Luận văn phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T ĐÀO NGUY N VÂN ANH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN V I TOÁN T KH NGH CH PH I VÀ ÁP D NG LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C HÀ N I - NĂM 2015 NHIÊN Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T ĐÀO NGUY N VÂN ANH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN V I TOÁN T KH NGH CH PH I VÀ ÁP D NG Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60.46.01.02 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Ngư i hư ng d n khoa h c GS TSKH NGUY N VĂN M U HÀ N I - NĂM 2015 NHIÊN M cl c M đu Tính ch t c a toán t kh ngh ch ph i 1.1 M t s l p toán t n tính 1.1.1 Toán t n tính 3 tđis t Volterra 1.2 Toán t kh ngh ch ph i 1.2.1 Toán t kh ngh ch ph i t ban đ u th c Taylor 1.3 Các phép toán c a toán t ngh ch đ o ph i Volterra 1.4 Đ c trưng c a đa th c c a toán t kh ngh ch ph i Phương trình v i toán t 2.1 Phương trình v i toán 2.2 Bài toán Cauchy 2.3 Ví d áp d ng kh ngh ch ph i t kh ngh ch ph i áp 31.1.2 Toán 71.1.3 Toán 81.2.2 Toán 91.2.3 Công 17 21 25 d ng 30 30 37 50 K t lu n 56 Tài li u tham kh o 57 i M đu Phương trình vi phân đóng m t vai trò quan tr ng kĩ thu t, v t lý, kinh t m t s ngành khác Có nhi u phương pháp đ gi i m t phương trình vi phân v i u ki n ban đ u m t s phương pháp s d ng lý thuy t toán t kh ngh ch ph i M c tiêu c a Lu n văn trình bày lý thuy t cách gi i toán giá tr ban đ u c a lý thuy t toán t kh ngh ch ph i áp d ng công th c TaylorGontcharov trư ng h p riêng c a công th c Taylor Dư i s hư ng d n c a GS TSKH Nguy n Văn M u, tác gi hoàn thành lu n văn v i đ tài "Phương trình vi phân v i toán t kh ngh ch ph i áp d ng" Lu n văn đư c chia làm hai chương: • Chương 1: Tính ch t c a toán t kh ngh ch ph i • Chương 2: Phương trình v i toán t kh ngh ch ph i áp d ng Chương trình bày m t s ki n th c b n v l p toán t n tính tính ch t c a toán t kh ngh ch ph i, công th c Taylor Chương n i dung c a Lu n văn, trình bày v phương trình v i toán t kh ngh ch ph i áp d ng công th c Taylor vào vi c gi i toán c th M c dù có nhi u c g ng, song th i gian trình đ h n ch nên lu n văn khó tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y tác gi r t mong nh n đư c s góp ý c a th y cô b n đ Lu n văn đư c hoàn thi n Qua lu n văn này, tác gi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n GS TSKH Nguy n Văn M u, ngư i Th y truy n cho tác gi có ni m say mê nghiên c u toán h c Th y t n tình hư ng d n, giúp đ tác gi su t trình h c t p hoàn thi n lu n văn Tác gi xin chân thành c m ơn Ban Giám hi u, Phòng Đào t o Sau đ i h c, Khoa Toán-Cơ-Tin, th y cô t o u ki n thu n l i đ hoàn thành b n lu n văn Sau tác gi xin g i l i bi t ơn sâu s c đ n gia đình t o u ki n t t nh t su t