t 5, ta có

Ch ng minh Đ t g (t) = 0t f (τ )dτ thì g liên t c, suy ra đo đư c G iλ0 là

(−F (u)) du,

g c có các ch s tăng làα0 vàβ0 , liên t c t ng khúc trên m i kho ng h u h n c a R+

N u ta xem f và g xác đ nh trên R , tri t tiêu trên kho ng

f ∗ g là hàm g c có ch s tăngγ0 ≤ max {λ0, β0} Ti p theo, ta có

• Công th c bi n đ i Laplace ngư c

Cho hàm g c f trơn t ng khúc trên m i kho ng h u h n c a n a tr c

Tích phân trong (2.10) đư c hi u theo nghĩa giá tr chính, và công th c này

có tên là công th c Mellin

Trong công th c Mellin eqrefbm gi thi t F là bi n đ i Laplace c a m t

hàm g c f(t) cho trư c V n đ đ t ra là F ph i th a mãn các đi u ki n gì đ nó có

th là bi n đ i Laplace c a m t hàm g c nào đó? Ta có đ nh lý dư i đây mà ph

n ch ng minh đư c b qua

Đ nh lý 2.2 Cho hàm F th a mãn các đi u ki n sau

(i) F gi i tích trong mi n Rep > α0

(ii) Khi |p| → ∞ trong m i mi n Rep > α0, thì hàm F ti n v 0 đ u theo

arg p ∈ − π ,π

22

.

(iii) V i m i x > α0 t n t i h ng s dương M, sao cho

Đ nh lý dư i đây cho phép ta tìm hàm g c c a m t hàm chính qui t i vô c c

Đ nh lý 2.3 Gi s r ng thác tri n gi i tích c a F lên n a m t ph ng trái là m t hàm gi i tích đơn tr Gi s L (f) = F và p = ∞ là đi m chính

qui c a F, i.e., F có khai tri n t i vô c c như sau

26

2.3 Phương trình Volterra trên n a tr c

Gi s f(x) liên t c và b ch n N u h t nhân K(x, t) th a mãn đi u ki n

kh tích, thì có th dùng phương pháp x p x liên ti p đ suy ra nghi m

duy nh t c a các phương trình này dư i d ng tương ng

trong đó R(x, t; λ) là h t nhân gi i th c xây d ng t phép l p c a K(x, t)

trên m i kho ng c n tích phân tương ng

N u h t nhân K(x, t) tách đư c ho c là h t nhân sai phân, thì có m t s

k thu t mà đã đư c trình bày trư c đây trong quy n sách này có th đư c dùng đây

Ví d 2.11 N u h t nhân là tách đư c, thì phương trình tích phân kỳ

d thư ng đư c bi n đ i thành phương trình đ o hàm riêng ho c h tuy n tính các phương trình đ o hàm riêng

Xét phương trình tích phân kỳ d Volterra

x

φ(x) = e x + 2 e−3(x−t)φ(t)dt

−∞

27

N u ta nhân vào phương trình này e 3x r i l y đ o hàm, ta thu đư c phương trình tuy n tính c p m t

mà có h t nhân là tích ch p ho c h t nhân sai phân, có th đư c gi i v i

bi n đ i Laplace, m c dù nghi m có th không là duy nh t Công th c bi n

Sau khi bi n đ i phương trình tích phân này thành phương trình vi phân,

ta thu đư cδ (x) + δ(x) = 0 Do đó,δ(x) = ce−x, trong đó c là h ng s tùy

ý Suy ra nghi m t ng quát nh t c a phương trình tích phân có d ng

φ(x) = φ(0)e−x − 6xe−x

N u phương trình tích phân đư c bi n đ i thành phương trình vi phân theo quán trình tóm t t như trong ví d trư c thì nghi m t ng quát này thu đư c m t cách tr c ti p

v i K(x, t) = sin(x − t) N u phương pháp bi n đ i Laplace đư c miêu t

trong các m c trư c áp d ng trong phương trình này ta đư c

t đây ta k t lu n đư cφ(x) = cosx

Nh n xét 2.1 N u ta l y đ o hàm theo x hai v phương trình tích phân

(2.15) ta đư c phương trình Volterra lo i m t sau:

Ví d 2.14 ( Phương trình tích phân Abel trên n a tr c) Phương trình Abel

là phương trình tích phân d ng Volterra v i nhân có kỳ d y u lũy th a Xét

phương trình tích phân Abel lo i m t trên n a tr c

T e x−t là m t h ch ch p , ta có th áp d ng bi n đ i Laplace cho phương

trình này Sau m t s bư c đơn gi n ta tìm đư c

không có nghi m liên t c trên m t đo n có d ng [0, b] v i b b t kì, t cos x = 0 Tuy nhiên ta v n có th s d ng bi n đ i Laplace cho phương trình này, ta đư c

L {Φ (x)} = 1 − s2 s 1 − s2 1 1 = L {δ (x) − cos x − sinx}

t đây ta k t lu nΦ (x) = δ (x) − cos x − sinx là m t nghi m c a phương trình,

trong đóδ (x) là hàmδ-Dirac

Ví d 2.16 Cho J0 (x) ch ra hàm Bessel c a lo i th nh t th t không Nghi m

c a phương trình tích phân Volterra

2

k k

2m − 2k

m−k

31

= 22m

đ ng nh t th c này có nghĩa v i m i m ≥ 0 Đ ng nh t th c này này không

m i Th t v y, nó có th thu đư c tr c ti p b ng cách bình phương chu i

T B mp = C mp v i t t c các giá tr nguyên không âm m và p, ta đư c m t k t

Chương 3

Nghi m tư ng minh c a m t s

phương trình tích phân d ng

Volterra

Chương này trình bày v nghi m tư ng minh c a m t s phương trình tích phân

d ng Volterra là phương trình tích phân Abel, phương trình Volterra v i các nhân

đa th c hay phân th c h u t , phương trình Volterra v i nhân căn

th c hay lũy th a phân, v.v N i dung c a chương này đư c hình ch y u t các tài

li u [2], [3]

• Phương trình tích phân Abel lo i m t là phương trình có d ng

chu i lũy th a và phương pháp s

• Phương pháp chu i lũy th a Đ t

∞

tim đư c nghi m c a phương trình này Trong m c này s trình bày hai phương phương trình Abel, đó là phương pháp

trong đó a0 = 0 và chu i h(x)/x a đư c gi s là bán kính h i t dương N u

Ta đư c phép l y tích phân t ng s h ng trong mi n h i t Các tích phân

đây đư c tính toán và rút g n theo hàm bêta và các tính ch t c a nó

M t khác, n u s h ng không thu n nh t đã bi t f(x) có khai tri n Maclau-

v i gi thi t bán kính h i t dương, trong đó b0 = 0, thì so sánh các h s

c a hai chu i ch ra các h s c a nghi mφ(x) có th đư c vi t theo các

• Phương pháp tích phân Volterra

N u ta thay x b ng s trong phương trình 3.1 nhân v i ds/(x − s)1−α, và sau

đó l y tích phân theo s, ta thu đư c

s

t=0 x

sau khi đ i th t tích phân (Sinh viên nên ki m tra bư c này sau khi xét

gi thi t thích h p c aφ(x) ví d như tính liên t c) Tích phân trong v ph i có th tính

đư c như tích phân bêta v i phép th đơn gi n N u ta

3.1.2 Phương trình tích phân Abel lo i hai

Phương trình tích phân Abel lo i hai có d ng

x

φ(x) = f (x) + λ

0 √ 1 φ(t)dt

x−t

Gi sφ(x) liên t c t i x = 0 N u ta thay x b i s, nhân v i ds/√x − s, và l y

tích phân theo s, ta thu đư c

3.1.3 Phương trình tích phân d ng Abel

Gi s v ph i c a phương trình đã bi t, ta gi phương trình gi ng phương trình Abel

d ng t ng quát Sau m t vài bi n đ i ta có đư c phương trình Abel lo i

Ban đ u Abel xét phương trình (3.1) v iα = 1/2 khi nghiên c u bài toán đ ng th i

mà nghi m ph bi n trong sách

M c dù phương trình (3.1) đôi khi đư c coi như phương trình Abel t ng quát,

th m chi d ng t ng quát hơn c a nó t n t i Ví d , n u B(x, t) b ch n và

liên t c trong tam giác T (0, 1) v i B(x, x) = 0, thì phương trình

x

f (x) =

0 B(x, t) φ(t)dt (x − t)α

cũng đư c kh o sát Nó đư c gi i b ng cách biên đ i thành phương trình tích phân Volterra lo i 1 tương đương như sau N u ta thay x b i s, nhân v i 1/(x − s)(1 −

α), và l y tích phân k t qu thu đư c, sau khi rút g n ta đ t đư c phương