bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải và trái và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNHOÀNG THU PHƯƠNG BÀI TOÁN NỘI SUY SINH BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ TRÁI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011... Đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG THU PHƯƠNG

BÀI TOÁN NỘI SUY SINH BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI

VÀ TRÁI VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG THU PHƯƠNG

BÀI TOÁN NỘI SUY SINH BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI

VÀ TRÁI VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - 2011

Mục lục

1 Lý thuyết toán tử khả nghịch phải 5

1.1 Toán tử khả nghịch phải trên không gian tuyến tính 5

1.2 Toán tử ban đầu 11

1.3 Công thức Taylor và Taylor - Gontcharov 26

2 Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải 29 2.1 Bài toán nội suy tổng quát sinh bởi toán tử khả nghịch phải 29 2.2 Một số bài toán nội suy cổ điển 36

2.2.1 Bài toán nội suy Hermit 36

2.2.2 Bài toán nội suy Lagrange 42

2.2.3 Bài toán nội suy Newton 45

2.2.4 Bài toán nội suy Taylor 51

3 Lý thuyết toán tử khả nghịch trái 57 3.1 Toán tử khả nghịch trái trên không gian tuyến tính 57

3.2 Toán tử đối ban đầu 62

3.3 Công thức Taylor và Taylor - Gontcharov 66

4 Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch trái 68 4.1 Bài toán nội suy tổng quát sinh bởi toán tử khả nghịch trái 68 4.2 Một số bài toán nội suy cổ điển 70

4.2.1 Bài toán nội suy Hermit 70

4.2.2 Bài toán nội suy Lagrange 70

4.2.3 Bài toán nội suy Newton 714.2.4 Bài toán nội suy Taylor 71

Tài liệu tham khảo 77

Mở đầu

Các bài toán nội suy và những vấn đề liên quan đến nó là một phầnquan trọng của đại số và giải tích toán học Nó có vị trí đặc biệt trongtoán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóngvai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên tục cũng như các

mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp

xỉ, lý thuyết biểu diễn,

Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán khu vực

và quốc tế, Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, cácbài toán liên quan đến nội suy rất hay được đề cập và thuộc loại khó vàrất khó Các bài toán về khai triển, đồng nhất thức, ước lượng và tính giátrị cực trị của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn củamột biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các bài toánnội suy tương ứng

Các bài toán nội suy là một chuyên đề chọn lọc cần thiết cho giáo viên

và học sinh hệ chuyên toán bậc trung học phổ thông, sinh viên năm đầuđại học và cũng là chuyên đề cần nâng cao cho bậc sau đại học

Vì những lí do đó nên tôi quyết định chọn đề tài " Bài toán nội suysinh bởi toán tử khả nghịch phải và trái và áp dụng" Đây là một đề tàithiết thực, giúp tôi có thể hiểu sâu sắc hơn về lí thuyết nội suy cũng như

có ý nghĩa thực tiễn đối với việc giảng dạy của tôi sau này

Luận văn gồm 4 chương

Chương 1 Lý thuyết toán tử khả nghịch phải

Chương 2 Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải

Chương 3 Lý thuyết toán tử khả nghịch trái

Chương 4 Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch trái.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu đã tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này.Tôi cũng vô cùng biết ơn các thầy, cô giáo, đặc biệt là các thầy, cô giáotrong Tổ Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học

Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã dạy dỗ, đóng góp về mặt nội dungcũng như cách thức trình bày luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2011Hoàng Thu Phương

Chương 1

Lý thuyết toán tử khả nghịch phải

Cho X là không gian vectơ trên trường vô hướng F (F = R hoặc

F = C) Kí hiệu L(X) là tập tất cả các toán tử tuyến tính có miền xácđịnh và miền giá trị chứa trong X, tức là

Khi đó toán tử R được gọi là một nghịch đảo phải cuả D

Kí hiệu R(X) là tập tất cả các toán tử khả nghịch phải thuộc L(X) và

RD là tập tất cả các nghịch đảo phải của D Khi đó, ta có

Định nghĩa 1.2 Toán tử ∆ ∈ L(X) được gọi là khả nghịch trái nếu tồntại toán tử L ∈ L(X) sao cho ∆X ⊂ domL và L∆ = I

Kí hiệu Λ(X) là tập các toán tử khả nghịch trái và L∆ là tập tất cảkhả nghịch trái của ∆ ∈ Λ(X).

