Luận văn phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng

Theo gi thi t quy... Ch ng minh.

Đ I H C QU C GIA HÀ N I

ĐÀO NGUY N VÂN ANH

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN V I TOÁN T

KH NGH CH PH I VÀ ÁP D NG

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

HÀ N I - NĂM 2015

Đ I H C QU C GIA HÀ N I

ĐÀO NGUY N VÂN ANH

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN V I TOÁN T

c l c

1.1 M t s l p toán t tuy n tính 31.1.1 Toán t tuy n tính

31.1.2 Toán

t đ i s

71.1.3 Toán

t Volterra 81.2 Toán t kh ngh ch ph i 81.2.1 Toán t kh ngh ch ph i

81.2.2 Toán

t ban đ u

91.2.3 Công

th c Taylor 171.3 Các phép toán c a toán t ngh ch đ o ph i Volterra 211.4 Đ c trưng c a đa th c c a toán t kh ngh ch ph i 25

2 Phương trình v i toán t kh ngh ch ph i và áp d ng 30 2.1 Phương trình v i toán

2.2 Bài toán Cauchy

h

ch ph i

30

i

đ u

Phương trình vi phân đóng m t vai trò quan tr ng trong kĩ thu t, v t lý, kinh t và m t s ngành khác Có nhi u phương pháp đ gi i m t phương trình vi phân v i các đi u ki n ban đ u và m t trong s các phương pháp đó là s d ng lý thuy t toán t kh ngh ch ph i

M c tiêu c a Lu n văn là trình bày lý thuy t và cách gi i bài toán giá tr ban đ u c a lý thuy t toán t kh ngh ch ph i áp d ng công th c Taylor-

Gontcharov và trư ng h p riêng c a nó là công th c Taylor Dư i s hư ng d n c

a GS TSKH Nguy n Văn M u, tác gi đã hoàn thành lu n văn v i

đ tài

"Phương trình vi phân v i toán t kh ngh ch ph i và áp d ng"

Lu n văn đư c chia làm hai chương:

• Chương 1: Tính ch t c a toán t kh ngh ch ph i

• Chương 2: Phương trình v i toán t kh ngh ch ph i và áp d ng

Chương 1 trình bày m t s ki n th c cơ b n v các l p toán t tuy n tính và tính

ch t c a toán t kh ngh ch ph i, công th c Taylor Chương 2 n i dung chính c

a Lu n văn, trình bày v phương trình v i toán t kh ngh ch ph i và áp d ng công th c Taylor vào vi c gi i các bài toán c th

M c dù có nhi u c g ng, song do th i gian và trình đ còn h n ch nên lu n văn khó tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y tác gi r t mong nh n đư c s góp ý c acác th y cô và các b n đ Lu n văn đư c hoàn thi n hơn

Qua lu n văn này, tác gi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n GS TSKH Nguy n Văn M u, ngư i Th y đã truy n cho tác gi có ni m say mê nghiên c u toán h c Th y đã t n tình hư ng d n, giúp đ tác gi trong su t quá trình h c t p

và hoàn thi n lu n văn này

Tác gi xin chân thành c m ơn Ban Giám hi u, Phòng Đào t o Sau

1

đ i h c, Khoa Toán-Cơ-Tin, các th y cô

đã t o đi u ki n thu n l i đ hoàn

thành b n lu n văn này

Sau cùng tác gi xin g i l i bi t ơn sâu s c đ n gia đình đã luôn t o đi u ki n

t t nh t trong su t quá trình h c cũng như th c hi n lu n văn này

Xin chân thành c m ơn!

Hà N i, ngày tháng năm 2015

Tác gi

Đào Nguy n Vân Anh

2

C h ư ơ n g 1

Tính ch t c a toán t kh ngh ch

ph i

1.1 M t s l p toán t tuy n tính

1.1.1 Toán t tuy n tính

Đ nh nghĩa 1.1 ([1]-[2]) Gi s X và Y là hai không gian tuy n tính trên cùng

m t trư ng vô hư ng M t ánh x A t t p tuy n tính dom A c a

X vào Y đư c g i là toán t tuy n tính n u

A(x + y) = Ax + Ay v i m i x, y dom A, A(tx) = tAx v i m i x dom A, t

T p dom A đư c g i là mi n xác đ nh c a toán t A

Gi s G dom A Đ t AG =Ax : x G Theo đ nh nghĩa, AG Y T

p AG đư c g i là nh c a t p G T p Adom A đư c g i là mi n giá tr c a toán t A (t p

giá tr c a A) và là không gian con c a Y

T p t t c các toán t tuy n tính v i mi n xác đ nh ch a trong không gian X và mi n giá tr ch a trong không gian Y ký hi u b i L(X Y )

