PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO NGUYỄN VÂN ANH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO NGUYỄN VÂN ANH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục Mở đầu 1 Tính chất toán tử khả nghịch phải 1.1 Một số lớp toán tử tuyến tính 1.1.1 Toán tử tuyến tính 1.1.2 Toán tử đại số 1.1.3 Toán tử Volterra 1.2 Toán tử khả nghịch phải 1.2.1 Toán tử khả nghịch phải 1.2.2 Toán tử ban đầu 1.2.3 Công thức Taylor 1.3 Các phép toán toán tử nghịch đảo phải Volterra 1.4 Đặc trưng đa thức toán tử khả nghịch phải Phương trình với toán tử khả nghịch phải 2.1 Phương trình với toán tử khả nghịch phải 2.2 Bài toán Cauchy 2.3 Ví dụ áp dụng áp 2 3 3 10 dụng 12 12 15 19 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 i Mở đầu Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng kĩ thuật, vật lý, kinh tế số ngành khác Có nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân với điều kiện ban đầu số phương pháp sử dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải Mục tiêu Luận văn trình bày lý thuyết cách giải toán giá trị ban đầu lý thuyết toán tử khả nghịch phải áp dụng công thức TaylorGontcharov trường hợp riêng công thức Taylor Dưới hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, tác giả hoàn thành luận văn với đề tài "Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải áp dụng" Luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Tính chất toán tử khả nghịch phải • Chương 2: Phương trình với toán tử khả nghịch phải áp dụng Chương trình bày số kiến thức lớp toán tử tuyến tính tính chất toán tử khả nghịch phải, công thức Taylor Chương nội dung Luận văn, trình bày phương trình với toán tử khả nghịch phải áp dụng công thức Taylor vào việc giải toán cụ thể Chương Tính chất toán tử khả nghịch phải 1.1 1.1.1 Một số lớp toán tử tuyến tính Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]) Giả sử X Y hai không gian tuyến tính trường vô hướng F Một ánh xạ A từ tập tuyến tính dom A X vào Y gọi toán tử tuyến tính A(x + y) = Ax + Ay với x, y ∈ dom A, A(tx) = tAx với x ∈ dom A, t ∈ F Tập dom A gọi miền xác định toán tử A Giả sử G ∈ dom A Đặt AG = {Ax : x ∈ G} Theo định nghĩa, AG ⊂ Y Tập AG gọi ảnh tập G Tập Adom A gọi miền giá trị toán tử A (tập giá trị A) không gian Y Tập tất toán tử tuyến tính với miền xác định chứa không gian X miền giá trị chứa không gian Y ký hiệu L(X → Y ) Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]) Nếu toán tử A ∈ L(X → Y ) tương ứng 1-1 toán tử nghịch đảo A−1 định nghĩa theo cách: Với y ∈ Adom A A−1 y = x, x ∈ dom A y = Ax Nếu toán tử A ∈ L(X → Y ) có toán tử nghịch đảo ta nói A khả nghịch 1.1.2 Toán tử đại số Giả sử X không gian tuyến tính trường đóng đại số F A ∈ L0 (X) Vô hướng λ ∈ F gọi giá trị quy A toán tử A − λI khả nghịch Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]) Giả sử F = C Ta nói toán tử A ∈ L0 (X) toán tử đại số tồn đa thức P (t) = p0 + p1 t + · · · + pN tN ∈ C cho P (A) = X 1.1.3 Toán tử Volterra Định nghĩa 1.4 ([1]-[2]) Toán tử A ∈ L0 (X) gọi toán tử Volterra toán tử I − λA khả nghịch với vô hướng λ Tập hợp toán tử Volterra thuộc L0 (X) ký hiệu V (X) 1.2 Toán tử khả nghịch phải 1.2.1 Toán tử khả nghịch