Định nghĩa 1.3 Toán tử ∆ ∈ L(X) được gọi là khả nghịch nếu nó vừakhả nghịch phải và vừa khả nghịch trái

Ví dụ 1.1 Cho X = C(a, b) là tập hợp các hàm liên tục trên (a, b) với

Định nghĩa toán tử D như sau

trong đó t0 cố định bất kì thuộc (a, b), x ∈ C(a, b)

Ta thấy R là một toán tử tuyến tính và (Rx)(t) ∈ C(a, b) với x(t) ∈

hay D là toán tử khả nghịch phải

Tuy nhiên toán tử D không khả nghịch

Thật vậy, vẫn với toán tử R xác định như trên ta có

Nếu x(t0) 6= 0 thì (RDx)(t) 6= x(t), hay RD 6= I.

Như vậy toán tử D khả nghịch phải nhưng không khả nghịch

Ví dụ 1.2 Giả sử X là tập hợp tất cả các dãy vô hạn x = {xn} ={x0, x1, x2, }, với xn ∈ F (trong đó F = R hoặc F = C ) Tập X đượctrang bị hai phép toán:

Phép cộng

Phép nhân vô hướng

Tập X được xác định như trên là một không gian tuyến tính

Trên X, định nghĩa toán tử D như sau

DR = I

Điều đó có nghĩa là D là toán tử khả nghịch phải và R ∈ RD

Tuy nhiên toán tử D không khả nghịch

Thật vậy, ta có

= R{x1 − x0, x2 − x1, }

= {0, x1 − x0, x2 − x0, } 6= x

Do đó RD 6= I, hay toán tử D không khả nghịch

Tính chất 1.1 Nếu dim ker D 6= 0 thì D không khả nghịch trái

Chứng minh Ta có θ ∈ ker D và dim{θ} = 0

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

Định lý 1.1 [5] Giả sử D ∈ R(X) và R1 ∈ RD Khi đó mọi nghịch đảophải R của D có dạng

t

Z

t 0

x(s)ds, t0 ∈ (a, b), x ∈ X

Từ ví dụ 1.1 ta suy ra R ∈ RD Theo định lí 1.1, mọi toán tử Ri bất kìthuộc RD đều có dạng

1.2 Toán tử ban đầu

Trong phần này chúng ta giả sử dim ker D 6= 0, tức là D không khảnghịch trái

Định nghĩa 1.4

i Giả sử D ∈ R(X), dim ker D > 0, R ∈ RD F ∈ L0(X) được gọi là toán

tử ban đầu của D tương ứng với một nghịch đảo phải R của D nếu

ii Các phần tử có dạng

z0 + Rz1 + · · · + Rmzm,

trong đó zk ∈ ker D được gọi là các D−đa thức

Từ định nghĩa của toán tử ban đầu ta có các hệ quả sau đây

Hệ quả 1.1 F z = z với mọi z ∈ ker D

Chứng minh Vì F X = ker D nên với z ∈ ker D, tồn tại x ∈ X sao cho

Định lý 1.2 [5] Giả sử D ∈ R(X), F ∈ L0(X) Điều kiện cần và đủ để

F là một toán tử ban đầu của D tương ứng với R ∈ RD là

Theo hệ quả 1.2, ta có DF = D(I − RD) = 0, suy ra F (domD) ⊂ ker D.

Vậy F là một toán tử ban đầu của D tương ứng với R

Hệ quả 1.3 Nếu T ∈ L(X) khả nghịch thì không tồn tại toán tử banđầu khác không

Chứng minh Giả sử S ∈ L(X) là nghịch đảo của T Khi đó ta có T S = I

Định lý 1.3 [6] Giả sử D ∈ R(X) Tập tất cả các toán tử ban đầu FD

có tính chất (c) nếu và chỉ nếu dim ker D = 1

Ví dụ 1.5 Cho

dt,(Rx)(t) =

suy ra dim ker D = 1

Theo định lí 1.3 thì tập các toán tử ban đầu FD của D có tính chất (c).Tiếp theo ta đi xác định tập các toán tử ban đầu của D

Gọi F là toán tử ban đầu của D tương ứng với R

Theo định lí 1.2 với x ∈ domD ta có

Theo định lí 1.2 với x(t) ∈ domD ta có

αjdjkk! ,

Với N = 1, V1 = d00 = 1 6= 0 Vậy câu trả lời là đúng

Chúng ta sẽ chứng minh câu trả lời nói chung không đúng với N ≥ 2.Chúng ta sẽ xét một ví dụ mà trong đó vớiN > 2, hệ{F0, F1, , FN −1}

độc lập tuyến tính và có tính chất (c) nhưng VN = 0

Mà eαi = cos α + i sin α,

Suy ra V3 = det(dik)2i,k=0 = 0.

