Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng

I HC QUăC GIA H TRìNG NáI I HC KHOA H¯C TÜ NHI N ONGUY NV NANH PH×ÌNG TR NH VI PH N V˛I TO N TÛ KH NGHÀCH PH I V P DÖNG LU NV NTH CS KHOAH¯C H NáI-N M2015 I HC QUăC GIA H TRìNG NáI I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N ONGUY NV NANH PH×ÌNG TR NH VI PH N V˛I TO N TÛ KH NGHÀCH PH I V P DƯNG Chuy¶n ng nh: TO N GI I T CH M¢ sŁ: 60.46.01.02 LU NV NTH CS KHOAHC Ngữới hữợng dÔn khoa hồc GS TSKH NGUY N V N M U H N¸I-N M2015 Mưc lửc M u Tnh chĐt ca toĂn tò khÊ nghch phÊi 1.1 Mt s lợp toĂn tò tuyn tnh 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 To¡n tß kh£ nghàch ph£i 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 C¡c ph†p to¡n cıa toĂn tò ngh 1.4 c trững ca a thức ca toĂn tò Phữỡng trnh vợi toĂn tò khÊ nghch phÊi v Ăp dửng 2.1 Phữỡng trnh vợi toĂn tò kh£ 2.2 B i to¡n Cauchy 2.3 V‰ dö ¡p döng K‚t lu“n T i li»u tham kh£o i M u Phữỡng trnh vi phƠn õng mt vai trặ quan trồng kắ thut, vt lỵ, kinh t v mt s ng nh khĂc Cõ nhiãu phữỡng phĂp giÊi mt phữỡng tr nh vi phƠn vợi cĂc iãu kiằn ban u v mt s cĂc phữỡng phĂp õ l sò dửng lỵ thuyt toĂn tò khÊ nghch phÊi Mửc tiảu ca Lun vôn l trnh b y lỵ thuyt v cĂch giÊi b i toĂn giĂ tr ban u ca lỵ thuyt toĂn tò khÊ nghch phÊi Ăp dửng cổng thức TaylorGontcharov v trữớng hổp riảng ca nõ l cổng thức Taylor Dữợi sỹ hữợng dÔn ca GS TSKH Nguyn Vôn Mu, tĂc giÊ Â ho n th nh lun vôn vợi ã t i "Phữỡng trnh vi phƠn vợi toĂn tò khÊ nghch phÊi v Ăp dửng" Lun vôn ữổc chia l m hai chữỡng: Chữỡng 1: Tnh chĐt ca toĂn tò khÊ nghch phÊi Chữỡng 2: Phữỡng trnh vợi toĂn tò khÊ nghch phÊi v ¡p dưng Ch÷ìng tr…nh b y mºt sŁ kin thức cỡ bÊn vã cĂc lợp toĂn tò tuyn tnh v tnh chĐt ca toĂn tò khÊ nghch phÊi, cỉng thøc Taylor Ch÷ìng nºi dung ch‰nh cıa Lu“n vôn, trnh b y vã phữỡng trnh vợi toĂn tò kh£ nghàch ph£i v ¡p dưng cỉng thøc Taylor v o vi»c gi£i c¡c b i to¡n cö th” M°c dị câ nhi•u cŁ g›ng, song thíi gian v trnh cặn hn ch nản lun vôn khõ trĂnh khäi nhœng thi‚u sât V… v“y t¡c gi£ r§t mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ ca cĂc thy cổ v cĂc bn Lun vôn ữổc ho n thiằn hỡn Qua lu“n v«n n y, t¡c gi£ xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc n GS TSKH Nguyn Vôn Mu, ngữới Thy  truyãn cho tĂc giÊ cõ niãm say mả nghiản cứu toĂn hồc Thy  tn tnh hữợng dÔn, giúp ù tĂc giÊ sut quĂ tr… nh håc t“p v ho n thi»n lu“n v«n n y T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, PhỈng o t⁄o Sau ⁄i håc, Khoa ToĂn-Cỡ-Tin, cĂc thy cổ  to iãu kiằn thun lỉi ” ho n th nh b£n lu“n v«n n y Sau cịng t¡c gi£ xin gßi líi bi‚t ìn sƠu sc n gia nh  luổn to iãu kiằn tt nhĐt sut quĂ trnh hồc cụng nhữ thỹc hiằn lun vôn n y Xin chƠn th nh cÊm ìn! H Nºi, ng y th¡ng n«m 2015 T¡c gi£ o Nguyn VƠn Anh Chữỡng Tnh chĐt ca toĂn tò khÊ nghch phÊi 1.1 Mt s lợp toĂn tò tuyn tnh 1.1.1 ToĂn tò tuyn tnh nh nghắa 1.1 ([1]-[2]) Gi£ sß X v Y l hai khỉng gian tuyn tnh trản mt trữớng vổ hữợng F Mºt ¡nh x⁄ A tł t“p tuy‚n t‰nh dom A ca X v o Y ữổc gồi l toĂn tò tuy‚n t‰nh n‚u A(x + y) = Ax + Ay vỵi måi x; y dom A; A(tx) = tAx vỵi måi x dom A; t F: T“p dom A ữổc gồi l miãn xĂc nh ca toĂn tß A Gi£ sß G dom A °t AG = fAx : x Gg Theo ành ngh¾a, AG Y T“p AG ÷ỉc gåi l £nh cıa t“p G Tp Adom A ữổc gồi l miãn giĂ tr cıa to¡n tß A (t“p gi¡ trà cıa A) v l khỉng gian cıa Y T“p t§t c£ cĂc toĂn tò tuyn tnh vợi miãn xĂc nh chứa khỉng gian X v mi•n gi¡ trà chøa khổng gian Y kỵ hiằu bi L(X ! Y ) nh nghắa 1.2 ([1]-[2]) ToĂn tò ỗng nhĐt khổng gian X l to¡n tß IX x¡c ành bði IX x = x vỵi måi x X Sau n y nu khổng gƠy nhm lÔn, ta s kỵ hiằu I thay cho I X ành ngh¾a 1.3 ([1]-[2]) N‚u to¡n tß A L(X ! Y ) l tữỡng ứng 1-1 th toĂn tò nghch Êo A ữổc nh nghắa theo cĂch: Vợi mỉi y Adom A A y = x; â x dom A v y = Ax: ỵ rng, theo gi£ thi‚t, mØi y øng vỵi mºt x dom A nh§t 1 v dom A = A dom A Y; A dom A = dom A X Vỵi mØi x dom A, n‚u y 1 1 = Ax th… (A A)x = A (Ax) = A y = x, v (AA )y = 1 A(A y) = Ax = y Do â A A = Idom A; AA = IAdom A Cho nản 1 A xĂc nh nhĐt nghàch £o cıa A D„ d ng ki”m tra r‹ng A cơng l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh N‚u to¡n tß A L(X ! Y ) câ to¡n tß nghàch £o th… ta nâi A kh£ nghàch ành ngh¾a 1.4 ([1]-[2]) To¡n tß A L(X ! Y ) ÷ỉc gåi l flng c§u n‚u dom A = X; A dom A = Y v n‚u A l t÷ìng ứng 1-1 Theo nh nghắa, nu A flng cĐu th nâ kh£ nghàch, to¡n tß nghàch 1 1 £o A cơng l t÷ìng øng 1-1 v dom A = Y; A dom A = X Do