trình h c th c hi n lu n văn Xin chân thành c m ơn! Hà N i, ngày tháng năm 2015 Tác gi Đào Nguy n Vân Anh Chương Tính ch t c a toán t kh ngh ch ph i 1.1 1.1.1 M t s l p toán t n tính Toán t n tính Đ nh nghĩa 1.1 ([1]-[2]) Gi s X Y hai không gian n tính m t trư ng vô hư ng Φ M t ánh x A t t p n tính dom A c a X vào Y đư c g i toán t n tính n u A(x + y) = Ax + Ay v i m i x, y ∈ dom A, A(tx) = tAx v i m i x ∈ dom A, t ∈ Φ T p dom A đư c g i mi n xác đ nh c a toán t A Gi s G ∈ dom A Đ t AG = {Ax : x ∈ G} Theo đ nh nghĩa, AG ⊂ Y T p AG đư c g i nh c a t p G T p Adom A đư c g i mi n giá tr c a toán t A (t p giá tr c a A) không gian c a Y T p t t c toán t n tính v i mi n xác đ nh ch a không gian X mi n giá tr ch a không gian Y ký hi u b i L(X → Y ) Đ nh nghĩa 1.2 ([1]-[2]) Toán t đ ng nh t không gian X toán t IX xác đ nh b i IXx = x v i m i x ∈ X Sau n u không gây nh m l n, ta s ký hi u I thay cho IX Đ nh nghĩa 1.3 ([1]-[2]) N u toán t A ∈ L(X → Y ) tương ng 1-1 toán t ngh ch đ o A −1 đư c đ nh nghĩa theo cách: V i m i y ∈ Adom A − A 1y = x, x ∈ dom A y = Ax − Đ ý r ng, theo gi thi t, m i y ng v i m t x ∈ dom A nh t dom A = − − A dom A ⊂ Y, A 1dom A = dom A ⊂ X V i m i x ∈ dom A, n u y = Ax − − − − (A 1A)x = A 1(Ax) = A 1y = x, (AA 1)y = − − − A(A 1y) = Ax = y Do A 1A = I , AA = IAdom A Cho nên A dom − − A xác đ nh nh t ngh ch đ o c a A D dàng ki m tra r ng A m t toán t n tính N u toán t A ∈ L(X → Y ) có toán t ngh ch đ o ta nói A kh ngh ch Đ nh nghĩa 1.4 ([1]-[2]) Toán t A ∈ L(X → Y ) đư c g i đ ng c u n u dom A = X, A dom A = Y n u A tương ng 1-1 Theo đ nh nghĩa, n u A đ ng c u kh ngh ch, toán t ngh ch đ o − − − − A−1 tương ng 1-1 dom A = Y, A 1dom A = X Do A đ ng c u Đ nh nghĩa 1.5 ([1]-[2]) Hai không gian X Y đư c g i đ ng c u n u t n t i m t đ ng c u A ánh x X lên Y Đ nh nghĩa 1.6 ([1]-[2]) T ng c a hai toán t A, B ∈ L(X → Y ) tích c a toán t v i vô hư ng đư c xác đ nh sau dom (A + B) = dom A ∩ dom B (A + B)x = Ax + Bx v ix ∈ dom A ∩ dom B, (tA)x = t(Ax) v i x ∈ dom A, t ∈ Φ (1.1) N u dom A = dom B = dom C (A + B) + C = A + (B + C) A + B = B + A Đ ý r ng toán t C mà A + C = B v i A, B ∈ L(X → Y ) không nh t thi t ph i t n t i Đi u suy t vi c mi n xác đ nh c a A B có th khác N u toán t C t n t i C = B − A C đư c g i hi u c a toán t B A; phép toán "-" đư c g i phép tr Theo đ nh nghĩa, n u B − A xác đ nh t t B − A = B + (−A) dom A ∩ dom B Đ t L0(X → Y ) = {A ∈ L(X → Y ) : dom A = X} Do t ng c a hai toán t tùy ý thu c L0(X → Y ) xác đ nh t t, th a mãn tính k t h p giao hoán, ng v i m i c p toán t A, B ∈ L0(A → B) t n t i toán t C = B −A nên L0(X → Y ) m t nhóm Abel Ph n t trung hòa c a nhóm toán t Θ cho Θx = v i m i x ∈ X Sau ta ký hi u toán t không b i T công th c (1.1) ta suy nhóm Abel L0(X → Y ) không gian n tính trư ng Φ Đ nh nghĩa 1.7 ([1]-[2]) Gi s X, Y, Z không gian n tính trư ng vô hư ng, A ∈ L(X → Y ), B ∈ L(Y → Z) Bdom B ⊂ dom A ⊂ Y Tích c a AB c a toán t A B xác đ nh b i (AB)x = A(Bx) v i m i x ∈ dom B (1.2) Theo đ nh nghĩa, AB ∈ L(X → Z), dom AB = dom B, ABdom AB = AB Tích (n u xác đ nh t t) có tính phân ph i đ i v i phép c ng toán t tính k t h p Đ nh nghĩa 1.8 ([1]-[2]) Hai toán t A B đư c g i giao hoán n u c hai tích AB, BA đ u t n t i AB = BA dom A = dom B Đ t L(X) = L(X → X) L0(X) = L0(X → X) = {A ∈ L(X) : dom A = X} Công th c (1.2) ch r ng L0(X) không nh ng không gian n tính mà vành n tính theo phép nhân toán t A, B ∈ L0(X) xác đ nh b i tích AB c a chúng Th t vây, n u A, B ∈ L0(X) dom B ⊂ dom A = X Do đó, AB xác đ nh t t v i m i A, B ∈ L0(X) Vành n tính L0(X) có đơn v toán t đ ng nh t IX = I Tuy nhiên, L0(X) vành không giao hoán c c a Đ nh nghĩa 1.9 ([1]-[2]) Toán t P ∈ L0(X) đư c g i toán t chi u n u P = P , P = P.P N u P ∈ L0(X) toán t chi u I − P toán t chi u M i toán t chi u xác đ nh s phân chia không gian X thành t ng tr c ti p X = Y ⊕ Z, Y = {x ∈ X : P x = x}, Z = {x ∈ X : P x = 0} Th t v y, n u x ∈ Y ∩ Z x = x = P x = N u x ∈ X z = x − P x ∈ Z b i P (x − P x) = P x − P 2x = P x − P x = x = y + z y = P x ∈ Y, z = x − P x = (I − P )x ∈ Z Đ nh nghĩa 1.10 ([1]-[2]) Gi s A ∈ L(X → Y ) T p h p Ker A = {x ∈ dom A : Ax = 0} đư c g i nhân c a toán t A T p h p Ker A không gian n tính c a A S chi u c a nhân c a toán t A ∈ L(X → Y ) đư c g i s khuy t (nullity) c a A ký hi u b i αA, t c αA = dim Ker A Đ nh nghĩa 1.11 ([1]-[2]) Không gian khuy t c a toán t A ∈ L(X → Y ) không gian thương Y /Adom A S khuy t (deficiency) βA c a toán t A ∈ L(X → Y ) xác đ nh b i công th c βA = dim Y /Adom A Theo đ nh nghĩa s khuy t βA đ i chi u c a mi n giá tr c a A Đ nh nghĩa 1.12 ([1]-[2]) M t toán t n tính A mà mi n xác đ nh c a dom A = X l y giá tr trư ng vô hư ng Φ (trư ng s th c R hay trư ng s ph c C) đư c g i phi m hàm n tính xác đ nh không gian X Ta ký hi u X t p t t c phi m hàm n tính xác đ nh không gian X N u X không gian n chi u sinh b i ph n t (x1, , xn) m i n phi m hàm n tính f có d ng f (x) = tjaj x = j=1 n j=1 tjxj ∈ X, t1, , tn ∈ Φ aj = f (xj) (j = 1, , n), t c f xác đ nh m t cách nh t b i giá tr c a ph n t c a s c a X Gi s X không gian n tính n chi u v i s {x1, , xn} Y không gian n tính m chi u v i s {y1, , ym} m t n trư ng vô hư ng Φ Cho A ∈ L0(X → Y ) x = n t1, , tn ∈ Φ tùy ý Khi Ax = A j=1 tj x j = j=1 n tjxj ∈ X, tjAxj M t khác, j=1 m Ax ∈ Y nên ta có th tìm đư c c1, , cm ∈ Φ cho Ax = m Th t v y, Axj ∈ Y nên ta có Axj = k=1 1, 2, , n; k = 1, 2, , m) Vì th , n Ax = j=1 n tjAxj = j=1 ajkyk, ajk ∈ Φ (j = m tj m k=1 k=1 aj k y k = k=1 n j=1 tjajk yk n V y ta có ck = j=1 tjajk (k = 1, 2, , m) Các h s ajk xác đ nh phép bi n đ i s {x1, , xn} thành s {y1, , ym} b i toán t A Do đó, c k yk Vì dim Ker (I + Θ) = nên dim Ker (I + Q) = (Áp d ng Đ nh lý 2.4(iii)) Vì th , (2.39) gi i đư c n u ch n u u ki n (2.27) đư c th a mãn Áp d ng B đ 2.6 cho phương trình (2.39) ta đư c (2.38) Đ nh lý đư c ch ng minh Ví d 2.2 L y X := Χ([0, 1]), C), D := d/dt, R := t , (F x)(t) := x(0) R toán t Volterra, t c là, I + βR kh ngh ch v i m i β ∈ C Xét phương trình (I + βRk+1Dk)x = y, y ∈ Xk (2.40) Vì I + βR(= I + βDkRk+1) kh ngh ch, áp d ng B đ 2.2, ta đư c I + βRk+1Dk kh ngh ch Xk Do đó, (2.40) có nghi m nh t − x = (I − βRk(I + βRk) 1Dk)y ∈ Xk Vì th , toán giá tr ban đ u  (D + βRkDk)x = y, y ∈ Xk,  F x = y1, y1 ∈ Ker D  (2.41) có nghi m nh t có d ng − x = [I − βR(I − βR) 1Dk](Ry + y1) (2.42) Th t vây, toán (2.41) tương đương v i phương trình (I + βRk+1Dk)x = Ry + y1, t c là, có d ng (2.40) Ví d 2.3 L y Γ m t đư ng cong đóng không gian ph c l y X = Hµ(Γ) (0 < µ < 1) Xét toán t X x(s)ds, (Ax)(t) := a(t)x(t), s−t D := d/dt, (Sx)(t) = πi Γ (Bx)(t) := b(t)x(t), (Bjx)(t) := bj(t)x(t), (Cjx)(t) := Γ cj(s)x(s)ds, j = 0, , 48 a, b ∈ Xn, bj, cj ∈ X (j = 0, , m) L y R m t toán t Volterra ngh ch đ o tùy ý c a D l y F := I − RD Xét toán giá tr ban đ u n m k k=0 dk D (A + BS)x + j=0 BjCjx = f, (2.43) F Dkx = βk, βk ∈ C (k = 0, , n), (2.44) ak ∈ C (k = 0, , n), an = T B đ 2.5, toán tương đương v i phương trình n −1 (anI + m n k=0 n−1 k n ak R D )(A + BS)x + j=0 R B jCj x = n R f + l=0 Vì anI + an−1R + + a0Rn kh ngh ch, B đ 2.2 ch r ng (2.45) tương đương v i (A + BS + K)x = y n −1 m K := j −0 (anI + k=0 n −1 y := (anI + n−1 n k=0 − akRnDk) 1RnBjCj, k −1 n ak R D ) (R f 49 + l=0 Rlβl) Rlβl (2.45) (2.46) 2.3 Ví d áp d ng Ví d 2.4 Gi i phương trình vi phân x" + λx = sin t v i t ∈ [0, T ](T > 0), x(0) = x0, x (0) = x1 x0, x1 ∈ R Đây toán giá tr ban đ u c a toán t D = d/dt không gian C(0, T ) v i toán t ban đ u (F x)(t) = x(0) ng v i ngh ch đ o ph i t (Rx)(t) = x(s)ds Q(D) = D2 + λD = D2(I + λR) Vì toán t R kh ngh ch v i m i λ ∈ R nên toán cho có nghi m nh t − x = [I − R2(I + λR) 1λD](R2y + Rx1 + x0) − = R2 + Rx1 + x0 − λR2(I + λR) 1(Ry + x1) t Ta có R1x = t x1ds = x1t, (Ry)(t) = t s (R y)(t) = t (− cos s + 1)ds = − sin t + t sin udu = sin sds = − cos t + 0 T công th c (1.20) ta suy v i m i λ = − − (I + λR) 1(Ry + x1) = (I + λR) 1(− cos t + + x1) t = − cos t + + x1 − λ e − ) λ(t−s (− cos s + + x )ds = λ2 cos t − + λR2(I + λR)−1(Ry + λ 2λ2 + x e−λt 13 + λ2 sin t +λ t−1 + λ2 sin t − λ(1 + 2λ2 + λ2 x ) − e λt 2λ − 2λ + λ x1 − λ t + λ(1 + 2λ2 + λ2x1 + λ2 ) 2 Do đó, x(t) = λ2 sin t + cos t + λ(1 + 2λ2 + λ2x1)e λ 50 − λt 1 1 2 + (1 + 2λ + λ x1 + x1 − λ )t − λ(1 + 2λ + λ x1 + λ ) + x0 2 V i λ = x(t) = (R2y + Rx1 + x0)(t) = − sin t + t + x1t + x0 Ví d 2.5 Gi i phương trình vi phân x" + λ2x = v i t ∈ [0, T ](T > 0), x(0) = x0, x (0) = x1 x0, x1 ∈ Ρ Đây toán giá tr ban đ u c a toán t D = d/dt không gian Χ(0, T ) v i toán t ban đ u (F x)(t) = x(0) ng v i ngh ch đ o ph i t (Rx)(t) = 2 x(s)ds Q(D) = D2 + λ2 = D2(I + λ2R2) Vì toán t I+ λ R = (I + λiR)(I − λiR) tích c a hai toán t kh ngh ch nên kh ngh ch Do đó, v i λ = toán cho có nghi m nh t − x = (I + λ2R2) 1(Rx1 + x0) − − = λR(I + λ2R2) 1x1 + (I + λ2R2) 1x0 λ = s (x1) + c (x0) λ λλ Vì th , x(t) = x1 sin(λt) + x0 cos(λt) nghi m c a toán cho λ V i λ = x(t) = (Rx1 + x0)(t) = x1t + x0 Ví d 2.6 Gi i phương trình vi phân x" − 5x + = v i t ∈ [0, T ](T > 0), x(0) = x0, x (0) = x1 x0, x1 ∈ R Đây toán giá tr ban đ u c a toán t D = d/dt không gian C(0, T ) v i toán t ban đ u (F x)(t) = x(0) ng v i ngh ch đ o ph i t (Rx)(t) = x(s)ds Q(D) = D2 − 5D + = D2(I − 5R + 6R2) Vì toán t I − 5R + 6R2 = 1(I − 2R)(I − 3R) tích c a hai toán t kh ngh ch nên kh ngh ch Do đó, toán cho có nghi m nh t − x = (I − 5R + 6R2) 1(Rx1 + x0) − − = 1(I − 2R) 1[(I − 3R) 1(Rx1 + x0) t x1ds = x1t Ta có Rx1 = 51 T công th c (1.20) ta suy t e3(t−s)(x1s + x0)ds − (I − 3R) 1(x1t + x0) = x1t + x0 + = (1 x1 + x 0) e3t − 1x1 3 D o 1x đ ó , +x e3t − 1x x(t) = 1(I − − 2R) =1 1x + x e3t − 1x + = e e2(t−s) e3s(1x1 + x0) − 1x1 ds t 1x1 + x0 − 1x1 − x0 e2t − 1x1 36 Ví d 2.7 Gi i phương trình vi phân x (t) − 5x(−t) = 6t − 1, t ∈ R, x(0) = đ ưK= ơe nr g D Khi đó, v phương trình tr Áthành (I − 5RA)x i p= Ry + 1, hay t ( I d Đây toán giá tr ban đ u c a toán t n D = d/dt, (F x)(t) = x(0) −g t (Rx)(t) = RF x(s)ds, (Ax)(t) A = x(−t) ) xv Dx − 5Ax = y, = o y(t) = 6t2 − 1, (F x)(t) = R yh tro ng +a kh i z ôn , g v gi an t t X r a = o Χ( n s R) g u Đ ý r ng A toán t đ i s A = I A y đ giao hoán v i toán t D, t c AD = DA Phương trình cho có ór th vi t đư c dư i d ng a z D(I − 5RA)x = y tương z ∈ ( I − R A ) ( x ) = ( s − ) ds + = t − t + Đ t I = P + Q , A = P − Q, suy P = 1(I + A), Q = 1(I − A) 2 D dàng ki m tra đư c P = P, Q2 = Q P Q = Phương trình tr thành [(P + Q) − 5(P − Q)R]x = 2t3 − t + hay [(I − 5R)P + (I + 5R)Q]x = 2t3 − t + Ta có (I − 5R)P x = P (2t3 − t + 1) = 1(I + A)(2t3 − t + 1) = Suy − (P x)(t) = (I − 5R) t e5(t−s)ds = e5t =1+5 Tương t , (I + 5R)Qx = 2t3 − t, suy − (Qx)(t) = 1(3t2 − 28t − 25 + 25 − e 5t) 5 1 Ta có I = P + Q hay x = Ix = (P + Q)x nên x = P x + Qx − Do đó, x = 3t2 − 28t − + e 5t + e5t 5 25 125 Ví d 2.8 Gi i phương trình vi phân x (t) − 2x(t + 1) = sin πt, t ∈ R, x(0) = l p hàm tu n hoàn chu kỳ 2, t c x(t + 2) = x(t), ∀t ∈ R Đây toán giá tr ban đ u c a toán t D = d/dt, (F x)(t) = x(0) (Rx)(t) = t x(s)ds, (Bx)(t) = x(t + 1) Dx − 2Bx = y, y(t) = sin πt, (F x)(t) = không gian hàm