Đ nh nghĩa 1.2 ([1]-[2]) Toán t đ ng nh t trong không gian X là toán t

I X xác đ nh b i I X x = x v i m i x X

Sau này n u không gây nh m l n, ta s ký hi u I thay cho I X

Đ nh nghĩa 1.3 ([1]-[2]) N u toán t A L(X Y ) là tương ng 1-1 thì

3

toán t ngh ch đ o A1 đư c đ nh nghĩa theo cách: V i m i y Adom A

A1y = x, trong đó x dom A và y = Ax

Đ ý r ng, theo gi thi t, m i y ng v i m t x dom A duy nh t và dom A1

= A dom A Y, A1dom A1 = dom A X V i m i xdom A, n u y = Ax

N u toán t A L(X Y ) có toán t ngh ch đ o thì ta nói A kh ngh ch

Đ nh nghĩa 1.4 ([1]-[2]) Toán t A L(X Y ) đư c g i là đ ng c u n u dom A

= X, A dom A = Y và n u A là tương ng 1-1

Theo đ nh nghĩa, n u A đ ng c u thì nó kh ngh ch, toán t ngh ch đ o

A 1 cũng là tương ng 1-1 và dom A1 = Y, A1dom A1 = X Do đó A1 cũng

(A + B)x = Ax + Bx v ix dom A dom B,

N u dom A = dom B = dom C thì (A + B) + C = A + (B + C) và

A + B = B + A

Đ ý r ng toán t C mà A + C = B v i A, B L(X Y ) không nh t thi t

ph i t n t i Đi u này suy ra t vi c mi n xác đ nh c a A và B có th khác nhau

N u toán t C t n t i thì C = B A và C đư c g i là hi u c a các toán t B và

A; phép toán "-" đư c g i là phép tr Theo đ nh nghĩa, n u B A xác đ nh t t thì B A = B + (A) trên dom A dom B

Đ t L0(X Y ) =A L(X Y ) : dom A = X Do t ng c a hai

toán t tùy ý thu c L0(X Y ) xác đ nh t t, th a mãn tính k t h p và giao

4

hoán, ng v i m i c p toán t A, B

L0(A B) t n t i toán t C = BA

nên L0(X Y ) là m t nhóm Abel Ph n t trung hòa c a nhóm này là

toán t  sao cho x = 0 v i m i x X Sau này ta ký hi u toán t không

này b i 0 T công th c (1.1) ta suy ra nhóm Abel L0(X Y ) là không

gian tuy n tính trên trư ng

Đ nh nghĩa 1.7 ([1]-[2]) Gi s X, Y, Z là các không gian tuy n tính trên trư

ng vô hư ng, A L(X Y ), B L(Y Z) và Bdom B dom A

Y Tích c a AB c a các toán t A và B xác đ nh b i

Theo đ nh nghĩa, AB L(X Z), dom AB = dom B, ABdom AB =

dom A = X Công th c (1.2) ch ra r ng L0(X) không nh ng là không

gian tuy n tính mà còn là vành tuy n tính theo phép nhân các toán t

A, B L0(X) xác đ nh b i tích AB c a chúng Th t vây, n u A, B L0(X)

thì dom B dom A = X Do đó, AB xác đ nh t t v i m i A, B L0(X) Vành tuy

n tính L0(X) có đơn v là toán t đ ng nh t I X = I Tuy nhiên, L0(X) là vành không giao hoán và không có ư c c a 0

Đ nh nghĩa 1.9 ([1]-[2]) Toán t P L0(X) đư c g i là toán t chi u n u P 2 = P , trong đó P 2 = P.P