Trong ví dụ trên nếu đặt d0 = (1, 0, 0), d1 = (1, 0, 1), d2 = (1, 0, 4)

PN(R) Trong đó VN được xác định theo công thức (1.3) và

Bổ đề 1.1 [4] {F0, F1, , FN −1} ⊂ FD có tính chất (c) Đặt

ˆ

Fi = (Fi, FiR, , FiRN −1), i = 0, 1, , N − 1, (1.6)

di = (di0, di1, , diN −1), i = 0, 1, , N − 1, (1.7)với dik được xác định bởi công thức (1.2)

Khi đó hệ { ˆF0, ˆF1, , ˆFN −1} gồm các vectơ có dạng (1.6) là độc lậptuyến tính trên ker D (tức là nếu

Nhận xét Hệ các toán tử { ˆF0, ˆF1, , ˆFN −1} là độc lập tuyến tính trên

tử {F0Rj, F1Rj, , FN −1Rj} là độc lập tuyến tính trên ker D

Thật vậy, giả sử { ˆF0, ˆF1, , ˆFN −1}là độc lập tuyến tính trên ker D và

Do {F0Rj, F1Rj, , FN −1Rj} độc lập tuyến tính trên ker D, ∀j (0 ≤ j ≤

N − 1), suy ra a0 = a1 = · · · = aN −1 = 0 hay { ˆF0, ˆF1, , ˆFN −1} độc lậptuyến tính

tức là b0 = b1 = · · · = bN −1 = 0, hay {d0, d1, , dN −1} độc lập tuyếntính.

Hệ quả 1.4 Cho D ∈ R(X), R ∈ RD và {F0, F1, , FN −1} ⊂ FD và cótính chất c(R)

Khi đó VN 6= 0 nếu và chỉ nếu {F0Rk, F1Rk, , FN −1Rk} độc lập tuyếntính trên ker D với mọi chỉ số k cố định, 0 ≤ k ≤ N − 1

Chứng minh (chứng minh hệ quả)

Điều kiện đủ NếuF0Rk, F1Rk, , FN −1Rk độc lập tuyến tính trênker D, ∀k

cố định, thì theo bổ đề 1.1 các vectơ d0, d1, , dN −1 có dạng (1.7) là độclập tuyến tính, tức là rank(dik)N −1i,k=0 = N, suy ra VN 6= 0

Điều kiện cần Nếu VN 6= 0 thì rank(dik)N −1i,k=0 = N hay {d0, d1, , dN −1}

độc lập tuyến tính Do đó, theo bổ đề 1.1, {F0Rk, F1Rk, , FN −1Rk} làđộc lập tuyến tính

Chứng minh (chứng minh định lý 1.4)

Điều kiện cần Giả sửVN 6= 0 Khi đó theo bổ đề 1.1hệ { ˆF0, ˆF1, , ˆFN −1}

gồm các vectơ có dạng (1.6) là độc lập tuyến tính trên ker D Điều này cónghĩa là hệ các vectơ {F0Rj, F1Rj, , FN −1Rj}là độc lập tuyến tính trên

ker D với mọi chỉ số j cố định (0 ≤ j ≤ N − 1), tức là {F0, F1, , FN −1}

Điều kiện đủ Giả sử {F0, F1, , FN −1} ⊂ c(R) độc lập tuyến tính trên

PN(R), cần chứng minh VN 6= 0 Theo hệ quả 1.4 để chứng minh VN 6= 0

ta cần chứng minh hệ các toán tử vectơ

{ ˆFi = (Fi, FiR, , FiRN −1)}i=0,1, ,N −1

là độc lập tuyến tính trên ker D

Trong trường hợp này dik = tki và Vn 6= 0,

Theo định lí 1.4 F0, F1, , Fn−1 độc lập tuyến tính trên Pn(R)