â A cụng l flng cĐu nh nghắa 1.5 ([1]-[2]) Hai khổng gian X v Y ữổc gồi l flng cĐu nu tỗn ti mt flng cĐu A Ănh x X lản Y nh nghắa 1.6 ([1]-[2]) Tng ca hai to¡n tß A; B L(X ! Y ) v tch ca toĂn tò vợi vổ hữợng ữổc xĂc nh nh÷ sau dom (A + B) = dom A \ dom Bv (A + B)x = Ax + Bx vỵix dom A \ dom B; (tA)x = t(Ax) vỵi x dom A; t F: N‚u dom A = dom B = dom C th… (A + B) + C = A + (B + C) v A+B =B+A ỵ rng toĂn tò C m A + C = B vỵi A; B L(X ! Y ) khổng nhĐt thit phÊi tỗn ti iãu n y suy tł vi»c mi•n x¡c ành cıa A v B cõ th khĂc Nu toĂn tò C tỗn t⁄i th… C = B A v C ÷ỉc gåi l hi»u cıa c¡c to¡n tß B v A; ph†p toĂn "-" ữổc gồi l php tr Theo nh nghắa, n‚u B A x¡c ành tŁt th… B A = B + ( A) tr¶n dom A \ dom B °t L0(X ! Y ) = fA L(X ! Y ) : dom A = Xg Do tŒng cıa hai toĂn tò tũy ỵ thuc L0(X ! Y ) x¡c ành tŁt, thäa m¢n t‰nh k‚t hỉp v giao hoĂn, ứng vợi mỉi cp toĂn tò A; B L 0(A ! B) tỗn ti toĂn tò C = B A n¶n L0(X ! Y ) l mºt nhõm Abel Phn tò trung hặa ca nhõm n y l toĂn tò cho x = vợi mồi x X Sau n y ta kỵ hiằu toĂn tß khỉng n y bði Tł cỉng thøc (1.1) ta suy nhâm Abel L 0(X ! Y ) l khổng gian tuyn tnh trản trữớng F nh nghắa 1.7 ([1]-[2]) Gi£ sß X; Y; Z l c¡c khỉng gian tuyn tnh trản trữớng vổ hữợng, A L(X ! Y ); B L(Y ! Z) v Bdom B dom A Y T ‰ch cıa AB cıa c¡c to¡n tß A v B x¡c ành bði (AB)x = A(Bx) vỵi måi x dom B: Theo ành ngh¾a, AB L(X ! Z), dom AB = dom B, ABdom AB = AB T‰ch (n‚u nâ x¡c nh tt) cõ tnh phƠn phi i vợi php cng cĂc toĂn tò v t nh kt hổp nh nghắa 1.8 ([1]-[2]) Hai toĂn tò A v B ữổc gồi l giao ho¡n n‚u c£ hai t‰ch AB; BA •u tỗn ti v AB = BA trản dom A = dom B °t L(X) = L(X ! X) v L0(X) = L0(X ! X) = fA L(X) : dom A = Xg Cæng thøc (1.2) ch¿ r‹ng L 0(X) khỉng nhœng l khỉng gian tuy‚n t‰nh m cỈn l v nh tuy‚n t‰nh theo ph†p nh¥n c¡c to¡n tß A; B L0(X) x¡c ành bði t‰ch AB cıa chóng Th“t v¥y, n‚u A; B L0(X) th… dom B dom A = X Do â, AB x¡c ành tŁt vỵi måi A; B L0(X) V nh tuyn tnh L0(X) cõ ỡn v l toĂn tò ỗng nhĐt IX = I Tuy nhiản, L0(X) l v nh khổng giao hoĂn v khổng cõ ữợc ca nh nghắa 1.9 ([1]-[2]) ToĂn tò P L 0(X) ữổc gåi l to¡n tß chi‚u n‚u P 2 = P , â P = P:P N‚u P L0(X) l to¡n tß chi‚u th… I P cơng l to¡n tß chi‚u MØi to¡n tß chi‚u x¡c ành sü ph¥n chia