N u P L0(X) là toán t chi u thì I P cũng là toán t chi u M i

toán t chi u xác đ nh s phân chia không gian X thành t ng tr c ti p

Đ nh nghĩa 1.11 ([1]-[2]) Không gian khuy t c a toán t A L(X Y )

là không gian thương Y /Adom A S khuy t (deficiency)  A c a toán t

A L(X Y ) xác đ nh b i công th c

A = dim Y /Adom A

Theo đ nh nghĩa s khuy t  A chính là đ i chi u c a mi n giá tr c a A

Đ nh nghĩa 1.12 ([1]-[2]) M t toán t tuy n tính A mà mi n xác đ nh c a

nó dom A = X và l y giá tr trên trư ng vô hư ng (trư ng các s th c R

hay các trư ng s ph c C) đư c g i là phi m hàm tuy n tính xác đ nh trong không gian X Ta ký hi u X là t p t t c các phi m hàm tuy n tính xác

đ nh trong không gian X

N u X là không gian n chi u sinh b i các ph n t (x1, , x n) thì m i

Gi s X là không gian tuy n tính n chi u v i cơ sx1, , x n và

Y là không gian tuy n tính m chi u v i cơ sy1, , y m trên cùng m t

n

trư ng vô hư ng Cho A L0(X Y ) và x = t j x j X, trong đó

j=1 n

j=1

bi n đ i cơ sx1, , x n thành cơ sy1, , y m b i toán t A Do đó,

6

t n t i s tương ng 1-1 gi a các toán t A L0(X Y ) và các ma tr n

Đ nh nghĩa 1.13 ([1]-[2]) Toán t A L0(X Y ) đư c g i là h u h n chi u n u

mi n giá tr c a nó h u h n chi u N u dim Adom A = n thì ta

nói A là toán t n chi u

Đ nh nghĩa 1.14 ([1]-[2]) Toán t A L0(X Y ) đư c g i là kh ngh ch ph i (trái) n u t n t i toán t B L0(Y X) sao cho AB = I Y (tương

ng BA = I X)

Ta cũng ch ng minh đư c r ng

(i) A kh ngh ch ph i khi và ch khi nó là toàn ánh, t c là  A = 0,

(ii) A kh ngh ch trái n u Ker A =0, t c là  A = 0,

(iii) N u A v a kh ngh ch trái v a kh ngh ch ph i thì A kh ngh ch

1.1.2 Toán t đ i s

Gi s X là không gian tuy n tính trên trư ng đóng đ i s và A

L0(X) Vô hư ng  đư c g i là giá tr chính quy c a A n u toán t

A I kh ngh ch

Đ nh nghĩa 1.15 ([1]-[2]) Gi s = C Ta nói toán t A L0(X) là toán t đ i

s n u t n t i đa th c P (t) = p0 + p1t + + p N t N C sao cho

P (A) = 0 trên X

p N = 1 Toán t đ i s A L0(X) là toán t b c N n u không t n t i đa

th c đ nh chu n Q(t) b c m < N sao cho Q(A) = 0 trên X Đa th c P (t)

như th đư c g i là đa th c đ c trưng c a A và nghi m c a nó đư c g i là nghi m

đ c trưng c a A

7

1.1.3 Toán t Volterra

Đ nh nghĩa 1.16 ([1]-[2]) Toán t A L0(X) đư c g i là toán t Volterra

n u toán t I A kh ngh ch v i m i vô hư ng  T p h p các toán t

Volterra thu c L0(X) ký hi u là V (X)