phải Cho X không gian tuyến tính trường vô hướng F Định nghĩa 1.5 ([1]-[2]) Toán tử D ∈ L(X) gọi khả nghịch phải tồn toán tử R ∈ L0 (X) cho RX ⊂ dom D DR = I Toán tử R gọi nghịch đảo phải D Tập hợp tất toán tử khả nghịch phải kí hiệu R(X), tập hợp tất nghịch đảo phải toán tử D ∈ R(X) RD Ta viết RD = {Rγ }γ∈Γ Định nghĩa 1.6 ([1]-[2]) Giả sử x phần tử tùy ý cho trước không gian X Cho D ∈ R(X), tập hợp RD x = Rγ xγ ∈ Γ gọi tích phân bất định x Mỗi phần tử Rγ với γ ∈ Γ gọi nguyên hàm x Theo định nghĩa, y nguyên hàm x Dy = x Thật vậy, y nguyên hàm x tồn số γ ∈ Γ cho y = Rγ x Từ suy Dy = DRγ x = x DRγ = I Định nghĩa 1.7 ([1]-[2]) Giả sử D ∈ R(X) Khi đó, nhân toán tử D gọi không gian số D kí hiệu Ker D Mỗi phần tử z ∈ Ker D gọi số Để ý rằng, theo định nghĩa, phần tử z ∈ X số D Dz = Các tính chất toán tử khả nghịch phải Nếu D ∈ R(X), R ∈ RD Dk Rk = I với k = 1, 2, Giả sử D ∈ R(X), R1 , R2 ∈ RD y1 = R1 x, y2 = R2 x x ∈ X phần tử tùy ý Khi y1 − y2 ∈ Ker D Bằng lời: Hiệu hai nguyên hàm phần tử x ∈ X cho trước từ suy tích phân bất định xác định tốt ta biết nghịch đảo phải Nếu D ∈ R(X), R ∈ RD tích phân bất định phần tử x ∈ X có dạng: RD x = {Rx + z : z ∈ Ker D} = Rx + Ker D Bằng lời: Tích phân bất định phần tử x ∈ X tổng nguyên hàm số tùy ý Nếu D ∈ R(X) với R ∈ RD ta có: dom D = RX ⊕ Ker D (1.1) Giả sử D ∈ R(X) R1 ∈ RD Khi nghịch đảo phải D có dạng: R = A + R1 (I − DA) = R1 + (I − R1 D)A, (1.2) A ∈ L0 (X), AX ⊂ dom D, tức R ∈ RD = R1 + (I − R1 D)A : A ∈ L0 (X), AX ⊂ dom D Nhận thấy D ∈ R(X) R ∈ RD x ∈ X từ Rx = suy x = Thật vậy, x = DRx = 1.2.2 Toán tử ban đầu Định nghĩa 1.8 ([1]-[2]) Toán tử F ∈ L(X) gọi toán tử ban đầu toán tử D ∈ R(X) ứng với nghịch đảo phải R D (i.) F phép chiếu lên không gian số, nghĩa F = F, F X = Ker D (ii.) F R = Từ định nghĩa ta suy F z = z, với z ∈ Ker D (1.3) Hơn nữa, ta có DF = X , Ker F = RX Ker D ∩ Ker F = {0} Định lý 1.1 Cho D ∈ R(X) Điều kiện cần đủ để toán tử F ∈ L(X) toán tử ban đầu D ứng với R ∈ RD F = I − RD dom D (1.4) Định lý 1.2 Họ RD = {Rγ }γ∈Γ tất nghịch đảo phải toán tử D ∈ R(X) cảm sinh họ FD = {Fγ }γ∈Γ toán tử ban đầu D xác định đẳng thức Fγ = I − Rγ D dom D với γ ∈ Γ Các tính chất toán tử ban đầu Với α, β ∈ Γ, ta có Fα Fβ = F β , Fβ Rα = Rα − Rβ (1.5) (1.6) Với α, β, γ ∈ Γ toán tử Fβ Rγ − Fα Rγ không phụ thuộc vào cách chọn toán tử Rγ ∈ RD Tính chất toán tử Fβ Rγ − Fα Rγ phụ thuộc vào số α, β Điều cho phép ta đặt Iαβ = Fβ Rγ − Fα Rγ , ∀ α, β, γ ∈ Γ (1.7) Ta nói Iαβ toán tử tích phân xác định Với x ∈ X phần tử Iαβ x gọi tích phân xác định x Các số α β gọi cận cận tích phân Do Fβ Rγ − Fα Rγ = Rγ − Rβ − (Rγ − Rα ) = Rα − Rβ = Fβ Rα nên Iαβ = Fβ Rα , với α, β ∈ Γ Với x ∈ X, α, β ∈ Γ ta có Iαβ x = z ∈ Ker D Bằng lời: Tích phân xác định phần tử tùy ý Với α, β ∈ Γ ta có Iαβ = −Iβα (1.8) (1.9) Bằng lời: Sự thay đổi vị trí cận cận tích phân làm thay đổi dấu toán tử tích phân xác định dẫn đến thay đổi dấu tích phân xác định phần tử tùy ý Với α, β, δ ∈ Γ ta có Iαδ + Iδβ = Iαβ (1.10) Iαβ D = Fβ − Fα , (1.11) tức là, Iαβ Dx = Fβ x − Fα x với x ∈ dom D (1.12) Với α, β ∈ Γ ta có Phần tử F x bất kỳ, x ∈ X F toán tử ban đầu, gọi giá trị ban đầu phần tử x Vì x ∈ dom D nguyên hàm y = Dx nên