1.3 Công thức Taylor và Taylor - Gontcharov

Từ định lí 1.2 chúng ta thấy rằng họ RD = {Rβ}β∈Γ tất cả các nghịchđảo phải của một toán tử D ∈ R(X) xác định duy nhất một họ FD ={Fβ}β∈Γ các toán tử ban đầu của D và

Định lý 1.5 (Công thức Taylor - Gontcharov)[5]

Giả sử D ∈ R(X) và FD = {Fβ}β∈Γ là họ các toán tử ban đầu của D

tương ứng với RD = {Rβ}β∈Γ Giả sử {βn} ⊂ Γ là một dãy bất kì của cácchỉ số, khi đó

Chứng minh Chứng minh định lí bằng phương pháp quy nạp toán học.

Tìm đa thức u bậc N − 1, u = z0+ Rz1+ · · · + RN −1zN −1 với R ∈ RD

và z0, z1, , zN −1 ∈ ker D được xác định, sao cho đối với n toán tử banđầu khác nhau cho trước F1, F2, , Fn ta có

trong đó uik ∈ ker D cho trước

Giả sử {F1, F2, , Fn} ⊂ c(R), tức là tồn tại các đại lượng vô hướng

dik thỏa mãn điều kiện (1.2)

FiRkz = dik

Giả sử mọi phần tử của tập Ii là có thứ tự, tức là

0 ≤ ki1 < ki2 < · · · < kiri, i = 1, 2, , n

Do đó điều kiện (2.1) có dạng

FiDkiju = uikij, i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , ri (2.2)Đặt

di,1

1! , ,

di,N −1−kij(N − 1 − kij)!



,

i = 1, , n; j = 1, 2, , ri,

(2.3)

G(ki2 ) i

G2 .ˆ

Bổ đề 2.1 Hệ các toán tử vectơ (2.6) độc lập tuyến tính trên ker D

nếu và chỉ nếu rank G = Nˆ , trong đó Gˆ được xác định theo công thức(2.3), (2.4), (2.5)

Chứng minh Điều kiện đủ Giả sử hệ {G(kij )

i }i=1,2, ,n;j=1,2, ,ri độc lậptuyến tính và

ở đây di,q = 0 với q < 0.

Fikij = FiDkij, i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , ri (2.9)

Định lý 2.1 [4] Điều kiện cần và đủ để det ˆG 6= 0 là tất cả các toán tử

Fikij có dạng (2.9) độc lập tuyến tính trên PN(R), trong đó PN(R) đượcxác định theo (1.5)

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử det ˆG 6= 0, suy ra rank G = Nˆ Theo

bổ đề 2.1 hệ các toán tử vectơ {Fbi

(k ij )

}j=1,2, ,n;j=1,2, ,ri độc lập tuyến tính

toán tử {FikijRm}i=1,2, ,m;j=1, ,ri độc lập tuyến tính trên ker D Điều này

có nghĩa là hệ các toán tử {Fikij} có dạng (2.9) là độc lập tuyến tính trên

N −1

S

m=0

Điều kiện đủ Giả sử {Fikij}i=1,2, ,m;j=1, ,ri độc lập tuyến tính trên

PN(R) Theo bổ đề 2.1 để chứng minh det ˆG 6= 0 ta cần chứng minh hệ

Đẳng thức này tương đương với

Theo giả thiết suy ra aij = 0, ∀i = 1, , n; j = 1, , ri

Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra kết quả chính cho bài toán nội suy tổngquát sinh bởi toán tử khả nghịch phải

Định lý 2.2 [4] Bài toán nội suy tổng quát có duy nhất nghiệm nếu và chỉnếu hệ các toán tử {FiDkij}i=1, ,n;j=1, ,ri độc lập tuyến tính trên PN(R)

Chứng minh Theo giả thiết, với mọi cặp chỉ số (i, j)(i = 1, , n; j =

duy nhất nghiệm tương đương với det ˆG 6= 0 Theo định lí 2.1, det ˆG 6= 0

nếu và chỉ nếu hệ các toán tử {FiDkij}i=1,2, ,n;j=1,2, ,ri độc lập tuyến tínhtrên PN(R)