N u A V (X) thì phương trình thu n nh t (I A)x = 0 ch có

nghi m không v i m i vô hư ng 

1.2 Toán t kh ngh ch ph i

1.2.1 Toán t kh ngh ch ph i

Cho X là m t không gian tuy n tính trên trư ng vô hư ng

Đ nh nghĩa 1.17 ([1]-[2]) Toán t D L(X) đư c g i là kh ngh ch ph i

n u t n t i m t toán t R L0(X) sao cho RX dom D và DR = I Toán

t R đư c g i là ngh ch đ o ph i c a D

T p h p t t c các toán t kh ngh ch ph i đư c kí hi u là R(X), còn

t p h p t t c các ngh ch đ o ph i c a toán t D R(X) làD Ta cũng

vi tD =R

Đ nh nghĩa 1.18 ([1]-[2]) Gi s x là m t ph n t tùy ý cho trư c c a

không gian X Cho D R(X), t p h p R D x = Rx  đư c g i là tích

phân b t đ nh c a x M i ph n t R v i   đư c g i là m t nguyên hàm

c a x

Theo đ nh nghĩa, n u y là m t nguyên hàm c a x thì Dy = x Th t v y, n

u y là m t nguyên hàm c a x thì t n t i m t ch s   sao cho

2 Gi s r ng D R(X), R1, R2D

và y1 = R1x, y2 = R2x trong đó

x X là ph n t tùy ý Khi đó y1 y2 Ker D

B ng l i: Hi u c a hai nguyên hàm c a m t ph n t x X cho trư c là m t

h ng t đó suy ra m t tích phân b t đ nh đư c xác đ nh t t n u ta bi t ít nh t m t ngh ch đ o ph i

B đ 1.1 Cho t0 [a, b] và m t s th c tùy ý c N u hàm s x(t) xác đ nh trên kho

ng [a,b] có nguyên hàm (t) thì t n t i m t nguyên hàm (t) c a

x(t) sao cho (t0) = c

B đ 1.2 N u dãyx n[a, b] h i t đ u đ n hàm s x và m i hàm s x n(t) có nguyên hàm là  n(t) thì hàm s x có nguyên hàm

B đ 1.3 M i hàm s liên t c trên kho ng đóng có m t nguyên hàm trong

(ii.) F R = 0

T đ nh nghĩa ta suy r ng

Hơn n a, ta có DF = 0 trên X, Ker F = RX và Ker D Ker F =0 Th

t v y, theo đ nh nghĩa F x Ker D v i m i x X, do đó DF x = 0 Do x tùy ý nên DF = 0 T tính ch t F R = 0 suy ra r ng Ker F = RX Gi s bây gi z

Ker D và F Z = 0 Khi đó, theo (1.5), ta có z = F z = 0 Đi u này ch ng t Ker

= I N u ta đ t F = IBA thì ta có F = IBA = II = 0

T m nh đ này suy ra các toán t ban đ u không t m thư ng ch t n t i v i toán t kh ngh ch ph i mà không kh ngh ch T đó, ta có đ nh lý

Các tính ch t c a toán t ban đ u

Tính ch t này ch ra r ng toán t FR FR ch ph thu c vào các ch

s ,  Đi u này cho phép ta đ t

đ i d u c a toán t tích phân xác đ nh và d n đ n s thay đ i d u c a tích phân xác đ nh c a m t ph n t tùy ý

Ph n t F x b t kỳ, trong đó x X và F là m t toán t ban đ u, đư c

g i là giá tr ban đ u c a ph n t x Vì x dom D là m t nguyên hàm c a

11

7 Gi s D R(X), dim Ker D = 0, F và F1 = F là các toán t ban đ u

c a D, và F tương ng v i ngh ch đ o ph i R D Khi đó v i m i zKer D t

Đ nh lý 1.3 Gi s D R(X), F L0(X) là phép chi u lên không gian các h ng s Khi đó F là toán t ban đ u c a D ng v i ngh ch đ o ph i

R = R1 F R1 v i m i R1D và R đư c xác đ nh m t cách duy nh t,

không ph thu c vào vi c ch n R1D

8 N u D R(X) và R, R1D giao hoán thì R1 = R

9 N u D R(X) và F, F1 là các toán t ban đ u c a D giao hoán thì F1 = F

10 Gi s D R(X) và F1, F2 là các toán t ban đ u c a D l n lư t tương

(Bx)(t) = e (ts)x(s)ds v i x[a, b] (1.21)

t0

13

trong đó t0 [a, b] c đ nh tùy ý Ta c n ch ng minh

(I + B)(I R) = (I R)(I D) = I v i m i  R (1.22) Không m t t ng quát ta gi s  = 0 Do đó, s d ng tích phân t ng