ta phát biểu lại tính chất sau: Nếu x ∈ X, α, β ∈ Γ tùy ý y ∈ X nguyên hàm x Iαβ x = Fβ y − Fα y (1.13) Bằng lời: Tích phân xác định hiệu giá trị ban đầu nguyên hàm tùy ý ứng với cận cận tích phân Giả sử D ∈ R(X), dim Ker D = 0, F F1 = F toán tử ban đầu D, F tương ứng với nghịch đảo phải R ∈ RD Khi với z ∈ Ker D tồn x ∈ X cho F1 x = z Bằng lời: Với số tồn phần tử cho tích phân xác định phần tử số cho Định lý 1.3 Giả sử D ∈ R(X), F ∈ L0 (X) phép chiếu lên không gian số Khi F toán tử ban đầu D ứng với nghịch đảo phải R = R1 − F R1 với R1 ∈ RD R xác định cách nhất, không phụ thuộc vào việc chọn R1 ∈ RD Nếu D ∈ R(X) R, R1 ∈ RD giao hoán R1 = R Nếu D ∈ R(X) F, F1 toán tử ban đầu D giao hoán F1 = F 10 Giả sử D ∈ R(X) F1 , F2 toán tử ban đầu D tương ứng với nghịch đảo phải R1 , R2 Nếu R1 = R2 F1 = F2 Đảo lại, F1 = F2 R1 = R2 Định lý 1.4 Nếu D ∈ R(X) F toán tử ban đầu D ứng với nghịch đảo phải R D tập hợp RD tất nghịch đảo phải D có dạng RD = {R + F A : A ∈ L0 (X)} (1.14) tập hợp FD tất toán tử ban đầu D có dạng FD = {F (I − AD) : A ∈ L0 (X)} (1.15) Định lý 1.5 Giả sử F0 , F1 , , Fm toán tử ban đầu D ∈ R(X) M ứng với nghịch đảo phải R0 , R1 , , Rm tương ứng Đặt F = ak F k k=0 a0 , a1 , , am vô hướng không đồng thời Khi F m toán tử ban đầu D ak = k=0 Nếu điều kiện thỏa mãn toán tử ban đầu F ứng với nghịch m đảo phải R = ak Rk k=0 t d (Rx)(t) = (s)ds Ta chứng dt a minh R toán tử Volterra, tức toán tử I − λR khả nghịch với vô hướng Ví dụ 1.1 Giả sử X = C[a, b], D = t [(I − λR)−1 x](t) = x(t) + λ eλ(t−s) x(s)ds với x ∈ C[a, b] (1.16) t0 Thật vậy, giả sử B toán tử định nghĩa hàm mũ t eλ(t−s) x(s)ds với x ∈ C[a, b] (Bx)(t) = (1.17) t0 t0 ∈ [a, b] cố định tùy ý Ta cần chứng minh (I + λB)(I − λR) = (I − λR)(I − λD) = I với λ ∈ R (1.18) Không tổng quát ta giả sử λ = Do đó, sử dụng tích phân phần với x ∈ C[a, b] [(I + λB)(I − λR)x](t) = [(I + λB − λR − λ2 BR)x](t) = [x + λ(B − R)x − λ2 BRx](t) t t eλ(t−s) x(s)ds − = x(t) + λ t0 t0 t − λ2 x(s)ds s eλ(t−s) x(u)du ds t0 t0 Ví dụ 1.2 Cho X := C([0, 1], F), F = R F = C D := x x d , R1 := dt , R2 := , x1 = x2 , x1 , x2 ∈ [0, 1] x1 x2 Dễ dàng kiểm tra (I − tRj )−1 c = cet(x−xj ) với c ∈ F (j = 1, 2) Do u(x) = (I − tR1 )−1 c = (I − tR2 )−1 c + cetx (e−tx1 + etx2 ) = 0, ∀t ∈ R Từ Định lý 1.9, R1 + R2 toán tử Volterra X := C([0, 1], R) 1.4 Đặc trưng đa thức toán tử khả nghịch phải Định lý 1.10 (Przeworka-Rolewicz) Cho N ˜ s) := Q(t, qk tk sN −k , (1.24) k=0 ˜ := Q(t, 1), P˜ (t) := tM Q(t), Q(t) (1.25) với q0 , , qN −1 ∈ C, qN = 1, M số nguyên không âm Nếu tồn R ∈ RD ∩ V (X)(R nghịch đảo phải Volterra D) P˜ (D) ∈ R(X) toán tử R0 := RM +N [Q(I, R)]−1 (1.26) nghịch đảo phải Volterra P (D) Định lý 1.11 (von Trotha) Nếu R0 có dạng (1.26) toán tử Volterra R toán tử Volterra Cho D ∈ R(X), R ∈ RD A0 , , AN toán tử đại số giao hoán, AN = I Giả sử, DAj = Aj D D, RAj = Aj R (j = 0, , N ) (1.27) Đặt N Aj tj sN −j , Q(t) := Q(t, 1), P (t) := tM Q(t) Q(t, s) := k=0 10 (1.28) Định lý 1.12 Nếu R ∈ V (X) Q(I, R) khả nghịch R0 := RM +N [Q(I, R)]−1 ∈ RP (D) ∩ V (X) (1.29) Định lý 1.13 Giả sử R ∈ RD ∩ V (X) với D ∈ R(X) Nếu A toán tử đại số cho AR = RA AR toán tử Volterra Định lý 1.14 Giả sử D ∈ R(X), R ∈ RD A0 , , AN toán tử đại số thỏa mãn (1.27), Q(t, s), Q(t) P (t) định nghĩa (1.28) Nếu Q(t, s) khả nghịch R0 := RN +M [Q(I, R)]−1 ∈ RP (D) (1.30) Hơn nữa, R0 ∈ V (X) R ∈ V (X) Hệ 1.4 Giả sử D ∈ R(X), R ∈ RD ∩ V (X) A toán tử đại số giao hoán với R Hơn nữa, A có đa thức đặc trưng dạng n (t − tj )(ti = tj vớii = j) PA (t) = j=1 Khi đó, nghiệm phương trình (D − A)x = y, y ∈ X có dạng n (I − tj R)−1 Pj (Ry + z), x= j=1 với z ∈ Ker D tùy ý n (tj − tk )(A − tk I)(j = 1, , n) Pj = k=1,k=j 11 (1.31) Chương Phương trình với toán tử khả nghịch phải áp dụng 2.1 Phương trình với toán tử khả nghịch phải Bổ đề 2.1 Giả sử D ∈ R(X), dim Ker D = R ∈ RD Khi với số nguyên dương N ta có N −1 Ker D N Rk zk , z0 , , zN −1 ∈ Ker D}, = {z ∈ X : z = k=0 dom DN = RN X ⊕ Ker DN Xét phương trình DN x = y, y ∈ X, N ∈ N (2.1) Định lý 2.1 Giả sử D ∈ R(X), dim Ker D = R ∈ RD Khi y ∈ ImDN tất nghiệm phương trình (2.1) cho N −1 N Rk zk , x=R y+ (2.2) k=0 z0 , , zN −1 ∈ Ker D tùy ý Chứng minh Thật vậy, y ∈ Im DN tồn y1 ∈ dom DN cho y = DN y1 Do đó, (2.1) viết dạng DN x = DN y1 Do DN = DN RN DN nên phương trình cuối tương đương với DN (x−RN DN y1 ) = 12 Từ theo Bổ đề 2.1 ta có công thức (2.2) Bây ta xét phương trình tổng quát M N Dm Amn Dn x = y, Q[D]x = y ∈ ImQ[D], (2.3) m=0 n=0 D ∈ R(X), R ∈ RD , M, N ∈ N0 , Amn ∈ L0 (X), AM N = I, Amn XM +N −n ⊂ Xm (n = 0, 1, , N ; m = 0, 1, , M ; m+n < M +N ); Xj = dom Dj , j = 1, , M + N Mệnh đề 2.1 Giả sử D ∈ R(X) R ∈ RD Bj ∈ L0 (X) (j = 0, 1, , N ) k ∈ N0 cho XN −j ⊂ dom Bj , Bj XN −j ⊂ Xk (j = 0, 1, , N ) Đặt N N j Q(D) = Bj D , Bj RN −j Q(I, R) = j=0 (2.4) j=0 Khi đó, XN ⊂ dom Q(D), Q(D)XN ⊂ Xk , [I+RN Q(D)]XN +k ⊂ XN +k , Q(I, R)X ⊂ Xk , [I + Q(I, R)]Xk ⊂ Xk Định nghĩa 2.1 ([1]-[2]) Toán tử A ∈ L(X) gọi khả nghịch phải, khả nghịch trái, khả nghịch Xk với k ∈ N0 cho trước, Xk ⊂ dom A, AXk ∈ Xk tồn RA ∈ RA (tương ứng LA ∈ LA , MA ∈ RA ∩LA ) cho RA Xk ⊂ Xk (tương ứng LA Xk ⊂ Xk , MA Xk ⊂ Xk ), tức RA ∈ L0 (Xk ) (tương ứng LA ∈ L0 (Xk ), MA ∈ L0 (Xk )) Hệ 2.1 Giả sử D ∈ R(X) R ∈ RD , Bj ∈ L(X), XN −j ⊂ dom Bj (j = 0, 1, , N ) Hơn nữa, giả sử Q(D) Q(I, R) cho (2.4) Khi đó, toán tử I + Q(I, R) khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) I + RN Q(D) khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) XN Hệ 2.2 Giả sử ta có tất giả thiết Hệ 2.2 Khi đó, toán tử I + Q(I, R) khả nghịch nghiệm phương trình [I + RN Q(D)]x = y, y ∈ XN thuộc XN Hệ 2.3 Nếu T ∈ L0 (X) Im T ⊂ XM với M ∈ N0 I + T khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) XM khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) 13 Định lý 2.2 Giả sử D ∈ R(X), R ∈ RD F ∈ FD toán tử ban đầu D ứng với R Q[D] cho (2.3) Đặt M N RM −m Aˆmn Dn Q(A) = (2.5) m=0 n=0 M N M Q(A) = R M −m Amn R N −n m=0 n=0 Aˆmn RM −m AˆmN F − (2.6) m=0  0 := A mn m = M, n = N, (2.7) m + n < M + N Nếu Q(A) khả nghịch tất nghiệm phương trinh (2.3) cho M +N −1 N −1 x = [I − R Q (A)Q(A)](R M +N Rj zj ) y+ (2.8) j=0 z0 , z1 , , zM +N −1 ∈ Ker D tùy ý N Hệ 2.4 Giả sử D ∈ R(X) R ∈ RD Đặt Q(D) = An Dn , P (D) = n=0 DM Q(D), Q1 = N An RN −n , Q1 = N An Dn Khi đó, toán tử Q1 khả n=0 n=0 nghịch nghiệm phương trình P (D)x = y, y ∈ Im P (D) M +N cho x = [I − RN Q−1 y+ Q1 ](R M +N −1 (2.9) Rj yj ) j=0 Ví dụ 2.1 Cho X không gian tuyến tính, D ∈ R(X), dim Ker D = 0, R ∈ RD A, B ∈ L0 (X), AX ⊂ dom D Xét phương trình (DAD + B)x = y, y ∈ Im (DAD + B) (2.10) Phương trình (2.10) viết dạng D2 [I + R(AD − RD2 )]x = y − Bx tương đương với [I + R(AD − RD2 + RB)]x = R2 y + Rz1 + z0 , z1 , z0 ∈ Ker D tùy ý Đặt Q(A, B) = I + (AD − RD2 + RB)R = I + A − RD + RBR = A + RBR + F , F toán tử ban đầu D ứng với R Nếu toán tử Q(A, B) khả nghịch tất nghiệm phương trình cho x = [I − RQ(A, B)−1 (AD − RD2 + RB)](R2 y + Rz1 + z0 ) 14 2.2 Bài toán Cauchy Giả sử D ∈ R(X) F toán tử ban đầu D ứng với nghịch đảo phải R Bài toán Cauchy - Bài toán giá trị ban đầu toán tử Q[D]: Tìm tất nghiệm phương trình M N Dm Amn Dn x = y, y ∈ X, Q[D]x := (2.11) m=0 n=0 thỏa mãn điều kiện ban đầu F Dj x = yj , yj ∈ Ker D (j = 0, , M + N − 1) (2.12) Định nghĩa 2.2 ([1]-[2]) (cf.Przeworska-Rolewicz) (i.) Bài toán giá trị ban đầu (2.11)-(2.12) gọi thiết lập đắn có nghiệm với y ∈ X, y0 , , yM +N −1 ∈ Ker D (ii.) Bài toán (2.11)-(2.12) gọi thiết lập không đắn tồn y ∈ X, y0 , , yM +N −1 ∈ Ker D cho toán vô nghiệm, toán cho dạng (2.11)-(2.12) (nói cách khác, y = y0 = · · · = yM +N −1 = 0) có nghiệm tầm thường Định nghĩa 2.3 ([1]-[2]) Giả sử Q[D] có dạng (2.11) Đặt M N RM −m Bmn RN −n , Q := (2.13) m=0 n=0 Bmn :=   Aˆ0n m =  Aˆmn − Aˆmn M F Dµ−m Aˆmun trường hợp khác (2.14) µ=m  0 := A m = M, n = N mn (2.15) trường hợp khác (m = 0, , M ; n = 0, , N ) Khi I + Q toán tử giải toán (2.11)-(2.12) Bổ đề 2.2 Đặt M N RM +N −m Bmn Dn Q := m=0 n=0 15 (2.16) Khi QRN = RN Q, (2.17) Q định nghĩa (2.13), DM +N (I + Q) = Q[D], (2.18) F Dj (I + Q) = F Dj (j = 0, , M + N − 1) (2.19) Bổ đề 2.3 Cho Q xác định (2.16) Khi đó, toán giá trị ban đầu (2.11)-(2.12) thiết lập đắn I + Q khả nghịch XM +N Định lý 2.3 Bài toán giá trị ban đầu (2.11)-(2.12) thiết lập đắn toán tử giải khả nghịch Định lý 2.4 Cho D ∈ R(X), R ∈ RD F ∈ FD toán tử ban đầu tương ứng với R Giả sử Q Q xác định (2.13) (2.14) (i.) Nếu toán tử giải I + Q khả nghịch toán (2.11)-(2.12) thiết lập đắn nghiệm M +N −1 x = MQ (R M +N Rj yj ), y+ (2.20) j=0 MQ := I − RN (I + Q)−1 H, M N RM −m Bmn Dn = DN Q, H := (2.21) m=0 n=0 Bmn (m = 0, , M ; n = 0, , N ) định nghĩa (2.13)-(2.14) (ii.) Nếu I + Q khả nghịch phải dim Ker (I + Q) = toán (2.11)(2.12) thiết lập không đắn Tuy nhiên, toán có nghiệm có dạng M +N −1 x = RQ (R M +N Rj yj ) + z, y+ j=0 RQ = I − RN RQH , z ∈ Ker (I + Q) tùy ý RQ ∈ RI+Q 16 (2.22) (iii.) Nếu I + Q khả nghịch trái không khả nghịch toán (2.11)(2.12) thiết lập không đắn có nghiệm với điều kiện cần đủ M +N −1 R M +N Rj yj ∈ (I + Q)XM +N + j=0 Nếu điều kiện thỏa mãn nghiệm M +N −1 x = LQ (R M +N Rj yj ), y+ (2.23) j=0 LQ = I − RN LQ H, LQ ∈ LI+Q , Bmn cho (2.13) Định nghĩa 2.4 ([1]-[2]) Một toán tử V ∈ L(X) gọi khả nghịch hầu suy rộng không gian E ⊂ X E ⊂ dom V, V E ⊂ E tồn WV ∈ WV cho WV E ⊂ E Bổ đề 2.4 Giả sử D ∈ R(X), R ∈ RD Đặt N N Aj RN −j , j Q(D) := Aj D , Q := Q(I, R) = j=0 j=0 Aj ∈ L(X), Aj XN −j ⊂ Xk (j = 0, , N ) Khi đó, toán tử I + Q khả nghịch hầu suy rộng Xk với k ∈ N I + RN Q(D) khả nghịch hầu suy rộng XN +k Định lý 2.5 Giả sử D ∈ R(X), R ∈ RD F ∈ FD tương ứng với R Hơn nữa, giả sử Q, Q cho (2.13) (2.14) Nếu toán tử giải I + Q khả nghịch hầu suy rộng không khả nghịch phía, toán giá trị ban đầu (2.11)-(2.12) thiết lập không đắn có nghiệm với điều kiện cần đủ M +N −1 R M +N Rj yj ∈ (I + Q)XM +N y+ (2.24) j=0 Nếu điều kiện thỏa mãn nghiệm có dạng M +N −1 x = WQ (R M +N Rj yj ) + z, y+ j=0 WQ := I − RN WQ H, WQ ∈ WI+Q , z ∈ Ker (I + Q) tùy ý 17 (2.25) t Ví dụ 2.2 Lấy X := C([0, 1]), C), D := d/dt, R := , (F x)(t) := x(0) R toán tử Volterra, tức là, I + βR khả nghịch với β ∈ C Xét phương trình (I + βRk+1 Dk )x = y, y ∈ Xk (2.26) Vì I + βR(= I + βDk Rk+1 ) khả nghịch, áp dụng Bổ đề 2.2, ta I + βRk+1 Dk khả nghịch Xk Do đó, (2.26) có nghiệm x = (I − βRk (I + βRk )−1 Dk )y ∈ Xk Vì thế, toán giá trị ban đầu  (D + βRk Dk )x = y, y ∈ X , k F x = y , y ∈ Ker D (2.27) có nghiệm có dạng x = [I − βR(I − βR)−1 Dk ](Ry + y1 ) Thật vây, toán (2.27) tương đương với phương trình (I + βRk+1 Dk )x = Ry + y1 , tức là, có dạng (2.26) 18 (2.28) 2.3 Ví dụ áp dụng Ví dụ 2.3 Giải phương trình vi phân x” + λx = sin t với t ∈ [0, T ](T > 0), x(0) = x0 , x (0) = x1 x0 , x1 ∈ R Đây toán giá trị ban đầu toán tử D = d/dt không gian C(0, T ) với toán tử ban đầu (F x)(t) = x(0) ứng với nghịch đảo phải t x(s)ds Q(D) = D2 + λD = D2 (I + λR) Vì toán tử R khả (Rx)(t) = nghịch với λ ∈ R nên toán cho có nghiệm x = [I − R2 (I + λR)−1 λD](R2 y + Rx1 + x0 ) = R2 + Rx1 + x0 − λR2 (I + λR)−1 (Ry + x1 ) t Ta có R1 x = t sin sds = − cos t + x1 ds = x1 t, (Ry)(t) = 0 t s (R2 y)(t) = t (− cos s + 1)ds = − sin t + t sin udu = 0 Từ công thức (1.16) ta suy với λ = (I + λR)−1 (Ry + x1 ) = (I + λR)−1 (− cos t + + x1 ) t e−λ(t−s) (− cos s + + x1 )ds = − cos t + + x1 − λ 1 + 2λ + λ2 −λt = cos t − + x1 e + sin t λ λ2 λ3 1 + λ2 λR2 (I + λR)−1 (Ry + x1 ) = − cos t − sin t − λ(1 + 2λ2 + λ2 x1 )e−λt λ λ 1 − 2λ2 + λ2 x1 − t + λ(1 + 2λ2 + λ2 x1 + ) λ λ Do đó, 1 x(t) = sin t + cos t + λ(1 + 2λ2 + λ2 x1 )e−λt λ λ 1 + (1 + 2λ2 + λ2 x1 + x1 − )t − λ(1 + 2λ2 + λ2 x1 + ) + x0 λ λ 19 Ví dụ 2.4 Giải phương trình vi phân x (t) − 5x(−t) = 6t2 − 1, t ∈ R, x(0) = Đây toán giá trị ban đầu toán tử D = d/dt, (F x)(t) = x(0) t (Rx)(t) = x(s)ds, (Ax)(t) = x(−t) Dx − 5Ax = y, y(t) = 6t2 − 1, (F x)(t) = không gian X = C(R) Để ý A toán tử đại số A2 = I A giao hoán với toán tử D, tức AD = DA Phương trình cho viết dạng D(I − 5RA)x = y tương đương với (I − 5RA)x = Ry + z, z ∈ Ker D Áp dụng F vào hai vế ta suy z = Khi đó, phương trình trở thành (I − 5RA)x = Ry + 1, hay t (6s2 − 1)ds + (I − 5RA)(x) = = 2t3 − t + 1 Đặt I = P + Q, A = P − Q, suy P = (I + A), Q = (I − A) 2 2 Dễ dàng kiểm tra P = P, Q = Q P Q = Phương trình trở thành [(P + Q) − 5(P − Q)R]x = 2t3 − t + hay [(I − 5R)P + (I + 5R)Q]x = 2t3 − t + Ta có (I − 5R)P x = P (2t3 − t + 1) = (I + A)(2t3 − t + 1) = Suy (P x)(t) = (I − 5R)−1 t e5(t−s) ds = e5t =1+5 20 Tương tự, (I + 5R)Qx = 2t3 − t, suy 28 1 + − e−5t ) (Qx)(t) = (3t2 − t − 5 25 25 Ta có I = P + Q hay x = Ix = (P + Q)x nên x = P x + Qx 28 1 −5t Do đó, x = 3t2 − t − + e + e5t 5 25 125 Ví dụ 2.5 Giải phương trình vi phân x (t) − 2x(t + 1) = sin πt, t ∈ R, x(0) = lớp hàm tuần hoàn chu kỳ 2, tức x(t + 2) = x(t), ∀t ∈ R Đây