khỉng gian X th nh tŒng trüc ti‚p X = Y Z , â Y = fx X : P x = xg; Z = fx X : P x = 0g Th“t v“y, n‚u x Y \ Z th… x = v… x = P x = N‚u x X th… z = x P x Z bði v… P (x P x) = P x P x = P x P x = v x = y + z â y = P x Y; z = x P x = (I P )x Z nh nghắa 1.10 ([1]-[2]) GiÊ sò A L(X ! Y ) T“p hæp Ker A = fx dom A : Ax = 0g ữổc gồi l nhƠn ca toĂn tò A Tp hổp Ker A l khæng gian tuy‚n t‰nh cıa A S chiãu ca nhƠn ca toĂn tò A L(X ! Y ) ÷ỉc gåi l sŁ khuy‚t (nullity) cıa A v kỵ hiằu bi A, tức l A = dim Ker A ành ngh¾a 1.11 ([1]-[2]) Khỉng gian khuy‚t cıa to¡n tß A L(X ! Y ) l khỉng gian th÷ìng Y =Adom A SŁ khuy‚t (deficiency) A cıa to¡n tß A L(X ! Y ) x¡c ành bði cæng thøc A = dim Y =Adom A: Theo nh nghắa s khuyt A chnh l i chiãu ca miãn giĂ tr ca A nh nghắa 1.12 ([1]-[2]) Mt toĂn tò tuyn tnh A m miãn xĂc nh cıa nâ dom A = X v l§y gi¡ trà trản trữớng vổ hữợng F (trữớng cĂc s thỹc R hay c¡c tr÷íng sŁ phøc C) ÷ỉc gåi l phi‚m h m tuy‚n t‰nh x¡c ành khæng gian X Ta kỵ hiằu X l tĐt cÊ cĂc phi‚m h m tuy‚n t‰nh x¡c ành khæng gian X N‚u X l khỉng gian n chi•u sinh bði c¡c phƒn tß (x1; : : : ; xn) th… mØi jP phi‚m h m tuy‚n t‰nh f câ d⁄ng f(x) = X; t1; : : : ; tn F v aj = f(xj) (j = 1; : : : ; n), tøc l nh§t bði c¡c gi¡ tr ca nõ trản cĂc phn tò ca cỡ s cıa X Gi£ sß X l khỉng gian tuy‚n t‰nh n chiãu vợi cỡ s fx1; : : : ; xng v Y l khỉng gian tuy‚n t‰nh m chi•u vợi cỡ s fy1; : : : ; ymg trản mt trữớng vổ hữợng F Cho A L0(X ! Y ) v t ; : : : ; t F tũy ỵ Khi õ Ax = A n tx j=1 j j Ax Y n¶n ta câ th” t…m ÷ỉc c1; : : : ; cm 1; 2; : : : ; n; k = 1; 2; : : : ; m) V… th‚, Th“t v“y, Axj n Ax = j=1 X j V“y ta câ ck = P bi‚n Œi cì sð fx1; : : : ; xng th nh cì sð fy1; : : : ; ymg bði to¡n tß A Do â, â a; b Xn; bj; cj X (j = 0; ::::; m) L§y R l mºt to¡n tß Volterra Xk n k dkD (A + BS)x + BjCjx = f; =0 k F D x = k; k C (k = 0; :::; n); â ak C (k = 0; :::; n); an 6= Tł BŒ • 2.5, b i toĂn n y tữỡng ữỡng vợi phữỡng trnh n X (anI + akR k=0 n V… anI + an 1R + ::: + a0R kh£ nghàch, BŒ • 2.2 ch rng (2.45) tữỡng ữỡng vợi õ K := y := (anI + 49 2.3 V‰ dö ¡p dửng V dử 2.4 GiÊi phữỡng trnh vi phƠn x" + x = sin t vỵi t [0; T ](T > 0); x(0) = x0; x (0) = x1 v x0; x1 R ¥y l b i to¡n gi¡ trà ban