Do đó, (I + B)(I R) = I Ch ng minh tương t ta đư c, (I

R)(I + B) = I Vì v y, t (1.22) suy ra toán t R kh ngh ch v i m i vô

14

Vì th , F z = z v i z Ker D, t c là F là toàn ánh lên Ker D Cho

x X c đ nh tùy ý Đ t z = F x Khi đó z Ker D và F 2x = F (F x) = F z = z =

F X Do x X tùy ý nên ta suy ra F là phép chi u lên không gian các h ng s Ker

(

R x

)(

Th t v y, theo công th c tích phân t ng ph n ta tìm đư c

1(Rx)(t) = [(R0 F R0)x](t) = x(s)ds b a x(u)du

ds

=

a t t

ta đã ch ra r ng các toán t (F a x)(t) = x(a) và (F b x)(t) = x(b) là các toán

t ban đ u c a toán t D = d/dt Do v y, theo Đ nh lý 1.5, ta suy ra F là

m t toán t ban đ u c a D = d/dt vì F = dF a + (1 d)F b và t ng các h

s d, 1 - d b ng 1 Các toán t ban đ u F a và F b tương ng v i các ngh ch

đ o ph i R a và R b đư c xác đ nh theo th t như sau

16

D =F là h các toán t ban đ u c m sinh b iD =R Cho

n  là dãy tùy ý các ch s Khi đó, v i m i s nguyên dương N ta có

= I F0 R0 Rk1FkD k

k=1

trên mi n xác đ nh c a D N+1

N u cho RN = R và FN = F v i n = 0, 1, 2 ta có ngay h qu sau

H qu 1.1 (Công th c Taylor) N u D R(X) và F là m t toán t ban

đ u c a D ng v i ngh ch đ o ph i R D thì

N1

I= R k F D k + R N D N trên dom D N (N = 1, 2, ) (1.26)

k=0

H qu 1.2 Gi s t t c các gi thi t c a Đ nh lý 1.6 đư c th a mãn Khi

a t0 b c đ nh tùy ý Áp d ng công th c Taylor cho toán t D = d/dt,

b ng phương pháp quy n p ta s ch ng minh r ng

(k 1)!

(k = 1, 2, 3, ).

(1.27)

V i k = 1 công th c này suy ra t đ nh nghĩa toán t R

Gi s công th c này đúng v i k 1 c đ nh tùy ý Theo gi thi t quy

x(u)du)ds = [R k(Rx)](t) = (R k+1 x)(t)

18

Hàm s R N (t) đư c g i là ph n dư tích phân th N trong công th c

Taylor (1.29) Đ có đư c các ph n dư dư i các d ng khác, ta có th áp d ng tính ch t c đi n sau c a các hàm s liên t c: M i hàm s x[a, b] có

19

m =

ainf

b x(t) và M = sup x(t) trong kho ng (a, b) Hơn n a, v i b t kỳ

thì ta có m(t)(t t0) R N (t) M (t)(t t0), v i m i t [a, b]

Khi đó t n t i m t s  (0, 1) sao cho

Chu i h i t (1.35) đư c g i là chu i Taylor N u đi u ki n (1.34) th a

mãn thì ta nói hàm s x(t) khai tri n thành chu i Taylor trong kho ng [a,b]

Đ c bi t, n u t0 = 0 và đi u ki n (1.34) th a mãn thì ta nói hàm s x(t) khai

tri n thành chu i Maclaurin d ng

Khai tri n Maclaurin cho m t s hàm sơ c p đơn gi n

1.3 Các phép toán c a toán t ngh ch đ o ph i Volterra

Đ nh lý 1.7 Cho D R(X), R1, R2D Khi đó R1R2 là m t toán t Volterra n

21

(1.) 0 = z Ker D

F1u = F1[z + R1(tR1 vR2)(I tR2)1z] 1

= F1 z = 0

và do đó u = 0

(2.) 0 = z Ker D2Ker D

Cho z = R1z1 + z2, trong đó z1, z2 Ker D, z1 = 0 thì

u = (I vR1R2)q = (I vR1R2)(I tR2)1z 1

R1R2 là toán t Volterra là

F1(I tR2)1 = 0,t C, 0 = z Ker D 1 (1.39)

Đ nh lý 1.9 Cho D R(X) và R1R2D V (X) Khi đó đi u ki n c n

và đ đ R1 + R2 là toán t Volterra là

23

Ch ng minh Đ t R = 1(R1 + R2) khi đó

R D Do đó m i vector

2riêng c a R ( n u t n t i ) ph i có d ng

Do đó 2u = z + (I tR2)(I tR1)1z, t c là

2(I tR2)1u = (I tR1)1z + (I tR2)1z

V y u = 0 khi và ch khi v ph i c a đ ng th c trên khác 0 và ta thu đư c (1.40)