Như vậy chứng minh này được suy trực tiếp từ định lí 1.5

Hệ quả 2.1 Các khẳng định sau đây là tương đương

i VN = det ˆG 6= 0

ii Hệ các toán tử{FiDkij}i=1,2, ,n;j=1,2, ,ri là độc lập tuyến tính trênPN(R).iii Bài toán nội suy có duy nhất nghiệm với bất kìuikij (i = 1, 2, , n; j =

1, 2, , ri)

Định lý 2.3 [6] Nếu VN = det ˆG 6= 0 thì nghiệm duy nhất của bài toánnội suy tổng quát được cho bởi công thức

2.2 Một số bài toán nội suy cổ điển

Trong phần tiếp theo ta xét một số bài toán nội suy cổ điển, đó là cáctrường hợp cụ thể của bài toán nội suy tổng quát sinh bởi toán tử khảnghịch phải

Trong bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải nếu cho Ii ={0, 1, 2, , ri − 1} với i = 1, 2, , n thì ta có bài toán nội suy Hermit

(H1)

Bài toán 2 (H1)

Tìm đa thức u bậc N − 1, u = z0+ Rz1+ · · · + RN −1zN −1 với R ∈ RD

và z0, z1, , zN −1 ∈ ker D được xác định, sao cho đối với n(n < N ) toán

tử ban đầu khác nhau cho trước F1, F2, , Fn ta có

FiDju = uij, i = 1, 2, , n; j = 0, 1, , ri − 1,

trong đó r1 + r2 + · · · + rn = N, uij ∈ ker D cho trước

Từ định lý 2.2 ta có

Định lý 2.4 [4] Giả sử D ∈ R(X) và{F1, F2, , Fn} ∈ (c)với R ∈ RD.Khi đó bài toán nội suy (H1) có duy nhất nghiệm nếu và chỉ nếu hệ cáctoán tử {FiDj}i=1, ,n;j=0,1, ,rj−1 độc lập tuyến tính trên PN(R) Nếu điềukiện này được thỏa mãn thì nghiệm duy nhất của bài toán (H1)có dạng

dt,(Rx)(t) =

Do đó ta có bài toán nội suy Hermit đối với đa thức

Bài toán Cho xi, aik, i = 1, 2, , n; k = 0, 1, , ri− 1và xi 6= xj, ∀i 6=

Giải Ta chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán.

Giả sử tồn tại hai đa thức H1(x) và H2(x) cùng thỏa mãn điều kiện củabài toán

P(i)(xj) = H1(i)(xj) − H2(i)(xj) = aji − aji = 0, i = 0, , rj; j = 0, , n

Suy ra P (x) có N nghiệm kể cả bội

Ta có

H(x)

W1(x) = α01+ α11(x − x1) + · · · + αr1 −1,1(x − x1)r1 −1 + (x − x1)r1Q(x)

Mặt khác, xét khai triển Taylor của P (x) = H(x)

W1(x) tại điểm x1 tới cấp

r 1 −1+(x−x1)r1P1(x)

Do đó

(k)(x1)k! , ∀k = 0, 1, , r1 − 1



W (x)

Ta chứng minh H(x) là đa thức thỏa mãn điều kiện bài toán

Do degW (x) = N nên degH(x) = N − 1

1

Wj(x)

(k−i) (x=x j )



1

Wj(x)

(k−i) (x=x j )

(x − xj)k−i(k − i)!



W (x)

là nghiệm duy nhất của bài toán.

Nếu trong bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải nếu cho

Ii = {0} với i = 1, 2, , n thì ta có bài toán nội suy Lagrange (L1).Bài toán 3 (L1)

đủ để bài toán nội suy (L1) có duy nhất nghiệm là hệ {F1, F2, , Fn} độclập tuyến tính trên Pn(R) Nếu điều kiện đó được thỏa mãn thì nghiệm duynhất là

Ví dụ 2.2 Cho

dt,(Rx)(t) =

Theo định lí 2.4, nghiệm duy nhất này là đa thức bậc n − 1 theo t.

Bây giờ chúng ta đi xây dựng nghiệm của bài toán

ta thấy ω(t) là đa thức bậc n − 1 theo t.

t − ti

tj − ti

là nghiệm duy nhất của bài toán

Nếu trong bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải choIi = {i}

với i = 1, 2, , n thì ta có bài toán nội suy Newton (N1)