liên t c tu n hoàn chu kỳ R Đ ý r ng B toán t đ i s B2 = I B giao hoán v i toán t D R, t c BD = DB, BR = RB Phương trình cho có th vi t đư c dư i d ng D(I − 2RB)x = y tương đương v i (I − 2RB)x = Ry + z, 53 z ∈ Ker D Áp d ng F vào hai v ta suy z = Khi đó, phương trình tr thành (I − 2RB)x = Ry + 1, hay t (sin πs)ds + (I − 2RB)(x) = = − cos πt + π Đ t I = P + Q , A = P − Q, suy P = 1(I + A), Q = 1(I − A) 2 D dàng ki m tra đư c P = P, Q2 = Q P Q = Phương trình tr thành [(P + Q) − 2(P − Q)R]x = − cos πt + π hay [(I − 5R)P + (I + 5R)Q]x = − cos πt + π Ta có (I − 2R)P x = P (− cos πt + 1) π = 1(I + B)(− cos πt + 1) π = − 2π cos π(t + 1) − cos(π)t + 2π Suy − (P x)(t) = (I − 2R) 1(−21π cos π(t + 1) − 21π cos(π)t + 1) = −21π cos π(t + 1) − 21π cos(πt) + t −1 π cos π(s + 1) − cos(πs) − e2(t−s)ds = −4 + π2 π cos π(t + 1) + π cos πt + sin π(t + 1) + sin(πt) − + π e2t + 2 Tương t , (I + 2R)Qx = cos π(t + 1) − cos(πt), suy 2π 2π (Qx)(t) = + π2 π cos π(t + 1) + 2π − π2 cos πt + sin π(t + 1) − sin(πt) 54 Ta có I = P + Q hay x = Ix = (P + Q)x nên x = P x + Qx Do đó, x = − cos(πt) − 2 sin(πt) − + π e2t + π 4+π 55 K t lu n Lu n văn "Phương trình vi phân v i toán t kh ngh ch ph i áp d ng" gi i quy t đư c nh ng v n đ sau: Lu n văn trình bày chi ti t khái ni m, tính ch t toán t n tính, toán t đ i s , toán t Volterra, toán t kh ngh ch ph i, toán t ban đ u Ti p theo, lu n văn trình bày công th c Taylor-Grontcharov, v i trư ng h p riêng công th c Taylor v i toán t kh ngh ch ph i Cu i cùng, m t s l p toán v phương trình v i toán t kh ngh ch ph i gi i ví d áp d ng 56 Tài li u tham kh o Ti ng Vi t Nguy n Văn M u (2006), Lý thuy t toán t phương trình tích phân kỳ d , NXB ĐHQGHN Ti ng Anh D.Przeworska-Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, Amsterdam-Warsaw D Przeworska-Rolewicz and S Rolewicz (1968), Equations in linear spaces, Warsaw Pub D Przeworska-Rolewicz and S Rolewicz (1973), Equations with transformed argument An algebraic approach, Warsaw Pub Nguy n Văn M u (2005), Algebraic elements and boundary value problems in linear spaces, VNU Pub House 57 ... Các phép toán c a toán t ngh ch đ o ph i Volterra 1.4 Đ c trưng c a đa th c c a toán t kh ngh ch ph i Phương trình v i toán t 2.1 Phương trình v i toán 2.2 Bài toán Cauchy 2.3 Ví d áp d ng... đu Phương trình vi phân đóng m t vai trò quan tr ng kĩ thu t, v t lý, kinh t m t s ngành khác Có nhi u phương pháp đ gi i m t phương trình vi phân v i u ki n ban đ u m t s phương pháp s d ng... N VÂN ANH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN V I TOÁN T KH NGH CH PH I VÀ ÁP D NG Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60.46.01.02 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Ngư i hư ng d n khoa h c GS TSKH NGUY N VĂN M U HÀ