ƒu cıa to¡n tß D = d=dt khỉng gian C(0; T ) vỵi to¡n tò ban u (F x)(t) = x(0) ứng vợi nghch £o ph£i (Rx)(t) = R t 2 x(s)ds v Q(D) = D + D = D (I + R) V toĂn tò R khÊ nghch vợi mồi R nản b i toĂn  cho cõ nghiằm nh§t x = [I R (I + R) = R + Rx1 + x0 D](R y + Rx1 + x0) R (I + R) (Ry + x1): t R Ta câ R1x = (R y)(t) = Tł ¥y v cỉng thøc (1.20) ta suy vỵi måi 6= th… 1 (I + R) (Ry + x1) = (I + R) ( R (I + R) Do â, x(t) = sin t + 2 cos t + (1 + + x1)e t Z 50 2 + (1 + + x1 + x1 Vỵi = th… x(t) = (R y + Rx1 + x0)(t) = V‰ dö 2.5 Gi£i phữỡng trnh vi phƠn x" + x = vợi t [0; T ](T > 0); x(0) = x0; x (0) = x1 v x0; x1 R ¥y l b i to¡n gi¡ trà ban ƒu cıa to¡n tß D = d=dt khỉng gian C(0; T ) vợi toĂn tò ban u (F x)(t) = x(0) øng vỵi nghàch £o ph£i (Rx)(t) = R t 2 Q(D) = D + x(s)ds v 2 = D (I + 2 R ) V… to¡n tß l t‰ch cıa hai to¡n tß kh£ nghàch nản nõ b i toĂn  cho cõ nghiằm nh§t I + R = (I + iR)(I iR) kh£ nghàch Do â, vỵi 6= th… 2 x = (I + R ) (Rx1 + x0) = 1 2 2 R(I + R ) x1 + (I + R ) x0 = s (x ) + c (x ): V… th‚, x(t) = Vỵi = th… x(t) = (Rx1 + x0)(t) = x1t + x0 V‰ dö 2.6 0); x(0) = x0; x (0) = x1 v x0; x1 R Ơy l gian C(0; T ) vợi toĂn tò ban u (F x)(t) = x(0) ứng vợi nghàch t (Rx)(t) = R tß I 5R + 6R = n¶n nâ kh£ nghàch Do â, b i toĂn  cho cõ nghiằm nhĐt Êo phÊi R Ta câ Rx1 = 51 Tł ¥y v cæng thøc (1.20) ta suy (I 3R) (x1t + x0) = x1t + x0 + Z Do â, x(t) = = (I 2R V dử 2.7 GiÊi phữỡng trnh vi phƠn = ¥y l v (Rx)(t) = n e3t b i to¡ R khæng gian X = C(R): ỵ rng A l toĂn tò i s A D; tức l AD = DA: Phữỡng trnh  cho cõ th vit ữổc dữợi dng D(I 5RA)x = y tữỡng ữỡng vợi (I 5RA)x = Ry + z; â z Ker D p döng F v o hai v‚ ta suy z = Khi â, ph÷ìng tr…nh trð th nh (I t (I 5RA)(x) = Z = 2t 52 °t I = P + Q; A = P Q, suy P = 2 D„ d ng ki”m tra ÷ỉc P = P; Q = Q v Ph÷ìng tr…nh trð th nh [(P + Q) hay [(I 5R)P + (I + 5R)Q]x = 2t Ta câ (I 5R)P x = P (2t = Suy (P x)(t) = (I 5R) Z t 5(t s) =1+5 e T÷ìng tü, (I + 5R)Qx = 2t 5t ds = e : Ta câ I = P + Q hay x = Ix = (P + Q)x n¶n x = P x + Qx: Do â, x = V‰ dử 2.8 GiÊi phữỡng trnh vi phƠn lợp cĂc h m tuƒn ho n chu ký 2, tøc l ¥y l b i to¡n gi¡ trà ban ƒu cıa to¡n tß D = d=dt; (F x)(t) = x(0) v t (Rx)(t) = x(s)ds; (Bx)(t) = x(t + 1): R Dx 2Bx = y; y(t) = sin t; (F x)(t) = khỉng gian c¡c h m li¶n tưc v tuƒn ho n chu ký tr¶n R: ỵ rng B l toĂn tò i s B = I v B giao hoĂn vợi toĂn tò D v R; tøc l BD = DB; BR = RB: Phữỡng trnh  cho cõ th vit ữổc dữợi dng D(I 2RB)x = y tữỡng ữỡng vợi (I 2RB)x = Ry + z; 53 â z Ker D p döng F v o hai v‚ ta suy z = Khi â, ph÷ìng tr…nh trð th nh (I 2RB)x = Ry + 1, hay (I 2RB)(x) = Z = °t I = P + Q; A = P D„ d ng ki”m tra ÷ỉc P Ph÷ìng tr…nh trð th nh [(P + Q) hay [(I 5R)P + (I + 5R)Q]x = Ta câ (I Suy (P x)(t) = (I = = + 22 T÷ìng tü, (I + 2R)Qx = 2 = P; Q = Q v i e2t + : cos t + 1: (Qx)(t) = 54 Ta câ I = P + Q hay x = Ix = (P + Q)x n¶n x = P x + Qx: Do õ, x = 55 Kt lun Lun vôn "Phữỡng trnh vi phƠn vợi toĂn tò khÊ nghch phÊi v Ăp dửng"  giÊi quyt ữổc nhng vĐn ã sau: Lun vôn  trnh b y chi tit khĂi niằm, tnh chĐt toĂn tò tuyn tnh, toĂn tò i sŁ, to¡n tß Volterra, to¡n tß kh£ nghàch ph£i, to¡n tò ban u Tip theo, lun vôn trnh b y cổng thức TaylorGrontcharov, vợi trữớng hổp riảng l cổng thức Taylor vợi toĂn tò khÊ nghch phÊi Cui cũng, mt s lợp b i toĂn vã phữỡng trnh vợi toĂn tò khÊ nghch phÊi v giÊi cĂc v‰ dö ¡p döng 56 T i li»u tham kh£o Ting Viằt Nguyn Vôn Mu (2006), Lỵ thuyt toĂn tò v phữỡng trnh tch phƠn ký d, NXB HQGHN Ti‚ng Anh D.Przeworska-Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, AmsterdamWarsaw D Przeworska-Rolewicz and S Rolewicz (1968), Equations in linear spaces, Warsaw Pub D Przeworska-Rolewicz and S Rolewicz (1973), Equations with trans-formed argument An algebraic approach, Warsaw Pub Nguy„n V«n M“u (2005), Algebraic elements and boundary value prob-lems in linear spaces, VNU Pub House 57 ... i li»u tham kh£o i Mð u Phữỡng trnh vi phƠn õng mt vai trặ quan trồng kắ thut, vt lỵ, kinh t v mt s ng nh khĂc Cõ nhiãu phữỡng phĂp giÊi mt phữỡng tr nh vi phƠn vợi cĂc iãu kiằn ban ƒu v mºt...I HC QUăC GIA H TRìNG NáI I HC KHOA H¯C TÜ NHI N ONGUY NV NANH PH×ÌNG TR NH VI PH N V˛I TO N TÛ KH NGHÀCH PH I V P DƯNG Chuy¶n ng nh: TO N GI I T CH M¢ sŁ: 60.46.01.02 LU NV... Dữợi sỹ hữợng dÔn ca GS TSKH Nguyn Vôn Mu, tĂc giÊ Â ho n th nh lun vôn vợi ã t i "Phữỡng trnh vi phƠn vợi toĂn tò khÊ nghch phÊi v Ăp dửng" Lun vôn ữổc chia l m hai chữỡng: Chữỡng 1: Tnh chĐt