toán giá trị ban đầu toán tử D = d/dt, (F x)(t) = x(0) t (Rx)(t) = x(s)ds, (Bx)(t) = x(t + 1) Dx − 2Bx = y, y(t) = sin πt, (F x)(t) = không gian hàm liên tục tuần hoàn chu kỳ R Để ý B toán tử đại số B = I B giao hoán với toán tử D R, tức BD = DB, BR = RB Phương trình cho viết dạng D(I − 2RB)x = y tương đương với (I − 2RB)x = Ry + z, z ∈ Ker D Áp dụng F vào hai vế ta suy z = Khi đó, phương trình trở thành (I − 2RB)x = Ry + 1, hay t (I − 2RB)(x) = (sin πs)ds + 1 = − cos πt + π 1 Đặt I = P + Q, A = P − Q, suy P = (I + A), Q = (I − A) 2 Dễ dàng kiểm tra P = P, Q2 = Q P Q = Phương trình trở thành [(P + Q) − 2(P − Q)R]x = − cos πt + π 21 hay [(I − 5R)P + (I + 5R)Q]x = − cos πt + π Ta có (I − 2R)P x = P (− cos πt + 1) π 1 = (I + B)(− cos πt + 1) π 1 = − cos π(t + 1) − cos(π)t + 2π 2π Suy 1 cos π(t + 1) − cos(π)t + 1) 2π 2π 1 = − cos π(t + 1) − cos(πt) + 2π 2π (P x)(t) = (I − 2R)−1 (− t − π cos π(s + 1) − cos(πs) − e2(t−s) ds π π cos π(t + 1) + cos πt + sin π(t + 1) + sin(πt) + π2 2 + π 2t e + − 2 =− Tương tự, (I + 2R)Qx = 1 cos π(t + 1) − cos(πt), suy 2π 2π − π2 (Qx)(t) = π cos π(t + 1) + cos πt + sin π(t + 1) − sin(πt) + π2 2π Ta có I = P + Q hay x = Ix = (P + Q)x nên x = P x + Qx 2 + π 2t 1 sin(πt) − e + Do đó, x = − cos(πt) − π + π2 2 22 Kết luận Luận văn "Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải áp dụng" giải vấn đề sau: Luận văn trình bày chi tiết khái niệm, tính chất toán tử tuyến tính, toán tử đại số, toán tử Volterra, toán tử khả nghịch phải, toán tử ban đầu Tiếp theo, luận văn trình bày công thức Taylor-Grontcharov, với trường hợp riêng công thức Taylor với toán tử khả nghịch phải Cuối cùng, số lớp toán phương trình với toán tử khả nghịch phải giải ví dụ áp dụng 23 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kỳ dị, NXB ĐHQGHN Tiếng Anh D.Przeworska-Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, Amsterdam-Warsaw D Przeworska-Rolewicz and S Rolewicz (1968), Equations in linear spaces, Warsaw Pub D Przeworska-Rolewicz and S Rolewicz (1973), Equations with transformed argument An algebraic approach, Warsaw Pub Nguyễn Văn Mậu (2005), Algebraic elements and boundary value problems in linear spaces, VNU Pub House 24 [...]... luận Luận văn "Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng" đã giải quyết được những vấn đề sau: 1 Luận văn đã trình bày chi tiết khái niệm, tính chất toán tử tuyến tính, toán tử đại số, toán tử Volterra, toán tử khả nghịch phải, toán tử ban đầu 2 Tiếp theo, trong luận văn trình bày công thức Taylor-Grontcharov, với trường hợp riêng là công thức Taylor với toán tử khả nghịch phải 3 Cuối... Q(D) khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) trên XN Hệ quả 2.2 Giả sử ta có tất cả các giả thiết của Hệ quả 2.2 Khi đó, nếu toán tử I + Q(I, R) khả nghịch thì nghiệm duy nhất của phương trình [I + RN Q(D)]x = y, y ∈ XN thuộc XN Hệ quả 2.3 Nếu T ∈ L0 (X) và Im T ⊂ XM với M ∈ N0 nào đó thì I + T khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) trên XM khi và chỉ khi nó khả nghịch phải (khả nghịch. .. và A là một toán tử đại số giao hoán với R Hơn nữa, A có đa thức đặc trưng dạng n (t − tj )(ti = tj vớii = j) PA (t) = j=1 Khi đó, mọi nghiệm của phương trình (D − A)x = y, y ∈ X có dạng n (I − tj R)−1 Pj (Ry + z), x= j=1 với z ∈ Ker D tùy ý và n (tj − tk )(A − tk I)(j = 1, , n) Pj = k=1,k=j 11 (1.31) Chương 2 Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng 2.1 Phương trình với toán tử khả nghịch. .. vây, bài toán (2.27) tương đương với phương trình (I + βRk+1 Dk )x = Ry + y1 , tức là, nó có dạng (2.26) 18 (2.28) 2.3 Ví dụ áp dụng Ví dụ 2.3 Giải phương trình vi phân x” + λx = sin t với t ∈ [0, T ](T > 0), x(0) = x0 , x (0) = x1 và x0 , x1 ∈ R Đây là bài toán giá trị ban đầu của toán tử D = d/dt trong không gian C(0, T ) với toán tử ban đầu (F x)(t) = x(0) ứng với nghịch đảo phải t x(s)ds và Q(D)... Taylor-Grontcharov, với trường hợp riêng là công thức Taylor với toán tử khả nghịch phải 3 Cuối cùng, một số lớp bài toán về phương trình với toán tử khả nghịch phải và giải các ví dụ áp dụng 23 Tài liệu tham khảo Tiếng Vi t 1 Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử và phương trình tích phân kỳ dị, NXB ĐHQGHN Tiếng Anh 2 D.Przeworska-Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, Amsterdam-Warsaw 3 D Przeworska-Rolewicz... nghịch trên XM +N Định lý 2.3 Bài toán giá trị ban đầu (2.11)-(2.12) thiết lập đúng đắn nếu và chỉ nếu toán tử giải của nó khả nghịch Định lý 2.4 Cho D ∈ R(X), R ∈ RD và F ∈ FD là một toán tử ban đầu tương ứng với R Giả sử rằng Q và Q lần lượt được xác định bởi (2.13) và (2.14) (i.) Nếu toán tử giải I + Q khả nghịch thì bài toán (2.11)-(2.12) thiết lập đúng đắn và nghiệm duy nhất của nó là M +N −1... phương trình vi phân x (t) − 5x(−t) = 6t2 − 1, t ∈ R, x(0) = 1 Đây là bài toán giá trị ban đầu của toán tử D = d/dt, (F x)(t) = x(0) t và (Rx)(t) = x(s)ds, (Ax)(t) = x(−t) 0 Dx − 5Ax = y, y(t) = 6t2 − 1, (F x)(t) = 1 trong không gian X = C(R) Để ý rằng A là toán tử đại số A2 = I và A giao hoán với toán tử D, tức là AD = DA Phương trình đã cho có thể vi t được dưới dạng D(I − 5RA)x = y tương đương với. .. 1.3 Các phép toán của toán tử nghịch đảo phải Volterra Định lý 1.7 Cho D ∈ R(X), R1 , R2 ∈ RD Khi đó R1 R2 là một toán tử Volterra nếu và chỉ nếu R2 R1 là toán tử Volterra Định lý 1.8 Cho D ∈ R(X) và R1 , R2 là các nghịch đảo phải Volterra của D Khi đó, điều kiện cần và đủ để R1 R2 là toán tử Volterra là F2 (I − tR12 )−1 z = 0, ∀t ∈ C, 0 = z ∈ Ker D (1.21) trong đó Fj ∈ FD tương ứng với Rj (j = 1,... 1.12 Nếu R ∈ V (X) thì Q(I, R) khả nghịch và R0 := RM +N [Q(I, R)]−1 ∈ RP (D) ∩ V (X) (1.29) Định lý 1.13 Giả sử R ∈ RD ∩ V (X) với D ∈ R(X) Nếu A là một toán tử đại số sao cho AR = RA thì AR là một toán tử Volterra Định lý 1.14 Giả sử rằng D ∈ R(X), R ∈ RD và A0 , , AN là các toán tử đại số thỏa mãn (1.27), Q(t, s), Q(t) và P (t) định nghĩa bởi (1.28) Nếu Q(t, s) khả nghịch thì R0 := RN +M [Q(I,... 14 2.2 Bài toán Cauchy Giả sử D ∈ R(X) và F là toán tử ban đầu của D ứng với nghịch đảo phải R Bài toán Cauchy - Bài toán giá trị ban đầu của toán tử Q[D]: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình M N Dm Amn Dn x = y, y ∈ X, Q[D]x := (2.11) m=0 n=0 thỏa mãn điều kiện ban đầu F Dj x = yj , yj ∈ Ker D (j = 0, , M + N − 1) (2.12) Định nghĩa 2.2 ([1]-[2]) (cf.Przeworska-Rolewicz) (i.) Bài toán giá trị